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Trigonometría
1. Exprese 7�4 radianes, en grados.
a) 310 b)390 c)360 d)315
Soluciòn.
Utilizamos la relación: S180o =
R� : Aquí: S =grados sexagesimales
R = radianesEntonces:
S
180o=
7�4
�S
180o=
7
4
S =(7)(180o)
4S = 7 � 45o
S = 315o
R. d)
2. Exprese 18� en radianes.
a) 2�5 b) 5�2 c)�4 d) �10
Soluciòn.
Utilizando la relación: S180o =
R� , se tiene:
18o
180o=
R
�1
10=
R
�
R =1
10�
R. d)
1
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3. Exprese en radianes 2340�:
a) 3� b)200� c)13� d)14�
Soluciòn.
Utilizando la relación: S180o =
R� , se tiene:
2340o
180o=
R
�
13 =R
�R = 13�
R. c)
4. Si tanx no está de�nido, ¿cuál de los siguientes valores tampoco lo está?
a) sinx b) cosx secx c) cotx sinx d) cosx cscx
Soluciòn.
Como tanx no está de�nido, x puede tomar los valores de 90o y 270o, o enradianes: �2 y
3�2 :
Puede verse que sinx; cosx; secx y cscx están de�nidos en estos valores. Delo anterior la expresión cotx sinx no está de�nido.
1. R. c)
5. Calcular los valores de x en [0; 2�] tales que 2 cosx = tanx+ secx:
a)�0; �6 ; �
b)��6 ;
5�6
c)�3�2 ;
�6 ;
5�6
d)��; �6 ;
�6
Soluciòn.
De 2 cosx = tanx+ secx se tiene:
2 cosx =sinx
cosx+
1
cosx
2 cosx =sinx+ 1
cosx
2 cos2 x = sinx+ 1
2(1� sin2 x) = sinx+ 1
2� 2 sin2 x = sinx+ 1
�2 sin2 x = sinx� 1�2 sin2 x� sinx+ 1 = 0
2 sin2 x+ sinx� 1 = 0
2
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Resolviendo la ecuación cuadrática para a = 2; b = 1 y c = �1; se tiene:
sinx1;2 =�(1)�
p12 � 4(2)(�1)2(2)
sinx1;2 =�1�
p1 + 8
4
sinx1;2 =�1�
p9
4
sinx1;2 =�1� 34
sinx1 =�1 + 34
=2
4=1
2
sinx2 =�1� 34
=�44= �1
Se tiene la relación sinx = a
Entonces para
x =
�2k� + sin�1 a
2k� + (� � sin�1 acualquier k 2 ZPara k = 0 y a = 1
2 ; se tiene:
x =
�2(0)� + sin�1( 12 ) =
�6
2(0)� +�� � sin�1( 12 )
�= 5�
6
R. b)
6. La expresión sin��2 + �
�es equivalente a:
a) tan� b) sin� c)� sin� d) cos�
Soluciòn.
Utilizamos la fórmula del ángulo doble: sin(u+ v) = sinu cos v + cosu sin vAsí:
sin(�
2+ �) = sin
�
2cos�+ cos
�
2sin�
= (1) cos�+ 0
= cos�
R. d)
3
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7. La expresión cos��2 � �
�es equivalente a:
a) sin� b) sec� c) cos� d) csc�
Solución.
Utilizamos la fórmula del ángulo doble: cos(u� v) = cosu cos v + sinu sin vAsí:
cos(�
2� �) = cos
�
2cos�+ sin
�
2sin�
= 0 + (1) sin�
= sin�
R. a)
8. El valor de la expresión�sin��2 + x
��2+�cos��2 � x
��2es:
a) 0 b) 12 c) 1 d) x
De los ejercicios 6 y 7 resueltos anteriormente puede verse que:
�sin��2+ x��2
+�cos��2� x��2
= (sin�
2cosx+cos
�
2sinx)2+(cos
�
2cosx+sin
�
2sinx)2
De aquí:
(sin(�
2+ x))2 = (sin
�
2cosx+ cos
�
2sinx)2
= (sin�
2cosx)2 + 2(sin
�
2cosx)(cos
�
2sinx) + (cos
�
2sinx)2
= cos2 x (�)
y
(cos(�
2� x))2 = (cos
�
2cosx+ sin
�
2sinx)2
= (cos�
2cosx)2 + 2(cos
�
2cosx)(sin
�
2sinx) + (sin
�
2sinx)2
= sin2 x (��)
De (�) y (��), se tiene: cos2 x+ sin2 x = 1R. c)
4
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9. ¿Qué valor toma cos2(T ) si se sabe que sin(x+ T ) = sinx para todo ángulox?
a) �1 b)p22 c) 0 d) 1
Soluciòn.
De la expresión sin(x + 2�n) = sin t, se tiene que sin(x + T ) = sinx; 8ángulo xAsí que, T = 2�n; de donde n = 1; por lo cual cos2(2�) = cos2(360) = 1R. d)
10. La expresión (sin b) cos(a� b) + (cos b) sin(a� b) es equivalente a:
a) cos2 a� sin2 b b) sin a c) sin(a� b) d) 4 sin a cos b
Soluciòn.
Utilizamos las fórmulas del ángulo doble para coseno y seno:cos(a� b) = cos a cos b+ sin a sin b y sin(a� b) = sin a cos b� cos a sin bAsí:
(sin b) cos(a� b) + (cos b) sin(a� b)
= (sin b)(cos a cos b+ sin a sin b) + (cos b)(sin a cos b� cos a sin b)= sin b cos a cos b+ sin b sin a sin b+ cos b sin a cos b� cos b cos a sin b= sin2 b sin a+ cos2 b sin a
= (sin2 b+ cos2 b) sin a
= (1) sin a
= sin a
R. b)
11. Resolver sinx+ cosx =p2
a) x = �3 � 2k� (k � Z) b) x = �
3 + 2k� (k � Z)c) x = �
4 + 2k� (k � Z) d) x = �4
5
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Soluciòn.
A partir de la expresión dada, se tiene:
sinx+ cosx =p2
sinx =p2� cosx
(sinx)2 = (p2� cosx)2
sin2 x = (p2)2 � 2(
p2)(cosx) + cos2 x
sin2 x = 2� 2p2 cosx+ 1� sin2 x
2 sin2 x = 3� 2p2 cosx
2(1� cos2 x) = 3� 2p2 cosx
2� 2 cos2 x = 3� 2p2 cosx
�2 cos2 x = 1� 2p2 cosx
�2 cos2 x+ 2p2 cosx� 1 = 0
2 cos2 x� 2p2 cosx+ 1 = 0
Resolvemos la ecuación cuadrática para a = 2; b = �2p2 y c = 1
cosx1;2 =�(�2
p2)�
q(�2
p2)2 � 4(2)(1)
2(2)
cosx1;2 =2p2�
p8� 8
4
cosx1;2 =2p2
4
cosx1;2 =
p2
2
De lo anterior se puede ver: cosx1 = cosx2 =p22
De donde: x = 45o = �4
Así x = �4 + 2�n; 8n 2 Z:
R. c)
12. Resolver la ecuación sin2 x� 3 cos2 x = 0
a)��6 + 2k� : k 2 Z
b)�23� + 2�k j k 2 Z
c)�� 23� + 2�k j k 2 Z
[�23� + 2�k j k 2 Z
d)�� 23� + 2�k j k 2 Z
[���3 + 2�k j k 2 Z
6
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Soluciòn.
Resolviendo para sinx:
sin2 x� 3 cos2 x = 0
sin2 x� 3(1� sin2 x) = 0
sin2 x� 3 + 3 sin2 x = 0
4 sin2 x = 3
sin2 x =3
4
sinx = �r3
4
sinx = �12
p3
x1 = sin�1(1
2
p3)! x1 = 60
o =�
3
x2 = sin�1(�12
p3)! x2 = �60o = �
�
3
Resolviendo para cosx :
sin2 x� 3 cos2 x = 0
1� cos2 x� 3 cos2 x = 0
1� 4 cos2 x = 0
cos2 x =1
4
cosx = �r1
4
cosx = �12
x1 = cos�1(1
2)! x1 = 60
o =�
3
x2 = cos�1(�12)! x2 = 120
o =2
3�
Como la función coseno es par, también funciona para � 23�
De lo anterior puede verse que: S =�� 23� + 2�k j k 2 Z
[���3 + 2�k j k 2 Z
R. d)
7
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13. Resolver el sistema
�sinx+ cos y = 1x+ y = �
2
a) x = �6 + 2k�; y = �
�6 + 2m�; (m; k 2 Z)
b) x = ��4 + 2k�; y =
�4 + 2m� (m; k 2 Z)
c) x = �6 ; y =
�3
d)�x = 1
6� + 2�k; y =�3 + 2m�; k;m 2 Z
[�x = 5
6� + 2�k; y = ��3 + 2m�; k;m 2 Z
De la expresión x+ y = �
2 ; tenemos:
x =�
2� y(�) ^ y =
�
2� x(��)
Sustituyendo (�) en sinx+ cos y = 1. Hallamos el valor de y
sin(�
2� y) + cos y = 1
sin�
2cos y � cos �
2sin y + cos y = 1
cos y + cos y = 1
2 cos y = 1
cos y =1
2
y = cos�1(1
2)
y =�
3
Por lo cual: y =�
3+ 2k�; 8k 2 Z
Como la cosx es par, también funciona para ��3 :
Sustituyendo (��) en sinx+ cos y = 1. Hallamos el valor de x
sinx+ cos(�
2� x) = 1
sinx+ cos�
2cosx+ sin
�
2sinx = 1
sinx+ sinx = 1
2 sinx = 1
sinx =1
2
x = sin�1(1
2)
x =�
6
Por lo cual: x =�
6+ 2k�; 8k 2 Z
8
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Como sinx = a; se tiene:
x =
�2k� + sin�1 a ! 2(0)� + �
6 =�6
2k� + (� � sin�1 a) ! 2(0)� + (� � �6 =
56�
R. d)
14. El valor de 1 + cot2 x coincide siempre con el de:
a) tan2 x b) sec2 x c) csc2 x d) sinx cosx
Se tiene:
1 + cot2 x = 1 +cos2 x
sin2 x
=sin2 x+ cos2 x
sin2 x
=1
sin2 x
= csc2 x
R. c)
15. El valor exacto de cos 15o es:
a)p2p3+p2
4 b)p2+p3
4 c)p2(p3�1)4 d)
p2p3
4
Soluciòn.
Como cos(30o) = cos(15o+15o); utilizamos la fórmula del ángulo doble parael coseno: cos(u+ v) = cosu cos v � sinu sin vDe lo cual tenemos:
cos(15o + 15o) = cos 15o cos 15o � sin 15o sin 15o
cos 30o = cos2 15o � sin 15o sin 15o (�)
Para resolver sin 15o sin 15o; utilizamos la formula: sinu sin v = 12 [cos(u� v)� cos(u+ v)]
Entonces tenemos:
sin 15o sin 15o =1
2[cos(15� 15)� cos(15 + 15)]
sin 15o sin 15o =1
2[1� cos 30o] (��)
9
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Sustituyendo (��) en (�) se tiene:
cos 30o = cos2 15o � 12(1� cos 30o)
cos 30o = cos2 15� 12+cos 30o
2p3
2= cos2 15� 1
2+
p3
4ya que cos 30o =
p3
2
cos2 15 =1
2+
p3
2�p3
4
cos2 15 =2 + 2
p3�
p3
4
cos2 15 =2 +
p3
4
cos 15 =1
2
q2 +
p3 sacando raiz cuadrada
Para resolverp2 +
p3; utilizamos la fórmula:
qa�
pb =
sa+
pa2 � b2
�
sa�
pa2 � b2
Por lo cual:
cos 15 =1
2
q2 +
p3
=1
2
0@s2 +p4� 32
+
s2�
p4� 32
1A=
1
2
r3
2+
r1
2
!
=1
2
p3 + 1p2
!
=
p3 + 1
2p2
=
p3 + 1
2p2�p2p2
=
p2p3 +
p2
4
R. a)Presentamos otro procedimiento:
10
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Con base en los triángulos presentados a continuación, se tiene:
x = 1�p3
2
x =2�
p3
2
x2 =
2�
p3
2
!2
x2 =7� 4
p3
4(�)
Entonces:
11
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y2 = x2 +
�1
2
�2y2 =
7� 4p3
4+1
4
y =
s8� 4
p3
4
y =
q2�
p3
Por lo cual:
cos 15o =1
2p2�
p3
cos 15o =1
2p2�
p3�p2 +
p3p
2 +p3
cos 15o =
p2 +
p3
2p4� 3
cos 15o =
p2 +
p3
2
16. La expresión tan�+ cot� es equivalente a:
a) sin� csc� b) sec� csc� c) sec� tan� d) cos� tan�
Tenemos:
tan�+ cot� =sin�
cos�+cos�
sin�
=sin2 �+ cos2 �
cos� sin�
=1
cos� sin�
=1
cos�
1
sin�= sec� csc�
R. b)
12
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17. Si � y � son los ángulos no rectos de un triángulo rectángulo, el valor desin2 �+ sin2 � es:
a) 1 b)p2 c) 32 d) depende de los valores de � y �
Soluciòn.
De acuerdo a los datos del problema tenemos la �gura
De la �gura anterior, puede verse que:
sin2 �+ sin2 � =a2
c2+b2
c2
=a2 + b2
c2
=c2
c2ya que a2 + b2 = c2
= 1
R. a)
18. Si �; � y son los ángulos de un triángulo cualquiera, entonces
a) sin(�) = sin(2� + ) b) sin(�) = cos(� � )c) sin(�) = sin(� + ) d) sin(�) = sin( � �)
Soluciòn.
De los datos del problema, y usando la fórmula del seno para el ángulo doble:sin(u� v) = sinu cos v � cosu sin v; tenemos:
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�+ � + = 180o
� = 180o � � � � = 180o � (� + )
sin� = sin(180o � (� + )sin� = sin 180o cos(� + )� cos 180o sin(� + )sin� = �(�1) sin(� + )sin� = sin(� + )
R. c)
19. Hallar cos(2x) si sinx = 0:2
a) 0:4 b) 0:92 c) 0:092 d) 0:44
Soluciòn.
Utilizamos la fórmula cos 2u = 1� 2 sin2 u; entonces
cos 2x = 1� 2 sin2 x= 1� 2(0:2)2
= 1� 2 � 0:04= 1� 0:08= 0:92
R. b)
20. Halle el valor exacto de 105o
a)p22 (p3) b)
p32 (1 +
p3) c) 12 (1�
p3) d)
p24 (1�
p3)
Soluciòn.
Utilizando la fórmula del ángulo doble para el coseno:cos(u+ v) = cosu cos v � sinu sin v; con u = 90o y v = 15o; se tiene:
14
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cos(90o + 15o) = cos 90o cos 15o � sin 90o sin 15o
= � sin 15o
= �"2�
p3
2p2�
p3
#por segundo procedimiento de ejecicio 15
= �"2�
p3
2p2�
p3�p2 +
p3p
2 +p3
#
= �"(2�
p3)(p2 +
p3)
2
#
= �"(2�
p3)
2�p3 + 1p2
#por primer procedimiento ejercicio 15
= �"p
2(p3� 1)4
#
=
p2(1�
p3)
4
R. d)
21. Exprese cos 3a como una diferencia de cosenos
a) 4 cos3 �� 3 cos� b) 3 cos3 a� 3 cos�c) 3 cos2 a� 3 cos� d) 2 cos3 a� 3 cos�
Soluciòn.
Se tiene de los datos: cos 3a = cos(2a+ a)A partir de la fórmula para el coseno:
cosu cos v =1
2[cos(u+ v) + cos(u� v)]
Tenemos:
cosu cos v =1
2[cos(u+ v) + cos(u� v)]
2 cosu cos v = cos(u+ v) + cos(u� v)2 cosu cos v � cos(u� v) = cos(u+ v)
2 cos 2a cos a� cos(2a� a) = cos(2a+ a)
2 cos 2a cos a� cos a = cos(2a+ a) (�)
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Como cos 2a = cos(a+ a); se tiene:
cosu cos v =1
2[cos(u+ v) + cos(u� v)]
2 cosu cos v = cos(u+ v) + cos(u� v)2 cosu cos v � cos(u� v) = cos(u+ v)
2 cos a cos a� cos(a� a) = cos(a+ a)
2 cos a cos a� cos 0 = cos(a+ a)
2 cos a cos a� 1 = cos(a+ a) (��)
Sustituyendo (��) en (�); se tiene:
1.
2 cos 2a cos a� cos a = cos(2a+ a)
2(2 cos a cos a� 1) cos a� cos a = cos(2a+ a)
2(2 cos a cos a cos a� cos a)� cos a = cos(2a+ a)
4 cos3 a� 2 cos a� cos a = cos(2a+ a)
4 cos3 a� 3 cos a = cos(2a+ a)
R. a)
22. Si �; � y son los ángulos de un triángulo y se cumple que sin2 �+sin2 �+sin2 = 2; entonces el triángulo es:
a) Equilátero b) Isósceles c) Escaleno d) Rectángulo
Soluciòn.
De los datos del problema: sin2 �+ sin2 � + sin2 = 2; se tiene:
sin2 �+ sin2 � + sin2 = 2
(sin2 �+ sin2 �) + sin2 = 2
1 + sin2 = 2
sin2 = 1
sin = 1
= sin�1(1)
= 90o
Así el triángulo es rectángulo.R. d)
16
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23. En un triángulo ABC; AB = 15; AC = 13 y BC = 14: Hallar el coseno del6 C
a) 713 b) 1413 c) 5
13 d) 113
Según los datos tenemos la siguiente �gura:
Utilizamos las leyes de los cosenos:
c2 = a2 + b2 � 2ab cosC
cosC =c2 � a2 � b2�2ab
cosC =152 � 142 � 132�2(15)(13)
cosC =�140�390
cosC =5
13
R. c)
24. Un satélite de comunicación pasa, en cierto instante, sobre la línea imag-inaria que une dos estaciones repetidoras A y B que están localizadas a120km de distancia una de la otra. En ese momento se mide simultánea-mente el ángulo de elevación de la estación A que es de 75o y el de laestació B que es de 60o: La distancia de la estación A al satélite en eseinstante es igual a:
a) 91:22 km b) 103:76 km c) 146:97 km d) 152:75 km
Soluciòn.
Según los datos tenemos la siguiente �gura:
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Usamos la ley de los senos:
sinA
a=sinB
b=sinS
s
El ángulo correspondiente a S es de 45o
Tomamos:sinB
b=sinS
s
así tenemos:
sinB
b=
sinS
s
b =(sinB)(s)
sinS
b =(120)(sin 60o)
sin 45o
b = 146:96km
R. c)
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25. Desde un globo que está volando sobre una torre a 1500 m de altura, sedistingue un pueblo a un ángulo de depresión de 70o: ¿A qué distancia dela torre se halla el pueblo?
a) 775 m b) 809 m c) 806 m d) 805 m
Soluciòn.
Según los datos del problema, tenemos la �gura:
Utilizando tan de 70o, tenemos:
tan 70o =1500
x
x =1500
tan 70o
x = 545:95 m
R.
26. Calcule la altura de un árbol que está situado sobre un terreno llano, sabi-endo que desde un punto del suelo se observa su copa bajo un ángulo deelevación de 45o y, desde un punto 15 metros más cerca del árbol, a unángulo de 60o:
a) 30:5 m b) 45 m c) 31:7 m d) 35:49 m
Soluciòn.
Según los datos del problema, tenemos la �gura:
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Usamos la ley de los senos:
sinA
a=sinB
b=sinS
s
Utilizamos la relación:sinA
a=sinB
b
así pues:
sinA
a=
sinB
b
a =b sinA
sinB
a =(15)(sin 45o)
sin 15o
a = 15 + 15p3
Utilizando sin 60o; tenemos:
sin 60o =h
ah = a sin 60o
h = (15 + 15p3)(sin 60o)
h = 35:49 m
R. d)
27. Se da una circunferencia de radio 10 m: Calcule el coseno del ángulo queforman las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos deuna cuerda de 15 m de longitud.
a)p23 b) 58 c) 23 d) 18
Soluciòn.
Según los datos del problema, tenemos la �gura:
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Encontramos el valor de x :
(10)2 = x2 + (7:5)2
x =p100� (7:5)2
x =5
2
p7
Utilizamos el teorema de la altura xBC =
BCy para encontrar el valor de y:
52
p7
152
=152
y
y =( 152 )
2
52
p7
y =225
4� 2
5p7
y =45
4
p7
Utilizamos cos � = C. AdyacenteHipotenusa ; para hallar el valor del ángulo, pero primero
encontramos el valor de la Hipotenusa (H):
H2 = y2 + (15
2)2
H =
s�45
4
p7
�2+
�15
2
�2H =
30
7
p7
Así:
cos � =454
p7
307
p7
cos � =45
4
p7 � 7
30p7
cos � =3
4
� = cos�1�3
4
�� = 41:4096:::
2� = 82:8192:::
cos 2� =1
8
R. d)
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28. Sabiendo que sinx = 23 y que
�2 < x < �; encuentre el valor de tanx
a) 32 b)p53 c) � 2
5
p5 d)
p32
Soluciòn.
De los datos: sinx = C. OpuestoHipotenusa =
23 ; así: C. Opuesto = 2; Hipotenusa = 3;
entonces C. Adyacente =p5:
Así,
tanx =C. OpuestoC. Adyacente
tanx =2p5
=2p5
5
Como �2 < x < �; entonces:
sin(+)cos(�) = �; así debe ser: tanx = �
2p5
5
R. c)
29. La expresión 12 [sin(�+ �)� sin(�� �)] es equivalente a:
a) cos� cos� b) cos� sin� c) sin� sin� d) 1� sin� sin�
Soluciòn.
De los datos dados:
1
2[sin(�+ �)� sin(�� �)]
=1
2[(sin� cos� + cos� sin�)� (sin� cos� � cos� sin�)]
=1
2[sin� cos� + cos� sin� � sin� cos� + cos� sin�]
=1
2(2 cos� sin�)
= cos� sin�
R. a)
30. La función f de�nida por f(x) = � 12 (cos 4x�cos 2x) coincide con la función
g dada por:
a) g(x) = sinx cosx b) g(x) = sin2 x� cosx c) sin(3x) sinx d) cos(2x) sinx
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Soluciòn.
Utilizamos la expresión:
sinu sin v =1
2[cos(u� v)� cos(u+ v)] (�)
Así:
f(x) = �12(cos 4x� cos 2x)
f(x) =1
2(cos 2x� cos 4x)
f(x) =1
2[cos(3x� x)� cos(3x+ x)]
f(x) = sin 3x sinx Aplicando (�)
R. c)
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