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1 Podemos resolver un triángulo siempre que conozcamos tres de sus seis elementos. Sin embargo, no
encontrarás ningún ejemplo en el que se ofrezca la medida de sus tres ángulos solamente. ¿Por qué? Solución: Porque los tres ángulos no bastan para resolver un triángulo, dado que no hay un único triángulo con dichos ángulos, sino todos los semejantes a él.
2 Las ramas de un compás miden 7 cm. ¿Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con el compás abierto en un ángulo de 40º? Solución: Quedaría el siguiente dibujo:
Por lo tanto,
cm2,3920º7·senr7
r20ºsen
.
3 Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 10 cm y el perímetro 32 cm. Determina las medidas de los ángulos del triángulo. Solución: El lado desigual del triángulo mide 32 - 2 · 10 = 12 cm, por lo que la altura divide al triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos de hipotenusa 10 cm y uno de sus catetos mide 6 cm.
Por tanto,
'48' 7' 53º5
3arccosBA
5
3
10
6cosA
, y '24' 44' 73º'48' 7' 53º · 2180ºC .
4 Resuelve los siguientes triángulos:
a) a = 12 m, b = 7 m, A = 85º. b) b = 38 m, c = 50 m, a = 42 m. c) b = 17 m, c = 15 m, A = 48º. Solución:
a) Por el teorema del seno:
'35º31'44'12
85ºsen7arcsenB
senB
7
85ºsen
12
. C = 180º - 85º - 35º31'44'' = 59º28'16''.
Por el teorema del seno:
m10,3885ºsen
'59º28'16'sen12c
'59º28'16'sen
c
85ºsen
12
.
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b) Por el teorema del coseno:
'54º59'33'2·38·50
425038arccosAcosA2·38·50503842
222222
.
Por el teorema del seno:
'47º49'21'42
'54º59'33'sen38arcsenB
senB
38
'54'59'33'sen
42
. C = 180º - 54º59'33'' - 47º49'21'' = 77º11'6''.
c) Por el teorema del coseno: m13,14a172,7448ºcos2·17·151517a 222
.
Por el teorema del seno:
'74º2'22'13,14
48ºsen17arcsenB
senB
17
48ºsen
13,14
. C = 180º - 48º - 74º2'22'' = 57º57'38''.
5 Un faro tiene una altura de 20 m. Desde lo alto del faro el ángulo de depresión de un barco es 35º. ¿A qué distancia de la base del faro está el barco? Solución: Como el ángulo de depresión (ángulo que forma la visual con la horizontal) es de 35º,
m28,5635ºtg
20x
x
2035ºtg
.
6 Desde un barco, el ángulo de elevación hasta la luz de un faro a 100 m sobre el nivel del mar es 20º. Calcula la distancia a la que se encuentra el barco del faro. Solución:
m274,7420ºtg
100x
x
10020ºtg
.
7 Halla x e y en los siguientes triángulos: a) b)
Solución:
a) Si la base del triángulo es z:
cm9,4028ºtg
5z
z
528ºtg
.
Por tanto:
cm4,4128ºsen9,4y9,4
y28ºsen
y
cm8,3028ºcos9,4x9,4
x28ºcos
.
b) Como el ángulo comprendido entre 72 e y es 90º - 56º = 34º, entonces:
m40,2634ºsen72x72
x34ºsen
y
m59,6934ºcos72y72
y34ºcos
.
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8 Calcula x en el siguiente triángulo:
Solución:
Llamando h a la altura:
m55,7259ºsen65h65
h59ºsen
.
Por el teorema de Pitágoras: m190,3418255,72x 22
.
9 Las torres Kio de Madrid tienen forma de romboide. Si la longitud de la base fuera 40 m, la altura 82 m y el ángulo que el lado inclinado forma con el suelo 74º, determina a qué distancia de la base del bloque golpearía el suelo una piedra que se dejara caer desde el borde de la azotea. Solución:
m23,5174ºtg
82x
x
8274ºtg
.
10 Un globo pasa por encima de un observador al ir de un punto A a otro B separados 2 km. Los ángulos de elevación del globo en esos puntos son 23º y 42º. ¿A qué altura va el globo? Solución: Se forma el siguiente triángulo:
67ºh·tg248ºh·tg
67ºh·tgx
h
x24290tg
h
x2390tg
km0,57767ºtg48ºtg
2h267ºtg48ºtgh
.
11 Calcula los ángulos A, B y C en el siguiente triángulo:
Solución:
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Por el teorema del coseno:
'68º4'49'2·88·94
1029488arccosAcosA2·88·949488102
222222
.
'53º9'57'2·102·94
8894102arccosBcosB2·102·949410288
222222
. C = 180º - 68º4'49'' - 53º9'57'' = 58º45'14''.
12 Resuelve un triángulo sabiendo que dos lados miden 5 y 7 m y su ángulo comprendido 37º. Solución:
El lado a que falta se calcula aplicando el teorema del coseno: m4,2518,09a37ºcos2·5·775a 222
. El ángulo B opuesto al lado de 5 m se calcula aplicando el teorema del seno:
'45º4'26'4,25
37ºsen5arcsenB
37ºsen
4,25
senB
5
. El ángulo que falta es: C = 180º - 37º - 45º4'26'' = 97º55'34''.
13 El alzado de un granero es el que aparece en la figura. Determina su altura máxima.
Solución: Tomando el triángulo rectángulo que forma medio tejado, y llamando h a su altura:
m4,7750ºtg4h4
h90)tg(140
de alto tiene el tejado. Añadiendo los 3 m de la pared, la altura máxima es de 4,77 + 3 = 7,77 m.
14 ¿Qué triángulo tiene área mayor?
Solución:
La altura h1 del primero es:
m56,2960ºsen65h65
h60ºsen 1
1
. En el segundo triángulo, el ángulo A comprendido entre los lados de 65 y 80 m se calcula aplicando el teorema del
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seno:
'44º43'13'80
60sen65arcsenB
senB
65
60ºsen
80
y por tanto A = 180º - 60º - 44º43'13'' = 75º16'47''.
La altura h2 del segundo es:
m62,87'75º16'47'sen65h65
h'75º16'47'sen 2
2
. El segundo triángulo es el que tiene más área, pues tienen la misma base y el segundo tiene mayor altura.
15 Te encuentras situado en el vértice de un triángulo del que conoces la amplitud del ángulo en que se encuentra, 56º, y la medida de los dos lados que lo forman, 42 y 52 m. ¿Puedes calcular el área? Solución:
Si consideramos como base el lado de 52 m y llamamos h a la altura:
m34,8256ºsen42h42
h56ºsen
, y
por tanto el área es
2m905,322
52·34,82A
.
16 Calcula a y b en el siguiente triángulo:
Solución: El ángulo que falta es 180º - 49º - 60º = 81º.
Por el teorema del seno:
m10,5281ºsen
60ºsen12a
81ºsen
12
49ºsen
b
60ºsen
a
y
m9,1781ºsen
49ºsen12b
.
17 Dos focos situados en el suelo a una distancia de 250 m iluminan a la vez un helicóptero en vuelo. El primero emite luz con un ángulo de 32º con la horizontal y el segundo con un ángulo de 48º. ¿A qué altura está el helicóptero? Solución: Si h es la altura y x es la distancia de la proyección del helicóptero con el primer foco, tenemos:
m99,97
32ºtg
48ºtg1
48ºtg250h
h48ºtg32ºtg
h250
32ºtg
hx
x250
h48ºtg
x
h32ºtg
.
18 Determinar el área de un terreno triangular cuyos lados miden 70, 60 y 45 m. Solución:
Por la fórmula de Herón, como el semiperímetro es
m87,52
456070
, el área es
2m1337,784587,5··6087,5··7087,587,5·A
.
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19 Un camión de mudanzas debe transportar un listón de 4,5 m de largo. Si la parte destinada a la carga tiene forma de ortoedro cerrado de dimensiones 3,5 x 2,5 x 2 m, ¿se podrá transportar el listón? Solución:
Hay que calcular la diagonal x del ortoedro: m4,7422,5x22,53,5x 2222
. Por tanto, sí entra el listón de 4,5 m.
20 En un triángulo B = 72º12'46'' y dos de sus lados miden a = 12 m, c = 7 m . Calcula el área del triángulo sin determinar más elementos del triángulo. Después usa el teorema del coseno para calcular b. Solución:
La altura h se calcula así:
'72º12'46'sen12h12
h'72º12'46'sen
, por lo que el área es
2m33,992
'72º12'46'sen7·12A
.
m11,90141,68b'72º12'46'cos2·12·7712b 222 .
21 Desde un pico se ven dos pueblos A y B. Sabiendo que la distancia que los separa es 1400 m y las visuales
desde la cumbre son las del dibujo, determina la altura del pico.
Solución: Llamando h a la altura del pico y x a la distancia de A a la proyección de la cumbre:
m770,13
27º35'tg
15ºtg1
15ºtg1400h
h15ºtg27º35'tg
h1400
27º35'tg
hx
x1400
h15ºtg
x
h27º35'tg
.
22 Calcula el área del siguiente triángulo:
Solución: Llamando h a la altura y x a la distancia entre A y el pie de la altura, tenemos:
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cm39,38
50ºtg
46ºtg1
46ºtg72h
h46ºtg50ºtg
h72
50ºtg
hx
x72
h46ºtg
x
h50ºtg
, por lo que el área es
2cm1417,682
72·39,38A
.
23 En un triángulo A = 62º, B = 85º y a = 12 m. Calcula empleando el teorema del seno la medida de b. ¿Cuánto mide c? ¿Y el área? Solución:
m13,5462ºsen
85ºsen12b
62ºsen
12
85ºsen
b
. Como C = 180º - 62º - 85º = 33º, entonces:
m7,4062ºsen
33ºsen12c
62ºsen
12
33ºsen
c
.
La altura h sobre el lado c es:
m11,9585ºsen12h12
h85ºsen
, y el área es
2m44,2152
7,40·11,95A
.
24 Calcula el área del romboide del dibujo:
Solución:
Si h es la altura del romboide:
cm22,0762º25·senh25
h62ºsen
.
Si A es el ángulo que forma la diagonal con la base:
0,596637
62ºsen25senA
senA
25
62ºsen
37
'33' 37' 36º0,5966arcsenA .
Si B es el ángulo que forma la diagonal con el lado oblicuo: '27' 22' 81º'33' º37' 3662º180ºB .
Si b es la base del romboide: cm41,43b1716,53'81º22'27'cos2·25·373725b 222
. Por último, el área es b · h = 41,43 · 22,07 =914,3601cm
2.
25 Calcula a en el siguiente triángulo:
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Solución:
Si llamamos x a la distancia entre A y el pie de la altura:
cm66,9838ºcos85x85
x38ºcos
, por lo que AB = 66,98 + 94 = 160,98 cm.
Por el teorema del coseno: cm107,5811574,39a38ºcos52·160,98·885160,98a 222
.