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1
Unidad 1: Funciones, Límite y Continuidad
Definición de límite
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2
¡Razonemos juntos!
El gerente de una Compañía determina que cuando se está
utilizando x porcentaje de la capacidad de la planta el costo total
es C(x) cientos miles de dólares.
La compañía tiene una
política de rotar el
mantenimiento de tal forma
que nunca se utilice más del
80% de su capacidad.
¿Qué costo esperaría el
gerente cuando la planta esta
operando a toda la capacidad
permitida?
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3
Ejemplo 1
Sea la función:
¿qué ocurre con el valor de f (x) cuando x se aproxima a 3?
3
4
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4
Vemos que f (x) tiende a 4.
Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores
mayores que el 3, se dice que x se aproxima a 3 por la
derecha
3
4
x
Esto se simboliza por:
4)(lim3
xfx
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5
3
4
Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores
menores que el 3, se dice que x se aproxima a 3 por la
izquierda
x
Vemos que f (x) tiende a 4.
Esto se simboliza por:
4)(lim3
xfx
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6
Si realizamos ambas aproximaciones al mismo tiempo,
obtenemos:
3
4
x x
Vemos que f (x) tiende a 4.
Esto se simboliza por:
4)(lim3
xfx
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7
Ejemplo 2
Sea la función:
¿qué ocurre con el valor
de f (x) cuando x 3 ?
3
4
5
x x
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8
Conclusión:
En el Ejemplo 2 se aprecia que cuando x 3 por la
izquierda, f (x)4 y cuando x3 por la derecha, f (x) 5
¿En cuál de los ejemplos (1 o 2) existe el límite
de f (x) cuando x tiende a 3?
En el Ejemplo 1, se aprecia que cuando x 3 ya sea por
la izquierda o por la derecha, f (x) 4
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9
¡Observación !
Note que para que el límite exista, cuando la variable
tiende a un número “a” (en nuestro ejemplo a = 3) tanto
por la izquierda como por la derecha, la función tiende
a adoptar un único valor “L” (en nuestro ejemplo L = 4)
Para que el límite de una función en un valor de “x”
exista, no es necesario que la función esté definida en
ese valor de “x”
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10
Definición
Si f (x) se acerca más y más al número L cuando x se
aproxima cada vez más a a, por ambos lados, entonces L
es el límite f (x) cuando x tiende a a.
Este comportamiento se expresa:
Este límite existe si
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11
Geométricamente, el enunciado
de límite
lim ( )x a
f x L
Significa que la altura de la
gráfica y = f (x) tiende a L
cuando x tiende a a, tal como se
muestra en la figura. x→ a ←x
L
f (x)
↓
↑
f (x)
x
y
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12
Analicemos
¿A qué valor tienden los valores de f (x), g (x) y h(x)
cuando x tiende a 1?
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13
Ejemplos: En los ejercicios del a) al f), en caso
existan, calcular los siguientes límites
a) 4
lim 4x
x
e) lim lnx e
x
f ) 0
lim x
xe
b) 2
1lim 1 2x
x
c) 2
1
1lim
1x
x
x
d) 2
3
3lim
9x
x
x
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14
1 2 3 4 5 x
1
2
3
4
5
−1 −2 −3 −4 −5 −6
−1
−2
−3
−4
y
f
Ejemplo. De la gráfica
de la función f,
determine, en
caso exista, el
límite de f (x)
cuando x
tiende a:
−4, − 3, − 2, 0,
2, 3, 4, 5
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Ejemplo: Trace la gráfica de una función f que cumpla con las siguientes
condiciones:
a) dom(f) = R – {-2}
b) y
c) , f(0) = 3
d) , y f(3) = 1
1)(2
xflímx
1)(2
xflímx
1)(0
xflímx
2)(3
xflímx
1)(3
xflímx
Resuelva ejercicios del texto recomendados en la guía del alumno.