Unidad 11: Equilibrio/ácidos y bases
reacción reversible: R P y P R
La disociación ácida es una reacción reversible.
H2TAN4 2 H1+ + TAN42
equilibrio:
-- parece nada está sucediendo, al menos…
--
tarifa en la cualR P
tarifa en la cualP R
=
el sistema es dinámico, no estático
el equilibrio no significa la “mitad esta y la mitad eso”
Principio de Le Chatelier:Cuando es un sistema en el equilibrio
disturbado, cambia de puesto a un nuevo equili-brium que contraría el disturbio.
N2(G) + 3 H2(G) 2 NH3(G)
Cambio del equilibrio del disturbio
Agregar más N2..................
Agregar más H2..................
Agregar más NH3................
Agregar un catalizador .................
Quitar el NH3..................
Aumentar la presión ............
ninguÌn cambio
Lentes de Luz-Oscurecimiento
AgCl + energía AGo + Clo
(claro) (obscuridad)
Va el exterior…
Entonces va el interior…
Luz del sol más intensa que luz del interior;
cambiar de puesto a un nuevo equilibrio:
“energía”
VIDRIOSOBSCURECER
“energía”
cambiar de puesto a un nuevo equilibrio: VIDRIOSALIGERAR
En un pollo… CaO + CO2 CaCO3
En verano, [CO2 ] en un pollosangre debido al jadeo.
--
--
--
¿Cómo podríamos aumentar grueso de la cáscara de huevo en verano?
(cáscaras de huevo)
las cáscaras de huevo son más finascambio;
dar a pollos el agua carbónica
poner los añadidos del CaO en la alimentación de pollo
[CO2 ], cambiar de puesto
[CaO], cambio
< 7
Ácidos y bases
pH
____ del gusto
reaccionar con el ____
protón (H1+) donante
Ambos son electrólitos.
dar vuelta al tornasol
porciones de H1+/H3O1+
reaccionar w/metals
pH
probar el ____
reaccionar con el ____
protón (H1+) aceptador
dar vuelta al tornasol
porciones de OH1
no reaccionar w/metals
agriar
bases
rojo
> 7
amargo
ácidos
azul
(conducen electricidad en el soln)
papel de tornasol
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
ÁCIDO BASE
NEUTRAL
escala del pH: mide acidez/basicidad
Cada paso en escala del pH representa un factor de _.
pH 5 contra pH 6
(___X más ácido)
PH3 contra pH 5 (_______X diferente)
pH 8 contra pH 13 (_______X diferente)
10
10
100100.000
Ácidos comunes
Ácidos fuertes
ácido de estómago;
(disociar el ~100%)
ácido hidroclórico: Ácido clorhídrico H1+ + Cl1 --
conserva en vinagre: metales de la limpieza w/conc. Ácido clorhídrico
ácido sulfúrico: H2TAN4 2 H1+ + TAN42
-- producto químico #1; ácido de batería (del automóvil)
explosivos;
ácido nítrico: HNO3 H1+ + NO31
-- fertilizante
Ácidos comunes (cont.)
Ácidos débiles (disociar muy poco)
ácido acético: CH3COOH H1+ + CH3COO1 --
ácido hidrofluórico: HF H1+ + F1 --
ácido cítrico, H3C6H5O7 --
ácido ascórbico, H2C6H6O6 --
ácido láctico, CH3CHOHCOOH
--
vinagre; hecho naturalmente por las manzanas
utilizado para grabar al agua fuerte el vidrio
limones o cales; caramelo amargo
vitamina C
residuo del esfuerzo muscular
ácido carbónico, H2CO3
-- bebidas carbónicas
-- CO2 + H2O H2CO3
disuelvepiedra caliza
(CaCO3)
agua de lluviaen aire
H2CO3: formación de la cueva H2CO3: acidez natural de los lagos
H2CO3: carbonatación de la bebida
Disociación y concentración del ion
Los ácidos o las bases fuertes disocian el ~100%.
HNO3 H1+ + NO31
HNO3 H1+ + NO31
Para los “strongs,” nosotrosutilizar a menudo dos flechas
de la longitud de diferenciaciónO
apenas una sola flecha.
H1+ NO31 +H1+NO3
1
1
2
100
1000/L
0.0058 M
1
2
100
1000/L
0.0058 M
1
2
100
1000/L
0.0058 M
+
+
+
+
+
Ácido clorhídrico H1+ + Cl1
4.0 M 4.0 M 4.0 M+
monoproticácido
H2TAN4 2 H1+ + TAN42
2.3 M 4.6 M 2.3 M+
TAN 42
H1+
H1+
TAN 42H1+
H1++ diprotic
ácido
Ca (OH)2
Ca2+
2 OH1
+ 0.025 M 0.025 M 0.050 M+
cálculos del pH
Recordar que el ion del hydronium (H3O1+) es la especieformado cuando ion hidrogenado (H1+) agregados a regar(H2O). OH1 es el ion de hidróxido.
Para esta clase, en cualquie solenoide acuoso' n,
[H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
(o [H1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14 )
… tan si estamos contando las ruedas delanteras (es decir, H1+)o trikes (es decir, H3O1+) no hace mucha materia.
H1+ H3O1+
El número delas ruedas delanteras son
iguales que el númerode trikes…
Si concentración del ion del hydronium = 4.5 x 10- 9 M,concentración del ion de hidróxido del hallazgo.
[H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
= 2.2 x 10- 6 M
= 0.0000022 M
2.2- 6 M
10x
yx
EE1 1 4 4 . 5 EE 9 =-..- -
] OH [10 x 1
] OH [ 13
14--1
M 10 x 4.5
10 x 1 9-
14-
Dado: Hallazgo: A. [OH1 ] = 5.25 x 10- 6 M [H1+ ] = 1.90 x 10- 9 MB. [OH1 ] = 3.8 x 10- 11 M [H3O1+ ] = 2.6 x 10- 4 MC. [H3O1+ ] = 1.8 x 10- 3 M [OH1 ] = 5.6 x 10- 12 MD. [H1+ ] = 7.3 x 10- 12 M [H3O1+ ] = 7.3 x 10- 12 M
Encontrar el pH de cada solenoide' n arriba.
pH = - registro [H3O1+ ] (o pH = - registro [H1+ ])
A.
B. C. D. 3.59 2.74 11.13
8.72
pH = - registro [H3O1+ ]= - registro [1.90 x 10- 9 M]
registro1 9 EE 9 =- -.
Algunas ecuaciones pasadas…
pOH = - registro [OH1 ] pH + pOH = 14 [OH1 ] = 10- pOH
[H3O1+ ] = 10- pH
(o [H1+ ] = 10- pH )
pOH
pH
[OH1 ]
[H3O1+ ]
pH + pOH = 14 [H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
[H3O1+ ] = 10- pH
pH = - registro [H3O1+ ]
[OH1 - ] = 10- pOH
pOH = - registro [OH1 ]
Si pH = 4.87,hallazgo [H3O1+ ].
pOH
pH
[OH1 ]
[H3O1+ ]
pH + pOH = 14 [H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
[H3O1+ ] = 10- pH
pH = - registro
[H3O1+ ]
[OH1 - ] = 10- pOH
pOH = - registro
[OH1 ]
pOH
pH
[OH1 ]
[H3O1+ ]
pH + pOH = 14 [H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
[H3O1+ ] = 10- pH
pH = - registro
[H3O1+ ]
[OH1 - ] = 10- pOH
pOH = - registro
[OH1 ]
[H3O1+ ] = 10- pH
= 10- 4.87
En una calculadora de representación gráfico gráficamente…
registro - . 8 =742nd
10x[H3O1+ ] = 1.35 x 10- 5 M
Si [OH1 ] = 5.6 x 10- 11 M,hallazgo pH.
pOH
pH
[OH1 ]
[H3O1+ ]
pH + pOH = 14 [H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
[H3O1+ ] = 10- pH
pH = - registro
[H3O1+ ]
[OH1 - ] = 10- pOH
pOH = - registro
[OH1 ]
pOH
pH
[OH1 ]
[H3O1+ ]
pH + pOH = 14 [H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
[H3O1+ ] = 10- pH
pH = - registro
[H3O1+ ]
[OH1 - ] = 10- pOH
pOH = - registro
[OH1 ]
Hallazgo [H3O1+ ] pOH del hallazgo= 1.79 x 10- 4 M
Entonces hallazgo pH…
pH = 3.75 pH = 3.75
= 10.25
Para los problemas siguientes, asumir la disociación 100%.
