Transferencia de Masa
Temas a tratar:
# Sistemas diferenciales
1.- Transporte por difusión, esfera;
2.- Transporte por convección, esfera;
3.- Difusión con reacción química homogénea (BSL 18-4)
1.- Ejemplo: flujo difusional isotérmico
Sea una partícula esférica (radio r1) compuesta de varios
materiales, uno de los cuales A es volátil. Dicha partícula esta
rodeada una capa de un material B, de espesor finito (δ=r2 – r1), en
la cual A puede transportarse (A= perfume ; B = aire).
Se requiere obtener el modelo matemático de:
(a) El perfil de la concentración de A en la película estacionaria;
(b) El flux de A en las partes interna y externa de la película;
(c) El flujo de A en las partes interna y externa de la película.
Para simplificar el caso, se supone que:
1) la película de B esta quieta… luego se revisarán otros casos;
2) solamente se transporta A y lo hace por difusión;
3) se conoce la concentración de A (CA) en dos posiciones (CA1 y
CA2 en r1 y r2, respectivamente);
4) el sistema esta en condiciones de estado estacionario.
1) Esquema y sistema coordenado
a) C
A C
Ar ... en: r
2 r r
1
r2
r1
2) Preguntas
(a) Perfil de la concentración de A en la película estacionaria;
(b) Flux de A en las partes interna y externa de la película;
(c) Flujo de A en las partes interna y externa de la película.
b) J
A r
1
... JA
r2
c) ... 1 2
A Ar rQ Q
Coordenadas esféricas
3) Modelo
3.1) Estado estacionario d
0dt
3.2) Isotérmico: sólo balance de masa.
3.3) No hay reacción química: AR 0
3.4) No hay flujo convectivo : v 0
3.5) Simetría respecto a y ; 0 0
3.6) constante ; constante ABD
2
Coordenadas esféricas ( ):
sen
sen sen sen
A A A Ar
22 A A A
AB A2 2 2 2
r, ,
C C C C1 1v v v
t r r r
C C C1 1 1D r R
r rr r r
3.1
3.3
3.4 3.4 3.4
3.5 3.5
... 2AB AA A2
D dCdr 0 C C r
dr drr
2 AdCdr 0
dr dr
a) Para obtener el perfil CA(r) se debe resolver el balance de masa.
2 A1
dCr k
dr
Con las condiciones de frontera:
@
@
A A1 1
A A2 2
C C r r
C C r r
A 1 2
drdC k
r 1
A 2
kC k
r
Aplicando las condiciones límite, se evaluan k1 y k2
1A1 2
1
kC k
r 1
A2 2
2
kC k
r
A1 A2
1 2 1
1 2
C Ck r r
r r
A1 A2 2 12 A1
1 2 1
C C r rk C
r r r
Por lo tanto, el perfil CA(r) que se pide en la pregunta (a) queda:
... (a)
A1 A2
A A1 2 1
1 2 1
C C 1 1C C r r
r r r r
Como: ...1A 2
kC k
r
...
A1 A2 A1 A2 2 11 2 1 2 A1
1 2 1 2 1
C C C C r rk r r k C
r r r r r
(b) Las expresiones de flux de A (JA) en las partes interna (r=r1) y
externa (r=r2) de la película se obtienen aplicando la definición de flux,
tomando en cuenta que el transporte de A es únicamente por difusión y
que el coeficiente de difusividad DAB es constante (independiente de la
posición)
AA ABr
r
dCJ D
dr
Por (a):
A1 A2A 1 2
2
1 2
C CdC r r
dr r r r
A1 A2 1 2A AB 2r
r1 2
C C r rJ D
r r r
(b) Por lo tanto, el flux de A en la parte interna (r=r1) del cascarón
esférico esta dado por:
1
A1 A2 1
r
2A AB 2
1 2 1
C C r rJ D
r r r
(b) Y el flux de A en la parte externa (r=r2) del cascarón esférico es:
2
A1 A2 1
r
2A AB 2
1 2 2
C C r rJ D
r r r
Como se ve, las expresiones de flux de A en las partes interna (r=r1) y
externa (r=r2) de la película son diferentes, aún cuando el sistema esta en
estado estacionario.
