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Trayectorias OrtogonalesECUACIONES DIFERENCIALES
• NICOLÁS MERCHAN
• JOHN BAREÑO
• JULIÁN BELTRÁN
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Definición
En la imagen, familia de curvas y sus trayectorias ortogonales.
Teniendo una familia de curvas, se llama conjunto de trayectorias ortogonales, a otra familia de curvas en la cual cada uno de sus miembros corte a cada miembro de la primera familia en ángulos rectos (el ángulo se define como el formado entre las tangentes a las curvas en el punto de intersección).
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Ejemplos
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Determinación de trayectorias ortogonales
Primer paso: Dada una familia de curvas, se encuentra su ecuación diferencial de la forma:
y’= f(x,y)
Segundo paso: Se encuentran las trayectorias ortogonales resolviendo su ecuación diferencial:
y’= -
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Demostración del método
Se sabe que una curva dada que pasa por el punto P: (x,y) tiene
en P la pendiente f(x,y). La pendiente de la trayectoria ortogonal
que pasa por P deberá ser, en ese punto, recíproco negativo de
f(x,y), es decir - , pues esta es la condición para que dos curvas
en P sean perpendiculares.
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Aplicaciones de trayectorias Ortogonales
Mapas meteorológicos.
Mapas de campos eléctricos.
Mapas de campos magnéticos.
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EJEMPLOS
1. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia dada:
Derivando implícitamente se tiene:
Despejando c de la ecuación original se tiene que:
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Reemplazando c:
Aplicando la formula tenemos que:
Haciendo producto de extremos y medios llegamos a:
Por separación de variables y aplicando integral se tiene:
La familia de trayectorias ortogonales es:
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2.
Derivando:
Despejando c:
Reemplazando:
Aplicando la formula:
Separando Variables:
La familia Solución es: