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TRABAJO DE ANLISIS NUMRICO
EJERCICIOS PROPUESTOS EN CLASES
1. Explicar el Mt! !e "a#$$ a tra%$ !e #& e'e(pl )*acerel e'e(pl e& MATLAB c& t!a$ $#$ re$tricci&e$+.
Mt! !e "a#$$El mtodo de Gauss es un mtodo para resolver sistemas de ecuaciones
lineales:
AX=B
Donde A es la matriz de coefcientes, X es el vector columna de incgnitas y
B contiene respectivamente los segundos miembros de cada ecuacin
!" #aso: $e debe %ormar una (atri, a(plia!acompuesta por la matriz decoefcientes A y el vector B:
[A|B]
&" #aso: Eli(i&aci-& *acia a!ela&te Esto consiste en aplicar operacioneselementales por fla a la matriz ampliada de modo 'ue la matriz A contenida
en ella se trans%orme en una matriz triangular superior (a la 'ue podr)amos
llamar *+, es decir, 'ue sus elementos situados debao de la diagonal
principal sean ceros
De esa %orma, el lado correspondiente al vector B se ver- tambin a%ectado,
por lo 'ue podemos escribir esto como:
[U|B ']
." #aso: S#$tit#ci-& *acia atr$. $i /emos /ec/o todo correctamente, eneste punto, partiendo desde la 0ltima fla podremos ir encontrando
%-cilmente los valores de las 0ltimas variables 1uego, reemplazando dic/os
valores en las flas anteriores podremos encontrar los valores de las primeras
variables, y as) dar una solucin completa al sistema
Pr/ra(a e& Matla0.
En clase /emos trabaado algunos sistemas de ecuaciones lineales enparticular 1uego /icimos una generalizacin para resolver sistemas de
ecuaciones lineales de & ecuaciones y de . ecuaciones
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas &
El programa 'ue presentamos a continuacin resuelve sistemas de
ecuaciones lineales 'ue se componen de n ecuaciones, es decir, /a sido
generalizado totalmente
clc, clear
n = input('De cuntas ecuaciones se compone el sistema?: ');% Reservamos espacio anticipadamente, para optimizar. = zeros(n, n); ! = zeros(n,"); # = !;
% $ectura de la matriz de coeicientes.disp('$ectura de la matriz de coeicientes.')ori=":n or&=":n print('nrese un valor para (%d, %d): ', i, &) (i, &) = input(''); endend
disp('$ectura del vector columna !')ori=":n print('nrese un valor para !(%d): ',i) !(i) = input('');end
% ormamos la matriz ampliada.* = +,!;
% -liminacin /acia adelante.or&=":n0" ori=&1":n *(i,:) = *(i,:)1*(&,:)2(0*(i,&)3*(&,&));
endend
% 4ustitucin /acia atrs.ori=n:0":" #(i) = *(i,n1"); or&=i1":n #(i) = #(i) 0 #(&)2*(i,&); end #(i) = #(i)3*(i,i);end
disp('4e /a encontrado el valor de las incnitas: ')#
U& e'e(pl !e #$ !el pr/ra(a.
$upongamos 'ue 'ueremos resolver el siguiente sistema de ecuaciones
lineales
{ 3x+2y+z=7
2x+y+17z=103x+2y+18z=24
Entonces ingresamos los datos al programa
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2 ste nos reportar- inmediatamente las soluciones:
A fn de comprobar los resultados, en el mismo 3atlab es posible realizar
operaciones con los valores encontrados Entonces, si e%ectuamos
operaciones tales como los primeros miembros de cada ecuacin, las
respuestas deber-n ser sus respectivos segundos miembros, seg0n seingresaron las ecuaciones originalmente:
Dic#lta!e$ e& el (t! !e "a#$$.
El programa %unciona per%ectamente tal como se /a comprobado a travs deleemplo $in embargo, e4isten algunas circunstancias por las 'ue el
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programa podr)a dar muc/os errores Dic/as circunstancias no se /an tratado
previamente, pero s) se lo /aremos a continuacin Describiremos la causa
'ue origina el problema y luego modifcaremos el cdigo para solucionar
dic/as e4cepciones
Dic#lta! 231.Divisin entre cero
6uando procedemos a /acer ceros los elementos 'ue est-n debao de la
diagonal principal, lo realizamos por columnas #or eemplo, situ-ndonos
sobre la primera columna, /acemos ceros a los elementos debao del primer
elemento de la primera fla 6uando estamos sobre la segunda columna,
/acemos ceros a los elementos situados debao del segundo elemento de la
segunda columna En general, cuando estamos en una columna i, /acemos
ceros a los elementos situados debao de A(i, i+, siendo A la matriz ampliada
#ara dic/a 7eliminacin /acia adelante8, se /acen divisiones, en lo 'ue
podr)a resultar una divisin entre cero si el elemento pivote es cero
Entonces para evitar ello, antes de la eliminacin, se /ace un intercambio, de
modo 'ue la primera fla sea a'uella 'ue tenga como primer elemento al
mayor n0mero de la primera columna 6on ello ya es posible eliminar los
elementos situados debao de A(!, !+ Al pasar a la eliminacin de la segunda
columna, debemos asegurarnos 'ue el elemento pivote de la segunda fla
sea mayor a los elementos 'ue debao de l Es decir, A(&, &+ debe ser mayor
a cual'uier A(i, &+ para i desde . /asta n De no ser as), se /ace elintercambio correspondiente y ya luego recin se procede a eliminar
Agregaremos la solucin a tal problema en nuestro programa #ara ello,
dentro del bucle %or m-s general, 'ue recorre las columnas, agregaremos
algnas operaciones m-s: para cada columna /aremos un recorrido buscando
el mayor elemento 'ue se encuentre debao del pivote $i el pivote actual es
el mayor se procede a eliminar, y si no, se intercambian flas 9o es necesario
reordenarlas todas de mayor a menor, pues slo se re'uiere intercambiar la
fla con el mayor elemento por la fla 'ue contiene al pivote actual #or eso,
cada vez 'ue encontremos un nuevo elemento mayor, iremos guardando
adem-s la posicin de la fla a la cual pertenece
El cdigo es el siguiente, y se /a resaltado de verde el %ragmento de cdigo
agregado:
clc, clearn = input('De cuntas ecuaciones se compone el sistema?: ');
% Reservamos espacio anticipadamente, para optimizar. = zeros(n, n); ! = zeros(n,"); # = !;
% $ectura de la matriz de coeicientes.
disp('$ectura de la matriz de coeicientes.')ori=":n
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or&=":n print('nrese un valor para (%d, %d): ', i, &) (i, &) = input(''); endenddisp('$ectura del vector columna !')
ori=":n print('nrese un valor para !(%d): ',i) !(i) = input('');end
% ormamos la matriz ampliada.* = +,!;
% -liminacin /acia adelante.or&=":n0" % 4eleccionando al ma5or pivote posi6le. indice =&; % 7ndice ila del ma5or. ori=&1":n i( a6s(*(i, &)) 8 a6s(*(indice, &)) ) indice = i; end end % ntercam6iamos si es necesario. i(& 9= indice ) vectoremporal = *(&, :); *(&, :) = *(indice, :); *(indice, :) = vectoremporal; end
ori=&1":n *(i,:) = *(i,:)1*(&,:)2(0*(i,&)3*(&,&)); end
end% 4ustitucin /acia atrs.ori=n:0":" #(i) = *(i,n1"); or&=i1":n #(i) = #(i) 0 #(&)2*(i,&); end #(i) = #(i)3*(i,i);end
disp('4e /a encontrado el valor de las incnitas: ')#
9tese 'ue se obtiene el mayor valor absoluto, ya 'ue conviene dividir entre
;< 'ue dividir entre =====!, 'ue es una situacin 'ue podr)a ocurrir si la
mayor)a de coefcientes ingresados son negativos
2 a/ora probaremos el programa actualizado con un sistema de ecuaciones
'ue dar)a error si usamos la primera versin del programa
{ 2X
2+3X
3=12
X1+8X
3=9
3X1+5X
2X
3=34
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas >
Dar)a error la primera versin por la presencia de ceros como pivotes en la
matriz de coefcientes
M=
[ 0 2 3
1 0 83 5 1
]Y=[
12
9
34]
?ngresamos los coefcientes al programa 2 as) mismo los valores para el
vector 2
As) obtenemos el siguiente resultado:
Este resultado es correcto y puede comprobarse %-cilmente reemplazando
tales valores en el sistema de ecuaciones lineales
Dic#lta! 234.Error de redondeo
Este es el error menos %-cil de evitar #or ello, para evitar compleidades,
luego de /aber obtenido los valores de las incgnitas usando el programa
antes presentado, no los mostraremos directamente como solucin, sino 'ue
antes /aremos una comprobacin, reemplazando nosotros mismos tales
valores (a travs del programa 'ue estamos desarrollando+ en las n
ecuaciones y verifcando 'ue ello sea igual a cada elemento del vector 2ingresado De ser as), mostramos la solucin sin duda alguna, y si no,
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas @
advertiremos 'ue los resultados pueden no ser los adecuados, por /aberse
cometido errores de redondeo
#ara ello agregamos el siguiente %ragmento de cdigo al fnal de nuestro
programa:
4onorrectos = true;% ompro6acin de la consistencia de los datos.ormat lonori=":n 4=
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas
El problema ocurre cuando la determinante de la matriz de coefcientes es
muy pe'uea 2 ello no se soluciona multiplicando las ecuaciones por alguna
constante 2a 'ue si nuestro sistema %uera:
{10x+20y=10011x+20y=104
A0n seguir)a estando mal condicionado El punto es 'ue, seg0n esta 0ltima
%orma, el determinante es ;&= y como no es un n0mero muy pe'ueo, no
delata instant-neamente 'ue se trate de un sistema mal condicionado
Entonces siempre debemos escalar la matriz de coefcientes y obtener luego
el determinante Escalar consiste en realizar divisiones a las ecuaciones 'ue
con%orman el sistema, sin alterar las igualdades 'ue precisan, y de modo 'ue
el mayor coefciente resulte siendo !
Aplicando ello al eemplo 'ue mostramos antes, obtendr)amos:
{ 1
2x+y=5
11
20+y= 104
20
2 el determinante de la matriz de coefcientes escalada ser)a: |A|=0.05
#ara dar solucin a esto en nuestro programa, podr)amo seguir una serie de
pasos: encontrar el mayor coefciente en la matriz de coefcientes ingresada
por el usuario (el mayor valor absoluto+, dividir toda la matriz entre dic/o
n0mero y calcular el determinante $er)a recomendable /acer todo ello en
una matriz temporal, para no a%ectar la ingresada originalmente, e indicar si
el sistema est- mal condicionado o no antes de realizar los c-lculos para
obtener la solucin al sistema ?ncluso esto 0ltimo ser)a cancelado
El %ragmente de cdigo va usto antes de %ormar la matriz ampliada:
% -scalamos la matriz de coeicientes.% Aos aseuramos de >ue no tena un determinante mu5 pe>ueBo. = ; % atriz auCiliar para no aectar la oriinal.ma5or = a6s((", "));ori=":n or&=":n i(a6s((i, &)) 8 ma5or) ma5or = a6s((i, &)); end endendori=":n (i, :) = (i, :)3ma5or;end
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas IJO MULTI9ARIABLE
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas &&
El sistema fi(x )=0, i=1,2,3, , n es trans%ormado en el conunto de
ecuaciones:
x1=g1(x)
x2=g2(x)
x3=g3(x)
M
xn=gn(x )
3ediante la aplicacin de operaciones algebraicas v-lidas A cada una de
estas ecuaciones se les aplica el mtodo iterativo del punto fo:
x1(k+1)=g1(x
(k))
x2(k+1)=g2(x
(k))
x3(k+1)=g3(x
(k))
M
xn(k+1 )=gn(x
(k))
$e comienza con una estimacin inicial x(0)
, la cual es sustituida en las
ecuacionesg
1 , g2 , g3 , , gn resultando una nueva apro4imacin x(1)
Estas
%unciones son evaluadas en x(1)
para generar x(2)
Este procedimiento es
repetido para calcular las apro4imaciones x(3)
, x(4)
, x(5)
, En el momento
en 'ue se cumpla alguno de los criterios de convergencia usuales, se termina
el proceso iterativo
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas &.
EJEMPLO7
Encuentre una solucin apro4imada del sistema siguiente:
f1(x , y )=x2
+y2
8x6y+5
f 2 (x , y )=x2+y26x16y+9
#rimero grafcaremos el sistema con ayuda del MATLAB:
x?=(e$*/ri!)x?+
;1=x.F4G?.F4@Hx@H?G
c&t#r)x?;133 K0K+
;4=x.F4G?.F4@Hx@1H?G
*l! &
c&t#r)x?;433 KrK+
/ri! &
*l!
Despeamos x def
1 :
x=x2+y26y+5
8=g
1
Despeamos y def
2 :
y=x
2+y26x+916
=g2
Al derivar parcialmente, se obtiene: g
1
x=
2x
8=
x
4
g1
y=
2y68
=y3
4
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas &5
g2
x=
2x616
=x3
8
g2
y=
2y
16=
y
8
2 evaluadas en x0=0 y y
0=0 :
g1
x
y0
x0
=0 g1 y
y
0
x0
=34
g2
x
y0
x0
=3
4
g2
y
y0
x0
=0
A/ora verifcamos la convergencia: g
1
x+
g2
x=0
3
4=3
4
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas &
y2=
0.6252+0.562526 (0.625 )+9
16=0.3723
6alculamos el error:
|x1x0|=(0.29150.625)2+(0.37230.5625)2=0.3839
5ra iteraci-&7 x3=
0.29152+0.372326 (0.3723 )+5
8=0.3737
y2=
0.29152+0.372326 (0.2915 )+9
16=0.4672
6alculamos el error:
|x1x0|=(0.37370.2915)2+(0.46720.3723)2=0.1255
2 as) se seguir-n /aciendo iteraciones /asta llegar a un valor NI a
10
4
:
A/ora realizaremos el desarrollo por medio del programa MATLAB:
errr=13tl=3.3331x=3?=3!i$p)K x ? errrK+
!i$p)K ============================K+*ile)errrtl+ x1=)xF4G?F4@H?G+ ?1=)xF4G?F4@HxG+1 errr=$:rt))x1@x+F4G)?1@?+F4+ !i$p)x1?1errr+ x=x1?=?1e&!
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas &>
x ? errr
====================
3.43 3.4 3.63
3.41 3.5Q45 3.55
3.5Q5Q 3.6Q4 3.14
3.516 3.666Q 3.3
3.54 3.61 3.315
3.513 3.64 3.3131
3.51Q 3.646 3.3354
3.51QQ 3.646 3.3343
3.51Q 3.653 3.333Q
3.51Q1 3.651 3.3336
3.51Q3 3.655 3.3334
3.51 3.655 3.3331 3.51 3.655 3.3333
Pr De$pla,a(ie&t$ S#ce$i%$7
1ra iteraci-&7
omaremos como valores iniciales x0=0 y y
0=0 como se analiz
antes:
x1
=0
2+026 (0 )+58 =
5
8=0.625
y1=
0.6252+026 (0.625 )+9
16=
9
16=0.3525
6alculamos el error:
|x1x0|=(0.6250)2+(0.35250)2=0.7176
6omo la distancia entre x1
y x0
es mayor 'ue 104
, se re'uiere
de otra iteracin m-s: 4!a iteraci-&7
x2=
0.6252+0.352526 (0.3525 )+5
8=0.4250
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas &@
y2=
0.42502+0.352526 (0.4250 )+9
16=0.4222
6alculamos el error:
|x1x0|=(0.42500.6250)2+(0.42220.3525)2=0.2118
5ra iteraci-&7 x3=
0.42502+0.422226 (0.4222 )+5
8=0.3532
y2=
0.35322+0.422226 (0.3532 )+9
16=0.4490
6alculamos el error:
|x1x0|=(0.35320.4250)2+(0.44900.4222)2=0.0766
2 as) se seguir-n /aciendo iteraciones /asta llegar a un valor NI a
10
4
:
A/ora realizaremos el desarrollo por medio del programa MATLAB:
errr=13tl=3.3331x=3?=3!i$p)K x ? errrK+
!i$p)K @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@K+*ile)errrtl+ x1=)xF4G?F4G+13 ?1=)x1H?F4Gx1G+13 errr=$:rt))x1@x+F4G)?1@?+F4+ !i$p)x1?1errr+ x=x1?=?1e&!