Esto se debe a que el área de sección transversal de flujo es diferente
para cada una de ellas.
(c) Para obtener las expresiones del flujo de A (QA) en las partes interna
(r=r1) y externa (r=r2) de la película, se considera que el flujo es igual al
producto del flux por el área de la sección transversal de flujo:
rA rr AQ J A
y el área de flujo es: 2
rA 4 r
Como:
A1 A
r
2 1 2A AB 2
1 2
C C r rJ D
r r r
11
A1 A2 A1 A221 2A AB AB 1 22
1 2 1 2r
1
rr
C C C Cr rQ D 4 4 D r r
r r r r
2
A1 A2
A AB 1 2
1 2r
C CQ 4 D r r
r r
El flujo de A en las partes interna (r=r1) y externa (r=r2) de la película
son iguales,, porque el área de sección transversal de flujo es diferente
para cada una de ellas, y el sistema esta en estado estacionario.
2.- Ejemplo: flujo isotérmico.
Sea el caso de una esfera porosa, que contiene en los poros un material
A; dicha esfera se encuentra en el seno de una atmósfera (ejemplo: aire
caliente) permite el transporte de A.
Se requiere:
i) Plantear (no resolver) el modelo que describe el transporte de A, en
términos de su concentración molar CA;
ii) El perfil de concentración de A cuando el transporte por difusión es
despreciable con respecto del transporte convectivo.
Para simplificar el análisis de este sistema, se considera además que:
1.- el componente A se transporta en la dirección radial;
2.- el componente A se transforma en el producto P en forma
irreversible, de acuerdo a una cinética de primer orden;
3.- el sistema está en condiciones isotérmicas y estado estacionario;
4.- que se conocen la concentración de A y la velocidad del fluido en la
superficie de la gota (CA=CAo y v=v0 en r=r0).
1) Esquema y sistema coordenado
i) Balance molar de A cuando hay transporte difusivo y convectivo
r
r0
2) Preguntas
i) Plantear (no resolver) el modelo que describe el transporte de A, en
términos de su concentración molar CA;
ii) Obtener el perfil de concentración de A cuando el transporte por
difusión es despreciable con respecto del transporte convectivo.
Coordenadas esféricas
ii) C
A C
Ar ... en: r
2 r r
1 ... cuando domina el transporte convectivo
3.1) Estado estacionariod
0dt
3.2) Isotérmico: ... balances de masa y momentum
3.3) Flujo convectivo unidireccional, en : ; ; rr v 0 v 0 v 0
3) Modelo (restricciones)
3.4) Simetría respecto de y de : y 0 0
3.5) y son constantes (coeficientes difusionales)ABD
3.6) Cinética de primer orden irreversible: A AR kC
2
Simplificación del balance de masa; coordenadas esféricas ( ):
sen
sen sen sen
A A A Ar
22 A A A
AB A2 2 2 2
r, ,
C C C C1 1v v v
t r r r
C C C1 1 1D r R
r rr r r
3.1 3.3 y 3.4 3.3 y 3.4
3.4 3.4
2A Ar AB A2
dC dC1 dv D r kC 0
dr dr drr
con: y @ y @ Ar 0 A Ao 0
dCv v C C r r 0 r
dr
i) El modelo que describe el transporte de A, en términos de su
concentración molar CA, cuando puede haber transporte por convección y
difusión es el siguiente:
ii) Para obtener el perfil de concentración de A cuando el transporte por
difusión es despreciable con respecto del transporte convectivo (DAB≈0),
se simplifica el modelo anterior (i) y se resuelve el modelo resultante:
... 2
0Ar A r 02
rdCv kC v v
dr r
del balance de momentum: 2
0r 02
rv v
r
con: y @ r 0 A Ao 0v v C C r r 2
0 A0 A2
r dCv kC
drr
es el perfil deseado (ii)
3 3
0
A Ao 2
0 0
k r - rC C exp
3r v
A
Ao 0
C r
2A
2
A 0 0C r
dC kr dr
C r v
con: y @ A Ao 0r 0 C Cv v r r Como: 2
0 A0 A2
r dCv kC
drr
3. Ejemplo Difusión con reacción química homogénea (BSL 18-4)
Este ejercicio consiste en considerar que se tiene una película
estacionaria (espesor L… interfase), en cuyo seno una especie A se
transporta por difusión, y se transforma irreversiblemente en un
producto B con una rapidez de reacción que es de primer orden respecto
a la concentración molar de A (CA); la interfase esta soportada en la
superficie del sólido, pero A no reacciona en dicha superficie.
Suponiendo que el sistema se encuentra en condiciones isotérmicas y
en estado estacionario, y que la concentración molar de A en el fluido
que fluye (bulk) encima del sólido se mantiene constante (CA= CA0), se
quiere obtener las expresiones de:
1) El perfil de la composición que tiene la película estacionaria, en
términos de la fracción molar de A (XA);
2) El flux de A, también en términos de XA.
Plawsky, Figura 2.12a. Sistema coordenado: cartesiano
2 2 2
A A A A A A Ax y z AB A2 2 2
C C C C C C Cv v v D R
t x y z x y z
Esquema (BSL, Fig. 18.4-1)
Sistema coordenado: cartesiano
2 2 2
A A A A A A Ax y z AB A2 2 2
C C C C C C Cv v v D R
t x y z x y z
Modelo (restricciones)
1) Edo est: d
0dt
2) Transporte unidireccional: z
5) Condición límite: A A0C C @ z 0
3) Transporte por difusión únicamente
4) Reacción irreversible, de primer orden: Ar kC
De acuerdo con las restricciones del caso, el balance de masa en la
pastilla queda: 2 2 2
A A A A A A Ax y z AB A2 2 2
C C C C C C Cv v v D R
t x y z x y z
2
AAB A2
d CD kC
dz
Con las condiciones límite siguientes:
en ; en en AA A0 A finito
dCC C z 0 C C z L 0 z L
dz
Como: 2
AA2
d CD kC
dz
Considerando los términos adimensionales siguientes:
; AA A0
A0
C zf C C f Y z LY
C L
2
A0A02 2
DC d fkC f
L dY
Con las condiciones límite: en ; en df
f 1 Y 0 0 Y 1dY
en ; en AA A0
dCC C z 0 0 z L
dz
Utilizando el módulo de Thiele: 2
2 L k
D
2
2
2
d ff
dY
Como: 2
2
2
d ff
dY
La solución es de la forma: 1 2f C cosh Y C senh Y
Aplicando la condición a la frontera:
en df
0 Y 1dY
en f 1 Y 0
1 21 C cosh 0 C senh 0 como: y senh 0 0 cosh 0 1
2f cosh Y C senh Y 1C 1
como: 2
dfsen h Y C cos h Y
dY
20 senh C cosh
2
senhC
cos h
senhf cosh Y senh Y
cos h
La otra constante C2 se determina utilizando la otra condición límite:
como:
sen hf cosh Y senh Y
cos h
cos h cosh Y senh senh Yf
cos h
cos h 1 Yf
cos h
como: ; cos h cos h cos h Y cos h Y
cos h cosh Y sen h senh Yf
cos h
como: cos h cosh Y senh senh Y cos h Y
A A0
cos h 1 z LC C
cos h
como: ; A
A0
C zf Y
C L
con: 2
2 L k
D
como: A A0
cos h 1 z LC C
cos h
como: y ; es constanteA A A0 A0C Cx C Cx C
A A0
cos h 1 z Lx x
cos h
Debido a que el transporte de A es únicamente por difusión, la expresión
del flux se obtiene con:
= A AA AM AMz
z z
dC dxN D D C
dz dz
A0A
A0
cos h 1 z L xdx dx senh 1 z L
dz dz cos h cos h L
AM A0A
A AM AM A0z 00
senh D CdxN D C D Cx tanh
dz L cos h L
A A0
cos h 1 z LC C
cos h
A A0
cos h 1 z Lx x
cos h
AM A0A z 0
D CN tanh
L
Las expresiones del perfil de la composición (en términos de la
concentración y fracción molar) y el flux de A son: