A
B
C
Hipot
enus
aCateto
Cateto
Triangulo
TEOREMA DE PITÁGORAS
A
B C
CATETO
CATETO
HIPOTENUSA
2 2(CATETO) (CATETO) 2(HIPOTENUSA)
3
45 512
1320
21 29
A C
Hipot
enus
a
Cateto adyacenteal <B
Cateto opuestoal <B
B
A Cb
B
ac
Calcular las razones trigonométricas de los ángulos A y B.
Nombre Símbolo
Seno Sen A = co
Coseno Cos A = ca
Tangente Tan A = co
Cotangente CotA = ca
Secante Sec A = hip
Cosecante Csc A = hip
hiphipca
ca
co
co
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS
qq=
CatetoOpuestoasen
Hipotenusa
CatetoAdyacentea
cosHipotenusa
Hipotenusasec
CatetoAdyacentea
Hipotenusa
cscCatetoOpuestoa
CatetoAdyacentea
cotCatetoOpuestoa
CatetoOpuestoa
tanCatetoAdyacentea
CATETO
OPUESTO
A
CATETO ADYACENTE A
HIPOTENUSA
SENO COSENO
TANGENTE COTANGENTE
SECANTE COSECANTE
12
35
H2 2 2H 12 35
TEOREMA DE PITÁGORAS
H 1369 37
sen
cos
tan 12373537
1235
cot
sec
csc 3512
37353712
EJEMPLO :
Ejercicio:
Sabiendo que es un ángulo agudo tal que sen=2/3.....
23
Razones Recíprocas
Sen ACos ATan ACot ASec ACsc A
•Sen A ( Csc A ) = 1
•Cos A ( Sec A ) = 1
•Tan A ( Cot A ) = 1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
1sen
csc
1
cossec
1tan
cot
EJEMPLOS
o
1A)
sen36ocsc 36 o
1B)
cos 17osec 17
sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1
D)sen2 csc 2 1o oC) tan 49 cot 49 1
oE)cos 63 sec 1 o63
F) tan 2 cot 1 2
CO-RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS
LAS CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SON:
SENO Y COSENO
TANGENTE Y COTANGENTE
SECANTE Y COSECANTE
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
sen cos
cos
tan
sen
cot a
b ccot
sec
csc
tan
csc
sec
“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”
EJEMPLOSoA)sen25 oB)tan 43 oC)sec 60
ocos 65ocot 47ocsc 30
...............
...............
...............
o o O25 65 90 o o O43 47 90 o o O60 30 90
oD)sen cos 20 o O20 90 o70
E) tan 5 cot o5 90 o15
F)sen5
cos
5 2
2 5
3
rad10
))
((o30
o37 o45
4 3
4
3 3
3 3
CALCULAR : cot
83 3
cot4
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
HHsen
H cos
L sec L tan
L
5
o62
o5sen62
o5 cos 62
8
8 tan8 sec
CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO
CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDO
L
L cot
L csc k
o24
ok csc 24
ok cot 24
EJEMPLO
)
)
mCalcular L en términos de m y ;
L
CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDO
SOLUCIÓN
m
m tanL
L m tanm
cot L m tan m cot
L m cot m tan L m (cot tan )
ÁREA DEL TRIÁNGULO
A B
C
ab
c
abS senC
2
bcS senA
2
acS senB
2
EJEMPLO
5m
8m
O60
o(5)(8)S sen60
2
(5)(8) 3S ( )
2 2 210 3m
Uso de la calculadora
• 1. Hallar el valor de las funciones trigonométricas para 50° con la calculadora.
Sen 50°= Cot 50°=
Cos 50°= Sec 50°=
Tan 50°= Csc 50°=
Uso de la calculadora
• 2. Hallar la medida del ángulo agudo “A” si
sen A = 0.74314.
• 3. Hallar la medida del ángulo B si cot B= 0.26795
Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo consiste en hallar la medida de sus ángulos agudos y la longitud de sus 3 lados.
Ejemplos
• Resolver los siguientes triángulos rectángulos.
• 1.
B
A C
a
b
80
63°
a = 71.28b = 36.32< B = 27°
• 2. B
A C
5
12
cc = 13
< A = 22.62°< B = 67.38°
• 3.
A C
a
b=20
c
39° 25´
B
a = 16.4c = 25.9
< B = 50.58° = 50° 35’
Aplicaciones• 1. Desde la cúspide de un faro de 30 m
de altura sobre el nivel del mar se observa que el ángulo de depresión respecto de un barco es de 25°; calcular la distancia horizontal del faro al barco.
x = 64.3 m
• 2. Hallar el ángulo de elevación del Sol si una persona de 1.80 m proyecta una sombra de 3.6 m.
=26.56°
• 3. ?Qué ángulo debe formar con el piso una escalera de 6 m de longitud, si se quiere alcanzar la parte más alta de una pared de 3 m?
<B = 30°
• 4. ?A qué distancia del pie de una torre de 40 m de altura deberá colocarse un observador para que el ángulo de elevación a la cúspide de la torre sea de 60°?
x = 23.0 m