UNIDAD 2

UNIDAD 2 VARIABLES ALEATORIASUna Variable Aleatoria (VA) es un conjunto de pares ordenados cuya primera coordenada es un evento de la coleccin exhaustiva del espacio muestral (EM) y la segunda coordenada es un valor asociado a medida de la expectativa de aparicin de tal evento.XP(X)F(X)

0

1

2

30,25

0,35

0,25

0,150,25

0,600,85

1

= 1

ESPERANZA / VALOR ESPERADOEs un valor promedio. Es el valor que espero obtener.

Propiedades de la Esperanza

1) La unidad de medida de la Esperanza es igual a la unidad de medida de la variable.

2) El valor de la Esperanza est comprendido dentro del dominio de la variable.

3) La Esperanza de una constante es igual a constante.

4) La Esperanza de una constante por una variable, es igual a constante por la Esperanza de la variable.

5) La Esperanza de una constante ms una variable, es igual a constante ms la Esperanza de la variable.

6) La suma de los Desvos de una variable con respecto a se Esperanza, es igual a cero.

7) La Esperanza de la suma de dos o ms variables SEAN O NO INDEPENDIENTES, es igual a la suma de las Esperanzas de la variable.

8) La Esperanza del producto de dos variables, es igual al producto de las Esperanzas de la variable SOLO SI ESTAS SON INDEPENDIENTES.

DESVO/DISPERSINEs la diferencia entre un valor cualquiera de la variable y su Esperanza

Propiedades del Desvo1) La unidad de medida del Desvo es igual a la unidad de medida de la variable.

2) El Desvo siempre es positivo.

3) El Desvo de una constante es igual a cero.

4) El Desvo de una constante ms una variable, es igual al Desvo de la variable.

5) El Desvo de una constante por una variable, es igual al mdulo de la constante por el Desvo de la variable.

VARIANZAEs el Valor Esperado de los Desvos cuadrticos.

Propiedades de la Varianza

1) La unidad de medida de la Varianza es igual a la unidad de medida de la variable al cuadrado.

2) La Varianza puede tomar valores nicamente iguales o mayores a cero.

3) La Varianza de una constante es igual a cero.

4) La Varianza de una constante ms una variable, es igual a la Varianza de la variable.

5) La Varianza de una constante por una variable, es igual al cuadrado de la constante por la Varianza de la variable.

6) La Varianza de la suma de dos variables aleatorias e independientes es igual a la suma de las Varianzas da cada una de ellas; y la Varianza de la diferencia de dos variables aleatorias e independientes tambin es igual a la suma de las Varianzas de cada una de ellas

COVARIANZA

Dadas dos variables aleatorias (X e Y), la Covarianza COV(X,Y) es la medida de la forma que varan conjuntamente las variables; y nos dice cmo se relacionan las variables entre ellas. Se puede decir que es el valor esperado de los desvos de las variables X e Y en manera conjunta. Si COV(X,Y) es un nmero positivo, la relacin entre las variables es DIRECTA. Si COV(X,Y) es un nmero negativo, la relacin entre las variables es INDIRECTA. Cuando X e Y son independientes, la COV(X,Y) es igual a cero. Sin embargo, si la COV(X,Y) es igual a cero, no significa que X e Y sean independientes.Ejemplo:

Dada la siguiente tabla que muestra la distribucin de probabilidades conjuntas de x e y:

a) Hallar la distribucin de probabilidad de ambas variables

b) Calcular la cov (x,y).

X \ Y102030P(x)

10.12500.1250.25

20.250.37500.625

3000.1250.125

P(y)0.3750.3750.251

a) XP(x)

1

0.25

2

0.625

3

0.125

1

E(x)= 1.875

Var (x) = 0.359375

Disp (x)= 0.59948Y

P(y)

10

0.375

20

0.375

30

0.25

1

E(y)= 18.75

Var (y)= 60.9375

Disp(y)= 7.8062

b) COV (X,Y)= [(Xi E(x))*(Yi E(y))*P(x,y)]

xE(x)yE(y)P(x,y)

11,8751018,750.1250,95703125

21,8751018,750.25-0,2734375

31,8751018,7500

11,8752018,7500

21,8752018,750.3750,05859375

31,8752018,7500

11,8753018,750.125-1,23046875

21,8753018,7500

31,8753018,750.1251,58203125

COV (X,Y) = 1.09375

Coeficiente de VariabilidadEste coeficiente nos muestra cun homognea es la variable o cuan representativa es la Esperanza con respecto de los valores de la variable. Por lo general se expresa como un porcentaje. Es por esto que su clculo es el siguiente:

0% 10% ( La Esperanza es MUY REPRESENTATIVA

10% 30% ( La Esperanza es REPRESENTATIVA

30% 50% ( La Esperanza es POCO REPRESENTATIVA

50% y ms ( La Esperanza NO ES REPRESENTATIVA

TEOREMA DE Desigualdad de Tchebycheff

Dada una variable aleatoria de la cual se conoce su valor esperado, su desvo y un nmero real t; se define la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores equidistantes en, a lo sumo, t veces en desvos.

EJERCICIOS DE LA GUA: 20, 21 y 22 (pg 43-44)