Download - Trigonometrìa 2013 - I8
Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica
1
UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL "SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
CICLO I – 2012
CENTRO DE ESTUDIOS
PREUNIVERSITARIOS
Centro de Estudios Preuniversitarios de la U.N.ICA CICLO I – 2013
Unidad Académica deMatemática
2
Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica
3
AUTORIDADES UNIVERSITARIAS
Dr. Alejandro Gabriel ENCINAS FERNÁNDEZ Rector
Dr. Mario Gustavo REYES MEJÍA Vice - Rector Académico
Dr. Máximo Isaac SEVILLANO DÍAZ Vice - Rector de Investigación y Desarrollo
Centro de Estudios Preuniversitarios de la U.N.ICA CICLO I – 2013
Unidad Académica deMatemática
4
UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS
DIRECTORIO
Dr. Pedro Marcelino VELÁSQUEZ RUBIO DIRECTOR GENERAL
Mg. Javier Eduardo MAGALLANES YUI
DIRECTOR ACADÉMICO
Mg. Carlos Víctor BENAVIDES RICRA DIRECTOR ADMINISTRATIVO
Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica
5
UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS
COORDINADORES DE UNIDADES ACADÉMICAS
Mg. César LOZA ROJAS U.A. DE MATEMÁTICAS
Mg.Juan PISCONTE VILCA U.A. DE CIENCIAS NATURALES
Ing. ArcadioBenito PARVINA CARRASCO
U.A. DE RAZONAMIENTO
Lic. Frediberto MALDONADO ESPINOZA U.A. DE HUMANIDADES
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CONTENIDO PAGINA
UNIDAD 9 ANGULO TRIGONOMÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS AN-GULARES
08
9.1. ANGULO TRIGONOMÉTRICO 08
9.2. SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES 08
9.3. RELACIÓN DE CONVERSIÓN DE LOS TRES SISTEMAS 09
9.4. RELACIÓN SISTEMA SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL 10
9.5. LONGITUD DE ARCO 11
9.6. ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR 12
9.7. ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR 12
9.8. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS, SUPLEMENTARIOS 12
9.9. ÁNGULOS COTERMINALES 12
9.10. RUEDAS: NÚMERO DE VUELTAS Y VELOC. ANGULAR 12
9.11. POLEAS Y ENGRANAJES 13
UNIDAD 10 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 26
10.1. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA (F.T.) 26
10.2. RAZONES GEOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECT. 26
10.3. F. T. DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO REC 27
10.4. F.T. RECÍPROCAS DE UN ÁNGULO AGUDO 27
10.5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIA 28
10.6. PROPIEDADES DE LA TANGENTE Y COTANGENTE 28
10.7. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Y APROX. 29
10.8. ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR 29
UNIDAD 11 IDENTIDADES TERIGONOMÉTRICAS 38
11.1. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 38
11.2. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES 40
11.3. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL 40
11.4. F.T. DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL 41
11.5. SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 41
11.6. ÁNGULOS CUADRANTALES 41
11.7. F.T. DE ÁNGULOS NEGATIVOS 42
11.8. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 42
UNIDAD 12 REDUCCIÓN DE ÁNGULOS. FUNCIONES TRIGONOMÉTRI-CAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS
50
12.1. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE 50
12.2. F.T. DE ÁNGULOS COMPUESTOS 51
UNIDAD 13 TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS 64
13.1 TRANSF. DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO 64
13.2 TRANSF. DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA 64
CONTENIDO
BLOQUE II – UNIDADES 9- 16
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7
13.3 SERIES TRIGONOMÉTRICAS 64
13.4 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 65
13.5 RES. DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUANG. 66
UNIDAD 14 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. LÍMITES TRIGONOMÉ-TRICOS
78
14.1 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 78
14.2 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES 78
14.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA 78
14.4 TIPOS DE SOLUCIONES GENERALES 78
14.5 METODO PARA HALLAR SOLUCIÓN GENERAL 79
14.6 SISTEMAS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 79
14.7 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS 80
14.8 LÍMITES UNILATERALES 80
14.9 LÍMITES NOTABLES 81
UNIDAD 15 NOCIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA. LA RECTA 90
15.1 POSTULADOS DE LA GEOMETRÍA 90
15.2 SISTEMA DE COORDENADAS EN 2 DIMENSIONES 91
15.3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. PUNTO MEDIO 91
15.4 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA 92
15.5 ÁREA DE UN POLÍGONO 92
15.6 ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA 93
15.7 PENDIENTE DE UNA RECTA 93
15.8 ECUACIONES DE LA RECTA 93
15.9 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA 95
15.10RECTAS PARALELAS 95
15.11RECTAS PERPENDICULARES 95
15.12 ANGULO FORMADO POR DOS RECTAS 95
15.13 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 95
15.14ECUACIÓN. DE LA BISECTRIZ DEL ÁNGULO ENTRE
DOS RECTAS 96
UNIDAD 16 ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA 104
16.1 LA CIRCUNFERENCIA 104
16.2 ECUACIONES DE AL CIRCUNFERENCIA 104
16.3 LA PARÁBOLA 104
16.4 ECUACIONES DE LA PARÁBOLA 105
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8
9.1. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Es la figura que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo (vértice), desde su posición inicial (lado inicial), hasta su posición final (lado final). La medida de un ángulo es la amplitud de rotación que efectúa el rayo al gi-rar en torno a su vértice, desde su posición inicial hasta su posición final. Esta medida será un número positivo si la rotación se efectúa en sentido antihorario y negativo en caso contrario.
ELEMENTOS:
Vértice : O
Lado inicial : OA
Lado final : 'OA ''OA
Medidas angulares : ;
NOTA: La medida del ángulo trigonométrico no tiene límite.
9.2. SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
A. Sistema sexagesimal
Llamado también sistema Inglés, considera al ángulo de una vuelta dividido en 360 partes iguales y a cada parte se le denomina un gra-do sexagesimal, y a cada grado se le divide en 60 partes iguales y a cada parte se le denomina un minuto sexagesimal, a su vez a cada
minuto se le divide en 60 partes iguales y a cada parte se le denomina un segundo sexagesimal.
Notación Equivalencias
Un grado sexagesimal = 1° Un minuto sexagesimal = 1’ Un segundo sexagesimal = 1’’
1° = 60’
1’= 60’’
1°=3600’’
m de una vuelta = 360°
B. Sistema Centesimal
Denominado también sistema francés, considera al ángulo de una vuelta dividido en 400 partes iguales y cada parte se denomina un grado centesimal, y cada grado se le divide en 100 partes iguales y cada parte se denomina un minuto centesimal, a su vez a cada mi-nuto se le divide en 100 partes iguales y cada parte se denomina un segundo centesimal.
UNIDAD
09 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y SISTEMAS DE ME-
DIDAS ANGULARES
+
–
O
A’’
A
A’
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9
Notación Equivalencias
Un grado centesimal = 1g
Un minuto centesimal = 1m
Un segundo centesimal = 1s
1g= 100
m
1m= 100
s
1g= 10 000
s
m de una vuelta = 400g
C. Sistema radial
Denominado también sistema circular o sistema internacional, consi-dera como unidad angular el radián. Un radian se define como el ángulo central que subtiende en cualquier circunferencia un arco de longitud igual a la longitud del radio.
radián1
Notación Equivalencias
Un radián = 1 rad.
m de una vuelta = 2 rad.
3,1416 7
2223 3,14
Observaciones:
- 1 rad.= 57°17’44,81’’= 63g66
m19,77
s1rad.= 57°17’45’’ = 63
g66
m20
s
- 1 rad. > 1° > 1g
- 1’> 1m ; 1’’ > 1
s
9.3. RELACIÓN DE CONVERSIÓN DE LOS TRES SISTEMAS
Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente. Se tiene:
S C R
360° = 400g= 2 rad.
2
R
400
C
360
S
2
R
400
C
360
S
................ (1)
O
r r
r
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10
Además: k2
R
400
C
360
S
kRk200Ck180S
9.3.1. Conversiones de unidades angulares
De un sistema a otro
Se utilizan los siguientes factores de conversión:
180
.rad
9
101
g
200
.rad
10
91
g g200180
.rad1
En un sistema:
Grados Minutos
Minutos Segundos
Grados Segundos
Segundos Minutos
Minutos Grados
segundos Grados
donde :
9.4. RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL
Sabemos que:200
C
180
S, Simplificando se obtiene:
x 60
x 60
x 100
x 100
x 3 600
x 10 000
÷ 60
÷ 100
÷ 100
÷ 3 600
÷ 10 000
÷ 60
SISTEMA SEXAGESIMAL
SISTEMA CENTESIMAL
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11
10
C
9
S
Donde S: # de grados sexagesimales
C: # de grados centesimale
50
b
27
a
Donde a: # de minutos sexagesimales
b: # de minutos centesimales
250
q
81
p
Donde p: # de segundos sexagesimales
q: # de segundos centesimales
9.5. LONGITUD DE ARCO
Es una de las muchas aplicaciones del radián como unidad angular, que se utiliza para calcular la medida de un arco en unidades lineales. L : Longitud de arco r : Radio de la circunferencia
: Número de radianes del ángulo central que subtiende el arco AB.
Se cumple: r.L
9.6. ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
Se denomina sector circular a una porción de círculo limitada por dos ra-dios. El Área (A) de dicha región se determina:
2r
2
1S
Lr2
1S
2L
2
1S
A
B
L
r
r
S
r
r
L S
r
r
L S
r
r
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Figura (a)
Lado final
Lado inicial
θ
Figura (b)
2400 =
0 Lado inicial
Lado Final -120
0 =
9.7. ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR
d2
baS 2
ba
)AOB.(C.S)COD.(C.S
SSS
9.8. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS, SUPLEMENTARIOS Y COTERMINA-LES
210090)(C
g
g200180)(S
9.9. LOS ÁNGULOS COTERMINALES
Son aquellos ángulos que tienen el mismo lado inicial, el lado terminal y el mismo vértice, pero que se diferencian en un múltiplo de 360
0.
Zk,k.º360
º360
o
9.10. RUEDAS: NÚMERO DE VUELTAS Y VELOCIDAD ANGULAR (aV )
a) El número de vueltas que da una rueda sobre cualquier terreno, esta
dada por: r2
LN CV
donde: vN = número de vueltas que da la rueda al desplazarse, desde
A hacía B
CL = Longitud recorrida por el centro de la rueda
= L ( )
A
B
C
C
O
C
D
d
b
d
A
B
S a
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r = longitud del radio de la rueda
También:
=∡ girado por la rueda ó ∡ barrido
r = longitud del radio
2N
v r
LC
r2
L
N C
r t
360.N
tV v
a
NOTA: está expresado en radianes
t = tiempo del recorrido b) Si se trata de una bicicleta con dos ruedas
21CyC ,
21CC , de radio
21rr y número de vueltas
21VyV , respectivamente.
i) 2121
rr (inversamente proporcionales)
1
2
2
1
r
r
ii) 2121VVrr (inversamente proporcionales)
1
2
2
1
V
V
r
r
De i) y ii) se tiene :
1
2
1
2
V
V
9.11. POLEAS Y ENGRANAJES
Se cumple que:
BBAABAr.r.LL
BBAAr.Vr.V
BBAAr.nr.n
Donde:
BAVyV son velocidades de A y B, respectivamente
BAnyn son números de vueltas de A y B, respectivamente
Si A y B son engranajes, se tiene que:
BBAAV.dV.d ,
Ad = Nº de dientes de A
Bd = Nº de dientes de B
Donde:BA
dd
A B
rA
rA
θA
C
θB rB
A = Rueda menor B = Rueda mayor
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PREGUNTAS RESUELTAS Nº 9
1. Las medidas de los ángulos de un cuadrilátero sonogo
)35x2(y300
x;x;)x3( ,
entonces la medida del ángulo mayor en radianes, es:
P) rad5
Q) rad5
3 R) rad
4
5 S) rad
2
3 T) rad
6
5
RESOLUCIÓN:
rad?A:max360DCBA)i
360)35x2(300
xx)x3(
g
360)35x2(300
x180x
10
9x3
3600350x20x6x9x30 50x
180
.150150)x3(A)ii rad6
5
Rpta: T
2. Si la suma del doble del número de grados sexagesimales con el número de gra-dos centesimales de un ángulo es igual a 70 entonces la medida radial de dicho ángulo, es:
P) 6 Q)1
8 R) 3 S)3
5 T)
3
7
RESOLUCIÓN:
i )?k
20R
k10Ck9S70CS2
70k2870k10)k9(22
5k
Luego:82
5
20k
20R
18
Rpta: Q
3. La medida radial de un ángulo, donde la suma y la diferencia de sus medidas centesimal y sexagesimal son las dimensiones de un rectángulo cuya área es de
, es:
P) rad4
Q) rad3
R) rad3
2 S) rad
6 T) rad
12
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15
RESOLUCIÓN:
i ) S = 475 = b . h
(C + S)(C – S ) = 475 C = 10k ; S = 9k ; ?k20
R
475k19475)k9k10)(k9k10(2
5k
Luego: )5(20
R rad4
Rpta: P
4. Si se sabe que S y R son los números de grados sexagesimales y radianes de un
ángulo y se cumple: 1508
R20S
20
R20S, entonces el valor de “R”, es:
P) 6 Q) 5 R) 4 S) 2 T) 3 RESOLUCIÓN:
i ) k10C;k9S;?k20
R1508
R20S
20
R20S
150k2
3150
8
k8
20
k10150
8
2020k9
20
k20
20k9
150k
Luego: 20
100k
20R 5R
Rpta: Q
5. En la figura adjunta OB = BC = 6 cm y DBC es un sector circular cuyo centro es B; entonces el área de la parte sombreada, es:
P)2
cm8
Q)2
cm10
R)2
cm14
S)2
cm12
T)2
cm13
A
B C
D
O
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A
B C
D
O
RESOLUCIÓN:
226.
3
2:
2
1r.
2
1))CBD(SC(S
Luego: S=2
cm12
Rpta: S
6. La longitud de arco en metros de la circunferencia de 9 metros de radio que sub-tiende un ángulo central tal que si sumamos su complemento y su suplemento, expresados en grados sexagesimales, nos da 16 veces el valor del ángulo, es :
P)5
Q) 3 R) 4 S)4
3 T) 2
RESOLUCIÓN:
i ) ?L16)(S)(C
1618090
12
15
ii) 9.12
r.L4
3L
Rpta: S
7. En el gráfico, el arco menor AB, es de igual longitud que el arco mayor CD. Si el punto “A” pasa a la posición del punto “B”, el número de vueltas que da la otra rueda, es:
P)3
2
Q)2
1
R)3
6
S)2
3
A
B
C
D
4 2
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17
T)3
4
RESOLUCIÓN:
2.)2(4.3
2
3
22
A 3
4
2.4.3
422.4.
AA 3
8
iii) 2
38
2n
v 3
4
Rpta: T
8. Una rueda de radio 2, se encuentra sobre una pista rectilínea, tal como se muestra
en el gráfico, la distancia de P a su posición final luego de girar la rueda , es:
P) 61292
Q) 81292
R) 61092
S) 41292
T) 21092
RESOLUCIÓN:
2
32702r
En el ∆PCP’
2L'CP)'CP()'PP(C
22
'CP 23
C
D
B
A
.E F.
C
P 1
P
r = 2 r = 2
P’
270 C’
CL
P
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También: 2r2
L
n C
v3L
C
41294)23(2'PP222
8129'PP2
Rpta: Q
9. Del gráfico, el valor de “x”, es: P) 9
Q) 10
R) 48
S) 20
T) 36
RESOLUCIÓN:
i ) 360x30x99036030x6010
9.)x10(10
480x10 48x
Rpta: R
10. El número de vueltas que da una rueda de radio , respecto a su centro es
)26(8 , entonces la longitud de la trayectoria que genera su centro, es:
P) 36 Q) 32 R) 34 S)28 T) )23(16
RESOLUCIÓN:
(L)AB(LLC
)26(8.2.2n.)v
2.)23()23(.216LC
32LC
Rpta: Q
C C
A
A’ A’’ A’’’ 2r 2r
L( )
1 vuelta
L( )
2 vuelta
L( )
3 vuelta
B
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19
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 9
1. En un país de Europa, crean un sistema “N” dondeN
720 equivalen a 360°. El
número de radianes a que equivalenN
80 , es:
P) rad9
Q) rad9
4 R) rad
92 S) rad
9
5 T) rad
9
3
2. La medida circular de un ángulo, si:n
2
2
n19C;
n
2
2
n19S siendo “S” y “C”, lo
conocido para dicho ángulo, es:
P) rad20
Q) rad10
R) rad5
S) rad4
T) rad3
3. Si la medida de un ángulo se expresa como ab y también comog
0)1a( , el ma-
yor valor que toma su medida circular, es:
P) rad5
Q) rad2
R) rad4
S) rad20
7 T) rad
20
9
4. Sean dos ángulos. El primero mide p grados sexagesimales y el segundo q grados centesimales. La diferencia numérica de estas medidas es 15. Si la suma de estos ángulos en el sistema sexagesimal es 129, los ángulos tal como estaban medidos originalmente, son:
P) 90 y 75 Q) 30 y 15 R) 60 y 45 S) 45 y 30 T) 75 y 60
5. El ángulo en radianes que satisface la siguiente condición: La medida geométrica de los números que representan la medida de ese ángulo, en grados centesimales y sexagesimales, multiplicada por la suma de las inversas de los mismos es igual
a300
19 veces la semidiferencia de esos números, es:
P) 11 Q) 10 R)10 S) 10 T)10
6. Se crea un sistema de medición angular “MOSHE”, cuya unidad es 1*, verificando
En un triángulo, las medidas de sus ángulos están en la relación de 2,5 y 8. La medida del menor, en el sistema “MOSHE”, es: P) 7,2* Q) 4,8* R) 6,4* S) 5,6* T) 3,2*
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20
7. En un triángulo, dos de sus ángulos se expresan como:go2
x20y)5x8x5( .