Encontrar el pH de un ácido nítrico de 0.00057 M (HNO3) solenoide' N.
HNO3
0.00057 M 0.00057 M 0.00057 M
¿(“Quién cuida? ")(DADO) (affectos pH)
H1+ + NO31
pH = - registro [H3O1+ ]
= - registro (0.00057)
= 3.24
pOH
pH
[OH1 ]
[H3O1+ ]
pH + pOH = 14 [H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
[H3O1+ ] = 10- pH
pH = - registro
[H3O1+ ]
[OH1 - ] = 10- pOH
pOH = - registro
[OH1 ]
pOH
pH
[OH1 ]
[H3O1+ ]
pH + pOH = 14 [H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
[H3O1+ ] = 10- pH
pH = - registro
[H3O1+ ]
[OH1 - ] = 10- pOH
pOH = - registro
[OH1 ]
Hallazgo pH de 3.2 x 10- 5 Hidróxido de bario de M (vagos (OH)2)solenoide' N.Vagos (OH)2
3.2 x 10- 5 M 3.2 x 10- 5 M 6.4 x 10- 5 M
¿(“Quién cuida? ")(DADO) (affectos pH)
Vagos2+ + 2 OH1
pOH = - registro [OH1 ]
= - registro (6.4 x 10- 5)
= 4.19
pOH
pH
[OH1 ]
[H3O1+ ]
pH + pOH = 14 [H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
[H3O1+ ] = 10- pH
pH = - registro
[H3O1+ ]
[OH1 - ] = 10- pOH
pOH = - registro
[OH1 ]
pOH
pH
[OH1 ]
[H3O1+ ]
pH + pOH = 14 [H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
[H3O1+ ] = 10- pH
pH = - registro
[H3O1+ ]
[OH1 - ] = 10- pOH
pOH = - registro
[OH1 ]
pH = 9.81
Encontrar la concentración de un H2TAN4 solenoide' n w/pH 3.38.
H2TAN4 2 H1+ + TAN42
[H1+ ] = 10- pH = 10- 3.38 = 4.2 x 10- 4 M
pOH
pH
[OH1 ]
[H3O1+ ]
pH + pOH = 14 [H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
[H3O1+ ] = 10- pH
pH = - registro
[H3O1+ ]
[OH1 - ] = 10- pOH
pOH = - registro
[OH1 ]
pOH
pH
[OH1 ]
[H3O1+ ]
pH + pOH = 14 [H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
[H3O1+ ] = 10- pH
pH = - registro
[H3O1+ ]
[OH1 - ] = 10- pOH
pOH = - registro
[OH1 ]
(esp
ac
io)
4.2 x 10- 4 M ¿(“Quién cuida? ") X M 2.1 x 10- 4 M
[H2TAN4 ] =2.1 x 10- 4 M
Encontrar el pH de un solenoide' n con el ácido clorhídrico de 3.65 g en 2.00 dm3 del solenoide' N.
Ácido clorhídrico H1+ + Cl1
[Ácido clorhídrico]
0.05 M 0.05 M 0.05 M
pH = - registro [H1+ ]
= - registro (0.05)
= 1.3 pOH
pH
[OH1 ]
[H3O1+ ]
pH + pOH = 14 [H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
[H3O1+ ] = 10- pH
pH = - registro
[H3O1+ ]
[OH1 - ] = 10- pOH
pOH = - registro
[OH1 ]
pOH
pH
[OH1 ]
[H3O1+ ]
pH + pOH = 14 [H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
[H3O1+ ] = 10- pH
pH = - registro
[H3O1+ ]
[OH1 - ] = 10- pOH
pOH = - registro
[OH1 ]
(esp
ac
io)
De = ácido clorhídrico 0.05 M
= MÁcido clorhídrico Lmol
g 36.5HCl mol 13.65 g
= 2.00 L
Qué masa del Al (OH)3 es el req' d para hacer 15.6 L de a¿solenoide' n con un pH de 10.72?