x ? errr
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
3.333 3.33 1.15
3.616 3.Q3 3.11
3.41 3.31 3.36
-
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas &
3.6 3. 3.3161
3.5 3.3 3.3366
3. 3.Q 3.3316
3. 3. 3.3336
3. 1.3333 3.3331
1.3333 1.3333 3.3333
. Re$l%er l$ 5 $i$te(a$ !e ec#aci&e$ & li&eale$ pr l$tip$ !e Mt!$ !e Si$te(a$ !e Ec#aci&e$ N Li&eale$e$t#!ia!$ e& cla$e )re$#elt$ l$ $i$te(a$ e& MATLAB+.
Al/rit($ a #$ar e& el e'ercici.
3todo del punto fo multivariable con desplazamientos sucesivos:
%-SDS D-$ VTAS WS T$J*R*X$-%Desplazamientos sucesivosi=";clc;clear;disp('-SDS D-$ VTAS WS T$J*R*X$-')disp('Jalores iniciales:')C=i' M#lti%aria0le7
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas .&
Re$l#ci-& (e!ia&te el (t! !e Net& Rap*$&7
Re$l#ci-& (e!ia&te el (t! !e Net& Rap*$&7
Gr-fca:
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas ..
xyzx2+y2=1.34
xyz2=0.09
exey+z=0.41
z=0.41ex+ey A/ora reemplazamos esta %uncin en las dem-s
xy ( 0.41ex+ey )x2+y21.34=0 x=(xy (0.41ex+ ey)+y 21.34)
xy(0.41ex+ey )20.09=0 y=(0.09+(0.41ex+ey )2)/x
Re$l#ci-& (e!ia&te el (t! !e Net& Rap*$&7
"rca7
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas .5
. De$arrllar el $i/#ie&te e'ercici !e aplicaci-& e& la#
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas .
donde A Bson los reacti0os C Dson los productos (unidades# mol+) a! c d son los coeficientes este!uimetricos en la ecuacin !umica"alanceada.
A:ora las concentraciones en una mecla en e!uili"rio est=n relacionadas por
la siguiente ecuacin del e!uili"rio#
&c=[!]c ["]d
[A]$[B]%
5ara cual!uier proceso !umico en e!uili"rio a una temperatura determinada
se cumple !ue el cociente entre las concentraciones molares "#oles$L%de losproductos de los reacti0os ele0adas a sus respecti0os coeficientes
este!uiom3tricos es una constante !ue depende de la temperatura llamada
cons&an&e de e'uili!riodenotada como# el su"ndice c indica !ue lascantidades de los reacti0os de los productos est=n e/presadas como
concentraciones molares.
5ero el e7ercicio nos dan dos reacciones >(1) (2)? con sus respecti0os
constantes de e!uili"rio >$c(1) $c(2) !ue en e!uili"rio se caracterian por#
@tilia las concentraciones molares tanto de la reaccin (1) como la
reaccin (2). 5ara :allar las constantes de e!uili"rio se relacionan los moles totales de
A , E. B por ltimo si e/isten concentraciones iniciales de A , E se
de"e aCadir a los moles totales de ellos.
on respecto al e7ercicio encontramos las moles totales de A , E#
Reacci(n ")%:
A+B !+" .. (1)
Reacci(n "*%:A+! 2# (2)
o cual sa"emos !ue inicialmente A , presentan concentraciones iniciales
!ue son#
A % 2 mol+D , % 1mol+
Adem=s nos dicen el nmero de moles producidos por A en la reaccin (1) (2)
!ue son#
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas .>
+# nmero de moles producidos por A en la reaccin (1).
,# nmero de moles producidos por A en la reaccin (2).
5or lo tanto los moles iniciales producidos se 0eran es!uematiados de la
siguiente manera#
INICIO: olocamos los moles iniciales.
A: *#ol$L B: )#ol$L C: -#ol$L D: -#ol$L E:-#ol$L
A+B !+"
A+! 2#
REACCIN: olocamos los moles !ue reaccionan con signo negati0o(es
decir en los reacti0os) con signo positi0o (en los productos).
Reacci(n ")%:
A+B+0 ! !+"+0#
.+ .+ /+ /+
Reacci(n "*%:
A+0 B+! 0 !+0"+2#
., ., /*,
E0UILIBRIO: Sumamos los moles !ue :a"a en el inicio con los moles!ue reaccionaron.
A: *#ol$L . + . , B: )#ol$L . + C: + . , D: + E:*,
uego de o"tener los moles totales de A , ED calculamos las constantes
de e!uili"rio tanto para $c(1) como $c(2)#
&c (1 )=[!] ["][A ][ B]
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas .@
$$ En el ejercicio nos dicen 'ue 1c")% 2 *34
eemplaando tenemos#
2.6=
[xy ] [x ]
[ 2 mol/xy ] [1 mol /x]
1.6x27.8x2.6y+3.6xy+5.2=0 ECUACIN ")%
&c (2 )= [# ]2
[A ] [!]
$$ En el ejercicio nos dicen 'ue 1c"*% 2 53)
eemplaando tenemos#
3.1= [2y ]2
[2mol /'xy ] [xy ]
0.9y2+3.1x26.2x+6.2y=0 . ECUACIN "*%
A:ora teniendo las ecuaciones 0amos a solucionarlos a tra03s de los siguientes
m3todos#
A% 67&odo de Pun&o 8ijo 6ul&ivaria!le:
Soluci(n:
enemos el siguiente sistema#
f1 (x , y )=1.6x27.8x2.6y+3.6xy+5.2=0
f2 (x , y )=0.9y 2+3.1x26.2x+6.2y=0
5rimero graficamos el sistema con auda del programa 6ATLAB#
-
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38
Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas .
[email protected][email protected]?=(e$*/ri!)x?+;1 = [email protected]@4..H?G5..Hx.H?G.4
c&t#r)x?;133K0K+;4 = [email protected]?*l! &c&t#r)x?;433KrK+/ri! &*l!
espe7amosx
def
1 #
x=1.6x
22.6y+3.6xy+5.27.8
=f1
espe7amosy
def
2 #
y=0.9y 2+3.1x26.2x
6.2= f
2
Al deri0ar parcialmente se o"tiene# f
1
x=
3.2x+3.6y7.8
=1.6x+1.8y
3.9
f1
y=2.6y+3.6x
7.8=1.3y+1.8x
3.9
-
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas .R4S&;
&>RyT.>R4RyT&+U@O
y!I(=&R4+U;>&O
errorIs'rt((4!;4+S&T(y!;y+S&+O
disp(V4!,y!,errorW+
4I4!OyIy!O
end
-
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas 5&
4 y error
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
=>>>@ = =>>>@
=@@ =5555 =5.@
=@
== =55@ ===.!
=& ====.
=.!& =5> ====&
=.!. =5> ====!
B% 67&odo de Ne9&on Ra;son:
Soluci(n:
enemos el siguiente sistema#
f1 (x , y )=1.6x27.8x2.6y+3.6xy+5.2=0
f2 (x , y )=0.9y2
+3.1x2
6.2x+6.2y=0
5rimero damos 0alores para x0=0 y
0=0 adem=s le damos 0alores al
error % 1F tol%F.FFF1 :allamos lo siguiente#
f1
x
y0
x0
=3.2x7.8+3.6y f
1
y
y0
x0
=2.6+3.6x
f2
x
y0
x0
=6.2x6.2 f
2
y
y0
x0
=1.8y+6.2
-
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas 5.
Segundo comenamos a desarrollar el sistema a tra03s del 43todo de 8e9ton
ap:son#
Sa"emos esto#
Resu#en:
J3S 2 N8
onde#
*=[
f1 x
y0x0 f 1
y
y 0x0
f2
x
y0
x0 f
2
y
y0
x0
]
+=[x1x0
y1y0]$dems+ 1=x1x0 ; + 2=y1y0
f1(x0 , y0)
x0
, y0
f2(=
1ra iteraci-&7
omaremos como 0alores iniciales x0=0 y
0=0 como se anali
antes reemplaamos#
*=[7.8 2.66.2 6.2
]
(=[5.20]
enemos a:ora lo siguiente#
-
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas 55
J3S 2 N8
[7.8 2.66.2 6.2][+ 1+ 2]=[5.20 ]
A:ora :allamos S1 B S2 mediante la matri ampliada#
[7.8 2.6 5.26.2 6.2 0
]
S)2-3
-
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas 5
4= I =Oy= I =O
tolI====!OerrorI!=O
%IP!>R4S&;@R4;
&>RyT.>R4RyT&PO
gIP.!R4S&T=&R4T>&RyPO
syms 4y
z!!Idi(%,4+O
z!&Idi(%,y+O
z&!Idi(g,4+O
z&&Idi(g,y+O
/ile(errorQtol+
4I4=OyIy=O
FIVeval(%+Oeval(g+WO
IVeval(z!!+ eval(z!&+
eval(z&!+ eval(z&&+WO
X=IV4=Oy=WO
X!IX=;(inv(+R(F++O
errorIs'rt((X!(!+;X=(!++S&;(X!(&+;
X=(&++S&+O
disp(P 4! y! error P+O
disp(VX!P,errorW+O
4=IX!(!+O
y=IX!(&+O
end
disp(PLesultadoP+
disp(P;;;;;;;;;P+
X!,error
4! y! error
==== ==== =
Lesultado
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
X! I
====
====
error I =
C% 67&odo de Ne9&on Ra;son 6odi=icado:
Soluci(n:
enemos el siguiente sistema#
-
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas 5>
f1 (x , y )=1.6x27.8x2.6y+3.6xy+5.2=0
f2 (x , y )=0.9y 2+3.1x26.2x+6.2y=0
5rimero damos 0alores para x0=0 y
0=0 adem=s le damos 0alores al
error % 1F tol%F.FFF1 :allamos lo siguiente#
f1
x
y0
x0
=3.2x7.8+3.6y
f2
y
y0
x0
=1.8y+6.2
Segundo comenamos a desarrollar el sistema a tra03s del 43todo de 8e9ton
ap:son 4odificado#
1ra iteraci-&7
omaremos como valores iniciales x0=0 y y
0=0 como se analiz
antes:
x1=x0
f1(x0 , y 0 ) f1
x y0
x0=0
1.6 (0 )27.8 (0 )2.6 (0 )+3.6 (0 ) (0 )+5.23.2 (0 )7.8+3.6 ( 0 )
=0.6667
y1=y0
f2 (x0 , y0 ) f2
y
y0x1
=00.9(0.)2+3.1(0.6667)26.2(0.6667)+6.2(0)
1.8(0)+6.2=0.4444
6alculamos el error:
|x1x0|=(0.66670)2+(0.44440)2=0.4444
6omo la distancia entre x1
y x0
es mayor 'ue 104
, se re'uiere
de otra iteracin m-s: 4!a iteraci-&7
x1=x0
f1 (x0 , y0 ) f1
x
y0x0
-
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas 5@
0.66671.6 (0.6667 )27.8( 0.6667 )2.6 (0.4444 )+3.6 (0.6667 ) (0.4444 )+5.2
3.2 (0.6667 )7.8+3.6 (0.4444 ) =0.8197
y1=y0
f2 (x0 , y0 ) f2
y
y 0x1
0.44440.9 (0.4444 )2+3.1(0.8197 )26.2 (0.8197 )+6.2 (0.4444 )
1.8 (0.4444 )+6.2
0.4539
6alculamos el error:
|x1x0|=(0.81970.6667)2+(0.45390.4444 )2=0.0094
B as se seguir=n :aciendo iteraciones :asta llegar a un 0alor G% a 104
#
4=I=Oy=I=OerrorI!=OtolI====!O
%!IP!>R4S&;@R4;
&>RyT.>R4RyT&PO
%&IP.!R4S&T=&R4T>&RyPO
syms 4y
z!Idi(%!,4+O
z&Idi(%&,y+O
disp(P 4 y errorP+/ile(errorQtol+
4I4=OyIy=O
4!I4=;eval(%!+Ueval(z!+O
4I4!O
y!Iy=;eval(%&+Ueval(z&+O
errorIs'rt((4!;4+S&T(y!;y+S&+O
disp(V4!,y!,errorW+
4=I4!Oy=Iy!O
end
-
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Universidad Nacional de Trujillo- Ingeniera de Sistemas 5
4 y error
=>>>@ =5555 =5555
=!
-
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