La relación entre ellos es mínima (1ero y 2do ángulo). La medida del tercer ángulo,
es:
P) rad3
2 Q) rad
5
4 R) rad
5
3 S) rad
4
3 T) rad
5
2
8. La medida sexagesimal de un ángulo que cumple:
2C
C2C
C2C
C2C
2S
S2S
S2S
S2S
Siendo S y C lo convencional para dicho ángulo, es:
P)o3
2,7 Q) 0,9° R)o3
6,1 S)o3
1,8 T) 9°
9. Un tramo de una vía férrea curvilínea está formado por dos arcos sucesivos. El
primer arco corresponde a un ángulo central de 20° con un radio de 2500 pies y el
segundo corresponde a un ángulo central de 25° con un radio de 3000 pies, la
longitud total de la vía, es:
P) 2188 Q) 2184 R) 2186 S) 2182 T) 2183
10. Dos postulantes a la UNI, observan un reloj eléctrico cuyas agujas están deteni-
das. Luego de la falla eléctrica de Miraflores, uno de los estudiantes dice que el
área que hacen las agujas es de 7,2 pulgadas cuadradas. Si el reloj tiene un radio
de 6 pulgadas, la medida del arco entre las agujas, es:
P) lgpu11
5 Q) lgpu
5
12 R) lgpu
5
11 S) lgpu
12
5 T) lgpu
7
12
11. Los radios de las ruedas de una bicicleta son entre sí como 4 es a 10, el número
de vueltas que da la rueda mayor cuando la menor barre un ángulo de1840 ra-
dianes, es:
P) 390 Q) 184 R) 368 S) 736 T) 286
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21
A
B C
D E
F
M
N
12. La figura ABCD es un paralelogramo dondem∡BCD = 30°, BC = 2t, BC = t, , y
son arcos de circunferencia cuyos centros son A y C, respectivamente, el área
sombreada, es:
P)2
t)6(4
1
Q)2
t)6(12
1
R)2
t)6(12
1
S)2
t)6(6
1
T)2
t)6(4
1
13. La longitud de la correa de transmisión de tres ruedas tangentes exteriores, cuyos
diámetros son 42cm; 14cm y3
14 cm respectivamente , es:
P) 33
112
9
266
Q) 33
111
9
256
R) 39
112
3
266
S) 35
112
4
266
T) 33
112
8
266
14. La longitud del radio de una circunferencia en la que el ángulo central, que com-
prende un arco que mide50
61, tiene una medida en grados centesimales repre-
sentada por un número entero y en grados sexagesimales representada en la for-
ma 'xxo
, es:
P) 3,5 m Q) 2 m R) 4 m S) 3 m T) 2,5 m
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22
15. En la figura se tiene un ángulo central de medida radianes y arcos de longitudes
b y c respectivamente. Entonces el área de la región sombreada mide:
P)
22bc
2
1
Q)
22bc
2
1
R)2
bc
2
122
S)2
bc
2
122
T)2
b2
c2
1
16. Se tiene dos poleas de igual diámetro, conectadas por una faja de longitud igual a
“m” veces ( m ℕ ) la longitud de la circunferencia de una de las poleas, el diáme-
tro de las poleas, si se sabe que la longitud de la parte de la faja que no hace con-tacto con las poleas es 2 l, es:
P))1m(
2l Q)
m
2l R)
m
l2 S)
)1m(
l2 T)
)1m(2
l
17. La figura muestra un monta carga con un tambor de 60cm de diámetro, si el monta
carga gira4
7 radianes, entonces la carga se lleva aproximadamente a una altura
de: P) 1,68 m
Q) 1,67 m
R) 1,66 m
S) 1,65 m
T) 1,63 m
b c
X
Y
.
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23
A
B
C
18. Si el triángulo ABC es equilátero de lado 2cm; donde tomando a y como
diámetros se han dibujado semicircunferencias; además:, tiene su centro en
“B”, el área de la región sombreada, es:
P)2
cm32
Q)2
cm22
R)2
cm2
S)2
cm)223(
T)2
cm)232(
19. Una faja de 60 cm de longitud es colocada alrededor de dos líneas circulares
cuyo diámetro es 10cm, la distancia entre los centros de la ruedas (00’) , es: P) 17,5 cm Q) 20 cm R) 22,5 cm S) 25 cm T) 27,5 cm
20. Los móviles A y B de la figura se mueven con “p” y “q” m/s respectivamente. Si
después de “t” segundos la distancia que los separa es igual a “r”, el valor de “x”, es:
P)qpsenp2
)qp(
Q)qpcosp2
q
R)qpcosq2
p
S)cosq2p
q2 cos
T)qpsenq2
)qp(
21. La suma y la diferencia de dos ángulos son respectivamente6
rad y 15°. La medi-
da de la mitad del mayor en grados centesimales, es:
P)g
25 Q)mg
522 R)mg
5012 S)mg
512 T)mg
3012
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24
A
C
B
r r
22. R, C y S son los números que indican la medida de un ángulo. Si se verifica que:
)119(RSCSC . La medida del ángulo en radianes, es:
P)1
Q)20
R)40
S)2
T)10
23. Al calcular:140
33.
990...332211
rad630...rad21rad14rad7
gggg, se obtiene:
P) 10 Q) 20 R) 30 S) 40 T) 50 24. Si “C” es el equivalente en grados centesimales y además:
C200.
R
RR
RR
RR
, entonces el valor de R, es:
P)2
Q)1 R)2
2
1
S)180
.10
9g
T)
g
10
9
25. El número de vueltas que da la rueda de ir de A hasta C. Si:BC = 2 AB = 3 r cm,
es: P) 1,5 Q) 2,5 R) 1,25 S) 1,9 T) 2,4 26. El área de la región sombreada, es:
P) 2
m3
Q)2
m5
R)2
m20
S) 2
m15
T) 2
m10
O
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25
27. En la figura la longitud del arco AB mide 14m, “x” mide 1 radián. La longitud del arco BC, es: P) 20
Q) 40
R) 25
S) 30
T) 35
28. Un ciclista recorre una cueva de medio kilómetro de radio, con una velocidad de
h/km20 . El ángulo aproximado en sexagesimales que recorre en 10seg, es:
P) 4°21’58’’ Q) 6°21’58’’ R) 3°21’58’’ S) 1°21’58’’ T) 5°1’58’’
29. Del siguiente sistema de poleas, la polea de radio3
r gira 240°
El número de radianes que gire la polea de radio , es:
P) Q)2
3 R) 2 S) 3 T) 4
30. En la figura, A y B son centros de los sectores circulares, el valor de en radianes
si el área de la región sombreada es u22AB,u3
5 2, es:
P) / 6
Q) / 4
R) 5 / 24
S) / 12
T)5 / 12
O A
B
C
Faja
Faja
A B
C
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26
10.1. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA (F T)
Es una regla o relación que hace corresponder a un número real, un único número real. Lo que simbolizamos:
10.1.1. Clases de funciones trigonométricas 1. Directas (6)
seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante. 2. Inversas (6)
arco seno, arco coseno, arco tangente, arco cotangente, arco cotangente, arco secante, arco cosecante
10.1.2. Dominio y rango de una F T directa
)sen(Dom ℝ y 1;1)sen(Ran
(cos)Dom ℝ y 1;1)sen(Ran
(tan)Dom ℝ n,2
)1n2(x/x ℤ y (tan)Ran ℝ
(cot)Dom ℝ n,nx/x ℤ
y (cot)Ran ℝ
(sec)Dom ℝ n,2
)1n2(x/x ℤ
y (sec)Ran ℝ 1;1
(csc)Dom ℝ n,nx/x ℤ
y (csc)Ran ℝ 1;1
10.2. RAZONES GEOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Son cocientes indicados de números reales que se establecen entre las medi-das de 2 lados de un triángulo rectángulo y son seis. Así tenemos: Dado un triángulo rectángulo ACB, las 6 razones geométricas que se obtienen son:
a
c ;
b
c ;
a
b ;
b
a ;
c
b ;
c
a = G . R
UNIDAD
10 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
B
A
c
b C
a
β
F. T. : ℝ ℝ F. T ( )
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27
10.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ACB.
Las 6 funciones trigonométricas directas con sus reglas que las definen se dan en el cuadro siguiente:
FT directas
Notación
Reglas de las (FT)
Angulo agudo
F.T.( ) = R G.
seno sen CO
H
c
asen
coseno cos CA
H
c
bcos
tangente tan CO
CA
b
atg
cotangente cot CA
CO
a
bcot
secante sec H
CA
b
csec
cosecante csc H
CO
a
ccsc
10.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS DE UN ÁNGULO AGUDO
Dos funciones trigonométricas de un mismo ángulo agudo son reciprocas o in-versas multiplicativas si su producto es uno.
csc
1sen
sen
1csc1csc.sen
sec
1cos
cos
1sec1sec.cos
tan
1cot
cot
1tan1cot.tan
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28
Observación: Sí x e y son ángulos agudos se tiene:
1ycsc.xsen
ysenxsen
1ysec.xcos
yx
ycosxcos
1ycot.xtan
ytanxtan
10.5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS
La función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la co- función trigo-nométrica de su complemento, es decir:
)º90(.T.COF)(.T.F
)º90(cossen
)º90(sencos
)º90(cottan
10.6. PROPIEDADES DE LA TANGENTE Y COTANGENTE
cos
sentan
sen
coscot
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29
10.7. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Y APROXIMACIONES
10.8. ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR
sen2
c.aS
sen2
c.bS
sen2
b.aS
( )2 -6 k 25k
16°
74°
24 k
7k 4k
54°
36° 4k
87°
3°
k
19k
17 k
76°
14°
k
4k 4
18°
72°
5210
15
k
15°
75° ( 26 )k
15°
75°
k
14°
76°
4
1 22,5°
67,5°
1
k5210
k15
(2 + 3 )k
( 26 )k
(2 - 3 )k
224
2 -1
k362
15°
75°
2 6 k
3 k
10 k
18.5° k
5 k
26,5°
2k
k
k 30°
60° 2k
k 3
k 2
45°
45°
k
k
5k
37°
53°
4k
3k 5 2 k
8°
82°
7 k
k
75°
15° +1
1
17
b
A C
c
B
a
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30
PREGUNTAS RESUELTAS Nº 10
1. En un triángulo ABC recto en A, se tiene un área igual 20 2m , entonces el valor
de
2 2 2
2 2
( ) tg( )sen ( )
cos ( ) cos ( )
c b B CQ
B C, es:
P) 50 Q) 10 R) 20 S) 40 T) 80 RESOLUCIÓN:
bc
a
b
a
c
a
c
c
b)bc(
Q
2
2
2
2
2
222
40)20(2Q
Rpta: “S”
2. Del gráfico mostrado, el valor de tg( ) , es:
P) 2
Q) 2
1
R) 3
1
S) 3 T) 4
RESOLUCIÓN:
Sea hBH y HBCBAC
:AHB 3
h
3
BH)(tg y 9h81273BHh
22.
Luego: 33
9)(tg .
Rpta: “S”
3. Si en un triángulo ABC, AB mide 6,5 y AC mide 12. Si 5
tg( )12
A , entonces el
área del triángulo, es: P) 10 Q) 15 R) 20 S) 25 T) 30
A
B
C H 3 27
A B
C
a
b
c
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31
RESOLUCIÓN:
2
1k5,6k13
k30)k5)(12(2
1S:Area
2
u15)2
1)(30(S:Area
Rpta: “Q”
4. Si en un triángulo rectángulo ABC, la 3
2)A(tg y la longitud del cateto mayor es
21 u . Entonces, el área del triángulo, es:
P) 2
u144 Q) 2
u147 R) 2
u130 S) 2
u120 T) 2
u140
RESOLUCIÓN:
Cateto mayor: 7k21k3
222
u147)7(3k3)k3)(k2(2
1)ABC(Area
Rpta: “Q”
5. Si 3
3)(tg y
3
32)125(csc , entonces el valor de
)62(tg , es:
P) 2/1 Q) 4/3 R) 2 S) 3/5 T) 5/4
RESOLUCIÓN:
0
303
3)(tg y
00060125
3
32)125csc(
Resolviendo ambas ecuaciones se tiene: 00
13y17 .