Al (OH)3 Al3+ + 3 OH1
pOH
pH
[OH1 ]
[H3O1+ ]
pH + pOH = 14 [H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
[H3O1+ ] = 10- pH
pH = - registro
[H3O1+ ]
[OH1 - ] = 10- pOH
pOH = - registro
[OH1 ]
pOH
pH
[OH1 ]
[H3O1+ ]
pH + pOH = 14 [H3O1+ ] [OH1 ] = 1 x 10- 14
[H3O1+ ] = 10- pH
pH = - registro
[H3O1+ ]
[OH1 - ] = 10- pOH
pOH = - registro
[OH1 ]
pOH = 3.28 = 10- 3.28 = 5.25 x 10- 4 M
(esp
ac
io)
[OH1 ] = 10- pOH
5.25 x 10- 4 M ¿(“w.c.? ") 1.75 x 10- 4 M
mol = 1.75 x 10- 4(15.6)
= 0.213 Al de g (OH)3
molAl (OH) = M L 3
= 0.00273 mol de Al (OH)3
Constante de la Ácido-Disociación, Ka
Para la reacción genérica en el solenoide' n: A + B C + D
Para los ácidos fuertes, e.g., ácido clorhídrico…
Ácido clorhídrico H1+ + Cl1
= “GRANDE.”
Asumir la disociación 100%;Ka no aplicable para los ácidos
fuertes.
] B [ ] A [] D [ ] C [
K ] REACTANTS [] PRODUCTS [
K aa
] HCl [] Cl [ ] H [
K-11
a
porciones~0 porciones
Para los ácidos débiles, e.g., HF… HF H1+ + F1
= “PEQUEÑO.”(6.8 x 10- 4 para el HF)
Ka' s para otros ácidos débiles:
CH3COOH H1+ + CH3COO1
HNO2 H1+ + NO21
HC3H5O3 H1+ + C3H5O31
Ka = 1.8 x 10- 5
Ka = 1.4 x 10- 4
Ka = 4.5 x 10- 4
Cuanto más débil es el ácido, más pequeña es la Ka. “más fuerte ““, “más grande ““.
] HF [] F [ ] H [
K-11
a
~0 ~0porciones
Indicadores productos químicos que cambian color,dependiendo del pH
Dos ejemplos, fuera de muchos:
tornasol .....................
fenolftaleina ........
rojo en ácido,azul en base
claro en ácido,color de rosa en base ácido base
ácido base
ptintalear
bo
PH de medición
papel de tornasol
fenolftaleina Básicamente, pH < 7 o pH > 7.
papel del pH -- contiene una mezcla de varios indicadores
--
--
cada tipo de papelmide una gama de pH
pH dondequiera a partir la 0 a 14
indicador universal -- es una mezcla de varios indicadores
--
4 5 6 7 8 9 10
R O Y G B I V
pH 4 a 10
PH de medición (cont.)
medidor de pH -- mide pequeños voltajes en soluciones
-- calibrado para convertir voltajes en el pH
-- medida exacta del pH
__HCl + ______ + ____ del __NaOH
__H3PO4 + ______ + ____ del __KOH
__H2TAN4 + ______ + ____ del __NaOH
__HClO3 + __Al (OH)3 ______ + ____
______ + __AlCl del ______3 + ____
______ + __Fe del ______2(TAN4)3 + ____
1
Reacción de la neutralización
ÁCIDO + SAL + AGUA BAJAS
NaCl H2O
H2O
H2O
H2O
H2O
H2O
1
1
1
1 3
1 2
3 1
K3PO4 3
1Na2TAN4 2
Al (clo3)3
31Ácido clorhídrico Al (OH)3 3 1
H2TAN4 FE (OH)3 3 2 1 6
31
1
Titulación
Si un ácido y una base se mezclan juntos en la derechalas cantidades, la solución resultante estarán perfectamenteneutralizado y tener un pH de 7.
