Unidad 1 - Lección 1.1
Introducción a Límites
29/08/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 20
Actividades 1.1
• Referencia del Texto:
– Capítulo 10. Sección 10.1. Ejercicios asignados:
1-6 ;9-20, 21-34,37, 39
• Referencias del Web:
– Math2me
• Concepto intuitivo de límite
• Posibles resultados de un límite
• Límites de una función constante
• Límites de una función constante│ej 1
• Límites algebraicos
• Límites algebraicos│ejercicio 1
• Límites indeterminados│ejercicios 1 y 2
• Límites indeterminados│ejercicios 3 y 4
– Khan Academy –
• Introducción a los Límites
• Estimación de Límites mediante gráficas
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¿Qué es un límite?
• Considere una función f
• Cuando tomamos valores de x cercanos a
un valor “a”, … , ¿qué pasa con los valores
correspondientes de f(x)?
?)(lim
xfax
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Definición (intuitiva) del Límite
• El límite de una función f en x es igual a un valor L mientras x
se acerca a un valor a, si y sólo si los valores correspondientes
de la función en x se acercan al valor de L.
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El límite de f mientras que x toma valores
menores o “por la izquierda” existe y es L
El límite de f mientras que x toma valores
mayores o “por la derecha” existe y es L
Lxfax
)(lim
Lxfax
)(lim Lxfax
)(lim
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Ejemplo 1
H (x) 2x 2 for x 1
2x 4 for x 1
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lim𝑥→1−
𝐻 𝑥 =¿ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒?
0 0.5 0.8 0.9 0.99 0.999
H(x) 2 3 3.6 3.8 3.98 3.998
1xlim𝑥→1−
𝐻 𝑥 ≈ 4
lim𝑥→1+
𝐻 𝑥 =¿ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒?
2 1.8 1.1 1.01 1.001 1.0001
H(x) 0 –0.4 –1.8 –1.98 –1.998 –1.9998
lim𝑥→1+
𝐻 𝑥 ≈ −2
lim𝑥→1
𝐻 𝑥 =¿ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒?
1x
lim𝑥→1
𝐻 𝑥 = 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
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Ejemplo 2
Si 𝑓 𝑥 =𝑥+3
𝑥2+7𝑥+12calcule 𝑓(−3)
• Solución
• 𝑓(−3) no existe. La función no está definida en -3
Elabore una tabla de valores para determinar si el límite
existe. En el evento que si, aproxímelo.
• Solución:
• Observe:
– El límite mientras x se acerca a -3 existe
– El límite mientras x se acerca a -3 es aproximadamente 1
– El límite en un valor 𝑎 puede existir a pesar que 𝑓(𝑎) no exista
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lim𝑥→−3
𝑥 + 3
𝑥2 + 7𝑥 + 12
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Ejemplo 3 (Uso de gráficas)
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lim𝑥→1−
𝐻 𝑥 ≈ 4
lim𝑥→1+
𝐻 𝑥 ≈ −2
lim𝑥→1
𝐻 𝑥 = 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
H (x) 2x 2 for x 1
2x 4 for x 1
GRAPH
http://www.padowan.dk/download/
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Ejemplo 4
4)(lim3
xHx
4)(lim3
xHx
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H (x) 2x 2 for x 1
2x 4 for x 1
lim𝑥→−3
𝐻 𝑥 =¿ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒?
4)(lim3
xHx
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Ejemplo 5
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lim𝑥→𝟑
1
𝑥 − 2+ 3 = ?
lim𝑥→3−
1
𝑥 − 2+ 3 ≈ 4 lim
𝑥→3+
1
𝑥 − 2+ 3 ≈ 4
lim𝑥→𝟑
1
𝑥 − 2+ 3 ≈ 4
lim𝑥→𝟐
1
𝑥 − 2+ 3 = ?
limx2
f (x) limx2
f (x)
lim𝑥→𝟐
1
𝑥 − 2+ 3 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
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Propiedades de Límites
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limxcax n ac n
limxc
f (x) g(x) limxcf (x) lim
xcg(x)
)()()()( limlimlim xgxfxgxfcxcxcx
limxc
f (x) n (lim
xcf (x))n
limxc
f (x)n limxcf (x)n
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Calculando límites sustituyendo
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lim𝑥→3
3𝑥4 − 𝑥3 − 5𝑥 + 10
= 3(3)4 − 3 3 − 5(3) + 10
= 211
lim𝑥→−2
2𝑥 + 1 5 = 2(−2) + 1 5
= −243
lim𝑥→2
43𝑥4 + 5𝑥2 + 13 814
3
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• Ejemplos:
Límite del cociente de funciones
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
cx
cx
cx
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0)(lim
xgcx
4
13lim
2
2
x
xx
x
9
6
3
2
4lim
13lim
2
2
2
x
xx
x
x
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Límite del cociente de funciones
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0127lim 2
3
xx
x
127
6lim
2
2
3
xx
xx
x?
127lim
6lim
2
3
2
3
xx
xx
x
x
¡NO! …. Por que el …
• Es
¿Existe?
Aparentemente SI y es
aproximadamente …
5127
6lim
2
2
3
xx
xx
x
GRAPH
http://www.padowan.dk/download/
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Calculando límites algebraicamente
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Calcule:
Trate de simplificar la expresión factorizando
4
2lim
3
x
x
x
4lim
2lim
3
3
x
x
x
x
5
15
43
23lim
3
xx
xx
x127
6lim
2
2
3
xx
xx
x
Calcule:lim𝑥→3
2𝑥2 − 5𝑥 − 3
𝑥 − 3= lim
𝑥→3
(𝑥 − 3)(2𝑥 + 1)
(𝑥 − 3)
= lim𝑥→3
(2𝑥 + 1)
= 2 3 + 1 = 7
Si f y g son dos funciones tal que f(x) = g(x), para todo valor de 𝑥 ≠ 𝑎,
entonces lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
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Ejemplo 6
Calcule
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43
4lim
2
2
1
xx
xx
x )1)(4(
)4(lim
1
xx
xx
x 1lim
1
x
x
x
¡No existe!
Cuando esto ocurre,
analice la gráfica de la
función alrededor del
valor de interés para ver
si existe o no.
Si ve que no existe,
indíquelo así. De lo
contrario, para necesitará
otras estrategias para
calcularlo.
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Ejercicios de Clase
• Si existe, determine los siguientes límites:
• Si existe, aproxime los siguientes límites
Prof. José G. Rodríguez Ahumada29/08/2017
lim𝑥→−4
𝑥2 − 2𝑥 − 3
3 − 𝑥lim𝑥→−4
2𝑥 − 4
𝑥2 − 𝑥 − 2
lim𝑥→3
𝑥2 − 2𝑥 − 3
3 − 𝑥lim𝑥→2
2𝑥 − 4
𝑥2 − 𝑥 − 2
lim𝑥→1
𝑓(𝑥)
lim𝑥→0−
𝑓(𝑥)
lim𝑥→0+
𝑓(𝑥)
lim𝑥→0
𝑓(𝑥)
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Ejemplo 7
•
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𝑆𝑖 𝑓 𝑥 =
𝑥 − 22𝑥
2𝑥 − 4, 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 lim
𝑥→2𝑓(𝑥) 𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒. 𝑆𝑖 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑í𝑞𝑢𝑒𝑙𝑜 𝑎𝑠í.
𝑥 − 22𝑥
2𝑥 − 4=𝑥 − 2
2𝑥÷ (2𝑥 − 4) =
𝑥 − 2
2𝑥×
1
2𝑥 − 4
=𝑥 − 2
2𝑥×
1
2(𝑥 − 2)
=1
4𝑥
lim𝑥→2
𝑥 − 22𝑥
2𝑥 − 4= lim
𝑥→2
1
4𝑥=1
8
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Resumen• Para calcular límite de una función en un valor 𝑎 :
1. Si la función es continua en 𝑎 calcule el valor de la función en 𝑎sustituyendo. Esto es, 𝑓(𝑎) .
2. Si es un cociente de dos funciones 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)tal que 𝑔 𝑎 = 0
manipule algebraicamente la expresión de manera que elimine el
factor que hace 𝑔 𝑎 = 0 . Trate:
– Factorizando el numerador y el denominador. Luego, simplificando.
– Multiplicando el numerador y denominador para eliminar el valor
indeseado.
3. Si no funciona, coteje si el límite existe.
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)(lim xfax
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Ejercicios del Texto
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Ejercicios del Texto …
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