Luego: 5
4)53(tg)61334(tg)62(tg
00000
Rpta: “T”
6. Del gráfico, el valor de )(tg)(tg
)(tg)(tgJ , es:
P) 7/5 Q) 6/7 R)5/6 S) 12/11 T)5/3
A
B
C 2 1 1 6
A B
C
k2
k3
A C
B
H 6k2 6
k135,6
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32
RESOLUCIÓN:
2yx1yx12mediana:BH
Pero: 6yx
Resolviendo: 4y;2x
10
h7
12
h7
5
h
2
h
4
h
3
h
)(tg)(tg
)(tg)(tgJ
6
5J
12
10J
Rpta: “R”
7. Si )90(cot)353(tg y 152 , entonces la suma de los ángulos
agudos “ ” y “ ”, es:
P) 33º Q) 35º R) 30º S) 23º T) 40º
RESOLUCIÓN:
00000
90)90()353()90cot()353(tg
00
152y353
Resolviendo: 000
3316y17
Rpta: “P”
8. Si “ ” es un ángulo agudo para el cual se cumple:
143
1
99
1
63
1
35
1
15
1
3
sen, entonces el valor de: )cot()csc(M , es:
P) 1 Q) 2 R) 3 S) 4 T) 5
Resolución: 1311
2
119
2
97
2
75
2
53
2)(sen
3
2
13
1
11
1
11
1
9
1
9
1
7
1
7
1
5
1
5
1
3
1)(sen
3
2
13
5)(sen
39
10
2
3
13
1
3
1
2
3)(sen
Luego: 5M5
12
5
13)cot()csc(M
Rpta: “T”
9. En un triángulo ABC de área S, el valor de )Ccsc()Bcsc()Acsc(
abcM , es:
P) S2S2 Q) SS R) S2S S) 2
SS T) S2
h
2 1 1 6
A
B
C x y H
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33
Resolución: )Ccsc()Bcsc()Acsc(
abcM
)A(sen2
bc)B(sen
2
ac)C(sen
2
abS)ABC(Area
S2)C(absen
S2)B(acsen
S2)A(bcsen
Multiplicando: S2S4)Ccsc(
1
)Bcsc(
1
)Acsc(
1cba
2222
Luego: S2S2MS2S2)Ccsc()Bcsc()Acsc(
abcM
Rpta: “P”
10. Si en el gráfico AOB es un cuadrante, entonces el valor de )(sen130E , es:
P) 3/1
Q) 3
R) 3
S) 1302
T) 1
RESOLUCIÓN:
r10ACrr9AC222
r13ADr4r9AD222
)(sen)r13)(r10(2
1
2
r3r)CAD(Area
)(sen1303
3E
Rpta: “R”
O
A
B
C A
B
S
O
A
B C D
S
r r r
r3
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34
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 10
1. En un triángulo ABC (recto en C), la hipotenusa mide 24 cm, el valor del área de
dicho triángulo si8
3)B(sen)A(sen , es:
P) 2
cm27 Q) 2
cm54 R) 2
cm108 S) 2
cm216 T) 2
cm124
2. En el triángulo rectángulo ABC se tiene que: c3
)A(sen)Ccot(
a2
)C(cot)A(tg22
, el
valor de )C(sen2)A(tg5K , es:
P) 2 Q) 3 R) 4 S) 5 T) 6
3. Se tiene un cuadrado ABCD donde se traza AE ("E" en CD ), tal que
053EABm , se traza después CN ("N" en AE ), tal que )NE(2AN y
BCNm . Entonces el valor de )(tg , es:
P) 2 Q) 3 R) 3,5 S) 2,5 T) 1,5
4. Sabiendo que: 000
50sec50cos40sen2)(tg ; "" agudo. Entonces el
valor de: cotcsc10C , es:
P) 3/7 Q) 2 R) 1 S) 3/5 T) 3
5. En un triángulo rectángulo ABC se sabe que: )Acsc(32
Ccot
2
Acot , enton-
ces el valor de CcsctgAL , es:
P) 1 Q) 2 R) 3 S) 3 T) 2
6. En un triángulo isósceles los ángulos congruentes miden "" cada uno y el lado
desigual mide "L" . Entonces el valor del área del triángulo, es:
P) )(tgL2
Q) )(tg2
L2
R) )(tg4
L2
S) )(tg2
L 22
T) )(tg4
L 22
7. En el triángulo rectángulo BAC, se cumple que: 7
3CcosBcos , entonces el valor
de tgCtgB , es:
Q) 4
5 Q)
3
8 R)
3
5 S)
3
7 T)
2
7
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35
8. El valor de )yx( en las siguientesrelaciones: )20cot()yx2(tg
)xycos()y2x(sen0 , es:
P) 0
80 Q) 0
60 R) 0
20 S) 0
70 T) 0
50
9. En un triángulo rectángulo, es uno de sus ángulos agudos, si 3
1cos , enton-
ces el valor de cotcsc2M , es:
P) 2 Q) 1 R) 2 S) 2
1 T) 3
10. En un triángulo ABC, recto en A, se cumple que:
BcosCcsc27senBCsec . Entonces el valor de tgC , es:
P) 3/1 Q) 2/1 R) 3 S) 2 T) 1
11. Teniendo en cuenta la relación: 0)ky4cot()2ky(tg , el valor de:
)2cot()4cos(
)2(tg)2(senE , es:
P) 1 Q) 2 R) 4/1 S) 4 T) 2/3
12. Si )xcsc(n)xsec(m , entonces el valor de )x(tg)x(sen
)xsec(M , es:
P) n
m Q)
m
n R)
n
mn S)
m
nm T)
n
nm
13. Si y, son ángulos que se relacionan por: 0)85cos()(sen0
y
1)3(tg)2(tg , entonces el valor de: )(tg)112(tgM0
, es:
P) 7/1 Q) 12/7 R) 7/6 S) 7/2 T) 5/7
14. Si 0)(tg)90(tg7)90csc(2)cos(1500
; es un ángulo agudo,
entonces el valor de )(sen , es:
P) 5/3 Q) 5/2 R) 5/62 S) 5/32 T) 5/23
15. Si: En un triángulo ABC recto en B la hipotenusa mide 7 metros y la mediana rela-
tiva al cateto mayor mide 5 metros y que con dicho cateto forma un ángulo agudo
, el valor de )cos( , es:
P) 5/7 Q) 5/22 R) 3/5 S) 3/7 T) 7/7
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36
16. Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética. El coseno del
mayor ángulo agudo de ese triángulo, es:
P) 3/2 Q) 3/4 R) 5/3 S) 2 T) 4/5
17. En un triángulo rectángulo ABC se cumple que la diferencia de la medida de la
hipotenusa con uno de sus catetos es 8 m y con el otro cateto 9 m. Entonces el va-lor de la tangente del mayo ángulo de dicho triangulo, es:
P) 20/21 Q) 21/20 R) 21/5 S) 9/8 T) 8/9
18. Si se cumple que 4)(tg.b ; 37b10b2)csc(.)b6(2
, donde y son
ángulos complementarios, el valor de )csc()sec(E
P) 7/3 Q) 3/10 R) 8/3 S) 3 T) 3/1
19.Si y son ángulos agudos complementarios tales que:
0)4
(tg)csc(2)2
(sen3 . Entonces el valor
de )(tg)cot(2)cos(3 , es:
P) 5 Q) 52 R) 53 S) 54 T) 55
20. En un cuadrilátero ABCD, donde 2
CmAm , 0
120Bm , 312AB y
38BC , entonces el valor de CDADM , es:
P) 40 Q) 50 R) 60 S) 70 T) 80
21. Sea ABC un triángulo acutángulo donde AH es la altura, T es un punto de AH y
N de BH tal que AB//TN , 0
45)NTH(m . Si HCNHBN . El valor de la tan-
gente de )BAN(m , es:
P) 4/3 Q) 3/1 R) 5/3 S) 3/5 T) 3/2
22. En un triángulo rectángulo ABD se traza AC (C en BD ) tal que el área del trián-
gulo ACD es igual al área del triángulo ABC, si )CAB(m)ADB(m ,
entonces el valor de )(tg , es:
P) 2/1 Q) 2 R) 2/2 S) 3/1 T) 3
23. Un cuadrado MNPQ cuyos lados miden u22 , está inscrito en una circunfe-
rencia, la distancia del punto Q al punto medio del arco MN es:
P) 2/1 Q) 2 R) 2/2 S) 3/1 T) 3
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37
24. Los valores de "x", 2;0x , para los cuales se cumle )xcos( )x(sen , es:
P) 4
x0 Q) 4
5x0 R)
4
3x0 S)
4
5x
4 T)
4
7x0
25. Marque lo incorrecto. El periodo de la función:
P) )x(seny es 2 Q) )x3(tgy7
es 3/ R) )x4(seny es
3/
S) )x3(cscy3
es 3/2 T) )x2sec(y es 4
26. Si la función f está definida por 1)x2(tg
2)x2(tg)x(f , 8/;0[D
f, entonces el
rango de f esta dado por:
P) 2;1 Q) 2;2/3[ R) 2;1[ S) ]2;1 T) ]2;2/3
27. Si )a1,x(P es un punto que pertenece a la grafica de la función seno, enton-
ces el valor de )xcsc()x(sen1)x(senA , es:
P) a1 Q) 2/a R) a/1 S) a T) 1a
28. Si )x(csc)x(sec)x(cot)x(tgf4422
, entonces el valor de )3(f)2(f , es:
P) 20 Q) 21 R) 22 S) 23 T) 24
29. El valor máximo que toma la función Rx),x(cos4)x(sen3)x(f22
, es:
P) 3 Q) 4 R) 5 S) 6 T) 7
30. El rango de )x(sen)xcot()x(f , es:
P) 1;1 Q) ]1;1[ R) ]1;1 S) 1;1R T) 1;1[
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38
11.1. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Son aquellas igualdades que relacionan funciones trigonométricas de uno o más ángulos; las cuales se verifican para cualquier valor que se le asigne al ángulo. En la RESOLUCIÓN de problemas trigonométricos es frecuente el uso
de las llamadas identidades fundamentales.
Las identidades trigonométricas se clasifican de la siguiente manera.
cscA =Asen
1 secA =
Acos
1 tanA =
Acot
1
senA =Acsc
1 cosA =
Asec
1 cotA =
Atan
1
sen
2A = 1 – cos
2A tan
2A = sec
2A – 1 cot
2A = csc
2A – 1
cos
2A = 1 – sen
2A sec
2 A - tan
2A = 1 csc
2A – cotg
2A = 1
UNIDAD
11 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
1AcosAsen22
IDENTIDADES PITAGÓRICAS
III
AsecAtan122
AcscAcot122
tgA.cotA= 1 senA.cscA = 1
I
IDENTIDADES RECÍPROCAS
cosA.secA = 1
IDENTIDADES POR DIVISIÓN
II
Acos
AsenAtan
Asen
AcosAcot
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39
I1. Acos.Asen21)AcosAsen(
2
I2. Acos.Asen21AcosAsen
2244
I3. Acos.Asen31AcosAsen
2266
I4. Acos.Asen2)1AcosAsen()1AcosAsen(
I5. )Acos1()Asen1(2)AcosAsen1(
2
I6. Atan.Asec21AtanAsec
2244
I7. Atan.Asec31AtanAsec
2266
I8. Acot.Acsc21AcotAcsc
2244
I9. Acot.Acsc31AcotAcsc
2266
I10. AcotAtanAcsc.Asec
I11.
22222)AcotAtan(Acsc.AsecAcscAsec
IV
IDENTIDADES AUXILIARES
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40
P(x, y)
I C II C
III C IV C
X'
Y
X
y
x’
Y’
11.2. SISTEMA DE COORDENADAS RECTÁNGULARES
Este sistema consta de dos rectas dirigidas (rectas númericas) perpendiculares entre sí, llamadas ejes coordenados.
ELEMENTOS:
'XX : Eje de las X
Eje de las abscisas
'YY : Ejes de las Y
Eje de las ordenadas O: Origen de coordenadas
P(x, y): Punto P de coordenadas x, y X: abscisa Y: ordenada.
IC: Primer cuadrante, IIC: segundo cuadrante, IIIC: tercer cuadrante, IVC: cuarto cuadrante.
11.3. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Es todo ángulo trigonométrico cuyo lado inicial está sobre el semieje positivo X, su vértice coincide con el orígen de coordenadas y su lado final se encuentra en cualquier parte del plano
y son ángulos en posición normal.
X’
Y’
Y
X
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41
11.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NOR-MAL
Sea P(x; y) un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición
normal, OP = P = Radio vector, se tiene:
OP = r = 22 yx , además: POPOP
r
ysen
y
xcot
r
xsen
x
rsec
x
ytan
y
rcsc
11.5. SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS
sen
cos
tan cot
sec
csc
0< < 90º
P I C + + + + + +
90º< <180º
P II C + – – – – +
180º< <270º
P III C – – + + – –
270º< <360º
P IV C – + – – + –
11.6. ÀNGULOS CUADRANTALES
Son aquellos ángulos en posiciòn normal cuyo lado final coincide con algunos semiejes del sistema de coordenadas.
sen cos tan cot sec csc
0º 0 1 0 ∞ 1 ∞
90º 1 0 ∞ 0 ∞ 1
180º 0 – 1 0 ∞ – 1 ∞
270º – 1 0 ∞ 0 ∞ – 1
360º 0 1 0 ∞ 1 ∞
P = (x, y)
O
X
Y
Razones
Grados
F.T. (α) Ángulos
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42
11.7. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS
sen(– ) = – sen cot(– ) = – cot
cos(– ) = cos sec(– ) = sec
tan(– ) = – tan csc(– ) = – csc
11.8. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Es aquella circunferencia cuyo centro es el origen “O” del sistema de coordenadas cartesianas y la medida de su radio (radio vector) es uno.
P = ( x ; y) = (cosα ; senα)
x y
α y r
x O A
1
-1
180º
90º
270º -∞
+∞ Y
360º X
+∞ -1
-∞
1 P
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43
PREGUNTAS RESUELTAS N° 11
1. Al reducir: a )xcot()xcsc()xcot(
)x(tg)x(senM , el valor que se obtiene, es:
P) 1 Q) )x(sen R) )xcos( S) 2 T) 0
RESOLUCIÓN:
)x(sen
1)xcos()x(sen
1
1)xcos(M
Rpta: “Q”
2. Si: )x(cos2
1)x(cos)x(sen1
244 y IICx , el valor de )x(tg)x(senJ , es:
P) 6/2 Q) 3/2 R) 6/3 S) 1 T) 0
RESOLUCIÓN:
)x(cos
2
1)]x(cos)x(sen[1
244
IICx4
1)x(sen)x(cos
2
1)x(cos)x(sen2
2222
3
1)x(tg
2
1)x(sen . Luego:
6
3
3
1
2
1)x(tg)x(senJ
Rpta: “R”
3. Si: 7)(cot)(tg22
, entonces el valor de )(tg , es:
P) 3
53 Q)
2
53 R) 53 S) 53 T) 5
RESOLUCIÓN:
3)cot()(tg9)cot()(tg7)(cot)(tg 222
2
53
2
493)(tg01)(tg3)(tg
2
Rpta: “Q”
4. Si 2
3;
4
3x , el intervalo a donde pertenece 1
3
xsen2A , es:
P) Q) 1;1[ R) ]1;1 S) 1;1 T) ]1;2
1
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44
RESOLUCIÓN:
0000
903
x45270x135
2
3;
4
3x
]1;1[A113
xsen212
3
xsen2090
3
x0
0
Rpta: “P”
5. Si: IIIC;5/3)(sen ; IVC;5/3)cos( , entonces el valor de:
)(tg)(tg1
)(tg)(tgE , es:
P) 24/7 Q) 25/7 R) 23/7 S) 23/7 T) 24/7
RESOLUCIÓN:
5r;4x;3yIIIC;5/3)(sen
5r;4y;3xIVC;5/3)cos(
24
7
2
12
7
3
4
4
31
3
4
4
3
E
Rpta: “T”
6. En la figura mostrada, el valor de )cot( , es:
P) 12/7
Q) 7/12
R) 5/12
S) 12/5
T) 5/12
RESOLUCIÓN:
12
5
12
5)cot(
Rpta: “S”
7. El valor de la expresión:
)(sen)(tg)2/csc(
)2/3cos()2sec()cos()2/(senM , es:
P) -1 Q) 1 R) 2 S) 1/2 T) -2 RESOLUCIÓN:
1M001
0111M
Rpta: “Q”
5
12 13
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45
8. Si: 1)(cosM)(sen)(cos244
, entonces el valor de M, es:
P) 1 Q) 2 R) 3 S) 4 T) 5 RESOLUCIÓN:
1)(cosM)(sen)(cos)(sen)(cos22222
1)(cosM)1()(sen)(cos222
2M1)(cosM1)(cos222
Rpta: “Q”
9. Si: )(Bsen)sec(A1)(tg22)(tg)cos( , entonces el valor de BA ,
es: P) 7 Q) 8 R) 9 S) 10 T) 12
RESOLUCIÓN:
)(Bsen)sec(A2)(tg5)(tg2)cos(2
)(Bsen)sec(A)(tg51)(tg2)cos(2
)(Bsen)sec(A)(tg5)(sec2)cos(2
7BA)(Bsen)sec(A)(sen5)sec(2 Rpta: “P”
10. Si: 3)xcot()x(tg , entonces el valor de )x(cot)x(tgM33
, es:
P) 9 Q) 12 R) 13 S) 18 T) 16 RESOLUCIÓN:
)x(cot1)x(tg)xcot()x(tgM22
9)xcot()x(tg33)x(cot)xcot()x(tg2)x(tg3M 222
18927933M2
Rpta: “S”
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46
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 11
1. Si 2
1)xcos()x(sen , entonces el valor de:
)xcos(1)x(sen1)xcos(1)x(sen1E , es:
P) -1 Q) -1/3 R) 1 S) 1/3 T) ½ 2. Indicar la verdad o falsedad de las proposiciones en el orden indicado:
I. 2
sen2
sen3600
II. )2cos()2cos(1800
III. )cot()(tg2700
P) VVV Q) VFF R) FVV S) FVF T) FFF 3. Dos ángulos coterminales están en la relación de 8 a 3. Si el mayor esta en el
intervalo de 0
1870 y 0
2450 , entonces la medida del menor, es:
P) 0
864 Q) 0
373 R) 0
273 S) 0
237 T) 0
1152
4. Siendo "" y "" ángulos cuadrantales positivos y menores que 0
360 , además
1)(sen y 1)cos( , entonces el valor de 4
cos26
sen2E , es:
P) 1 Q) 4 R) 2 S) 7 T) 9
5. Si: osminter...222)(tg , tal que IIIC , el valor de:
)cos()(sen5 , es:
P) -3 Q) -2 R) -1 S) 1 T) 3
6. El valor numérico aproximado de 12
sen12
5tg
4
2E , es:
P) 1,06 Q) 1,56 R) 2,11 S) 2,14 T) 2,56
7. Al simplificar la expresión 1)(csc)(csc)(cot)(csc)(cotM22224
, se
obtiene:
P) 1 Q) )(tg2
R) )(cot2
S) )(cot6
T) )(tg6
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47
8. La raíz cuadrada de: 2
7;5x;
)x(tg)x(cot
)x(csc)x(sec31M
42
22
, es:
P) )x(sen Q) )xcos( R) )x(sen S) )xcos( T) )xsec(
9. Si 22)cos()sec( , entonces el valor de 2
45sen , es:
P) 4/1 Q) 2/1 R) 4/3 S) 12 T) 123
10. Si )cot()(tgK , entonces el valor de )(csc)(sec66
, es:
P) 46
k2k Q) 64
kk2 R) 64
kk3 S) 46
k3k T) 6
k
11. Al eliminar el sistema dado: 21
)cos()(senb
)csc()cos(2)csc(a
, se obtiene:
P) 1ba Q) 1ba R) 1ba22
S) 1ba T) 1ba
12. El valor de "m" para que E sea independiente de "x", si:
)x(sen.m)xcos()x(sen1)xcos()x(sen1E 22, es:
P) -4 Q) -3 R) 2 S) 1 T) 5
13. Si )cos()x(tg)ysec(
)(sen)y(tg)xsec(, entonces el valor de )cos()x(tg)x(tg)y(tgM ,
es:
P) 2/1 Q) 2/1 R) 2/3 S) 2/3 T) 2
14. En la igualdad: )x(tg.A)xcot()xcos()x(tg)x(sen2
, el valor de A, es:
P) )x(sec2
Q) )xsec( R) )xcsc( S) )xcsc()xsec( T) )x(csc2
15. Siendo )x(tg)xsec(
)x(tg)x(tg)xsec(f , el valor de )3(f)5(f , es:
P) 12 Q) 16 R) 17 S) 18 T) 20
16. Siendo: 8)xcos()x(sen1
)xcos()x(sen1
)xcos()x(sen1
)xcos()x(sen122
, el valor de
ICx),xcot()xcsc(Q , es:
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48
P) 1002,0 Q) 102,0 R) 103,0 S) 1003,0 T) 1015,0
17. Si: ab
ba)xcos(
b
1)x(sen
a
1, el valor de )x(tg.a)x(cot.bL
22es:
P) ba Q) ba R) ab S) )ba(ab T) ab
18. Si: 1)sec(2)(tg2
1)sec(2)(tg2, entonces el valor de
)cos(.)cos(
)cos()cos(M , es:
P) 2/23 Q) 2/1 R) 22 S) 3
23 T)
2
22
19. Si: 13
)(tg
4
)(sec44
, el valor de 27
)(tg
64
)(secM
38
, es:
P) 1 Q) 6/1 R) 12/1 S) -1 T) 0
20. En un triangulo rectángulo ABC, se tiene que: 7)Csec(2)A(sen3 , entonces el
valor de )Acot( , es:
P) 32 Q) 2 R) 1 S) 22 T) 23
21. Si el lado terminal del ángulo "" en posición normal pasa por el punto )5;4(P ,
entonces el valor de la expresión )cot(
)sec()csc(41E , es:
P) 16
630 Q)
19
630 R)
16
369 S)
16
396 T)
16
359
22. Una forma equivalente de )xcsc()xsec()xcos()xcsc()xsec()x(sen , es:
P) )x(tg)xsec( Q) )xcot()xcsc( R) )x(tg S) )xcsc()xsec( T) )xcot(
23. La forma más simple de: )xcot()xcot()xcsc(
1, es:
P) )x(sen Q) )xcos( R) )xsec( S) )xcsc( T) )xcot(
24. Al simplificar la expresión:
1)x(tg)x(sec3)x(tg
1)x(cot)x(csc3)x(cotM
226
226
, el valor que se ob-
tiene, es:
P) )x(tg4
Q) )x(cot)x(sen5
R) )x(cot)xsec(3
S) )x(sec5
T) )x(cot6
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49
25. Sabiendo que se verifica: 3
33
)xcsc()xsec(
)x(csc)x(sec
2)xcot()x(tg
m)xcot()x(tg, el valor de “m”,
es: P) 2 Q) 3 R) -1 S) 5 T) 4
26. Si: )b(tg)a(tg)x(tg
)b(tg
)x(tg
)a(tg 222
, entonces el valor de )xcos( , es:
P) )b(tg)acot( Q) )bsec()acos(2 R) )b(tg S) )b(tg)a(sen T) )b(tg)acos(
27. Si: )xsec(41)xcsc(
)x(cot
1)xsec(
)x(tg22
, entonces el valor de )xcsc()x(sen , es:
P) 3/2 Q) 5/3 R) -5/3 S) 5/2 T) -2/7
28. Si: )xsec(41)xcsc(
)x(cot
1)xsec(
)x(tg22
, entonces el valor de )xcsc()x(sen , es:
P) 3/2 Q) 5/3 R) -5/3 S) 5/2 T) -2/7
29. Si: 02
3)x(sen)x(sen
2, entonces el valor de )x(tg
4
3)x(cosD
22, es:
P) 1/4 Q) 0 R) 3 S) 2 T) -5/4
30. Si: ba
1
b
)x(cos
a
)x(sen44
, entonces el valor de 3
8
3
8
b
)x(cos
a
)x(sen, es:
P) 2
)ba(
1 Q)
3)ba(
1 R)
4)ba(
1 S)
2)ba(
a T)
2)ba(
b
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Unidad Académica deMatemática
50
12.1. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE.
Consiste en comparar el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud respecto al valor de la función trigonométrica de un ángulo del primer cuadrante.
a) CASO I. Reducción para ángulos positivos menores de una vuelta:
Si: 0º <IC
< 90º se tiene:
).(T.F)180.(T.F).(T.FCICIICII
).(T.F)180.(T.F).(T.FCICIIICIII
).(T.F)360.(T.F).(T.FCICIVCIV
b) CASO II. Reducción para ángulos positivos mayores de una vuelta:
)R(T.F)360.(T.F
Donde:
c) CASO III. Para ángulos de la forma n,)n( ℤ
)(T.F)180.(T.F
)(T.F)360.(T.F
GENERALIZANDO:
)(T.F)n.(T.F
d) CASO IV. Para ángulos de la forma 2
1n4 ó 2
3n4
)(T.F.CO)90(T.F
)(T.F.CO)270(T.F
UNIDAD
12 REDUCCIÓN DE ÁNGULOS. FUNCIONES TRIGO-
NOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS
Rq
360
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51
GENERALIZANDO:
PROPIEDADES:
P1) x+y+z = 180º.k , k ℤ
ztan.ytan.xtanztanytanxtan
1xcot.zcotzcot.ycotycot.xcot
P2) x+y+z = 90º.(2k+1) , k ℤ
zcot.ycot.xcotzcotycotxcot
1xtan.ztanztan.ytanytan.xtan
P3) x+y = 180º
ysenxsen ; ycosxcos ;
ytanxtan ; ycotxcot
P4) x+y = 360º
ysenxsen ; ycosxcos ; ytanxtan ; ycotxcot
12.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS COMPUESTOS
12.2.1. Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos:
a) Bsen.AcosBcos.Asen)BA(sen
b) Bsen.AcosBcos.Asen)BA(sen
c) Bsen.AsenBcos.Acos)BA(cos
d) Bsen.AsenBcos.Acos)BA(cos
).(T.F.CO2
1n4.T.F
).(T.F.CO2
3n4.T.F
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52
e) Btan.Atan1
BtanAtan)BA(tan f) Btan.Atan1
BtanAtan)BA(tan
g) BcotAcot
1Bcot.Acot)BA(cot
h) AcotBcot
1Bcot.Acot)BA(cot
Identidades auxiliares:
I1 BsenAsen)BA(sen.)BA(sen
22
I2 BsenAcos)BA(cos.)BA(cos
22
BcosAcos)BA(cos.)BA(cos1
22
BsenAsen)BA(cos.)BA(cos1
22
12.2.2. Funciones trigonométricas del ángulo doble:
a) Acos.Asen2A2sen
b) AsenAcosA2cos22
)b1
Asen21A2cos2
)b2
1Acos2A2cos2
c) Atg1
tgA2A2tg
2
d) Acot2
1AcotA2cot
2
Fórmulas de degradación:
e) A4cos4
1
4
3AcosAsen
44
f) A4cos8
3
8
5AcosAsen
66
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53
Fórmulas auxiliares:
g) A2cot2AtanAcot
h) Acsc.AsecA2csc2AtanAcot
12.2.3. Funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo de ángulo
doble:
1. 2tg1
tg22sen
2. 2
2
tg1
tg12cos
12.2.4. Funciones trigonométricas del ángulo triple:
a. Asen4Asen3A3sen3
b. )Asen43(AsenA3sen2
c. )1A2cos2(AsenA3sen d. Acos3Acos4A3cos
3
e. )3Acos4(AcosA3cos2
f. )1A2cos2(AcosA3cos
g. Atg31
AtgAtg3A3tg
2
3
h. Acot31
AcotAcot3A3cot
2
3
Fórmula de degradación:
i. 4
A3senAsen3Asen
3
j. 4
A3cosAcos3Acos
3
2
2tg
1 – tg2
1 + tg2
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54
Fórmula auxiliar:
k. )A60(sen.)A60(sen.Asen4A3sen
)A60(cos.)A60(cos.Acos4A3cos
l. )A60(tan.)A60(tan.AtanA3tan
12.2.5. Funciones trigonométricas del ángulo mitad:
a. 2
Acos1
2
Asen
b. 2
Acos1
2
Acos
c. Acos1
Acos1
2
Atan
d. Acos1
Acos1
2
Acot
Fórmulas auxiliares:
e. Asen
Acos1
2
Atan
f. Acos1
Asen
2
Atan
g. AcotAcsc2
Atan h. Asen
Acos1
2
Acot
i. Acos1
Asen
2
Acot j. AcotAcsc
2
Acot
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55
PREGUNTAS RESUELTAS Nº 12
1. Al reducir la expresión: )x5sec(
)x4sec(
)xcot(
x2
3tg
x2
cos
)x(senL , se obtiene:
P) 1 Q) -1 R) 2 S) -2 T) 3 RESOLUCIÓN:
1L111)xsec(
)xsec(
)xcot(
)xcot(
)x(sen
)x(senL
Rpta: “P”
2. El valor de: )10(sen3)20(sen2M00
, es:
P) )10(sen0
Q) )10cos(0
R) )10sec(0
S) )20(sen0
T) )20cos(0
RESOLUCIÓN:
)10(sen3)1030(sen2M000
→
)10(sen3)10(sen2
3)10cos(
2
12M
000
)10cos(M)10(sen3)10(sen3)10cos(M0000
Rpta: “Q”
3. Al reducir )x3(sen)x(cos)x3cos()x(senK33
, el valor que se obtiene, es:
P) )x2(sen4
3 Q) )x3(sen
4
3 R) )x2(sen S) )x3cos( T) )x4(sen
4
3
RESOLUCIÓN:
)x(sen4)x(sen3)x(cos)xcos(3)x(cos4)x(senK3333
)x(cos)x(sen4)x(cos)x(sen3)xcos()x(sen3)x(cos)x(sen4K333333
)x4(sen4
3K)x2cos()x2(sen
2
3)x(sen)x(cos)xcos()x(sen3K
22
Rpta: “T”
4. Al simplificar:
)x360(tg)x270(sen)x540cos(
)x180(tg)90xcos()x180(senE
000
000
, se obtiene:
P) )x(tg2
Q) )x(sen2
R) )x(cos2
S) )x(sen2
T) )x(tg2
RESOLUCIÓN:
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56
)x(tgE
)x(cos
)x(sen
)x(tg)xcos()xcos(
)x(tg)x(sen)x(senE
2
2
2
Rpta: “P”
5. Si: 0)26(bsen)26cos(a00
, entonces el valor de
)10(tgba
b)10(tgaR
0
0
aproxima-
damente, es:
P) 5/14 Q) 25/24 R) 7/24 S) 24/7 T) 7/1
RESOLUCIÓN:
)64(tg)26cot(a
b)26(bsen)26cos(a
0000
ii) 7
24)74(tg)6410(tg
)10(tg)64(tg1
)64(tg)10(tg
)10(tga
b1
a
b)10(tg
R000
00
00
0
0
Rpta: “R”
6. En un triángulo ABC, si )C(sen)CBcos(2)BA(sen , entonces el valor de
)C4(sen)B4(sen)A4(sen1
)A2cos()C2cos()B2cos(1W , es:
P) 1 Q) 2 R) 4 S) 1 T) 2/1 RESOLUCIÓN:
i) C180BA180CBA00
)C(sen)CBcos(2)C180(sen)C(sen)CBcos(2)BA(sen0
2
A2
CB0)CBcos(2)C(sen)CBcos(2)C(sen
ii))C4(sen)C4(sen)2(sen1
)1()C2cos()C2cos(1
)C4(sen)C42(sen)A4(sen1
)cos()C2cos()C2cos(1W
2W1
11W .
Rpta: “Q”
7. Si: 1)cos(
)3cos(7
)(sen
)3(sen3, entonces el valor de )6cos( , es:
P) 5/11 Q) 16/11 R) 15/11 S) 16/11 T) 11/16
RESOLUCIÓN:
11)2cos(2)cos(
)cos(71)2cos(2
)(sen
)(sen3
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57
4
1)2cos(5)2cos(20 .
Luego: )2cos(3)2(cos4)2(3cos)6cos(3
16
11)6cos(
16
121
4
3
16
1
4
13
4
14)6cos(
3
Rpta: “S”
8. Al simplificar la expresión: )cot(2
)(cot1
)45(tg1
)45(tg1H
2
02
0
, se obtiene:
P) 0 Q) 1 R) 2 S) 3 T) 4
RESOLUCIÓN:
Sea: 0
45x )cot(2
)(cot1
)x(tg1
)x(tg1H
2
2
2
)2csc()45(2sec)2csc()x2sec(H0
0H)2csc()2csc()2csc()290sec(H0
Rpta: “P”
9. Si: 7/4)x2cos( , entonces el valor de )x60(sen)x60(senN0202
, es:
P) 5/3 Q) 7/9 R) 3/7 S) 5/4 T) 8/7
RESOLUCIÓN:
)x60(sen2)x60(sen2N20202
)x60(2cos1)x60(2cos1N200
7
9N
7
10
7
42)x2cos()
2
1(22)x2cos()120cos(22N2
0
Rpta: “Q”
10. Si: m
)mx(senx
4senx
4sen)x2(sen , entonces el valor de “m”, es:
P) 2 Q) 4 R) 8 S) 16 T) 3
Resolución:
)x(sen2
1)x2(sen)x(sen
4sen)x2(sen
m
)mx(sen 222
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58
)x2cos()x2(sen2
1)x(sen21)x2(sen
2
1
m
)mx(sen 2
4m)x4(sen4
1
m
)mx(sen
Rpta: “Q”
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59
PREGUNTAS PROPUESTAS N° 12
1. Si: 3,0)25(sen0
; entonces el valor de )115cos()205(senK00
, es:
P) 0,3 Q) 0,9 R) -0,3 S) 0,09 T) -0,09
2. Si se cumple: 1
)300(tg
)x270cos()x180(sen
0
00
, entonces el valor de “x”, es:
P) 0
15 Q) 0
30 R) 0
37 S) 0
60 T) 0
75
3. Al simplificar la siguiente expresión:
)x40cot(
)x50(tg)x230(tgM
0
00
, el valor que se
obtiene, es:
P) 1 Q) 2 R) -1 S) )x(tg T) )xcot(
4. Si:
)91cos()97cos()103cos()109cos(
)161(sen)167(sen)173(sen)179(senM
0000
0000
, entonces el valor de
1M , es: P) 2 Q) 0 R) 1 S) 3 T) -1
5. El valor de: )397csc(3)4440sec()2925(tgE000
, es:
P) -2 Q) - 1 R) 1 S) 5 T) 8
6. El valor de:
)290(sen)520cos(
)340(sen)200(senM
00
00
, es:
P) )20(tg0
Q) )170cot(0
R) )100cot(0
S) )300cot(0
T) )160(tg0
7. Si: 0
270BA y 3x)A(sen ,x
2)Bcos( , entonces el valor de “x”, es:
P) -1 Q) 2 R) -1 S) -2 T) 3
8. Si:000
27018090 . Además: )20(sen)cos(0
; )20cot()(tg0
,
entonces el valor de: , es:
P) 0
120 Q) 0
130 R) 0
140 S) 0
150 T) 0
160
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60
9. Si: 2
143cot
)990(tg2
39cos
2
99sec
)501(tg2
103csc
2
49sen 0
y 22
3, enton-
ces el valor de , es:
P) 4
7 Q)
3
5 R)
7
13 S)
8
9 T)
6
11
10. Siendo y las medidas de los ángulos que cumplen:
)cos(3
1)cos()(sen)(sen , entonces el valor de )cos( , es:
P) 3
2 Q)
4
3 R)
3
22 S)
3
3 T)
3
2
11. El valor de:
200
200
)20(sen)80(sen)20cos()80cos(M
P) 2 Q) 3 R) 2
5 S)
2
7 T) 4
12. El valor de:
)50(tg
)20(tg)70(tgE
0
00
P) 0,5 Q) 1 R) 2 S) 2,5 T) 3
13. De la figura, el valor de )(tg
P) 2 Q) 3
R) 2
5
S) 2
7
T) 4
14. Si: )x2cos(45
32)x30(tg)x30(tg
00, entonces el valor de )x2cos( , es:
P) 3/1 Q) 3/2 R) 1 S) 3/4 T) 3/5
5 2
3
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61
15. Al simplificar la expresión:
)x3cos()x(cos
)x(sen)x3(senF
3
3
, el valor que se obtiene, es:
P) )x(tg Q) )xcot( R) )x(sen S) )xcos( T) )xsec(
16. El valor de )82(cos)8(cosM0404
, es:
P) 0,92 Q) 0,93 R) 0,94 S) 0,96 T) 0,68
17. Si: 01)x(tg)x(tg2
, entonces el valor de )x4cos()x4(senE , es:
P) 2/1 Q) 3/1 R) 4/1 S) 5/1 T) 6/1
18. Si: 25,1)xcsc( ; entonces el valor de )2/xcot()2/x(tg
)2/x(cot)2/x(tgE
33
P) 3,50 Q) 3,25 R) 5,25 S) 1,75 T) 4,50
19. En la figura: DC2BD3AB2 , el valor de )(tg , es:
P) 19
5
Q) 19
6
R) 19
7
S) 19
8
T) 19
9
20. Si A es el máximo valor de )30xcos()60x(sen)x(g00
y B es su mínimo
valor, entonces el valor de A + B, es:
P) 0 Q) 2
1 R)
3
1 S)
2
1 T)
4
5
21. Si conocemos 2x17
tg , entonces el valor de x68
21cotM
P) 3 Q) 3
1 R)
3
1 S) 3 T)
2
1
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62
22. Sabiendo que a)x2cos( , entonces el valor de )x(tg)x3(tg3
)x(tg3)x3(tgE , es:
P) a-1
a1 Q)
1-a
a R)
a1
a1 S)
a1
a T) 1-a2
23. Si 7
3)x26(tg
0, entonces el valor de )x19(tg
0, es:
P) 0,3 Q) 0,4 R) 0,6 S) 0,7 T) 2
1
24. En un triángulo rectángulo ABC recto en C, entonces el valor de:
2
Ctg1
2
Btg1
2
Atg1M , es:
P) 3 Q) 4 R) 2 S) 1 T) 2
1
25. Si: 1n
1n
)x(tg
)x3(tg, entonces
)x3(sen
)x(sen en términos de “n”, es:
P) 1n Q) 1
)1n( R) n/2 S) 1n T) 1
)1n(
26. Del grafico la medida del ángulo , es:
0
0
0
0
0
48)T
51)S
36)R
17)Q
39)P
H A
B
C
D
E
a
a4
017
043
013
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63
27. El triangulo ABC es rectángulo isósceles. Si NBMNAM ; entonces )(tg , es:
28. Si: )x5,52(tg)x5,52(tg)5,7(tg0002
, entonces el valor de )"x(tg"2
, es:
a) 3
3 b) 1 c) 3 d)
6
3 e) -1
29. Dada la ecuación: 01x6x3x223
, si una de las raíces es )(tg , entonces
el valor de )6(tg , es:
P) 4
7 Q)
3
5 R)
7
3 S)
3
4 T)
4
3
30. Al reducir la expresión: )x10cos()x8cos()x6cos()x4cos()x2cos(1
)x10(sen)x8(sen)x6(sen)x4(sen)x2(senE ,
se obtiene:
P) )x3(tg Q) )x5(tg R) )x3(sen S) )x5(sen T) )x5cot(
B
D A
M
N
E
D
11
6)T
11
5)S
11
4)R
11
3)Q
11
2)P
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64
13.1. TRANSFORMACIONES DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO
2
BAcos.
2
BAsen2BsenAsen
2
BAcos.
2
BAsen2BsenAsen
2
BAcos.
2
BAcos2BcosAcos
2
BAsen.
2
BAsen2BcosAcos
13.2. TRANSFORMACIONES DE PRODUCTO A SUMA Ó DIFERENCIA
)BA(sen)BA(senBcos.Asen2
)BA(sen)BA(senAcos.Bsen2
)BA(cos)BA(cosBsen.Asen2
)BA(cos)BA(cosBcos.Acos2
13.3. SERIES TRIGONOMÉTRICAS
2
UPsen.
2
rsen
2
rnsen
r)1n(xsen...)r2x(sen)rx(senxsen
2
UPcos.
2
rsen
2
rnsen
r)1n(xcos...)r2x(cos)rx(cosxcos
n: Número de términos r: razón U: Último ángulo P: Primer ángulo
UNIDAD
13 Transformaciones Trigonométricas
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65
Propiedades: P.1 Si: A + B + C = 180º, se cumple:
a) 2
Ccos.
2
Bcos.
2
Acos4CsenBsenAsen
b) 12
Csen.
2
Bsen.
2
Asen4CcosBcosAcos
P.2 Si: A + B + C = 360º, se cumple:
a) 2
Csen.
2
Bsen.
2
Asen4CsenBsenAsen
b) 12
Ccos.
2
Bcos.
2
Acos4CcosBcosAcos
P.3 0)120x(senxsen)120x(sen
0)120x(cosxcos)120x(cos
P.4 2/3)120x(senxsen)120x(sen222
2/3)120x(cosxcos)120x(cos222
P.5 8/9)120x(senxsen)120x(sen444
8/9)120x(cosxcos)120x(cos444
P.6 2
1
1n2
n2cos...
1n2
6cos
1n2
4cos
1n2
2cos
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66
P.7 2
1
1n2
)1n2(cos...
1n2
5cos
1n2
3cos
1n2cos
P.8 n2
1n2
1n2
nsen...
1n2
3sen
1n2
2sen
1n2sen
P.9 n2
1
1n2
ncos...
1n2
3cos
1n2
2cos
1n2cos
P.10 1n21n2
ntan.....
1n2
3tan.
1n2
2tan.
1n2tan
13.4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
Se sabe que todo triángulo tiene seis elementos básicos, tres lados y tres ángulos. Además otros elementos auxiliares como alturas, medianas, bi-sectrices, etc.
Resolver un triángulo consiste en hallar los elementos básicos de este, para lo cual debemos conocer por lo menos tres de sus elementos (nece-sariamente uno de ellos no angular).
13.4.1.Ángulos verticales.
Se denominan ángulos verticales a aquellos contenidos en un plano vertical, el cual a su vez deberá contener al observador, a la recta horizontal y al objeto observado. Existen dos tipos de ángu-los verticales.
Ángulo de elevación.
Ángulo de depresión:
OBSERVADOR
RECTA HORIZONTAL
LÍNEA VISUAL
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
OBJETO
OBSERVADOR
RECTA HORIZONTAL
LÍNEA VISUAL
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
OBJETO
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67
13.4.2.Ángulos horizontales.
En la superficie de la tierra es frecuente definir las direcciones que marcan la aguja magnética en el compás náutico o brújula. Dichas direcciones llamadas rumbo del compás, se obtienen dividiendo en ocho partes cada uno de los cuadrantes comprendidos entre los cuatro puntos cardinales: Norte (N), sur (S), Este (E) y Oeste (O). estos cuatro rumbos y los correspondientes a las bisectrices de los cuadrantes: Nor – Este, Sur – Este, Sur – Oeste y Nor – Oeste, constituyen los rumbos principales, se consideran otros cuatro a los que llamaremos cuartos del compás. En total la Rosa Náutica tiene 32 cuartos. El menor ángulo formado por dos direcciones contigúas mide 11º15’
PROPIEDADES: P.11 La dirección NE es equivalente a escribir N 45º E y viceversa, la direc-
ción S 1/4 SO es equivalente a S 11º15’ O, la dirección NO 1/4 O es equivalente a N 56º15’ O y viceversa.
P.12 Cuando se dan problemas con ambos ángulos (verticales y horizonta-
les), se resolveráasumiendo un diagrama tridimensional para conjugar ambos aspectos.
13.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTANGULOS Y OBLICUANGULOS
Resolver un triángulo es conocer las medidas de sus lados, angulos, líneas notables, perímetro, area, etc.
13.5.1. Resolución de triángulos rectángulos.
Como en un triángulo rectángulo hay un dato que es el ángulo recto, entonces basta con conocer dos de sus elementos (al menos un la-do) para hallar los restantes.
13.5.2. Fórmulas para el cálculo de las líneas notables utilizando trigo-nometría
NE
E
SE
S
NO
O
SO
NNE
OSO
SSO
ESE
ENE
NNO
ONO
SSE
N
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1. ALTURA (Es una ceviana)
bh altura relativa al lado AC
Asen.chb
bmnncmab.h222
b
2. MEDIANA (Es una ceviana)
bm mediana relativa al lado AC
Bcos.ac2cam4222
b
2
bcam2
2222
b
3. BISECTRIZ INTERIOR (Es una ceviana)
bx Bisectriz relativa al lado
AC
2
Bcos.
ca
ac2x
b
n.mc.axd2
b
2
4. BISECTRIZ EXTERIOR
bx Bisectriz relativa a la prolonga-
ción de AC
2
Bsen.
ac
ca2x
b
c.an.mxd2
b
2
A
B
C M
c a
b
d = mb
A
B
C P
c a
b
d = xb
m n
A
B
C P
c a
b
xb=d
n
m
B
C H
c a
m n
b
d = hb
A
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69
5. CEVIANA
bx Ceviana relativa al lado de AC
bmnmancb.d222
13.5.2. Resolución de triángulos oblicuángulos. Para la resolución: de triángulos oblicuángulos es importante el es-
tudio de las siguientes leyes:
A. Ley de los senos.-
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
B. Ley de los cosenos.
Acos.cb2cba222
Bcos.ca2cab222
Ccos.ba2bac222
A
c
b
a
C
B
A
B
C D
c a
b
d = xb
m n
A
c
b
a
C
B
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70
PREGUNTAS RESUELTAS Nº 13
1. Si las medidas de los lados de un triángulo son )1n2( , )1n2( y )3n2( , el
ángulo mayor mide 0
120 , entonces el valor de “n”, es:
P) 2 Q) 1 R) 4 S) 3 T) 6 RESOLUCIÓN:
A mayor Angulo mayor lado; Usando la ley de cosenos:
)120cos()1n2)(1n2(2)1n2()1n2()3n2(0222
)2
1)(1n4(22n89n12n4
222
2n02n3n208n12n8
22
Rpta: “P”
2. El valor de )31sec()14cos()14(senP000
, es:
P) 2/3 Q) 3 R) 2/1 S) 2/2 T) 2
RESOLUCIÓN:
)31sec()76(sen)14(senP000
2P2
22)31sec()31cos()45(sen2P
000
Rpta: “T”
3. En un triángulo ABC se cumple: ;aBC ;bAC ;cAB entonces el valor de:
)B(sen
)A(sen
b
aM , es:
P) 0 Q) 1 R) 2 S) 3 T) 4 RESOLUCIÓN:
Por Ley de Senos: )B(sen
)A(sen
b
a
)B(sen
b
)A(sen
a
Luego: 0Mb
a
b
aM
Rpta: “P”
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71
4. De la figura mostrada, el valor de sen( ) , es:
P) 2
3
Q) 3
3
R) 2/1
S) 2/1
T) 2/3
RESOLUCIÓN:
0
180ADB
:BCD )cos(3034)cos()3)(5(235a222
:ABD )cos(8089)180cos()5)(8(258a0222
Luego: 2
1)cos()cos(11055)cos(8089)cos(3034
120 . De aquí: 2
3)120(sen)(sen
0
Rpta: “P”
5. Al simplificar: )x(sen
)x3(sen
)xcos(
)x3cos(Q , se obtiene:
P) 1 Q) -2 R) )x(sen S) )x3cos( T) )x3(tg
RESOLUCIÓN:
)xcos()x(sen
)x2(sen
)xcos()x(sen
)xcos()x3(sen)x(sen)x3cos(Q
2Q)xcos()x(sen
)xcos()x(sen2Q
Rpta: “Q”
6. Si: 9
4sen
9
2sen
9senM
222, entonces el valor de 2M + 1, es:
P) Q) 4 R) 5 S) 6 T) 8
RESOLUCIÓN:
9
4sen2
9
2sen2
9sen2M2
222
)9
8cos(1)
9
4cos(1)
9
2cos(1M2
8 3
5
a a
A
B
C D
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72
S
O 36
24
037
N
20
220
x
045
4
)9
8cos()
9
4cos()
9
2cos(3M2
)9
2cos()
3
2cos(2)
9
2cos(3M2
)9
2cos()
9
2cos(3)
9
2cos()
2
1(2)
9
2cos(3M2
41M23M2 Rpta: “Q”
7. Un móvil recorre 5 km en la dirección O37N0
, luego recorre 220 km en la di-
rección NE y finalmente recorre 19 km al este; entonces la distancia que se en-cuentra la móvil con respecto a su posición inicial, es:
P) km10 Q) km20 R) km15 S) km25 T) km1174
RESOLUCIÓN:
222
3624x
1171618722
x
1174x
8. En un triángulo ABC se cumple: ;52AC 53AB y 0
60Cm , entonces la
medida del lado BC , es:
P) 35 Q) 7 R) 19 S) 17 T) 21
Resolución: Usando la Ley de cosenos:
)60cos()52)(53(2)52()53(x0222
35x35)2
1(602045x
2
Rpta: “ P”
E
Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica
73
9. En la siguiente identidad: 1)x4cos(M)x3(sen)x2(sen)x(sen
)x7(sen)x6(sen)x5(sen, el valor de
M , es:
P) 1 Q) 5 R) 2 S) 3 T) 6
Resolución:
1)xcos(2)x2(sen
1)xcos(2)x2(3sen
)x2(sen)xcos()x2(sen2
)x6(sen)xcos()x6(sen21)x4cos(M
2M1)x4cos(2)x2(sen
1)x4cos(2)x2(sen
)x2(sen
)x2(3sen1)x4cos(M
Rpta: “R”
10. Al simplificar x3
2senx
3
2sen)x(senY
222, se obtiene:
P) - 1 Q) 1 R) 3/2 S) 2/1 T) 2/3
RESOLUCIÓN:
22002
)x(sen2
1)xcos(
2
3)120cos()x(sen)xcos()120(senx
3
2sen
... (1)
22002
)x(sen2
1)xcos(
2
3)120cos()x(sen)xcos()120(senx
3
2sen
. . . (2)
Luego: 2
3Y)x(cos)x(sen
2
3)x(sen
2
1)x(cos
2
3)x(senY
22222
Rpta: “T”
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74
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 13
1. Al reducir: J =Sen7x Sen5x
Sen6x Sen4x
+
+, el valor que se obtiene, es:
P) Sen5xSen4x
Q)Sen6xSen5x
R)Sen7xSen5x
S)Sen7xSenx
T) Sen12xSe10x
2. Al simplificar: J = Sen80 Sen20
Cos20 Cos80
° + °
° - °, el valor que se obtiene, es:
P) 3 Q) 3 /3 R) Tg50 S) Ctg50 T) - 3
3. Al reducir: L = Senθ Sen5θ Sen9θ
Cosθ Cos5θ Cos9θ
+ +
+ +, se obtiene:
P) Tg Q) Tg5 R) Tg9 S) Ctg9 T) Ctg5
4. Si: 6
1)x(sen , entonces el valor de
)x(sen)x5(sen
)x4cos()x(sen)x(cosA
44
, es:
P) 5
6
Q)
4
6 R)
2
6 S) 6 T) 62
5. Al simplificar la expresión
)2/x(sen)x2(sen4)x3(sen
)x(sen)xcos()x(sen4F
2, el valor que se obtie-
ne, es:
P) 1 Q) 2/1 R) 2/1 S) 1 T) 2
6. Si: )x3(tg5)x4cot( , entonces el valor de )xsec()x7cos( , es:
P) 1 Q) 2/1 R) 2/3 S) 3/1 T) 3/2
7. Si:
)34(sen1
)17(sen
)34(sen1
)17cos(M
0
0
0
0
, entonces el valor que se obtiene al simpli-
ficarlo, es:
P) )17sec(0
Q) )34sec(0
R) )17(tg0
S) )34(tg0
T) )17cot(0
8. Si: p)y(sen)x(sen y q)ycos()xcos( , ( 0qp22
), entonces el valor de
)yxcos( , es:
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75
P) 22
qp
pq2 Q)
22qp
pq2 R)
22
22
qp
q3p S)
22
22
qp
pq T)
pq2
qp22
9. Un cuadrilátero, inscrito en una circunferencia, tiene dos lados consecutivos igua-
les la diagonal que une los extremos de los lados iguales mide 223 ; el ángu-
lo opuesto, en el cuadrilátero, al ángulo comprendido entre dichos lados iguales,
mide 0
135 . Entonces la medida de uno de los lados iguales, es
P) 3 Q) 4 R) 5 S) 6 T) 7
10. Sea el triangulo ABC de lados AB = AC y 2BC . Si la bisectriz del ángulo B
corta al lado opuesto en D y BD = 1, entonces los ángulos A y B son:
P) 00
45y120 Q) 00
45y105 R) 00
30y120 S) 00
60y120 T)00
10y125
11. Si: )xcos()x3(cos83)x2cos(3)x2(cos6)x8cos()x10cos(W32
,
entonces el valor de 2W, es: P) 2 Q) 1 R) 0 S) 4 T) -1
12. Si:
)42(sen)24cos(
)84cos()30(sen)12cos(W
00
000
, entonces el valor de W + 1, es:
P) 2 Q) 3/2 R) 1/2 S) 1 T) 3 13. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrilátero,
,x3EABm,xDAEm ,CADC,CABE
kADAB , entonces el área de la región BCDE, en términos de k, y “x”, es: 14. A partir de la figura que se muestra, la medida del ángulo , es:
A
B
C E
D )x2(senk)T
)x2(senk2)S)x2(senk)R
)x2(ksen2)Q)x2(ksen)P
32
322
33
0
00
00
8)T
12)S18)R
15)Q10)P
2 3
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76
15. Si: 0
0CBA , entonces el valor de "m" para que se cumpla que:
2
Csen
2
Bsen
2
Amsen)C(sn)B(sen)A(sen , es:
P) 4 Q) 2 R) 1 S) -2 T) -4
16. El valor de
)28cos()66(sen
)4cos(
)38cos()62(sen
)10cos(
)24cos()52(sen
)14cos(K
00
0
00
0
00
0
, es:
P) -3 Q) -3/2 R) 3/2 S) 3 T) 4
17. Se sabe que:
)x(cos1
)x(sen1
)x(tg
)(tg
2
2
, entonces el valor de
)x3(sen)xcsc(W , es:
P) )xcos( Q) )xcos(2 R) )x3cos( S) )x3cos(2 T) )x2cos(2
18. Un avión pasa sobre una ciudad a 4 km de altura, 3 minutos después el ángulo de
elevación del avión es de 0
53 . La velocidad del avión en km/h, es:
P) 1 km/h Q) 3 km/h R) 6 km/h S) 60 km/h T) 12 km/h
19. Un árbol quebrado por el viento forma un triangulo rectángulo con el suelo. La altura del árbol, si la parte que ha caído hacia el suelo forma con este un ángulo
de 0
37 y la parte del tronco que ha quedado en pie tiene una altura de 30 me-
tros, es:
P) 10 m Q) 60 m R) 80 m S) 50 m T) 90 m
20. Un niño está volando su cometa soltándole cuerda, la misma que se mantiene
tensa y haciendo un ángulo con la horizontal. A 120m detrás del niño hay un hombre, cuando la cometa se encuentra a 20m de la altura, el hombre la observa
con un ángulo respecto a la horizontal. ¿A cuántos metros de altura se encon-
trará la cometa para que sea observada por el hombre con un ángulo de 2 ? Con-
sidere 3
1)(tg .
P) 637/123 Q) 1285/17 R) 1080/13 S) 1561/19 T) 637/13 21. Desde lo alto de un árbol se ve lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de
37°, y se ve también la parte baja con un ángulo de depresión de 53°. Si la distan-cia del árbol al edificio es de 12 m, la suma de las alturas del árbol y el edificio es:
P) 37 m Q) 38 m R) 39 m S) 40 m T) 41 m
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77
22. Desde un punto en tierra ubicado a una distancia de 20 m de una torre, se divisa
su parte más alta con un ángulo de elevación " " (Tg = 1,5), entonces la altura de la torre, es:
P) 15 m Q) 30 m R) 60 m S) 40 m T) 45 m 23. Un avión que vuela en línea recta y horizontalmente, antes de pasar sobre los
puntos en tierra "A" y "B", las observa con ángulos de depresión " " y " " respecti-vamente. Cuando está sobre "A" es visto desde "B" con un ángulo de elevación
" ". Si: Ctg = 1/3 ; Ctg = 1/2, el valor de Ctg , es: P) 1 Q) 2/5 R) 1/5 S) 1/4 T) 2 24. Un niño está ubicado en el punto medio entre un poste y un árbol. Si el niño divisa
lo alto del poste, cuya altura es el triple de su estatura, con un ángulo de elevación que es el complemento del ángulo de elevación con que mira al árbol, siendo la altura del árbol cinco veces su estatura. El producto de cotangen-tes de los ángulos de depresión con que se ve los pies del niño desde lo alto del poste y lo alto del árbol es:
P) 1/5 Q) 2/15 R) 2/5 S) 4/5 T) 8/15
25. En un triangulo ABC:a b c3 5 7
= = ; entonces la medida del ángulo C, es:
P) 60° Q) 120° R) 135° S) 30° T) 45°} 26. En un triangulo ABC de perímetro 20cm, el valor de: K = (a+b)CosC+(b+c)CosA+(c+a)CosB, es: P) 10cm Q) 20 cm R) 30 cm S) 40 cm T) 50 cm
27. En un triangulo ABC: A = 30° ; C = 45º y c = 2 2 , entonces el valor de “a”, es:
P) 2 Q) 2 R) 4 S) 1 T) 4 2 }
28. En un triangulo ABC: a = 3 y b = 4, el valor de Q = 2SenB SenA
2SenB SenA
+
-, es:
P) 1,2 Q) 2,1 R) 2,2 S) 2,3 T) 2,4
29. En un triangulo ABC: 2 2 2a b c ac= + - , entonces la medida del ángulo “B”,
es: P) 30° Q) 60° R) 45° S) 37° T) 53°
30. En un triangulo ABC, al reducir: Q = aSenB bSenA
aSenC cSenA
+
+, el valor que se obtiene,
es:
P) senBsenC
Q) senAsenC
R) senCsenA
S) senCsenB
T) senAsenB
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78
14.1. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Son igualdades condicionales de modo que la variable angular representada por “x” u otra letra o arcos de la forma “ax+b” se encuentran afectados de algún operador trigonométrico, es decir de las algunas de las 6 funciones tri-gonométricas directas o inversa.
14.2. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES
Son ecuaciones de la forma FT (ax+b) = N, donde N Ran (FT), a y b son constantes reales con a≠0 y ax+b = arc F.T(N).
14.3. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
1. Solución Principal (Sp)
Es el menor valor angular no negativo del ángulo dado que verifica la ecuación trigonométrica dada.
Ejemplo: Cos x = 1/2 Sp = 60º
2. Solución Básica (Sb)
Es el conjunto de valores angulares que satisfacen la ecuación trigo-
nométrica dada y se encuentran en el intervalo 2;0
Ejemplo : Cos x = 0,5 Sb = º300;º60
3. Solución General (Sg)
Es el conjunto de todos los valores angulares (Positivos, negativos o ce-ro) que satisfacen la ecuación trigonométrica dada.
14.4. TIPOS DE SOLUCIONES GENERALES
a. Senx = N , con N 1;1 k,S.)1(kS
p
k
gℤ
b. Cosecx = N , con N ℝ 1;1
k,S.)1(kSp
k
gℤ
c. Cosx = N , con N 1;1 k,Sk2S
pgℤ
d. Secx = N , con N ℝ 1;1
k,Sk2Spg
ℤ
e. Tanx = N , con N ℝ k,SkSpg
ℤ
f. Cotx = N , con N ℝ k,SkSpg
ℤ
UNIDAD
14 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.- LIMITES
TRIGONOMÉTRICOS
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79
14.5. MÉTODO PARA HALLAR LA SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL.
Para usar este método se realizan los siguientes pasos:
a. Se determina la Sp de la ecuación trigonométrica elemental. b. Se iguala el ángulo o arco a una de las expresiones generales, según sea
el caso, luego se despeja la variable “x” obteniéndose la solución general de la ecuación trigonométrica elemental.
Ejemplo 1
La solución general de2
1=x2Sen es :
RESOLUCIÓN:
i. 6
πS
2
1arcSenS
pp
ii. luego aplicamos el método general
k,S)1(kx2p
kℤ
K π2x Kπ ( 1) , K Z
6
K π,
12
Kπx ( 1) K Z
2
14.6. SISTEMA DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Un sistema de ecuaciones trigonométricas es un conjunto de ecuaciones de las cuales al menos una es trigonométrica donde intervienen dos o más incógnitas.
Observaciones.
1O . Para resolver un sistema de ecuaciones trigonométricas deben haber
tantas ecuaciones como incógnitas tenga el sistema.
2O . No existe un método a seguir para la RESOLUCIÓN de un sistema de
ecuación trigonométrica, por tanto es aconsejable aplicar ciertos con-ceptos algebraicos trigonométricos que nos permitan llegar a determinar alguna relación simple entre las incógnitas o el conjunto SOLUCIÓN de
ellas.
3O . En un sistema de ecuaciones trigonométricas se debe tener mucho cui-
dado al expresar el conjunto SOLUCIÓN de cada una de las incógnitas
puesto que al remplazar a la vez en cualquiera de las ecuaciones deben satisfacer la igualdad.
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80
14.7. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
Sea funa función definida en todo punto de algún intervalo abierto I ℝ que
contenga a “p”, excepto posiblemente en el número “p” Si el límite de f(x)
cuando “x” se aproxima a p es “L”, entonces se denota por: Lxflimpx
y se
define de la siguiente manera:
L)x(fpx0/0,0)x(flimLpx
Teorema
Sean f, g y h tres funciones de variable real y el punto “p”
Si LxflimentoncesLxhlimxglimxhxfxgpxpxpx
14.8. LÍMITES UNILATERALES
14.8.1. Definición. Sea funa función definida en todo punto de algún inter-
valo abierto I = p;q . Si el limite de f(x) cuando “x” se aproxima a
“p” por la izquierda es “L” entonces se denota por: )x(flim
px
y se
define como:
L)x(fpx0/0,0)x(flimL
px
14.8.2. Definición. Sea f una función definida en todo punto de algún in-
tervalo abierto I = p;q . Si el limite de )x(f cuando “x” se aproxi-
ma a “p” por la derecha es L entonces se denota por: )x(flim
px
y
se define como:
L)x(fpx0/0,0)x(flimL
px
Teorema:
L)x(flim)x(flimL)x(flim
pxpxpx
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81
14.9. LÍMITES NOTABLES Nota: x representa una variable
a. 1x
xsenlim
0x
b. 1x
xtglim
0x
c. 1x
xarcsenlim
0x
d. 0xsenlim0x
e. 1xcoslim0x
f. 0x
xcos1lim
0x
g. 2
1
x
cos1lim
20x
h. 0)xarcsen(lim0x
i. 2)xcosarc(lim
0x
j. 1x
1elim
x
0x
k. e)x1(limx/1
0x
l. ex
11lim
x
0x
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NOTAS:
i. 2
x1
xtgarcsenxarc
ii. xy1
yxtgarcytgarcxtgarc
iii. xy1
yxtgarcytgarcxtgarc
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PREGUNTAS RESUELTAS Nº 14
1. Si: 1)x2cos()x2(sen , entonces el menor valor positivo de “x”, mayor que
2/ es:
P) 4/ Q) 6/ R) 7/ S) 4/3 T) 12/
RESOLUCIÓN:
0)x4(sen1)x4(sen1)1()x2cos()x2(sen22
;...4
3;
2;
4x,...3;2;x4 . Solo
4
3x
Rpta: “S”
2. Si: 01)x(csec)x(tg22
, entonces la suma de las soluciones positivas meno-
res que 0
360 , es:
P) 0
120 Q) 0
150 R) 0
180 S) 0
210 T) 0
240
RESOLUCIÓN:
01)xsec()x(sec201)x(csec1)x(sec222
0
180x1)xsec(01)x(sex1)xsec(2 Rpta: “R”
3. Al resolver: 4
13tg)x3(tg)x5(tg , la menor solución positiva, es:
P) 12/ Q) 6/ R) 16/ S) 8/3 T) 15/2
RESOLUCIÓN:
)x3cos()x5cos(2)x3(sen)x5(sen21)x3cos(
)x3(sen
)x5cos(
)x5(sen
16
x2
x80)x8cos(2)x8cos()x2cos()x2cos()x8cos(
Rpta: “R”
4. Al resolver la ecuación: 2)x2(tgx4
tg ; donde x0 , entonces el
número de soluciones, es: P) 2 Q) 5 R) 6 S) 4 T) 7
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84
RESOLUCIÓN:
2
)x(tg1
)x(tg2)x(tg12
)x(tg1
)x(tg2
)x(tg1
)x(tg1
2
2
2
3
3)x(tg1)x(tg3)x(tg22)x(tg1
222
i) 6
7;
6x
3
3)x(tg ii)
6
11;
6
5x
3
3)x(tg
Luego: 6
5;
6x (hay dos soluciones)
Rpta: “P”
5. El valor de “x” que satisface la ecuación: 3)x(sen3)xcos( , es:
P) 0
120 Q) 0
37 R) 0
53 S) 0
60 T) 0
30
RESOLUCIÓN:
2
3)x(sen)60(sen)xcos()60cos(
2
3)x(sen
2
3)xcos(
2
1 00
0000
30x30x602
3)x60cos( .
También: 000
90x3060x Rpta: “T”
6. Si: 20x x
)xcos(1limL , entonces el valor de “L + 1”, es:
P) 2/1 Q) 2/3 R) 0 S) 2/1 T) 1
RESOLUCIÓN:
2
31L
2
1
x
)xcos(1limL
20x Rpta: “Q”
7. El valor de )x(xsen
)xcos(1limL
0x, es:
P) 1 Q) 2 R) 2/1 S) 4/1 T) 1 RESOLUCIÓN:
2
1L
11
1)1(
)xcos(1
1
x
)x(senlimL
)x(xsen
)xcos(1limL
0x0x
Rpta: “R”
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85
8. Al calcular:
)x3(xsen
)x2(senlimL
2
3
0x, se obtiene:
P) 9/1 Q) 9/8 R) 9/8 S) 2/3 T) 0
RESOLUCIÓN:
9
8L
x
)x3(sen
x
)x2(sen
lim
)x3(xsen
)x2(senlimL
2
2
3
3
0x2
3
0x
Rpta: “R”
9. El valor de )x(senx
)x(senxlimL
0x, es:
P) 0 Q) 1 R) 1
1 S)
1
1 T) 2/1
RESOLUCIÓN:
1
1
x
)x(sen1
x
)x(sen1
lim)x(senx
)x(senxlimL
0x0x
Rpta: “R”
10. Si: 2
2
0xx
24xsen
limL , entonces el valor de L, es:
P) 3/4 Q) 4/1 R) 2/1 S) 5/1 T) 4/3
RESOLUCIÓN:
2
2
2
2
0x2
2
0xx
24x
24x
24xsen
lim
x
24xsen
limL
4
1
24x
1lim
24xx
xlim
24x
24x
x
24xlim)1(L
20x22
2
0x2
2
2
2
0x
Rpta: “Q”
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PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 14
1.- Al resolver la ecuación 4 4 1
cos5
sen x x , se obtiene:
P)1
5 Q)
2
5 R)
2 1arccos
3 5 S)
1 1arccos
4 5 T)
1 1arccos
2 5
2.- Al resolver la ecuación .cot 7cos 4senx x x , se obtiene:
P) 060 Q)
030 R) 037 S)
053 T) 075
3.- Al resolver la ecuación 1
.cos .cos 216
senx x x , se obtiene :
P)1
4arcsen Q)
1 1
5 4arcsen R)
1 1
8 4arcsen S)
1 1
2 4arcsen
T) 1 1
4 4arcsen
4.-Al resolver la ecuación 5 cos 2sen x senx x , 0 00 ;180x , la suma de
los valores de x; es:
P) 0210 Q)
0220 R) 0240 S)
0230 T) 0250
5.-Al resolver la ecuación tan cot 4x x , el menor valor positivo de x , es :
P) 018 Q)
060 R) 053 S)
015 T) 045
6.- Al resolver la ecuación 2 2 2 22 cos cos 2sen x sen x x x , la suma de los
valores de 0;2x , es.
P) 0335 Q)
0325 R) 0310 S)
0340 T) 0390
7.-La suma de las dos primeras soluciones positivas que satisface la ecuación
2 22 3cos 2,5sen x x ; es .
P) 0180 Q)
0160 R) 0120 S)
0190 T) 0210
8.-La suma de las soluciones que satisface la ecuación
5 cos5 cossen x senx x x , 0 00 :300x , es .
P) 0455 Q)
0405 R) 0415 S)
0425 T) 0450
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87
9.- Al resolver la ecuación cos3 cos11 0x x ,el menor valor positivo de “x” , es
P) 3
Q) 4
R) 5
S) 14
T) 13
10.-Al resolver la ecuación 2 5 5cos 1 0sen x senx x ,la menor solución
positiva de “x” , es :
P) 4
3 Q)
3
4 R)
3
2 S)
5
6 T)
2
3
11.- Las soluciones básicas de la ecuación 22tan sec , es :
P)0 045 ;225 Q)
0 045 ;230 R) 0 030 ;210
S) 0 037 ;217 T)
0 075 ;235
12.-El conjunto de soluciones básicas de la ecuación csc csc
8csc 1 csc 1
x x
x x , es :
P) 2 4
; ; ;2 5 3 3
Q) 2 4
; ; ;3 3 3 5
R) 2 4
; ; ;8 3 5 6
S) 2 4 5
; ; ;3 3 3 3
T) 5 3 2 2
; ; ;2 5 3 5
13.- Al resolver la ecuación 1Senx Cosx , el valor de “x” , es :
P) 2
Q) 3
R) 4
S) 3
4 T)
14.- Si 2 0Cosx Cos x , entonces el número de soluciones comprendidos en
0,2 , es :
P) 1 Q) 2 R) 3 S) 4 T) 5
15.- El valor de “x” que satisface la ecuación 3 3Cosx Senx , es :
P)6
Q) 3
R) 4
S) 3
4 T)
3
8
16.- Si 23 2 2Tg Cos , entonces el menor valor positivo , es:
P) 6
Q) 3
R) 4
S) 5
T) 8
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88
17.- El valor de 2 21 1(arccos ) cos ( )
3 3E sen arcsen , es .
P) 1
9 Q)
14
11 R)
13
4 S)
13
9 T)
14
9
18.- El valor de 2 21 5 1( arctan ) cos ( arctan 2 2)2 2 2
Q sen , es :
P) 1
6 Q)
5
6 R)
2
3 S)
7
9 T)
8
9
19.-El valor de ( 1) ( ( 2))arcsen sen arcsen sen , es :
P) Q) 2 R) 1 S) 2 T) 3
20.- El valor de 1 7
arctan( ) arctan( )8 9
, es .
P) 2
3 Q)
5 R)
2 S)
4 T)
3
21.- El valor de N si 4 arccosarcsenN N , es .
P) 5 1
2 Q)
5 1
2 R)
5 1
4 S)
5 2
4 T)
5 1
4
22.-Si arctan arctan arctana b c entonces el valor de . .
a b cP
a b c ,
es
P)1 Q) 2 R)3 S) 1
2 T)
1
4
23.- El valor de arctan 3 arctan 2 , es .
P) 3
Q) 5
3 R)
5
4 S)
4 T)
3
4
24.- El valor de 0
1limx
CosxL
xSenx , es :
P) 1 Q) 0 R) 1
2 S)
1
3 T) -
1
3
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89
25.- El valor de 20
1limx
CosxL
x, es :
P) 2 Q) -1
2 R)
1
2 S)
1
4 T) -
1
4
26.- El valor de 2L , si
2
30lim
1x
Sen xL
Cos x, es
P) 1 Q) 4
25 R)
4
16 S)
9
4 T)
4
9
27.- El valor de 40
1 (1 )limx
Cos CosxL
x, es .
P) 1
3 Q)
1
4 R)
1
5 S)
1
7 T)
1
8
28.- El valor de 0
1lim
1x
Senx CosxL
senx Cosx, es :
P) -1 Q) -2 R) 0 S) 1 T) 2
29.- El valor de 0
1 ( )limx
Cos xL
x, es :
P) 0 Q) 1 R) -1 S) 2 T) -2
30.- El valor de 0
1 1limx
Senx SenxL
x, es :
P) 1 Q) -1 R) 0 S) 2 T)-2
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90
15.1. POSTULADOS DE LA GEOMETRÍA
Consideremos un conjunto no vació “E” a cuyos elementos llamaremos pun-tos. En el conjunto “E” se distinguen dos familias de sub conjuntos no vacíos, la familia de las rectas y la familia de los planos. No definimos lo que es un pun-to, una recta o un plano. Estos son nuestros conceptos primitivos, luego al conjunto “E” lo llamaremos espacio que viene a ser el conjunto universal. Postulado 1.
Si “L” es una recta entonces existe una función LxL:d ℝ llamado distancia
que satisface las siguientes condiciones:
i. LQ,P,0)Q;P(d
ii. QP0)Q;P(d
iii. LQ,P,)P;Q(d)Q;P(d
iv. LS,Q,P,)S;Q(d)Q;P(d)S;P(d
Al número )Q;P(d se le llama distancia de P a Q
Postulado 2.
Si “L” es una recta y si “0
P ” y “0
Q ” son dos puntos diferentes de “L”, enton-
ces existe una biyección de “L” en “ℝ” tal que:
i. Al punto “0
P ” le hace corresponder el número real “0” y a “0
Q ” le hace
corresponder el número real “1”. ii. Si al punto “P” le corresponde el número real “x” y al punto “Q” le corres-
ponde el número real “y” entonces: xyyx)Q;P(d
Corolario. Toda recta tiene infinitos puntos. Postulado 3.
Sean “P” , “Q” y “S” puntos de “E” entonces existe un plano “ ” tal que
P, Q, S
UNIDAD
15 NOCIONES DE GEOMETRÍA ANALITICA.
LA RECTA
P
x
0P
0Q Q
0 1 y
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91
X
Y
01 2
2
1
-1-1
-2
-2
Postulado 4. Sea “L” una recta y “P” un punto, entonces existe una única re-
cta “1
L ” que pasa por “P” y es paralela a “L”.
15.2. SISTEMA DE COORDENADAS EN DOS DIMENSIONES
En el plano consideremos dos rectas coordenadas perpendiculares que se in-tersecan en el origen “O”. A menos que se especifique lo contrario, en cada recta se elige la misma unidad de longitud. Entonces a las dos rectas que se cortan se les llama los ejes coordenados y el punto “O” es el origen. La recta horizontal “X” se llama eje de las abscisas y la recta vertical “Y” se llama eje de las ordenadas. Por tanto tal plano es un plano coordenado “XY” o plano cartesiano.
15.3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dados dos puntos P = (x1; y1) ∧ Q= ( x2 ; y2) cualquiera
La distancia de “P” a “Q”,que lo denotamos con d (P,Q), es el número real de-
finido por : d (P ; Q) =2
12
2
12)yy()xx(
P (x1 ;y1)
Q = (x2 ;y2)
x1 x2
y2
y1
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92
PUNTO MEDIO
Definición: Dados los puntos )y;x(Py)y;x(P222111
entonces las coorde-
nadas del punto medio P del segmento 21
PP es: P2
yx
;2
yx2211
15.4. DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA
Definición: Si )y;x(Py)y;x(P222111
son los extremos del segmento21
PP
entonces las coordenadas del punto P que divide a este segmento en la
razón rPP
PP
2
1 , es 1r;r1
yry
;r1
xrx
)y;x(P 2121
15.5. AREA DE UN POLÍGONO
Sean los puntosP1 (x1, y1) ,P2 (x2 , y2) …. Pn (xn , yn) los vértices de un polígono convexo o no convexo de “ n ” lados, entonces el área “ S ” de dicho
polígono se determina mediante la fórmula:
11
nn
33
22
11
yx
yx......
yx
yx
yx
2
1S
X
Y
P1 (x1,y1)
P2 (x2,y2)
x1 x2
y2
y1
x
y
P (x,y) y
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93
15.6. ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA
Es el ángulo formado por el eje X positivo y la recta.
15.7. PENDIENTE DE UNA RECTA.
Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta.
15.8. ECUACIONES DE LA RECTA
14.9.1. Cuando la recta es perpendicular al eje X, es decir paralela al eje Y, su ecuación es:
Ecuación del eje Y:
X
Y
hx
0x
12
12
xx
yy
tanm
)1
y;1
x(1
P
)2
y;2
x(2
P
X
Y
O
X
Y
(h,0) O
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94
ky
=k
0y
X
Y
P1(x1 ; y1)
14.9.2. Cuando la recta es perpendicular al eje Y, es decir paralela al eje X, su ecuación es:
ky:L
Ecuación del eje X:
14.9.3. Cuando la recta pasa por un punto P1(x1 ; y1) y tiene pendiente cono-cida
14.9.4. Cuando la recta pasa por dos puntos P1(x1;y1) y P2(x2;y2)
14.9.5. Cuando se conoce las coordenadas de corte a los ejes:
)xx(myy11
P1 (x1 ; y1)
P2 (x2 ; y2)
X
Y
)xx(xx
yy
yy1
12
12
1
X
Y
a
b 1b
y
a
x
(0,k)
X
Y
O
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95
15.9. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
De esta ecuación se tiene que la pendiente es:
15.10. RECTAS PARALELAS
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.
15.11. RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1
15.12. ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS
15.13. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Si la ecuación de la recta es AX + By + C = 0, la distancia del punto P1(x1,y1) a dicha recta es:
0CyBxA:L
B
Am
2121m.mL||L
1m.mLL2121
1m.mLL2121
1L
X
Y
21
12
m.m1
mm
tan
22
11
BA
CyBxA
d , ó
22
11
BA
|CyBxA|
d
22
11
BA
CByAxd
L
X
Y )1
y;1
x(1
P
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96
El signo del radical es opuesto a C
15.14. ECUACIÓN DE LA BISECTRIZ DEL ÁNGULO ENTRE DOS REC-TAS:
Sean las rectas: y
que se cortan, y si (x1 ; y1 ) son las coordenadas de un punto de la bisectriz,
se tiene que la distancia a las dos rectas son iguales, esto es:
Ó 2
2
2
2
21212
2
1
2
1
11111
BA
CyBxA
BA
CyBxA
que es la ecuación de la bisectriz de un ángulo.
22
11
BA
CByAxd
0CyBxA
0CyBxA
222
111
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97
PREGUNTAS RESUELTAS Nº 15
1. Si las rectas 5y8kx3:L1
y 1kx4y6:L2
son perpendiculares, entonces
el valor de k, es:
P) 1 Q) 2 R) 3 S) -3 T) 8
RESOLUCIÓN:
8
k3m5y8kx3:L
11 y
3
k2
6
k4m1kx4y6:L
22
Luego: 2k13
k2
8
k31mmLL
2121
2. El área del polígono cuyos vértices son los puntos: )5;2(A , )4;3(B , )6;1(C ,
)6;3(D y )4;2(E , es:
P) 2
u44 Q) 2
u32 R) 2
u56 S) 2
u63 T) 2
u51
Resolución: Graficando:
51)12128185(2
1)151212412(
2
1
52
63
42
43
61
52
2
1A
3. Si la recta L es paralela a la recta 06y5x2:L1
y pasa por el punto )4;3(P ,
entonces la ecuación de la recta L, es:
P) 026y5x2 Q) 04y4x3 R) 013y5x2 S) 07y5x2
T) 01y10x4
Resolución: L11
m5
2m06y5x2:L
Recta: 026y5x2:L)3x(5
2)4(y:L
4. El punto que divide al segmento de extremos )5;1(A y )1;2(B en la razón de 3 a
2 es:
P) )4;2( Q) 2
3;
2
1 R)
5
7;
5
4 S)
5
7;
5
4
T) )2;3(
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98
Resolución: 2
3r y )y;x(P punto que divide al segmento AB , entonces
5
7;
5
4P
5
7
2
31
)1(2
35
y;5
4
2
31
)2(2
31
x
5. Dadas las rectas 1
L y 2
L de pendientes 3m1
y 1m2
respectivamente,
entonces el ángulo que forman estas rectas, es:
P) 0
60 Q) 0
45 R) 0
30 S) 0
37 T) 0
15
Resolución: 232
3321
31
31
mm1
mm)(tg
21
12
0
160)(tg3m
0
245)(tg1m
000
154560
6 Si la distancia entre los puntos )5;a(A y )2;6(B es u5 , entonces la suma de los
posibles valores que puede tomar “a”, es: P) 9 Q) 13 R) 8 S) 12 T) 18
Resolución: 5)52()a6()B;A(d22
10a2a16)a6(259)a6(22
7. Los vértices de un cuadrilátero son: )1;3(A ; )5;2(B , )1;5(C y )1;1(D , entonces
el área del cuadrilátero ABCD, es:
P) 2
u17 Q) 2
u18 R) 2
u10 S) 2
u20 T) 2
u19
Resolución: 2
19)15251()22513(2
1
13
52
15
11
13
2
1uA
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99
8. Una recta 1
L que pasa por los puntos )y;4( y )2;4( es perpendicular a la recta
2L que pasa por los puntos )6;3( y )2;3( , entonces el valor de “y”, es:
P) 2 Q) 4 R) 6 S) -6 T) 8
Resolución: 8y33
62
44
2y1mmLL
2121
9. El valor de “a” si la distancia del punto A al punto B es de u5 , siendo
)1a3;3m(A ; )a2;1m(B , es:
P) 21 Q) 3 R) 2 S) 4 T) 2
Resolución: 2222
)a21a3()1m3m()B;A(d5
4a2a16)1a()1a(162522
10. Una recta L de pendiente -2 pasa por el punto )7;2( y por los puntos )3;x(P y
)y;6(Q , entonces el valor de (x + y), es:
P) 4 Q) 3 R) 5 S) 6 T) 7
Resolución: 11yx2)2x(27y:L
4x113x2L)3;x(P y 1y11y12L)y;6(Q
Luego: 3yx
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100
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 15 1. El punto simétrico A', del punto A (3; 2), respecto de la recta L: 2x + y - 12 = 0, es:
P) 31 18
( ; )5 5
Q) 33 18
( ; )5 5
R) 29 18
( ; )5 5
S) 31 18
( ; )4 5
T) 31 18
( ; )5 4
2. El triángulo determinado por los puntos: A(4; -3), B(3; 0) y C(0; 1)es:
P) Equilátero Q) Isósceles- rectángulo R)Isósceles-obtusángulo
S) Escaleno T)Isósceles-acutángulo
3. La ecuación de la recta perpendicular a L: 8x - y - 1 = 0 que pasa por el punto P(-3; 2),es:
P) 8x+y+13=0 Q)8x-y+13=0 R)x+8y-13=0 S)x-8y-13=0 T)8x+y-13=0
4. Si una recta de ecuación x + 2y - 9 = 0 es mediatriz de un segmento AB cuyo extremo A tiene por coordenadas (2;1) ,entonces las coordenadas del otro extre-mo, es:
P)(4;7) Q) (3;6) R)(3,5) S)(4;5) T)(4;6)
5.- El ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones: L:2x+3y-5=0 y S: 3x-2y+10=0 , es:
P) 045 Q)
0145 R) 090 S)
060 T) 0120
6.- Una recta es paralela a la que tiene por ecuación L: 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6
unidades del origen. Su ecuación general , es :
P)5x+8y 6 89 =0 Q)5x-8 6 89 =0 R)8x+5y 6 89 =0
S) 8x-5y 6 89 =0 T) 5x+8y+89=0
7. Una de las bisectrices de los ángulos determinados por la rectas: L: 24x-7y-2=0 y
S:3x+4y-4=0 , es:
P) x+3y+2=0 Q)x-3y-2=0 R)x-3y+2=0 S) x-4y+2=0 T)x+4y+2=0
8. La ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que
une los puntos (4;1) y (-2;2).
P)6x+y+16=0 Q)x-6y+16=0 R)x+5y+16=0 S)x+6y+16=0 T)x+6y-16=0
9. Dadas las rectas L: 3x + y - 1 = 0 y S: 2 x + m y -8 = 0, el valor de “m” para que
formen un ángulo de 45°, es :
P)-3 Q)3 R)-1 S) 1 T)-2
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101
10. Dado el triángulo A(-1; -1), B(7;5), C(2;7); las coordenadas del ortocentro del triángulo , es :
P) 49 154
( ; )23 23
Q) 49 155
( ; )23 23
R) 49 157
( ; )21 21
S) 49 157
( ; )21 23
T) 49 157
( ; )23 23
11. Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación L:5x - 7y + 12 = 0 y dista 4
unidades del origen, entonces su ecuación , es:
P) 7x+5y 4 75 =0 Q)7x+5y 4 74 =0 R) 7x+5y+74=0
S) 5x+7y-74=0 T) 7x+5y-75=0
12.-De un paralelogramo ABCD conocemos los vértices A(1;3), B(5;1), C(-2;0), las coordenadas del vértice D, es:
P) (-3;2) Q)(-6;-2) R)(-6;3) S)(-6;2) T)(6;2)
13. Al clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6;0), B(3;0) y C(6;3), se
obtiene:
P) Escaleno Q) Isósceles-rectángulo R) Isósceles-obtusángulo
S )Equilátero T) Isósceles-acutángulo
14. El área del cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3;0), B(1;4), C(-3;2) y D(-1;-2),
es :
P) 20 2u Q)22
2u R) 21 2u S) 18
2u T)19 2u
15. Los puntos A(-1;3) y B(3;-3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta L:2 x - 4 y + 3 = 0 , siendo la longitud de los lados AC y BC iguales, entonces las coordenadas del vértice C, es :
P) 17
(4; )2
Q) 17
(5; )2
R) 17
( ;4)3
S) 17
( ;4)2
T) 17
( ;5)2
16. Si la recta L: 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A( 3; 2 ) y es paralela a la recta S: mx + 2y -13 = 0, entonces el valor de m+ n, es:
P) 7 Q) -6 R) -9 S) -7 T) -8
17.-Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0;0), B(4;0) y C(4;4); la ecuación de la
mediana que pasa por el vértice C, es:
P)2x-3y-4=0 Q) 2x-y-4=0 R)2x+y+4=0 S)x+2y-4=0 T)x-2y-4=0
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102
18. De un paralelogramo se conoce un vértice, A(8, 0), y el punto de corte de las dos diagonales, B(6, 2). También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de coordenadas, entonces el producto de las longitudes de las diagonales, es:
P) 32 5 Q) 16 5 R) 20 5 S)32 T) 24
19. La pendiente "m" y el ángulo de inclinación Ø de las recta determinadas por los
pares de los puntos siguientes (5;-9) y (10;-9) , son:
P) 1 y 090 Q)
1
2y
060 R) 1
3
030 S) 1 045 T) 0 y
00
20. Si las rectas 583:1 ykxL y 146:2 kxyL son perpendiculares,
entonces el valor de 2 1k , es:
P) 2 Q) 5 R) 10 S) -317 T)9
21. Una recta 1L pasa por los puntos )2;3( y )7;49( y otra recta 2L pasa por
el punto )1;6( y el punto A cuya ordenada es -5, entonces la abscisa de A sa-
biendo que 1L es perpendicular a 2L , es:
P) 12/7 Q) 7/12 R) 12/7 S) 7/12 T) 17/1
22. Dadas las rectas: 03)14(:1 ayxaL y 01:2 yaxL . Si
21 LL , entonces el valor de “a+3”, es:
P) 5/2 Q) 10 / 3 R) 7 / 2 S) 8 / 3 T) 5
23.-El área del triángulo determinado por los puntos de intersección de las rectas
242:1 yxL , 45:2 yxL y 8:3 yxL , es:
P) 25 u Q)
26 u
R) 27 u S)
28 u T) 29 u
24.- La suma de las áreas de los triángulos que las rectas 082:1 yxL y
03056:1 yxL forman con los ejes coordenados, es:
P) 222 u
Q)
231 u R) 229 u
S)
243 u T) 238 u
25. El área del triángulo limitado por las rectas L:x-2y=0 , S:2x+3y-42=0 ; y el eje de
las X , es:
P) 262 u
Q)
263 u R) 261 u S)
264 u T) 268 u
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103
26. La ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son A(-a ; a-1) y B(a+1 ; 3a) , es .
P)2x-3y-2a=0 Q) 2x-y-4a=0 R)x+y-2a=0 S)x+2y-4a=0 T)x-2y-4a=0
27.- La ecuación de la recta que es perpendicular a la recta L: x-2y+8=0 y pasa por la
intersección de las rectas 2x+y+6=0 y 3x+8y-4=0 ; es:
P)2x+y+6=0 Q) 2x-y-6=0 R)x+2y-6=0 S)x+3y-2=0 T)2x+y-6=0
28. El ángulo que forma la recta que pasa por los puntos (2 ; 5) y (1 ; 2) con la recta
que pasa por los puntos (4 ; 1) y (-2; 3) , es:
P) 015 Q)
045 R) 090 S)
030 T) 053
29. La medida del mayor ángulo que forman las rectas 2x-y-3=0 ; 3x+y-7=0; es:
P) 0115 Q)
0135 R) 075 S)
0105 T) 0120
30.-El área del pentágono cuyos vértices son A(4 ; 4) , B( 1 ; 6) , C( -3 ; 5) , D(-6 ; 0) y E( 1 ; -1) , es :
P) 240,5 u
Q)
241,5u R) 242,5 u
S)
243 u T) 243,5u
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104
16.1. LA CIRCUNFERENCIA (C )
Es el lugar geométrica de los puntos P = (x ; y) de un plano que equidistan de un punto C = (h;k) ubicado en el mismo plano denominado centro. La distancia “r” (r > 0) del centro C a cualquier punto “P” de la circunferencia es la longitud del
radio CP .
16.2. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA (C):
16.2.1. Ecuación Ordinaria deC:
222 rkyhx:C
Centro : k;hC
Radio: 0rCPLCP
Nota: una circunferencia está completamente determinada si se conoce su centro y su radio, o tres puntos de ella.
16.2.2. Ecuación Canónica de C:
222 ryx:C
Centro: C = (0;0) = 0
16.2.3. Ecuación General de C:
0FEyDxyx:C22
Centro: 2
Ek2
Dh2
E;2
DC
Radio:
F4ED2
1r 22
UNIDAD
16 ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA
y C
o
r
C = (h ; k)
P=(x;y) punto Genérico de C
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105
16.3. LA PARÁBOLA (P)
Es el lugar geométrico de los puntos P = (x ; y) de un plano que equidistan de un
punto fijo “F” llamado foco y de una recta fija "L" llamada recta directriz
SL . Se cumple: L;PF;Pd
Elementos de la parábola (P):
L : recta directriz
S : eje de la parábola
F : foco V : vértice de la parábola
LR : lado recto: p.4LR
p : parámetro de la parábola (VF)
16.4. ECUACIONES DE LA PARÁBOLA (P)
16.4.1. Ecuación ordinaria de eje vertical:
kyp4hx:P 2 pk;hFk;hV
Nota: 1) Si p > 0 entonces la P abre hacia arriba a partir de V
2) Si p < 0 entonces la P abre hacia abajo a partir de V
16.4.2. Ecuación ordinaria de eje horizontal:
hxp4ky:P 2 k;phFk;hV
Nota: 1) Si p > 0 entonces la P abre hacia la derecha a partir de V
2) Si p < 0 entonces la P abre hacia la izquierda a partir de V
16.4.3. Ecuación canónica de eje vertical
y.p.4x:P 2
0 = V = (0;0)
y
F P > 0
0 = V x
P
P
y
F
P < 0
0 = V x
y
L R
P
F
p
- p V
T H
y;xP punto genérico
de la parábola P
S
0 x
S
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106
16.4.4. Ecuación canónica de eje horizontal
x.p.4y:P 2
16.4.5. Ecuaciones generales de eje vertical
a) 0FEyDxAx:P 2 , 0A
b) cbxxay:P 2 , 0a
0p
0a
0p
0a
16.4.6. Ecuaciones generales de eje horizontal
c) 0FEyDxCy:P 2 , 0C
d) cbyyax:P 2 , 0a
0p
0a
0p
0a
F P > 0 0 = V
x
y
F P < 0 V = 0 x
y
a4
bac4;
a2
bV
2
p
V
F P
F
p
P
a2
b;
a4
bac4V
2
V
P
F p F
P
V p
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107
PREGUNTAS RESUELTAS Nº 16
1. Al transformar la ecuación de la circunferencia 03y4x6yx:C 22 a la
forma ordinaria, se obtiene:
P) 222 4)2y()3x( Q) 222 4)2y()3x( R)
222 3)2y()3x(
S) 222 3)2y()3x( T) 222 5)2y()3x(
RESOLUCIÓN:
i) 03y4x6yx:C 22
493)4y4y()9x6x(:C22 222 416))2(y()3x(:C
Rpta: “Q”
2. La ecuación general de la circunferencia de centro (4;5) y radio de longitud 6, es:
P) 05y10x82
y2
x Q) 03y6x42
y2
x R) 06y8x92
y2
x
S) 01y9x62
y2
x T) 02y9x42
y2
x
RESOLUCIÓN:
i) 222 6)5y()4x(:C
3625y10y16x8x:C 22
05y10x8yx:C 22
Rpta: “P”
3. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (0;0), (8;0) y (0;6), es:
P) 0y6x8yx 22 Q) 02y2x5yx 22 R)
012y7x3yx 22 S) 02yx2yx 22 T)
49)3y()5x( 22
RESOLUCIÓN:
i) 0FEyDxyx:C 22
0F0F0000)0;0(
8D64D8000D8064)0;8(
6E36E600E60360)6;0(
0y6x8yx:C 22
Rpta: “P"
4. Al calcular el área del círculo determinado por la circunferencia
0103y12x72y9x9 22 , se obtiene:
P) 5 Q) 6 R) 4 S) 8 T) 12
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RESOLUCIÓN:
i) ?r)C(A09
103y
3
4x8yx:C 222
5r59
1034
3
48
2
1F4ED
2
1r 2
2222
ii) 5.CA 5
Rpta: P
5. La longitud del radio de la circunferencia con centro en el punto (3;4) y es tangente a la recta cuya ecuación es x + y – 5 = 0, es:
P) 2 Q) 3 R) 2 S) 1 T) 8
RESOLUCIÓN:
i) 05yx:L4;3C
ii) 22
2
11
51413L;cdr
Rpta: “R” Rpta: P
6. La ecuación de la parábola, cuyo vértice y foco son los puntos (1;4) y (3;4), res-pectivamente, es:
P) )2x(63y 2 Q) 0)4x(35y 2 R) 01y3x2x2
S) )1x(84y 2 T) 03y8x5y2
RESOLUCIÓN:
i) 4;3F)4;1(V
ii) hxp4ky:P 2
1x244y:P 2 1x84y:P 2
Rpta: S
7. La ecuación de la parábola, si el vértice y el foco son respectivamente los puntos (5;6) y (5;8), es:
P) )5y(63x 2 Q) )2x(74y 2
R) )3x(102y 2
S) )2y(44x 2 T) )6y(85x 2
RESOLUCIÓN
i) 8;5F)6;5(V
ii) 6y245x:P 2
6y85x:P 2
C
r P
o
L
L
F
o
V
1 3
4
y
p = 2
y F
o
V
8
6
5
p = 2
P
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109
Rpta: “T”
8. Las coordenadas del foco de la parábola y6x:P 2 , es:
P) (-2 ; 0) Q) 2
3;0 R) (1 ; 3) S) 0;
2
1 T) 2;
2
3
RESOLUCIÓN
i) y6x:P 2
02
3py.
2
34x:P 2
00;0V
2
3;0F
Rpta: “Q”
9. La longitud del lado recto de la parábola 01y8x6x:P 2 , es:
P) 5 Q) 6 R) 8 S) 7 T) 9 RESOLUCIÓN
i) 01y8x6x:P 2
824p4LR2p2
5y243x:P 2
Rpta: “R”
10. La suma de las coordenadas del vértice con el parámetro de la parábola
32y12x4x2 , es:
P) 6 Q) 11 R) -3 S) -11 T) 2 RESOLUCIÓN
i) 32y12x4x:P 2
432y12)4x4x(:P 2
36y12)2x(:P 2
3y12)2x(:P 2
3y34)2x(:P 2
3p)3;2(V
ii) 2332
Rpta: “T
2
3p
y
F
o x
P
91y89x6x:P2
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PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 16
1. La ecuación de la circunferencia que pasa por 3;4A y es tangente a
05yx2:L en 1;2B , es:
P) 201y2x 22 Q) 153y2x 22 R)
67y5x 22
S) 125y3x 22 T) 162y3x 22
2. Si las rectas 020y2x:L1
y 0y2x:L2
determinan cuerdas iguales en
una circunferencia y el punto medio de una de las cuerdas es S = (8;6), entonces la ecuación de la circunferencia si ésta pasa por Q = (4;3), es:
P) 62y4x 22 Q) 173y3x 22 R)
153y6x 22
S) 103y1x 32 T) 52y6x 22
3. Una de las ecuaciones de la circunferencia de radio 5 que es tangente a la recta
01y2x:L1
en P = (3;1), es:
P) 161y5x 22 Q) 93yx 22 R) 53y2x 22
S) 16y2x 22 T) 44y5x 22
4. Una de las ecuaciones de la circunferencia tangente a la recta 020y3x4:L1
en el punto P = (2;4) y tangente a 015y4x3:L2
, es:
P) 92y5x 22 Q) 91y2x 22
R)
253y6x 22
S) 497y2x 23 T) 44y3x 22
5. Una de las ecuaciones de la circunferencia que pasa por A = (2;5) y B = (3;12)
sabiendo que la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda AB es 2
5,
es:
P) 45y3x 22 Q) 92y1x 22
R) 222 323y5x S) 817y4x 22
T) 258y6x 22
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111
6. Una de las ecuaciones de la circunferencia tangente a las rectas
01y4x3:L1
y 07y3x4:L2
y que pasa por A = (2;3), es:
P) 9)2y()3x( 22 Q) 8)3
2y()
2
1x( 22
R) 4)4
3y()1x( 22
S) 1)
5
12y()
5
6x( 22
T) 4)3
2y()3x( 22
7. Una de las ecuaciones de la circunferencia de radio 5 y que pasa por P = (-1;2), y
es tangente a 01y4x3:L , es:
P) 1)2y()3
1x( 22 Q) 25)2y()6x( 22
R) 8)3y()2x( 22 S) 16)5y()4x( 22
T) 9)1y()2
1x( 22
8. La circunferencia que describe un punto móvil )y;x(P , si las rectas que lo unen
a dos puntos )0;4(By)0;4(A forman un ángulo de 0
45 , es:
P) 13y10x8yx 22 Q) 124
22yxyx R) 62
22yxyx
S) 024822
yxyx T) 016822
xyx
9. Una de las ecuaciones de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas
y son tangentes a las rectas; 09y2x:L1
y 02yx2:L2
, es
P) 7)2()1(22
yx Q) 6222
yyx
R) 5)1()2(22
yx S) 8)3(22
yx
T) 2)4()3(22
yx
10. La ecuación ordinaria de una circunferencia que tiene centro en la recta
01y2x7:L1
y es tangente a las rectas 05y12x5:L2
y
03y3x4:L3
es
P) 222 2)3y()1x( Q)222
3)5()2( yx R)222
4)3()4( yx
S) 222
3)2()1( yx T) 222
8)9()7( yx
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11. Determine si la ecuación dada representa una circunferencia o no:
071062222
yxyx , si lo es, su radio mide:
P) 5 Q) 5 R) 2 S) 2 T) No es circunferencia
12. Determinar si la ecuación dada representa circunferencia o no:
06361422
yxyx , si es circunferencia, su centro, es:
P) )3;7( Q) )3;7( R) No es circunferencia S) )3;7(
T) )3;7( 13. La ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y determina en los ejes X
e Y segmentos de extremos el origen y longitudes bya 22 es:
P) 2222 ba)by()ax( Q) 222 a)by()ax(
R) 2222 ba)by()ax( S) 222 b)by()ax(
T) 1)by()ax( 22
14. Al determinar la ecuación de la circunferencia de radio 1, tangente a la recta
01y4x3:L , en el punto ordenada 1, una de sus ecuaciones, es:
P) 1)2()1(22
yx Q) 4)3()2(22
yx R) 1)5
9()
5
2(
22yx
S) 9)2()3(22
yx T) 8)4
3()
3
2(
22yx
15. El radio de la circunferencia de centro )1;3( y tangente a la circunferencia
062:22
yxyxC , mide:
P) 51642 Q) 1032 R) 10
S) 24
T) )54(2
16. Una parábola tiene por ecuación: 082
xy . Al indicar verdadero (V) o falso (F)
a cada proposición: :p su eje de simetría esta sobre el eje X
:q la ecuación de la directriz es 02x
:r el lado recto mide 10, es, En el orden dado se obtiene: P) VVV Q) VVF R) VFF S) FVV T) FFV
17. La ecuación de la parábola de foco )2;3( y directriz 01x , es:
P) )1x(8)2y( 2 Q) )1x(8)2y( 2 R) )1x(8)2y( 2
S) )1x(8)1y( 2 T) )1x(8)1y( 2
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113
18. La ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son )3;4(V y )3;1(F ,
respectivamente, es:
P) 0391262
xyy Q) 0391262
xyy
R) 0391262
xyy S) 0391262
xyy
T) 0391262
xyy
19. La suma de las coordenadas del vértice de la parábola 0y4x4x:P 2 , es:
P) -3 Q) 3 R) – 1 S) 1 T) 2
20. El valor de 0k para que las coordenadas del vértice de la parábola
0y2xk4x:P 2 sumen cero, es:
P) 5 Q) 4 R) 3 S) 2 T) 1
21. Las coordenadas del foco de la parábola 0y2x2ax:P 2 cuyo vértice perte-
nece a la recta 014: xL , son
P) )1;2
1(
Q) )0;
2
1( R) )1;
4
1( S) )0;
4
1( T) )
2
1;
2
1(
22. La distancia del foco de la parábola 019y2x4y:P 2 a un punto de ella con
ordenada igual a 3, es: P) 5 u Q) 6 u R) 7 u S) 8 u T) 9 u
23. Si )3;7(A , )3;4(B y )3;0(C son los vértices de un triangulo cuyo
baricentro es el vértice de una parábola cuya directriz es 03y , la ecuación de
la parábola, es:
P) 07822
yxx Q) 07822
yxx R) 07822
yxx
S) 07282
yxx T) 04282
yxx
24. La longitud del segmento que une el foco de la parábola 0x9y:P 2 con el
punto de intersección de ésta con la recta 01243: yxL , es:
P) 4
25 Q)
4
29 R)
4
21 S)
4
27 T)
4
23
25. La ecuación de la recta que tiene pendiente 0m y pasa por el foco de la pará-
bola 04:2
xyP , es:
P) )1x(my Q) )1x(my
R) )2x(my
S) )1x(my
T) )2x(my
26. La ecuación de la recta que pasa por la intersección de las parábolas:
y4x:P 21
; xyP 4:2
2 , es:
P) 0yx Q) 0yx
R) 02 yx S)
02yx T)
02 yx
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27. Una recta L paralela a la recta 02534 yx determinan en la parábola
02568:2
yxyP una cuerda focal cuya longitud, es:
P) 11 u Q) 12 u R) 12,5 u S) 13 u T) 13,5 u
28. Siendo )4;2(P punto medio de una cuerda de la parábola
019y10x6y:P2
, la ecuación de dicha cuerda, es:
P) 010yx3 Q) 05yx3 R)
012yx3
S) 08yx3
T) 016yx3
29. La entrada de una iglesia tiene la forma de una parábola de 9m de alto y 12 m de base. Toda la parte superior es una ventana de vidrio cuya base es paralela al piso y mide 8 m, la altura de la ventana, es:
P) 6 u Q) 4 u R) 1 u S) 7 u T) 8 u
30. Si los puntos )4;b(By)a;3(A pertenecen a la parábola 0y9x2
, la
mayor longitud del segmento, ABes:
P) 23 Q) 33 R) 103 S) 4 T) 3
BIBLIOGRAFIA
ALENCAR FILHO, Edgar. 1995. Curso Trigonometría. Edit. Ateneo. Argentina.
AYRS, J. Frank. 1989. Trigonometría Plana. Edit. Shaum. New York. E.E.Unidos.
HUNGA YAYA, José. 1995. Matemática 5. Edit. Magisterio. Lima – Perú.
DE LA CRUZ S. Máximo. 1999. Matemática 5. Edit. Brasa. Lima – Perú.
GOÑI GALARZA, Juan. 1998. Trigonometría Plana. Editorial Ingeniería. Lima – Perú.
ROJAS PUÉMAPE, Alfonso. 2000. Matemática 5. Edit. Magisterio. Lima – Perú.
ROMERO MÉNDEZ, Rubén. 1998. Matemática 5. Edit. Brasa. Lima – Perú.
SULLIVAN Michael, 1997. Trigonometría y Geometría Analítica. 5ta Edición. Prince Hill. México.
SANDOVAL PEÑA, Juan Carlos.1998.Trigonometría Moderna.1ª. Edición. Edi-torial San Marcos. Lima – Perú.
ALVA CABRERA, Rubén. 1998. Trigonometría. Editorial San Marcos. Lima - Perú.
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