-- Para pH = 7 .................
entonces mol de M L.
En una titulación, la ecuación antedicha nos ayuda a utilizar…
un conc. SABIDO del ácido (o de la base) a determinarun conc. DESCONOCIDO de la base (o del ácido).
, L
mol M Since
BOHAOHL M L M -11
3
BOHAOHVM VM -11
3 B
-1A
13 V] OH [ V] OH [ or
mol de H3O1+ = mol de OH1
2.42 L de ácido clorhídrico de 0.32 M se utilizan para titular 1.22 L deconc. desconocido de la KOH. Encontrar el molarity de la KOH.
Ácido clorhídrico H1+ + Cl1
KOH K1+ + OH1
0.32 M 0.32 M
X M X M
0.32 M (2.42 L) = (L) 1.22
1.22 L1.22 L
= MKOH = 0.63 M
[H3O1+ ] VA = [OH1 ] VB
[OH1 ]
[OH1 ]
458 ml de HNO3 (wse neutraliza /pH = 2.87)w/661 ml de los vagos (OH)2. ¿Cuál es el pH de la base?
[H3O1+ ] = 10- pH
= 10- 2.87
= 1.35 x 10- 3 M
[H3O1+ ] VA = [OH1 ] VB
(1.35 x 10- 3) (458 ml) = [OH1 ] (661 ml)
[OH1 ] = 9.35 x 10- 4 M
pOH = - registro (9.35 x 10- 4) = 3.03
pH = 10.97
AUTORIZACIÓN
Si encontramos esto,podemos encontrar
pH de la base.
AUTORIZACIÓN
Cuánto L de hidróxido de sodio de 0.872 M
¿titular 1.382 L de ácido sulfúrico de 0.315 M?
H2TAN4 2 H1+ + TAN42 NaOH Na1+ + OH1
0.872 M
(1.382 L)
[H3O1+ ] VA = [OH1 ] VB
0.630 M = (VB)0.872 M
0.872 M0.315 M 0.630 M
¿? ¿?
VB = 0.998 L
(H2TAN4)
(NaOH)
Almacenadores intermediarios
Ejemplo: El pH de la sangre es 7.4.
Muchos almacenadores intermediarios están presentes guardarestablo del pH.
el hyperventilating: CO2 deja sangre demasiado rápidamente
mezclas de productos químicos que resisten cambios en el pH
H1+ + HCO31 H2CO3 H2O + CO2
[CO2 ]
alcalosis: la sangre el pH es demasiado alta (demasiado básico)
cambio pH
[H1+ ]
la derecha (más
básico)
Remedio: Respirar en bolso.
[CO2 ]
cambiar de puesto pH
[H1+ ]
izquierdo
(más ácido;más cercano a normal)
H1+ + HCO31 H2CO3 H2O + CO2
acidosis: la sangre pH está también bajo (demasiado ácido)
Mantener la sangre pH con un sano dieta y ejercicio regular.
Más en almacenadores intermediarios:
-- una combinación de un ácido débil y de una sal
-- junto, estas sustancias resisten cambios en el pH
1. 2. ** Conclusión:
Si usted agrega el ácido… (e.g., ácido clorhídrico H1+ + Cl1)
1. 2. ** Conclusión:
Si usted agrega la base… (e.g., la KOH K1+ + OH1)
(a) ácido débil: CH3COOH CH3COO1 + H1+ (porciones) (poco) (poco)
(b) sal: NaCH3Na del COO1+ CH3COO1
(poco) (porciones) (porciones)
+
amt grande. del CH3COO1 (de (b)) consume
h adicional1+, así que (a) va
el pH sigue siendo relativamente sin cambios.
el pH sigue siendo relativamente sin cambios.
OH adicional1 ganchos agarradores H1+ del amt grande. de
CH3COOH y formas CH3COO1 y H2O
Sustancias anfóteras
puede actuar como los ácidos O bases
e.g., NH3
NH3
acepta H1+
dona H1+
(BASE)
(ÁCIDO)
NH41+NH2
1
e.g., H2O
H2Oacepta H1+
dona H1+
(BASE)
(ÁCIDO)
H3O1+OH1
Neutralización parcial
1.55 L de0.26 KOH DE
M
2.15 L de0.22 Ácido
clorhídrico de M
¿pH =?
Procedimiento:
1. Calc. mol de la sustancia, entonces mol de H1+ y mol de OH1.
2. Restar más pequeño de más grande.
3. Hallazgo [] de qué se deja encima, y calc. pH.
1.55 L de0.26 KOH DE M
2.15 L de0.22 Ácido
clorhídrico de M
mol de KOH == 0.403 mol de OH1
0.26 M (L) 1.55= 0.403 mol de KOH
mol ácido clorhídrico == 0.473 mol de H1+
0.22 M (2.15 L)= 0.473 mol de ácido clorhídrico
[H1+ ] =
= 0.070 mol de H1+
= 0.0189 M H1+ 0.070 mol de H1+ 1.55 L + 2.15 L
IZQUIERDA ENCIMA
= - registro (0.0189) pH = - registro [H1+ ] = 1.72
mol
L M
4.25 L de ácido hidroclórico de 0.35 M son mezclados w/3.80 L de0.39 Hidróxido de sodio de M. Encontrar el pH final. Asumir
disociación 100%.
(Ácido clorhídrico)
(NaOH)
mol ácido clorhídrico == 1.4875 mol de H1+
0.35 M (4.25 L)= 1.4875 mol de ácido clorhídrico
mol NaOH == 1.4820 mol de OH1
0.39 M (3.80 L)= 1.4820 mol de NaOH
[H1+ ] =
= 0.0055 mol de H1+
= 6.83 x 10- 4 M H1+ 0.0055 mol de H1+ 4.25 L + 3.80 L
IZQUIERDA ENCIMA
= - registro (6.83 x 10- 4) pH = - registro [H1+ ] = 3.17
5.74 L de ácido sulfúrico de 0.29 M son mezclados w/3.21 L de0.35 Hidróxido de aluminio de M. Encontrar el pH final.
Asumir la disociación 100%.
(H2TAN4)
(Al (OH)3)
mol de H2TAN4 == 3.3292 mol de H1+
0.29 M (5.74 L)= 1.6646 mol de H2TAN4
mol de Al (OH)3 == 3.3705 mol de OH1
0.35 M (3.21 L)= 1.1235 mol de Al (OH)3
= 0.0413 mol de OH1 IZQUIERDA ENCIMA
[OH1 ] = = 0.00461 M OH10.0413 mol de OH1
5.74 L + 3.21 L
pOH = - registro (0.00461)= 2.34
pH = 11.66
A. 0.038 g HNO3 en 450 ml hallazgo pH del N. del solenoide'.
= 0.45 L
0.038 g HNO3 63 g1 mol( )= 6.03 x 10- 4 mol de HNO3
1000 ml1 L( )
= 6.03 x 10- 4 mol de H1+
[H1+ ] = = 1.34 x 10- 3 M H1+ 6.03 x 10- 4 mol de H1+
0.45 L
= - registro (1.34 x 10- 3) pH = - registro [H1+ ] = 2.87
mol
L M
Vagos del B. 0.044 g (OH)2 en 560 ml del solenoide' N. Hallazgo pH. = 0.56 L 1000 ml
1 L( )
0.044 vagos de g (OH)2171.3 g1 mol( )= 2.57 x 10- 4 mol de vagos (OH)2
= 5.14 x 10- 4 mol de OH1
[OH1 ] = = 9.18 x 10- 4 M OH15.14 x 10- 4 mol de OH1
0.56 L
pOH = - registro (9.18 x 10- 4)= 3.04
pH = 10.96
mol
L M
C. Mezclarlos. Encontrar el pH de solenoide resultante' N.
Del ácido… 6.03 x 10- 4 mol de H1+
De base… 5.14 x 10- 4 mol de OH1
= 8.90 x 10- 5 mol de H1+ IZQUIERDA ENCIMA
[H1+ ] = = 8.81 x 10- 5 M H1+ 8.90 x 10- 5 mol de H1+
0.45 L + 0.56 L
= - registro (8.81 x 10- 5) pH = - registro [H1+ ] = 4.05
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