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Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 1
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REFLEXIONA Y RESUELVE
Aproximaciones sucesivas
Comprueba que:
f(4) = 6,5; f(4,9) = 6,95; f(4,99) = 6,995
Calculaf(4,999); f(4,9999); f(4,99999);
A la vista de los resultados anteriores, te parece razonable afirmar que,cuando x se aproxima a 5, el valor de f(x) se aproxima a 7? Lo expresamosas: f(x) = 7
Si f(x) = , entonces:
f(4,999) = 6,9995; f(4,9999) = 6,99995; f(4,99999) = 6,999995
f(x) = 7
Calcula, anlogamente, .
f(2) = 5,5; f(2,9) = 5,95; f(2,99) = 5,995; f(2,999) = 5,9995; f(2,9999) = 5,99995
f(x) = 6
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1. Cada una de las siguientes funciones tiene uno o ms puntos donde no es conti-nua. Indica cules son esos puntos y qu tipo de discontinuidad presenta:
a)y= b)y= c)y= d)y=
a) Rama infinita en x= 3 (asntota vertical).
b) Discontinuidad evitable en x= 0 (le falta ese punto).
c) Rama infinita en x= 0 (asntota vertical).
d) Salto en x= 4.
3 si x? 4
1 si x= 4
x2 3x
x2 3xx
x+ 2x 3
lmx8 3
x2 + 6x 272x 6
lmx8 3
lmx8 5
x2 + 4x 452x 10
lmx8 5
LMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDADY RAMAS INFINITAS6
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2. Explica por qu son continuas las siguientes funciones y determina el interva-lo en el que estn definidas:
a)y= x2 5 b) y=
c)y= d)y=
a) Est definida y es continua en todo .
b) Est definida y es continua en (@, 5].
Las funciones dadas mediante una expresin analtica sencilla (las que conocemos)son continuas donde estn definidas.
c) Est definida en todo . Es continua, tambin, en todo . El nico punto enque se duda es el 3: las dos ramas toman el mismo valor para x= 3:
3 3 4 = 9 4 = 5 3 + 2 = 5Por tanto, las dos ramas empalman en el punto (3, 5). La funcin es tambin conti-nua en x= 3.
d) Tambin las dos ramas empalman en el punto (2, 2). Por tanto, la funcin es con-tinua en el intervalo en el que est definida: [0, 5).
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1. Calcula el valor de los siguientes lmites:
a) b) (cos x 1)
a) b) 0
2. Calcula estos lmites:
a) b) log10x
a) b) 1
Pgina 153
3. Calcula k para que la funciny=f(x) sea continua en:
f(x) =
(x3 2x+ k) = 21 + k21 + k= 7 8 k= 14
f(3) = 7
lmx8 3
x3 2x+ k, x? 3
7, x= 3
3
lmx8 0,1
x2 3x+ 5lmx8 2
32
lmx8 0
3
x 2lmx8 0
x, 0 x< 2
2, 2 x< 5
3x 4, x< 3
x+ 2, x 3
5 x
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas2
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4. Calcula los lmites de las funciones siguientes en los puntos que se indican.Donde convenga, especifica el valor del lmite a la izquierda y a la derecha delpunto. Representa grficamente los resultados:
a)f(x) = en 2, 0 y 2 b)f(x) = en 2, 0 y 3
c)f(x) = en 1 y 3 d)f(x) = en 0 y 3
a) f(x) =
f(x) = @
f(x) = +@
f(x) = 0
f(x) = @
f(x) = +@
b) f(x) =
f(x) = @
f(x) = 3
f(x) = 0
c) f(x) =
f(x) = 0
f(x) = +@
f(x) = @lmx83+
lmx83
lmx8 1
(x 1)2
(x 1) (x+ 3)
lmx8 3
lmx8 0
lmx8 2
4 (x 3)(x 2)2
lmx8 2+
lmx8 2
lmx8 0
lmx82+
lmx82
x3
(x+ 2) (x 2)
x4
x3 + 3x2x2 2x+ 1
x2 + 2x 3
4x 12
(x 2)2x3
x2 4
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 3
11UNIDAD
No existe f(x).lmx82
No existe f(x).lmx8 2
No existe f(x).lmx83
22 3
3
2 3
3 1
-
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d) f(x) =
f(x) = 0
f(x) = @
f(x) = +@
Pgina 156
1. Di el lmite cuando x8 +@ de las siguientes funciones dadas por sus grfi-
cas:
f1(x) = @ f2(x) = 3
f3(x) = +@ f4(x) no existe.
Pgina 157
1. Di el valor del lmite cuando x8 +@ de las siguientes funciones:a)f(x) = x2 + 3x+ 5 b)f(x) = 5x3 + 7x
c)f(x) = x 3x4 d)f(x) =
e)f(x) = f)f(x) =
a) @ b) +@ c) @
d) 0 e) 0 f ) @
x3 15
1
x2
13x
lmx8 +@
lmx8 +@
lmx8 +@
lmx8 +@
y=f3(x)y=f4(x)
y=f1(x)
y=f2(x)
lmx83+
lmx83
lm
x8 0
x4
x2 (x+ 3)
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas4
No existe f(x).lmx83
3
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2. Calcula f(x) y representa sus ramas:
a)f(x) = b)f(x) =
c)f(x) = d)f(x) = 3x 5
3. Calcula f(x) y representa sus ramas:
a)f(x) = b)f(x) =
c)f(x) = d)f(x) =
Pgina 159
1. Halla las asntotas verticales y sita la curva respecto a ellas:
a)y=
b)y=x2 + 3x
x+ 1
x2 + 3x+ 11
x+ 1
a) @ b) 0
c) +@ d ) 1
1
1 x31 + x3
x3x2 3
x2 3
x3x3 1
5
lmx8 +@
a) 0
c) 0
b) 0
d) +
1
x2
3x
13x
lmx8 +@
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 5
6UNIDAD
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a) f(x) = @
f(x) = +@
b) f(x) = +@
f(x) = @
2. Halla las asntotas verticales y sita la curva respecto a ellas:
a)y=
b)y=
a) f(x) = +@
f(x) = @
f(x) = @
f(x) = +@
b) f(x) = +@
f(x) = +@
Pgina 161
3. Halla las ramas infinitas, x8 +@, de estas funciones. Sita la curva respectoa su asntota:
a)y=
b)y=x3
1 + x2
x
1 + x2
lmx8 1+
lmx8 1
lmx8 2+
lmx8 2
lmx8 0+
lmx8 0
x2 + 2
x2 2x+ 1
x2
+ 2x2 2x
lmx81+
lmx81
lmx81+
lmx81
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas6
x= 1 es asntota vertical.
x= 1 es asntota vertical.
1
1
x= 2 es asntota vertical.
x= 0 es asntota vertical.
x= 1 es asntota vertical.
2
1
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a) f(x) = 0 8 y= 0 es asntota horizontal.
b) y=x+ 8 y=x es asntota oblicua.
4. Halla las ramas infinitas, x8 +@, de estas funciones. Sita la curva respecto a susasntotas, si las hay:
a)y=
b)y=
a) f(x) = 1 8 y= 1 es asntota horizontal.
b) grado de Pgrado de Q 2
f(x) = +@ 8 rama parablica hacia arriba.
Pgina 162
1. Halla f(x) y representa la rama correspondiente:
f(x) = 2x3 + 7x4 3
f(x) = 7x4 = +@lmx8@
lmx8@
lmx8@
1
lmx8 +@
lmx8 +@
2x3 3x2 + 7x
x2 + 2
x2 2x
x1 +x2
lmx8 +@
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 7
6UNIDAD
1
1
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2. Halla f(x) y traza las ramas correspondientes:
a)f(x) = (x2 + 3)/(x3)
b)f(x) = x3/(x2 + 3)
a) f(x) = = = 0
b) f(x) = = x= +@
Pgina 163
3. Halla las ramas infinitas, x8@, de estas funciones, y sita la curva respec-to a las asntotas:
a)y= b)y=
c)y= d)y=
a) f(x) = 0 8 y= 0 es asntota horizontal.
b) f(x) = 0 8 y= 0 es asntota horizontal.
c) f(x) = 1 8 y= 1 es asntota horizontal.
d) y=x+ 8 y=x es asntota oblicua.
1
1
1
x1 +x2
lmx8@
lmx8@
lmx8@
x3
1 + x2x2
1 + x2
x
1 + x21
x2 + 1
lmx8@
x3
x2lm
x8@lm
x8@
1x
lmx8@
x2
x3lm
x8@lm
x8@
lmx8@
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas8
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4. Halla las ramas infinitas, cuando x8@, y si tienen asntotas, sita la curvarespecto a ellas:
a)y= b)y=
c)y= d)y=
a) grado Pgrado Q 2
f(x) = +@ 8 rama parablica.
b) f(x) = 1 8 y= 1 es asntota horizontal.
c) y=x+ 2 + 8 y=x+ 2 es asntota oblicua.
d) f(x) = (2x2 3x) = +@
2
2
1
lmx8@
lmx8@
2x+ 1
lmx8@
lmx8@
2x3 3x2
x
x2 + 3xx+ 1
x2 + 2
x2 2x
x4
x2 + 1
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 9
6UNIDAD
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Discontinuidades y continuidad
1 a) Cul de las siguientes grficas corresponde a una funcin continua?
b) Seala, en cada una de las otras cinco, la razn de su discontinuidad.
a) Solo la a).
b) b) Rama infinita en x= 1 (asntota vertical).
c) Rama infinita en x= 0 (asntota vertical).
d) Salto en x= 2.
e) Punto desplazado en x= 1; f(1) = 4; f(x) = 2.
f ) No est definida en x= 2.
2 Halla los puntos de discontinuidad, si los hay, de las siguientes funciones:
a)y= x2
+ x 6 b) y=
c)y= d)y=
e)y= f)y=
a) Continua. b) 2
c) d) Continua.
e) 0 y 5 f ) Continua.
12
1
x2 + 2
2
5xx2
1
x2 + 2x+ 3
x 12x+ 1
x
(x 2)2
lmx8 1
a) b) c)
d) e) f)
2
2
2 2
2
2
4
2 2
2
2
2 2
22
2
4
42 2
2
4
42
PARA PRACTICAR
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas0
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3 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en x= 0 y en x= 2:
a)y= b)y=
c)y= d)y=
a) No es continua ni en x= 0 ni en x= 2.
b) S es continua en x= 0, no en x= 2.
c) No es continua en x= 0, s en x= 2.
d) Continua en x= 0 y en x= 2.
4 Indica para qu valores de son continuas las siguientes funciones:
a)y= 5 b)y=
c)y= d)y=
e)y= f)y= x2x
a) b) [3, +@) c) {0}
d) (@, 0] e) @, f)
5 Comprueba que las grficas de estas funciones corresponden a la expresinanaltica dada y di si son continuas o discontinuas en x= 1.
a)f(x) =
b)f(x) =
c)f(x) =
a) Continua.
b) Discontinua.
c) Discontinua.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2 si x 1
1 si x= 1
x+ 2 si x< 1
3 si x> 1
1 x2 si x 1
x 1 si x> 1
]52(
5 2x
3x1x
x 3x2
7 2xx2 4
x
x2 4
1
x
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 11
6UNIDAD
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6 Comprueba si la funcin f(x) = es continua en x= 0.
Recuerda que para que f sea continua en x = 0, debe verificarse que:
f(x) = f(0)
f(x) = f(x) = f(x) = 1 =f(0)
Es continua en x= 0.
7 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en los puntos que seindican:
a)f(x) = en x= 1
b) f(x) = en x= 2
c)f(x) = en x= 1
a) No, pues no existe f(1).
b) f(x) = f(x) =f(2) = 2. S es continua en x= 2.
c) f(x) = 3 ? f(x) = 4. No es continua en x= 1.
Pgina 170
Visin grfica del lmite8
Estas son, respectivamente, las grficas de las funciones:
f1(x) = y f2(x) =
Cul es el lmite de cada una de estas funciones cuando x82?
Observa la funcin cuando x8 2 por la izquierda y por la derecha.
1x+ 2
1
(x+ 2)2
f1(x)
2
f2(x)
2
lmx8 1+
lmx8 1
lmx8 2+
lmx8 2
3x si x 1
x+ 3 si x> 1
2 x2 si x< 2
(x/2) 3 si x 2
(3 x)/2 si x< 1
2x+ 4 si x> 1
lmx8 0
lmx8 0+
lmx8 0
lmx8 0
x2 1 si x< 0
x 1 si x 0
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas2
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f1(x) = +@
f1(x) = +@
f2(x) = +@
f2(x) = @
9 Sobre la grfica de la funcinf(x), halla:
a) f(x) b) f(x) c) f(x) d) f(x)
e) f(x) f) f(x) g) f(x) h) f(x)
a) +@ b) @ c) 2 d) 0
e) 0 f ) 3 g) +@ h) 0
Lmite en un punto
10 Calcula los siguientes lmites:
a) 5 b) (x3x)
c) d) 2x
e) f) log2x
g) h) ex
a) 5 b) 0 c) 2 d)
e) 2 f ) 2 g) 0 h) e2
2
lmx8 2
3x2lm
x8 0
lmx8 4
10 + xx2lmx82
lmx8 0,5
1 xx 2
lmx8 3
lmx81
)x2(lmx8 0
3 2
lmx82
lmx8 +@
lmx8 2+
lmx8 2
lmx8@
lmx8 0
lmx83+
lmx83
lmx82+
lmx82
lmx82+
lmx82
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 13
6UNIDAD
f1(x) = +@lmx82
No existe f2(x).lmx82
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11 Dada la funcin f(x) = , halla:
a) f(x) b) f(x) c) f(x)
Para que exista lmite en el punto de ruptura, tienen que ser iguales los lmites
laterales.
a) 5
b) 4
c) f(x) = f(x) = f(x) = 1
12 Calcula los siguientes lmites:
a) b)
c) d)
Saca factor comn y simplifica cada fraccin.
a) = = 2
b) = 2x+ 3 = 3
c) = h(3h 2) = 0
d) = =
13 Resuelve los siguientes lmites:
a) b)
c) d)
e) f)
a) = 2
b) = = = 33
1(x+ 1) (x2x+ 1)
x(x+ 1)lm
x81
x3 + 1x2 +x
lmx81
(x+ 1) (x 1)(x 1)
lmx8 1
x4 1
x2 1lm
x8 1
x+ 3
x2 + 4x+ 3lm
x83
x2x 2x 2
lmx8 2
x+ 2x2 4
lmx82
x3 + 1
x2 + xlm
x81
x2 1x 1
lmx8 1
74
h 74
lmh 8 0
h (h 7)4h
lmh 8 0
lmh 8 0
h2 (3h 2)h
lmh 8 0
lmx8 0
x(2x+ 3)x
lmx8 0
4x 2
lmx8 0
4xx(x 2)
lmx8 0
h2 7h4h
lmh 8 0
3h3 2h2
hlm
h 8 0
2x2 + 3xx
lmx8 0
4x
x2 2xlm
x8 0
lmx8 0
lmx8 0+
lmx8 0
lm
x8 0
lm
x8 3
lm
x82
x2 + 1 si x< 0
x+ 1 si x 0
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas4
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c) = d) = 3
e) = f ) = 2
14 Calcula el lmite de la funcinf(x) = en x= 3, x= 0 y x= 1.
f(x) = f(x) = 0
f(x) = +@ f(x) = @
Lmite cuando x 8 +@ o x 8 @
15 Calcula los siguientes lmites y representa la informacin que obtengas:
a) (7 + xx3) b)
c) + 17 d) (7 x)2
Dale a x valores grandes y saca conclusiones.
16 Calcula el lmite de las funciones del ejercicio anterior cuando x8@ yrepresenta la informacin que obtengas.
Resolucin de los ejercicios 15 y 16:
a) (7 +xx3) = @; (7 +xx3) = +@
b) = +@
c) ( + 17) = @
d) (7 x)2 = +@lmx8 @
x
2x4
3lm
x8 @
x2 10x 325
lmx8 @
lmx8@
lmx8 +@
lmx8 +@
)x2x4
3(lmx8 +@
x2 10x 325
lmx8 +@
lmx8 +@
lmx81+
lmx81
lmx8 0
34
lmx8 3
x2
x2 + x
(x 1)(x3 + x2 + x+ 1)
(x 1)(x+ 1)lm
x8 1
1
2
(x+ 3)
(x+ 3) (x+ 1)lm
x83
(x+ 1) (x 2)(x 2)
lmx8 2
14
(x+ 2)(x+ 2) (x 2)
lmx82
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 15
6UNIDAD
-
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17 Comprueba, dando valores grandes a x, que las siguientes funciones tiendena 0 cuando x8 +@.
a)f(x) = b)f(x) =
c)f(x) = d)f(x) =
a) f(100) = 0,0001 b) f(100) = 0,003
f(x) = 0 f(x) = 0
c) f(10 000) = 0,07 d) f(100) = 0,000002
f(x) = 0 f(x) = 0
18 Calcula el lmite cuando x8 +@ y cuando x8@ de cada una de las si-guientes funciones. Representa los resultados que obtengas.
a)f(x) = x3 10x
b)f(x) =
c)f(x) =
d)f(x) =
Cuando x8 +@:
a) f(x) = +@ b) f(x) = +@
c) f(x) = @ d) f(x) = @
Cuando x8@:
a) f(x) = @ b) f(x) = +@
c) f(x) = +@ d) f(x) = @lmx8@
lmx8@
lmx8@
lmx8@
lmx8 +@
lmx8 +@
lmx8 +@
lmx8 +@
x2
2x3
3 x2
x2 4
lmx8 +@
lmx8 +@
lmx8 +@
lmx8 +@
2
10x2x37
x
100
3x2
1
x2
10
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas6
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19 Calcula los siguientes lmites y representa las ramas que obtengas:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
20 Calcula el lmite de todas las funciones del ejercicio anterior cuandox8@.
Resolucin de los ejercicios 19 y 20:
a) = 0; = 0
b) = +@; = @
c) = 0; = 0
d) = 0; = 0
e) = 2; = 22x 1x+ 2
lmx8@
2x 1x+ 2
lmx8 +@
1(2 x)3
lmx8@
1(2 x)3
lmx8 +@
1x2 1
lmx8@
1x2 1
lmx8 +@
2x2
3 xlm
x8@
2x2
3 xlm
x8 +@
3(x 1)2
lmx8@
3(x 1)2
lmx8 +@
3 2x5 2x
lmx8 +@
2 3xx+ 3
lmx8 +@
x2 + 51 x
lmx8 +@
2x 1x+ 2
lmx8 +@
1
(2 x)3lm
x8 +@
1
x2 1lm
x8 +@
2x2
3 xlmx8 +@
3
(x 1)2lmx8 +@
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 17
6UNIDAD
2
Y
X4 2
2
4
4
24
2
Y
X4 2
2
4
4
24
2
Y
X4 2
2
4
4
24
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
18/35
f) = @; = +@
g) = 3; = 3
h) = 1; = 1
21 Resuelve los siguientes lmites:
a) b) 1 (x 2)2
c) d)
a) 3 b) @ c) 0 d) +@
22 Calcula el lmite cuando x8 +@ y cuando x8@ de las siguientes fun-ciones y representa las ramas que obtengas:
a)f(x) = b)f(x) = 10xx3
c)f(x) = d)f(x) =
a) f(x) = 0; f(x) = 0
b) f(x) = @; f(x) = +@
c) f(x) = +@; f(x) = @
d) f(x) = 4; f(x) = 4lmx8@
lmx8 +@
lmx8@
lmx8 +@
lmx8@
lmx8 +@
lmx8@lmx8 +@
1 12x2
3x2x2
x 1
1
x2
x3 + 15x
lmx8@
1 x
(2x+ 1)2lm
x8 +@
lmx8@
3x2
(x 1)2lm
x8 +@
3 2x
5 2xlmx8@
3 2x
5 2xlmx8 +@
2 3xx+ 3
lmx8@
2 3xx+ 3
lmx8 +@
x2 + 51 x
lmx8@
x2 + 51 x
lmx8 +@
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas8
2
Y
X4 2
2
4
4
24
2
Y
X4 2
2
4
4
24
4
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
19/35
Asntotas
23 Halla las asntotas de las siguientes funciones y sita la curva respecto a cadauna de ellas:
a)y= b)y=
c)y= d)y=
a) Asntotas: b) Asntotas:
x= 3; y= 2 x= 3; y= 1
c) Asntotas: d) Asntotas:
x= 4; y= 2 x= 1; y= 0
24 Halla las asntotas de las siguientes funciones y sita la curva respecto aellas:
a)y= b)y=
c)y= d)y=
a) Asntota: y= 1 b) Asntota: y= 0
Y
X
Y
X
1
x4
x 12x2 1
x2
3
x2 + 1
x2
x2 + 4
Y
X1
Y
X
2
4
Y
X
1
3
Y
X3
2
21 x
2x+ 34 x
x 1x+ 3
2xx 3
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 19
6UNIDAD
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
20/35
c) Asntotas: x= 0; y= 2 d) Asntota: x= 1
25 Halla las asntotas de las siguientes funciones y sita la curva respecto aellas:
a)f(x) = b)f(x) = c)f(x) =
d)f(x) = e)f(x) = f)f(x) =
a) Asntota vertical: x=
Asntota horizontal: y= 2
b) Asntota vertical: x=
Asntota horizontal: y=
c) Asntota vertical: x= 2
Asntota horizontal: y= 0
d) Asntota vertical: y= 0
No tiene ms asntotas.
2
2
2
2
332
52
3
2
1
(x+ 2)23x
x2 1
1
x2 + 9
12 x
3x2x 5
4x+ 12x 3
Y
X1
Y
X
2
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas0
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
21/35
e) Asntota vertical: x= 1, x= 1
Asntota horizontal: y= 0
f ) Asntota vertical: x= 2
Asntota horizontal: y= 0
26 Cada una de las siguientes funciones tiene una asntota oblicua. Hllala y es-
tudia la posicin de la curva respecto a ella:
a)f(x) = b)f(x) = c)f(x) =
d)f(x) = e)f(x) = f)f(x) =
a) = 3x 3 +
Asntota oblicua: y= 3x 3
b) = x+ 1 +
Asntota oblicua: y= x+ 1
c) = 2x
Asntota oblicua: y= 2x
d) =x+ 4 +
Asntota oblicua: y=x+ 4
1
3
1
1
1
1
4
4
10x 3
x2 +x 2x 3
32x
4x2 32x
3x
3 +xx2
x
3x+ 1
3x2
x+ 1
2x2 + 32x 2
2x3 3
x2 2
x2 + x 2x 3
4x2 32x
3 + xx2
x
3x2
x+ 1
11
2
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 21
6UNIDAD
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
22/35
e) = 2x+
Asntota oblicua: y= 2x
f ) = x 1 +
Asntota oblicua: y= x 1
27 Calcula los lmites de las siguientes funciones en los puntos que anulan sudenominador:
a)f(x) = b)f(x) =
c)f(x) = d)f(t) =
a) f(x) = +@; f(x) = @
b)f(x) =
f(x) = @; f(x) = +@; f(x) = @; f(x) = +@
c)f(x) =
f(x) = = ; f(x) = +@; f(x) = @
d)f(t) = ; f(t) = 2
28 Halla las asntotas de las siguientes funciones y sita la curva respecto a cadauna de ellas:
a)y= b)y= c)y=
d)y= e)y= f)y=3x2
x2 + 2x2
x2 4
x2
x2 + x+ 1
x+ 2
x2 1
5x 22x 7
3 x2x+ 1
lmt8 0
t2
(t 2)t2
lmx82+
lmx82
12
24
lmx8 2
x(x 2)(x 2) (x+ 2)
lmx8 2+
lmx8 2
lmx8 0+
lmx8 0
x 1x(x 2)
lmx82+
lmx82
t3 2t2
t2x2 2x
x2 4
x 1
x2 2x
3x2x+ 4
PARA RESOLVER
1
1
1
1
12x 2
2x2 + 32x 2
4x 3x2 2
2x3 3x2 2
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas2
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
23/35
a) Asntotas: x= ; y=
b) Asntotas: y= ; x=
c) Asntotas: y= 0; x= 1
d) Asntota: y= 1
e) Asntotas: y= 1; x= 2, x= 2
f ) Asntotas: x= 2; y= 3x 6
72
52
12
12
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 23
6UNIDAD
1/2
1/2
7/2
1
1
1
2 2
2 2
1
5/2
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
24/35
29 Halla las ramas infinitas de estas funciones. Cuando tengan asntotas, sitala curva:
a)y= b)y= c)y=
d)y= e)y= f)y=
a) f(x) = +@; f(x) = +@
Asntota vertical: x= 0
b) Asntota vertical: x= 1Asntota horizontal: y= 1
c) Asntotas verticales: x= 3, x= 3
Asntota horizontal: y= 0
d) Asntota horizontal: y=
e) Asntota vertical: x= 3
Asntota oblicua: y= 2x 6
f ) f(x) = +@; f(x) = +@
Asntota vertical: x= 52
lmx8@
lmx8 +@
12
lmx8@
lmx8 +@
x3
2x 52x2
x+ 3
x2 1
2x2 + 1
1
9 x2
(x+ 3)2
(x+ 1)2x4 1
x2
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas4
3 3
1
1
2
5
2
1
3 3
6
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
25/35
Pgina 172
30 Prueba que la funcinf(x) = solo tiene una asntota vertical y otra
horizontal.
Al hallar f(x) vers que no es @.
f(x) = 2; f(x) = @; f(x) = +@; f(x) = 1
Asntota vertical: x= 0
Asntota horizontal: y= 1
31Calcula los siguientes lmites y representa los resultados que obtengas:
a)
b)
a) = =
b) = =
Calculamos los lmites laterales:
= +@; = @
32 Calcula los siguientes lmites y representa los resultados que obtengas:
a)
b)
c)
d)2x2 8
x2 4x+ 4lm
x8 2
x4 1
x 1lm
x8 1
x3 + x2
x2 + 2x+ 1lm
x81
x2 2x
x3 + x2lm
x8 0
x 2x 1
lmx8 1+
x 2x 1
lmx8 1
x 2x 1
lmx8 1
(x 2) (x 1)(x 1)2
lmx8 1
x2 3x+ 2x2 2x+ 1
lmx8 1
53
(x 3) (x+ 2)x(x 3)
lmx8 3
x2x 6x2 3x
lmx8 3
x2 3x+ 2
x2 2x+ 1lm
x8 1
x2x 6
x2 3xlm
x8 3
lmx8 @
lmx8 0+
lmx8 0
lmx8 2
lmx8 2
x2 4
x2
2x
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 25
6UNIDAD
1
1 2 3
123
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
26/35
a) = =
Calculamos los lmites laterales:
= +@; = @
b) = =
Calculamos los lmites laterales:
= @; = +@
c) = = 4
d) = =
Calculamos los lmites laterales:
= @; = +@
33 Halla las asntotas de estas funciones:
a)y= b)y= x2 +
c)y= d)y=
e)y= x+ f)y= x+ 1 +
a)y=x+ b) Asntota vertical: x= 0
Asntotas verticales: x= 1, x= 1
Asntota oblicua: y=x
c) Asntota horizontal: y= 2 d) Asntota horizontal: y= 0
Asntotas verticales: x= 1
e) Asntota vertical: x= 5 f ) Asntota vertical: x= 0
Asntota oblicua: y=x Asntota oblicua: y=x+ 1
x
(x 1) (x+ 1)
5x
4x 5
x2 + 1
(x2 1)22x2 + 5
x2 4x+ 5
1x
x3
x2 1
2 (x+ 2)x 2
lmx8 2+
2 (x+ 2)x 2
lmx8 2
2 (x+ 2)x 2
lmx8 2
2 (x 2) (x+ 2)(x 2)2
lmx8 2
2x2 8x2 4x+ 4
lmx8 2
(x 1) (x3 +x2 +x+ 1)x 1
lmx8 1
x4 1x 1
lmx8 1
x2
x+ 1lm
x81+
x2
x+ 1lm
x81
x2
x+ 1lm
x81
x2 (x+ 1)(x+ 1)2
lmx81
x3 +x2
x2 + 2x+ 1lm
x81
x 2x(x+ 1)
lmx8 0+
x 2x(x+ 1)
lmx8 0
x 2x(x+ 1)
lmx8 0
x(x 2)x2 (x+ 1)
lmx8 0
x2 2x
x3 +x2lm
x8 0
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas6
1
2
1
4
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
27/35
34 Representa las siguientes funciones y explica si son discontinuas en algunode sus puntos:
a)f(x) =
b)f(x) =
c)f(x) =
a) Discontinua en x= 3.
b) Funcin continua.
c) Discontinua en x= 2.
35 a) Calcula el lmite de las funciones del ejercicio anterior en x= 3 y x= 5.
b) Halla, en cada una de ellas, el lmite cuando x8 +@ y cuando x8@.
a) f(x) = 7; f(x) = 0; f(x) = @; f(x) = @
b) f(x) = 1; f(x) = 26; f(x) = +@; f(x) = 1
c) f(x) = 7; f(x) = 5; f(x) = +@; f(x) = +@lmx8@
lmx8 +@
lmx8 5
lmx83
lmx8@
lmx8 +@
lmx8 5
lmx83
lmx8@
lmx8 +@
lmx8 5
lmx83
2
11
2 3 4 5
2
4
Y
X
224 4 6 8
2
4
6
8
Y
X
21 2 3 4 5
2
4
Y
X6
x2 2 si x< 2
x si x> 2
1 si x 0
x2 + 1 si x> 0
2x 1 si x< 3
5 x si x
3
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 27
6UNIDAD
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
28/35
36 Calcula, en cada caso, el valor de k para que la funcinf(x) sea continuaen todo.
a)f(x) = b)f(x) =
c)f(x) =
a) f(x) = 5 =f(3)
f(x) = 3 + k
b) f(x) = 5
f(x) = 4 + 2k=f(2)
c) f(x) = = 1 8 k= 1
37 Estudia la continuidad de estas funciones:
a)f(x) =
b)f(x) =
c)f(x) =
a) f(x) = f(x) =f(1) = 1 8 Continua en x= 1.
x? 1 8 Continua.
Es continua en
.b) f(x) = f(x) =f(1) = 0 8 Continua en x= 1.
f(x) = f(x) =f(1) = 0 8 Continua en x= 1.
x? 1 yx?1 8 Continua.
Es continua en .
c) f(x) = 1 ? f(x) = 2 8 Discontinua en x= 0.
Si x? 0, es continua.
lmx8 0+
lmx8 0
lmx8 1+
lmx8 1
lmx81+
lmx81
lmx8 1+
lmx8 1
1 x2 si x 0
2x+ 1 si x> 0
x 1 si 1 x1 x2 si 1 < x< 1
x 1 si x 1
2 x si x< 1
1/x si x 1
x(x+ 1)x
lmx8 0
lmx8 0
lmx8 2+
lm
x8 2
lmx8 3+
lmx8 3
(x2 + x)/x si x? 0
k si x= 0
6 (x/2) si x< 2
x2 + kx si x 2
x2 4 si x 3
x+ k si x> 3
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas8
5 = 3 + k 8 k= 2
5 = 4 + 2k 8 k= 1/2
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
29/35
38 Calcula a para que las siguientes funciones sean continuas en x= 1:
a)f(x) = b)f(x) =
a) f(x) = 2 =f(1)
f(x) = 4 a
b) f(x) = = 2
f(1) = a
39 En una empresa se hacen montajes en cadena. El nmero de montajes rea-lizados por un trabajador sin experiencia depende de los das de entrena-
miento segn la funcinM(t) = (t en das).
a) Cuntos montajes realiza el primer da? Y el dcimo?
b) Representa la funcin sabiendo que el periodo de entrenamiento es de unmes.
c) Qu ocurrira con el nmero de montajes si el entrenamiento fuera mu-cho ms largo?
a) M(1) = 6 montajes el primer da.
M(10) = 21,43 8 21 montajes el dcimo da.
b)
c) Se aproxima a 30 (pues = 30).
40 Los gastos de una empresa dependen de sus ingresos, x. As:
g(x) =
donde los ingresos y los gastos vienen expresados en euros.
a) Representag(x) y di si es funcin continua.
b) Calcula el lmite de g(x) cuando x8 +@ y explica su significado.
0,6x+ 200 si 0 x 1000
1000x/(x+ 250)si x> 1000
30tt+ 4lmt8 +@
5
10
5 10
15
20
25
15 20 25 30DAS
MONTAJES
30tt+ 4
(x 1) (x+ 1)(x 1)
lmx8 1
lmx8 1
lmx8 1+
lmx8 1
(x2 1)/(x 1) si x? 1
a si x= 1
x+ 1 si x 1
4 ax2 si x> 1
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 29
6UNIDAD
2 = 4 a 8 a = 2
a = 2
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
30/35
a)
Es continua.
b) g(x) = 1000.
Como mximo gasta 1000 al mes.
Pgina 173
41 Se puede calcular el lmite de una funcin en un punto en el que la funcinno est definida? Puede ser la funcin continua en ese punto?
S se puede calcular, pero no puede ser continua.
42 Puede tener una funcin ms de dos asntotas verticales? Y ms de dosasntotas horizontales? Pon ejemplos.
S. Por ejemplo, f(x) = tiene x= 0, x= 1 yx= 2 como asn-
totas verticales.
No puede tener ms de dos asntotas horizontales, una hacia +@y otra hacia @,como en esta grfica:
43 El denominador de una funcinf(x) se anula en x= a. Podemos asegu-rar que tiene una asntota vertical en x= a? Pon ejemplos.
No. Por ejemplo, f(x) = en x= 0; puesto que:
f(x) = = 1x(3x+ 1)
xlm
x8 0lm
x8 0
3x2 +xx
1x(x 1)(x 2)
CUESTIONES TERICAS
lmx8 +@
200
400
1000
600
800
1000
GASTOS ()
INGRESOS ()2000 3000 4000
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas0
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
31/35
44 Representa una funcin que cumpla estas condiciones:
f(x) = +@, f(x) = 2, f(x) = 0
Es discontinua en algn punto?
S, es discontinua al menos en x= 3.
45 Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones exponenciales:
a)y= 2x+ 3 b)y= 0,75x
c)y= 2 + ex d)y= ex
a) f(x) = +@; f(x) = 0
Asntota horizontal cuando x8@: y= 0
b) f(x) = 0; f(x) = +@
Asntota horizontal cuando x8 +@: y= 0
c) f(x) = +@; f(x) = 2
Asntota horizontal cuando x8@: y= 2
d) f(x) = 0; f(x) = +@
Asntota horizontal cuando x8@: y= 0
46 Puesto que (x2 3x) = +@ halla un valor de x para el cual x2 3x
sea mayor que 5000.
Por ejemplo, para x= 100, f(x) = 9 700.
47 Halla un valor de x para el cualf(x) = sea menor que 0,001.
Por ejemplo, para x= 1000, f(x) = 0,00033.
13x 5
lmx8 +@
lmx8@
lmx8 +@
lmx8@
lmx8 +@
lmx8@
lmx8 +@
lmx8@
lmx8 +@
PARA PROFUNDIZAR
3
2
lmx8 +@
lmx8 @
lmx8 3
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 31
6UNIDAD
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
32/35
48 Cul es la asntota vertical de estas funciones logartmicas? Halla su lmitecuando x8 +@:
a)y= log2(x 3) b) y= ln(x+ 2)
a) Asntota vertical: x= 3
f(x) = +@
b) Asntota vertical: x= 2
f(x) = +@
Pgina 173
AUTOEVALUACIN
1. Calcula los lmites de la funcinf(x) = en x= 0, x= 3 yx= 5.
Explica si la funcin es continua en x= 3.
f(x) = (2x 5) = 5
f(x) = (2x 5) = 1
f(x) = (x2x 7) = 1
No existe el lmite de f(x) cuando x tiende a 3.
f(x) = (x2x 7) = 13
La funcin no es continua en x= 3, porque no existe el lmite de la funcin enese punto.
2. Halla los siguientes lmites:
a) 2x 1 b) c)
a) 2x 1 = 21 = b) = =
c) = +@
(Si x8 4+ o si x8 4, los valores de la funcin son positivos.)
x
(x 4)2lm
x8 4
13
1
9
1
x+ 4lm
x8 5
12
lmx8 0
x
(x 4)2lm
x8 4
1
x+ 4lm
x8 5lm
x8 0
lmx8 5
lmx8 5
lmx8 3+
lmx8 3+
lmx8 3
lmx8 3
lmx8 0
lmx8 0
2x 5, x 3
x2x 7, x> 3
lmx8 +@
lmx8 +@
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas2
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
33/35
3.
Sobre la grfica de estas dos funciones, halla, en cada caso, los siguientes l-mites:
f(x); f(x); f(x); f(x)
a) f(x) No tiene lmite en x= 3.
f(x) = 1
f(x) = 0
f(x) = +@
b) f(x) = 0
f(x) No tiene lmite en x= 2.
f(x) = @
f(x) = 3
4. Calcula el valor que debe tomar a para que la funcinf(x) =
sea continua en x= 1. Puede ser discontinua en otro punto?
Para que f(x) sea continua en x= 1, debe cumplir que: f(x) =f(1)
Veamos:
f(x) = (3x 5) = 2
f(x) = (4xa) = 4 a
Como deben coincidir:
2 = 4 a 8 a = 6
lmx8 1+
lmx8 1+
lmx8 1
lmx8 1
lmx8 1
3x 5, x< 1
4xa, x 1
lmx8@
lmx8 +@
lm f (x) = 3x8 2
lm f (x) = 1x8 2+lm
x8 2
lmx8 3
lmx8@
lmx8 +@
lmx8 2
lm f (x) = +@x8 3
lm f (x) = @x8 3+
lmx8 3
lmx8@
lmx8 +@
lmx8 2
lmx8 3
Y
X
a) Y
X
b)
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 33
6UNIDAD
-
8/6/2019 U06 Limites de Funciones
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Por tanto, f(x) =
No puede ser discontinua en ningn otro punto, por estar definida mediante funcio-
nes polinmicas.
5. Justifica qu valor debe tomar a para que la funcin sea continua en :
f(x) =
f(x) =
La funcin es continua para valores de x menores que 1 y mayores que 1, porqueambos tramos son rectas.
Para que sea continua en x= 1, debe cumplirse: f(x) =f(1)
f(1) = a 2
f(x)
Para que exista el lmite, debe ser:
a 2 = 4 2a 8 3a = 6 8 a = 2
6. Halla las asntotas de la funciny= y estudia la posicin de la curvarespecto a ellas.
Asntota vertical:
f(x) = +@
f(x) = @
As, x= 4 es una asntota vertical.
Asntota horizontal:
f(x) = 2 8 y= 2
Si x 8 +@, f(x) < 0 8 la curva est por debajo dela asntota.
Si x 8 @, f(x) > 0 8 la curva est por encima dela asntota.
No tiene asntotas oblicuas.
X
Y
1
2
4
lmx8 @
lmx8 4+
lmx8 4
2x+ 1
4 x
lm f (x) = a 2x8 1
lm f (x) = 4 2ax8 1+
lmx8 1
lmx8 1
ax 2 si x 1
4x 2a si x> 1
ax 2 si x 1
4x 2a si x> 1
3x 5, si x< 1
4x 6, si x 1
Unidad 6. Lmites de funciones. Continuidad y ramas infinitas4
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7. Representa una funcin que cumpla las siguientes condiciones:
f(x) = @ f(x) = +@ f(x) = 0 f(x) = 2
8. Estudia las ramas infinitas de la funciny= y representa la informacin
que obtengas.
= +@
= +@
= +@
= @
9. Cul de las siguientes funciones tiene una asntota oblicua? Hllala y sita lacurva respecto a ella:
a)y= b)y= c)y=
La nica que tiene asntota oblicua es la funcin b) y= .
x3 + 2 x2
x3 x
2
y= =x+
La asntota es y=x. Como > 0, la curva est por encima de la asntota.2
x2
2x2
x3 + 2x2
x3 + 2x2
x2
(x 2)2x3 + 2
x2x
x2 + 1
x3
x+ 3lm
x83+
x3
x+ 3lm
x83
x3
x+ 3lm
x8@
x3
x+ 3lm
x8 +@
x3
x+ 3
X
Y
2
2
lmx8@
lmx8 +@
lmx82+
lmx82
6UNIDAD
X
Y
13