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INTRODUCCION

La expresión amortizar se utiliza para denominar un proceso financiero mediante

el cual se extingue, gradualmente, una deuda por medio de pagos periódicos, que

pueden ser iguales o diferentes.

En las amortizaciones de una deuda, cada pago o cuota que se entrega sirve para

pagar los intereses y reducir el importe de la deuda.

El presente documento contiene un ejemplo de las variadas situaciones que

pueden estudiarse en la Matemática Financiera. La forma como se resuelve el

siguiente modelo, es sólo una de las variadas soluciones con las que se puede dar 

respuesta, ya que la Matemática Financiera es sorada en !ste aspecto llegando

siempre a la misma respuesta.

"no de los aspectos más importantes de las finanzas es la amortización, porque

es la forma más fácil de pagar una deuda, su ojetivo es la financiación de un

proyecto. "na manera de visualizar mejor el flujo de caja y el comportamiento de

la deuda a trav!s del tiempo, es mediante el uso de la tala de amortización.

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AMORTIZACIONES

La palara amortización proviene del

lat#n $mortis% &dar muerte'. (imoliza

ir dando muerte al capital prestado

en forma paulatina. En matemática

financiera, amortizar significa pagar 

una deuda y sus intereses mediante

pagos parciales u aonos, los que

pueden ser iguales en valor o

variales, efectuados a intervalos de

tiempo generalmente.

1.- DEFINICION:

 )mortización es el m!todo por el cual se va liquidando una deuda en pagos

parciales. El importe de cada pago sirve para solventar los intereses. La

amortización es una de las aplicaciones más importantes de las anualidades. Las

deudas se amortizan con pagos periódicos iguales. (e *acen depósitos periódicos

iguales en un fondo de amortización que genera intereses para amortizar una

deuda futura. +ara encontrar cada una de las variales o incógnitas, se utiliza la

fórmula del valor actual de los diversos tipos de anualidades. eneralmente, se

calcula con ase en el valor actual de las anualidades ordinarias.

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+ara encontrar cada una de las variales, se calcula mediante la utilización de la

fórmula para el valor presente de una anualidad simple, cierta, ordinaria y se

considera una amortización de capital a ase de pagos e intervalos de tiempo

iguales. (e conoce el capital inicial que se adeuda, la tasa de inter!s nominal o

periodo de capitalización, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo o

n-mero de periodos de capitalización

En la amortización se demuestra que

• El capital va disminuyendo conforme se van dando los pagos, *asta su

liquidación total.

•  )l ir reduciendo el capital los intereses tami!n van descendiendo.

• La amortización del capital van aumentando conforme pasan los periodos,

al ir disminuyendo en la misma proporción de los intereses.

• (i se quieren conocer las amortizaciones de los diferentes periodos *asta

multiplicar la primera amortización por la razón

  , donde n es el n-mero de periodos que faltan para llegar a la

amortización del periodo correspondiente.

• La suma de las amortizaciones será igual al valor actual o capital o capital

inicial del pr!stamo.

2.- ELEMENTOS:

C:  /epresenta el capital inicial, llamado tami!n principal. (uele

representarse tami!n por las letras ) o + &valor presente'.

R:  Es la renta, depósito o pago periódico.

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J:  Es la tasa nominal de inter!s calculada para un periodo de un a0o. (e

expresa en tanto por uno o tanto por ciento.

I: Es la tasa de inter!s por periodo de tiempo y representa el costo o

rendimiento por periodo de capitalización de un capital ya sea producto de

un pr!stamo o de una cantidad que se invierte. Es el cociente de dividir la

tasa nominal entre la frecuencia de conversión m.

M:  Es la frecuencia de conversión o de capitalización y representa el

n-mero de veces que se capitaliza un capital en un a0o.

na: Es el n-mero de a0os que permanece prestado o invertido un capital.

n: Es el n-mero de periodos de que consta una operación financiera a

inter!s compuesto.

SI: Es el saldo insoluto de capital o pendiente de amortiza en cualquier 

fec*a.

3.- CLASES DE AMORTIZACION:

1uota constante su importe periódico es siempre el mismo &excepto si

var#a el tipo de inter!s'. +ara ello los intereses se van reduciendo a medida

que avanza la amortización del capital. Esta es la forma más *aitual de

amortizar un pr!stamo *ipotecario y la que ofrecen en general las entidades

financieras.

1uota creciente su importe periódico aumenta cada a0o a un porcentaje

prefijado. Es una forma inusual porque aun teniendo la ventaja de que se

paga menos al principio, la carga aumenta en el futuro y se pagan más

intereses.

1uota decreciente se amortiza siempre la misma cantidad de capital de

forma que los intereses se van reduciendo progresivamente y la cuota a

pagar va descendiendo. El inconveniente es que al principio se paga más.

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1uota fija cuando permanece invariale, incluso con modificaciones en el

tipo de inter!s, lo que conlleva el reajuste contin-o del plazo. Esta opción

resulta interesante cuando se prev!n oscilaciones importantes en los tipos

de inter!s.

4.- SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN

En cuanto a la amortización de deudas se aplican diversos sistemas y, dentro de

cada uno, *ay numerosas variantes que *acen prácticamente inagotale este

tema. 2odos estos modelos aplicaciones de las anualidades.

4.1. METODO AMORTIZACIÓN GRADUAL

Es la más usada, ya que los pagos son iguales y tienen la misma frecuencia. Los

pagos o renta &/' deen ser mayores que los intereses &i' generados en el primer 

per#odo, de lo contrario la deuda crecer#a indefinidamente. El cálculo de dic*os

pagos para un cierto n-mero de per#odos &n' se calcula a partir de

Este consiste en un sistema por cuotas de valor constante, con intereses sore

saldos. En este tipo de amortización, los pagos son iguales y se *acen en

intervalos iguales.

Esta forma de amortización fue creada en Europa y es la más generalizada y de

mayor aplicación en el campo financiero3 es una aplicación de las anualidades. El

prolema resuelto muestra una de las modalidades de la amortización gradual.

• Calcul !" l# $al%"# !" la# a&%'()ac(n"#

En la amortización de una deuda, cada pago o anualidad 4que se entrega al

acreedor 5 sirve para pagar los intereses y reducir el importe de la deuda.

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En el estudio de la amortización se presentan tres prolemas ásicos

*allar el importe de los pagos periódicos.

*allar el n-mero de pagos necesarios para amortizar una deuda.

*allar la tasa de inter!s. 2odos estos prolemas se resuelven planteando

las ecuaciones seg-n el tipo de anualidad que corresponda a lascondiciones convenidas.

2odos estos prolemas se resuelven planteando las ecuaciones seg-n el tipo de

anualidad que corresponda a las condiciones convenidas.

Lo -nico que difiere es que, en amortizaciones, una vez creado un modelo se

procede a elaorar cuadros de amortización en los que se presente el desarrollo

de la deuda, *asta su extinción. +or regla general, estos cuadros se aplican a un

monto unitario3 en el siguiente ejemplo se muestra la distriución más

generalizada de estos cuadros.

EJEM*LO 1:

6. (e solicita un pr!stamo por s7689999 con una tasa del :;< anual para

pagarse en un a0o con pagos imestrales y realizando el primero en un

imestre despu!s de reciir el pr!stamo. 1alcular el monto de pagos

EL +)= >?ME(2/)L (E/) @E (7 AB ::C.A6.

EJERCICIO 1:

"na deuda de D699,999.99 se dee liquidar en pagos mensuales a una tasa del

B:< convertile mensualmente.

a+ O,'"n"% "l $al% !"l a (ual &"n#ual.

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@E()//=LL=

/.- TA0LAS DE AMORTIZACION

+ara su mayor comprensión las amortizaciones pueden representarse en una

matriz donde

Las columnas

La primera muestra los periodos&n'.

La segunda da el importe de la renta o pago&/'.

La tercera indica los inter!s&?' y resulta de multiplicar el saldo insoluto

anterior a la tasa de inter!s del periodo&?'.

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La cuarta indica la amortización acumulada &))' del periodo y resulta de

restar al pago del periodo & / ' los intereses del mismo&i'.

La quinta revela la amortización acumulada &))',consecuencia de la suma

de la amortización acumulada&))' del periodo anterior más la

amortización&)' del periodo en estudio.

La sexta expresa el saldo insoluto de la deuda, que se otiene al *acer 

alguno de estos procedimientos

/estar el capital inicial & 1' la amortización acumulada& )'

*asta ese periodo.

/estar el saldo insoluto del periodo anterior & si' la

amortización del periodo &)'.

Una 'a,la cua!% !" a&%'()ac(n "%"#a la $a%(ac(n "n "l '("& "n

ca!a "%(! !" l# #al!# (n#lu'# !" ca('al la# a&%'()ac(n"# a ca('al

l# (n'"%"#"# cau#a!# "n"%a!# "'c5'"%a. Una 'a,la !" a&%'()ac(n

!"," cn'"n"% cuan! &"n# l #(u("n'".

 

SALDOINICIAL INTERES AMORTIZACION *AGO

SALDOFINAL

@el ejercicio 6, elaoramos la tala de amortización

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c' ?nterpretación

 

1omo se puede apreciar en la tala , el pago mensual se conserva id!ntico en

los periodos, mientras que el monto de los intereses disminuye en forma

importante, mientras que la amortización va creciendo.


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