![Page 1: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/1.jpg)
Un Test de Simetrıa CentralMediante Proyecciones al Azar
Ricardo FraimanLeonardo MorenoSebastian Vallejo
I Jornadas de Estadıstica Aplicada LPEAriel Roche in memoriam
La Paloma, Octubre 2013
![Page 2: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/2.jpg)
Introduccion
La idea de ”simetrıa” ha servido desde la antiguedad como una punto dereferencia conceptual en el arte, las matematicas y sus aplicaciones.En estetica, es un principio de orden, en matematicas un artefacto deestructura geometrica, en filosofıa una abstraccion de balance, armonıa yperfecccion, en poesıa una escencia intuitiva de naturaleza y divinidad.
Robert J. Serfling,Multivariate Symmetry and AsymmetryEncyclopedia of Statistical Sciences2004
2 of 27
![Page 3: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/3.jpg)
Introduccion
En este trabajo nos enfocamos en el concepto de simetrıa en el contexto delas distribuciones multivariadas de probabilidad.
3 of 27
![Page 4: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/4.jpg)
Distintos tipos de Simetrıa
Esferica
Diremos que un vector aleatorio X ∈ Rd tiene una distribucion esfericasimetrica respecto a un centro a sı y solo sı
X − ad= A(X − a), (1)
para cualquier matriz Ad×d ortogonal.
Elıptica
Diremos que un vector aleatorio X ∈ Rd tiene una distribucion elıpticasimetrica respecto a un centro a sı y solo sı
X − ad= A
′(Y − a), (2)
para cualquier matriz Ak×d tal que A′A = Σ con rank(Σ) = k ≤ d y
Y ∈ Rd tiene distribucion simetrica esferica respecto de a .4 of 27
![Page 5: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/5.jpg)
Distintos tipos de Simetrıa
Central
Diremos que un vector aleatorio X ∈ Rd tiene una distribucion centralsimetrica respecto al centro a sı y solo sı
X − ad= − (X − a), (3)
Obsevacion
Simetrıa central es la mas debil de las tres definidas.
5 of 27
![Page 6: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/6.jpg)
Simetrıa bajo proyecciones
Distribucion de la Proyeccion Ortogonal
Si anotamos πh a la proyeccion ortogonal de Rd en el subespaciogenerado por el vector h (que supondremos de norma 1), y B unboreliano de este subespacio, entonces la medida inducida en elsubespacio es,
P〈h〉(B) = P[π−1x (B)
](4)
Anotaremos 〈X ,h〉 = X h
Observacion
X es simetrica entonces X h es simetrica
6 of 27
![Page 7: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/7.jpg)
Algunas preguntas
• Quien es el centro de simetrıa?
En este trabajo evitamos este problema y lo consideramos dado.Sin perder generalidad a = 0
• Si X1 y X2 son v.a simetricas en R, entonces X = (X1,X2) essiempre una v.a simetrica en R2 ?
NO• Sea X ∈ R, si X h es simetrica para infinitas direcciones h entonces
X es simetrica?
NO
7 of 27
![Page 8: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/8.jpg)
Algunas preguntas
• Quien es el centro de simetrıa?
En este trabajo evitamos este problema y lo consideramos dado.Sin perder generalidad a = 0
• Si X1 y X2 son v.a simetricas en R, entonces X = (X1,X2) essiempre una v.a simetrica en R2 ?
NO• Sea X ∈ R, si X h es simetrica para infinitas direcciones h entonces
X es simetrica?
NO
7 of 27
![Page 9: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/9.jpg)
Algunas preguntas
• Quien es el centro de simetrıa?
En este trabajo evitamos este problema y lo consideramos dado.Sin perder generalidad a = 0
• Si X1 y X2 son v.a simetricas en R, entonces X = (X1,X2) essiempre una v.a simetrica en R2 ?
NO• Sea X ∈ R, si X h es simetrica para infinitas direcciones h entonces
X es simetrica?
NO
7 of 27
![Page 10: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/10.jpg)
Algunas preguntas
• Quien es el centro de simetrıa?
En este trabajo evitamos este problema y lo consideramos dado.Sin perder generalidad a = 0
• Si X1 y X2 son v.a simetricas en R, entonces X = (X1,X2) essiempre una v.a simetrica en R2 ?
NO
• Sea X ∈ R, si X h es simetrica para infinitas direcciones h entoncesX es simetrica?
NO
7 of 27
![Page 11: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/11.jpg)
Algunas preguntas
• Quien es el centro de simetrıa?
En este trabajo evitamos este problema y lo consideramos dado.Sin perder generalidad a = 0
• Si X1 y X2 son v.a simetricas en R, entonces X = (X1,X2) essiempre una v.a simetrica en R2 ?
NO• Sea X ∈ R, si X h es simetrica para infinitas direcciones h entonces
X es simetrica?
NO
7 of 27
![Page 12: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/12.jpg)
Algunas preguntas
• Quien es el centro de simetrıa?
En este trabajo evitamos este problema y lo consideramos dado.Sin perder generalidad a = 0
• Si X1 y X2 son v.a simetricas en R, entonces X = (X1,X2) essiempre una v.a simetrica en R2 ?
NO• Sea X ∈ R, si X h es simetrica para infinitas direcciones h entonces
X es simetrica?
NO
7 of 27
![Page 13: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/13.jpg)
Caracterizacion de la simetrıa por proyecciones
Teorema de Cramer Wold (1936)
Si anotamos E(P,Q) = {h ∈ Rd/P〈h〉 = Q〈h〉},
E(P,Q) = Rn ⇒ P = Q (5)
Corolario: Caracterizacion de la simetrıa central
X ∈ Rd simetrica centralmente sı y solo sı
〈X,h〉 d= − 〈X,h〉, (6)
para cualquier vector h ∈ Rd de norma 1.
Por tanto es necesario y suficiente para que haya simetrıa central en elespacio original que todas las distibuciones de la proyeccionesunivariadas sean simetricas.
8 of 27
![Page 14: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/14.jpg)
Proyecciones al Azar: Definiciones Previas
Medida determinada por sus momentos
Sea P una medida de Borel en Rd .Se dice que P esta determinada porsus momentos si para cada n ∈ N se cumple que
∫‖x‖nP(dx) <∞,
y si Q es otra medida de Borel en Rd se cumple que si∫〈x , y〉nP(dy) =
∫〈x , y〉nQ(dy) para todo x ∈ Rd y n ∈ N, (7)
Entonces P = Q
Proposicion. (Condicon de Carleman)
Sea P una medida de Borel en Rd . Si sus momentos absolutosmn =
∫‖x‖nP(dx) son finitos y satisfacen la condicion∑
n≥1 m−1/nn =∞. Entonces P es determinada pos sus momentos.
9 of 27
![Page 15: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/15.jpg)
Proyecciones al Azar: Definiciones Previas
Hipersuperficie proyectiva
Diremos que S es una Hipersuperficie proyectiva de Rd sı y solo sıexiste un polinomio homogeneo p(x) de Rd tal que
S = {x ∈ Rd/p(x) = 0} (8)
Proposicion.
Toda hipersuperficie proyectiva tiene medida de Lebesgue 0
10 of 27
![Page 16: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/16.jpg)
Una forma precisa del Teorema de Cramer Wold
Teorema. Cuesta-Albertos, Fraiman, Ransford (2007)
Sean P y Q medidas de Borel en Rd donde d ≥ 2.Si se cumple que
• P esta determinada por sus momentos,
• E(P,Q) no esta contenido en alguna hipersuperficie proyectiva en Rd .
Entonces P = Q
Corolario.
Siendo E(P,Q) = {h ∈ Rd/P〈h〉 = Q〈h〉} ,P y Q medidas de Borel en Rd ,(d ≥ 2). Si se cumple que
• P esta determinada por sus momentos.
• El conjunto E(P,Q) tiene H-medida positiva en Rd , siendo H unamedida absolutamente continua respecto de la medida de Lebesgue.
Entonces P = Q11 of 27
![Page 17: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/17.jpg)
Una forma precisa del Teorema de Cramer Wold
Teorema. Cuesta-Albertos, Fraiman, Ransford (2007)
Sean P y Q medidas de Borel en Rd donde d ≥ 2.Si se cumple que
• P esta determinada por sus momentos,
• E(P,Q) no esta contenido en alguna hipersuperficie proyectiva en Rd .
Entonces P = Q
Corolario.
Siendo E(P,Q) = {h ∈ Rd/P〈h〉 = Q〈h〉} ,P y Q medidas de Borel en Rd ,(d ≥ 2). Si se cumple que
• P esta determinada por sus momentos.
• El conjunto E(P,Q) tiene H-medida positiva en Rd , siendo H unamedida absolutamente continua respecto de la medida de Lebesgue.
Entonces P = Q11 of 27
![Page 18: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/18.jpg)
Una forma precisa del Teorema de Cramer Wold
Teorema. Cuesta-Albertos, Fraiman, Ransford (2007)
Sean P y Q medidas de Borel en Rd donde d ≥ 2.Si se cumple que
• P esta determinada por sus momentos,
• E(P,Q) no esta contenido en alguna hipersuperficie proyectiva en Rd .
Entonces P = Q
Corolario.
Siendo E(P,Q) = {h ∈ Rd/P〈h〉 = Q〈h〉} ,P y Q medidas de Borel en Rd ,(d ≥ 2). Si se cumple que
• P esta determinada por sus momentos.
• El conjunto E(P,Q) tiene H-medida positiva en Rd , siendo H unamedida absolutamente continua respecto de la medida de Lebesgue.
Entonces P = Q11 of 27
![Page 19: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/19.jpg)
Una forma precisa del Teorema de Cramer Wold
Teorema. Cuesta-Albertos, Fraiman, Ransford (2007)
Sean P y Q medidas de Borel en Rd donde d ≥ 2.Si se cumple que
• P esta determinada por sus momentos,
• E(P,Q) no esta contenido en alguna hipersuperficie proyectiva en Rd .
Entonces P = Q
Corolario.
Siendo E(P,Q) = {h ∈ Rd/P〈h〉 = Q〈h〉} ,P y Q medidas de Borel en Rd ,(d ≥ 2). Si se cumple que
• P esta determinada por sus momentos.
• El conjunto E(P,Q) tiene H-medida positiva en Rd , siendo H unamedida absolutamente continua respecto de la medida de Lebesgue.
Entonces P = Q11 of 27
![Page 20: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/20.jpg)
Una aplicacion a variables aleatorias simetricas
A partir del corolario anterior podemos afirmar que,
Sea X una v.a en Rd determinada por sus momentos y el conjuntode direcciones h donde X h es simetrica en R tiene H-medida positivaentonces, X es simetrica.
12 of 27
![Page 21: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/21.jpg)
El Test
Las Hipotesis
Sean {X1,X2, . . . ,Xn} un conjunto de vectores aleatorios i.i.d,determinados por sus momentos. Se quiere realizar una prueba desimetrıa central en Rd , o sea
H0)Xd= − X H1)X
d6= −X. (9)
13 of 27
![Page 22: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/22.jpg)
Metodologıa
• Se sortea al azar con una medida de probabilidad H en Rd ( Habsolutamente continua respecto a la medida de Lebesgue) unadireccion h
• Fijada esa direccion se proyecta ortogonalmente la muestra i.i.d{X1,X2, . . . ,Xn} sobre el espacio unidimensional generado por hobteniendo una nueva muestra i.i.d en R , {X h
1 ,Xh2 , . . . ,X
hn }
14 of 27
![Page 23: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/23.jpg)
Metodologıa
• Se sortea al azar con una medida de probabilidad H en Rd ( Habsolutamente continua respecto a la medida de Lebesgue) unadireccion h
• Fijada esa direccion se proyecta ortogonalmente la muestra i.i.d{X1,X2, . . . ,Xn} sobre el espacio unidimensional generado por hobteniendo una nueva muestra i.i.d en R , {X h
1 ,Xh2 , . . . ,X
hn }
14 of 27
![Page 24: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/24.jpg)
Metodologıa
• Se realiza sobre estos datos proyectados con cierto nivel designificacion un test de simetrıa en R del tipo Kolmogorov-Smirnovdesarrollado por K. Sen y K.S Chatterje. Si llamamos F h a ladistribucion acumulada de X h
1 , la prueba en R a realizar es,
H0)Fh(x)+F h(−x)−1 = 0 ∀x H1)|F h(x)+F h(−x)−1| > 0 para algun x
(10)
Si se denota F hn a la distribucion empırica de los datos proyectados
el estadıstico propuesto es
Dh(n) = supx≥0|F h
n (x) + F hn (−x−)− 1| (11)
A valores “grandes” del estadıstico se rechaza H0 de las hipotesisoriginales expresadas en (9).
15 of 27
![Page 25: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/25.jpg)
Propiedades del test
• Se conoce la distribucion exacta del estadıstico y tambien sudistribucion asintotica.
• Tiene distribucion libre, es decir, no depende de la distribucon Hy tampoco de la distribucin F ∈ F0, siendo F0 el conjunto detodas las distribuciones simetricas en Rd .
• el test propuesto es asintoticamente consistente bajo cualquieralternativa no simetrica. Es decir,
H
{h ∈ Rd : P
(lim infn→+∞
Dhn > 0
)= 1
}= 1.
16 of 27
![Page 26: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/26.jpg)
Propiedades del test
• Se conoce la distribucion exacta del estadıstico y tambien sudistribucion asintotica.
• Tiene distribucion libre, es decir, no depende de la distribucon Hy tampoco de la distribucin F ∈ F0, siendo F0 el conjunto detodas las distribuciones simetricas en Rd .
• el test propuesto es asintoticamente consistente bajo cualquieralternativa no simetrica. Es decir,
H
{h ∈ Rd : P
(lim infn→+∞
Dhn > 0
)= 1
}= 1.
16 of 27
![Page 27: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/27.jpg)
Propiedades del test
• Se conoce la distribucion exacta del estadıstico y tambien sudistribucion asintotica.
• Tiene distribucion libre, es decir, no depende de la distribucon Hy tampoco de la distribucin F ∈ F0, siendo F0 el conjunto detodas las distribuciones simetricas en Rd .
• el test propuesto es asintoticamente consistente bajo cualquieralternativa no simetrica. Es decir,
H
{h ∈ Rd : P
(lim infn→+∞
Dhn > 0
)= 1
}= 1.
16 of 27
![Page 28: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/28.jpg)
Potencia del Test
En general se presentan problemas con la potencia,
A nivel univariado Los test no parametricos univariados del tipoKolmogorov-Smirnov si bien son universalmenteconsistentes, no presentan una alta potencia paracualquier alternativa.(Posibles alternativa: Mason[1983], Cabana [2002])
A nivel multivariado Si bien bajo H1 el conjunto de direcciones dondela proyeccion tiene distribucion simetrica tiene H-medida0, hay un “ entorno angular” de estas direcciones conH-medida positiva donde, al ser la muestra finita, no serechaza H0 cuando se deberıa rechazar.(Posiblesalternativas: Numero finito de proyecciones,proyecciones ponderadas)
17 of 27
![Page 29: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/29.jpg)
Potencia del Test
En general se presentan problemas con la potencia,
A nivel univariado Los test no parametricos univariados del tipoKolmogorov-Smirnov si bien son universalmenteconsistentes, no presentan una alta potencia paracualquier alternativa.(Posibles alternativa: Mason[1983], Cabana [2002])
A nivel multivariado Si bien bajo H1 el conjunto de direcciones dondela proyeccion tiene distribucion simetrica tiene H-medida0, hay un “ entorno angular” de estas direcciones conH-medida positiva donde, al ser la muestra finita, no serechaza H0 cuando se deberıa rechazar.(Posiblesalternativas: Numero finito de proyecciones,proyecciones ponderadas)
17 of 27
![Page 30: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/30.jpg)
Simulaciones
Escenarios
• Muestra de tamano n = 100 con distribucion N(µ1d , Id
)donde µ
es numero real que va a tomar valores entre el intervalo [0; 0,5], yd es la dimension del espacio.
• Muestra de tamano n = 100 con distribucion “asimetrica-normalmultivariada”, Azzalini [2002]. SNd(Id , µ) donde µ es parametrode simetrıa que va a tomar valores entre 0 y 0,5.
Otros Test simulados
• Test de Marden [1999].
• Test de Ley [2010].
18 of 27
![Page 31: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/31.jpg)
Funciones de Potencia en dimension 2: alternativaNormal desplazada.
19 of 27
![Page 32: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/32.jpg)
Funciones de Potencia en dimension 3: alternativaNormal desplazada.
20 of 27
![Page 33: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/33.jpg)
Funciones de Potencia en dimension 50
21 of 27
![Page 34: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/34.jpg)
Funciones de Potencia en dimension 2: alternativaAzzalini.
22 of 27
![Page 35: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/35.jpg)
Funciones de Potencia en dimension 3: alternativaAzzalini.
23 of 27
![Page 36: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/36.jpg)
Funciones de Potencia en dimension 50.
24 of 27
![Page 37: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/37.jpg)
En dimension infinita.
En R∞ tomamos n = 100 con X (t) = W (t) + mt, siendo W (t) unmovimiento Browniano en [0, 1] y m ∈ [0, 1/2].
25 of 27
![Page 38: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/38.jpg)
Conclusiones
• El test es extensible a dimension infinita.
• Es posible modificar el estadıstico univariado por otro que conservesus cualidades ( Test de simetrıa del tipo Cramer Von Mises, Testde Rangos).
• Mejora su eficiencia respecto a otros test clasicos a medida queaumenta la dimension del espacio.
• Para ser reproducible por otro investigador es necesario fijar lasemilla. El test es de resultado aleatorio, como todo test.
26 of 27
![Page 39: Un Test de Simetría Central - Mediante Proyecciones al Azar](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062609/62b5f6f5ecfbed3ec34bcea7/html5/thumbnails/39.jpg)
GRACIAS !!
27 of 27