ÁTOMO DE HIDRÓGENOÁTOMO DE HIDRÓGENOÁTOMO DE HIDRÓGENOÁTOMO DE HIDRÓGENO
INFORMACIÓN EXPERIMENTAL. ESPECTROS ATÓMICOS.INFORMACIÓN EXPERIMENTAL. ESPECTROS ATÓMICOS.INFORMACIÓN EXPERIMENTAL. ESPECTROS ATÓMICOS.INFORMACIÓN EXPERIMENTAL. ESPECTROS ATÓMICOS.
Sólido incandescente Espectro de radiación continua
Dispositivo experimental para la obtención del espectro de emisión del átomo de hidrógeno
Dispositivo esquemático para la obtención de espectros de absorción atómicos
Gas monoatómico
Sólido incandescente Espectro de absorción
Espectro
ContinuoEspectro de
Emisión
Espectro de Sólido Gas a baja presión
AbsorciónSólido
incandescente
Gas a baja presión
Los espectros de absorción y de emisión son característicos para cada elemento.
−=
22
2
2n
nbλ
Ecuación de Balmer (1885)
Con b=3645.6 Ǻ. Para n= 3, 4, 5 y 6
Espectros de absorción y de emisión para el átomo de hidrógeno
Ecuación de Paschen
RH= 109 677.581 cm-1
2121
22
;111
nquemayornConnn
RH
−−−−========
−−−−
λλλλνννν
Otras series (1906-1924)
Serie Valores de n1 y n2
Región del espectro
Lyman n2=1 n1=2,3,4
Ultravioleta
Balmer n2=2 n =3,4,5
UV-Visiblen1=3,4,5
Paschen n2=3 n1=4,5,6
Infrarrojo cercano
Brackett n2=4 n1=5,6,7
Infrarrojo intermedio
Pfund n2=5 n1=6,7,8
Infrarrojo lejano
Ejemplos de espectros de emisión para diferentes elementos
Átomo de hidrógeno y iones hidrogenoides.
Tratamiento mecano-cuánticoTratamiento mecano-cuántico
Ecuación de Schroedinger
ΨΨΨΨ====ΨΨΨΨ
−−−−∇∇∇∇−−−−∇∇∇∇−−−− TeN EZe2
22
22
κκκκhh ΨΨΨΨ====ΨΨΨΨ
−−−−∇∇∇∇−−−−∇∇∇∇−−−− Tee
N ErmM 22
κκκκ
),,,,,( eeeNNN zyxzyxΨΨΨΨ
2
2
2
2
2
22
eeee zyx ∂
∂+∂∂+
∂∂=∇
2222 ∂+∂+∂=∇
2222
NNNN zyx ∂
+∂
+∂
=∇
r
ZezyxV
2
),,( κ−=
Coordenadas del centro de masa y de Coordenadas del centro de masa y de Coordenadas del centro de masa y de Coordenadas del centro de masa y de la partícula de masa reducida la partícula de masa reducida la partícula de masa reducida la partícula de masa reducida µµµµ....
),,(),,(),,,,,( µµµµµµµµµµµµψψψψ zyxZYXzyxzyx CMCMCMeeeNNN ΨΨΨΨ====ΨΨΨΨ
ψψψψψψψψκκκκ EZe ====
−−−−∇∇∇∇−−−−2
22
h ψψψψψψψψκκκκµµµµ
Er
Ze ====
−−−−∇∇∇∇−−−− 2
2h
ee
e mmM
Mm≈≈≈≈
++++====µµµµ
x = r x = r x = r x = r sensensensen θ θ θ θ coscoscoscos φφφφy = r y = r y = r y = r sen sen sen sen θ θ θ θ sensensensen φφφφ
z = r z = r z = r z = r coscoscoscos θθθθ
Coordenadas esféricas polaresCoordenadas esféricas polaresCoordenadas esféricas polaresCoordenadas esféricas polares
y = r y = r y = r y = r sen sen sen sen θ θ θ θ sensensensen φφφφz = r z = r z = r z = r coscoscoscos θθθθ
Ecuación de Schroedinger en coordenadas esféricas polares.
02111 22
2 ====
++++++++∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂++++ ∂∂∂∂∂∂∂∂ ψψψψκκκκµµµµψψψψψψψψθθθθψψψψ Ze
esenr 02111
222222
2====
++++++++
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂ ψψψψκκκκµµµµ
φφφφψψψψ
θθθθθθθθψψψψθθθθ
θθθθθθθθψψψψ
rZe
esenr
sensenrr
rrr h
(((( )))) )()()(,, φφφφθθθθφφφφθθθθψψψψ ΦΦΦΦΘΘΘΘ==== rRr
Método de separación de variables: tres ecuacionesMétodo de separación de variables: tres ecuacionesMétodo de separación de variables: tres ecuacionesMétodo de separación de variables: tres ecuacionesdiferenciales ordinarias.diferenciales ordinarias.diferenciales ordinarias.diferenciales ordinarias.
)()( 2
2
2
φφφφφφφφ
φφφφ ΦΦΦΦ−−−−====ΦΦΦΦ
md
d
)1()(
)(1
2
2
++++−−−−====−−−−
ΘΘΘΘΘΘΘΘ
llsen
md
dsen
dd
sen θθθθθθθθθθθθθθθθ
θθθθθθθθθθθθ )( ΘΘΘΘ senddsen θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ
)1(2)(
)(1 2
2
22 ++++====
++++++++
ll
rZe
Er
drrdR
rdrd
rRκκκκµµµµ
h
Las funciones que son soluciones deestas ecuaciones diferenciales debencomportarse bien (¡desde el punto de vistamatemático!).matemático!).Ejemplo:
)()( 2
2
2
φφφφφφφφ
φφφφ ΦΦΦΦ−−−−====ΦΦΦΦ
md
d
LasLasLasLas funcionesfuncionesfuncionesfunciones ΦΦΦΦ((((φφφφ))))solucionessolucionessolucionessoluciones dededede lalalalaecuaciónecuaciónecuaciónecuación diferencialdiferencialdiferencialdiferencialsonsonsonson univaluadas,univaluadas,univaluadas,univaluadas, esesesesdecirdecirdecirdecir::::
)()( 2
2
2
φφφφφφφφ
φφφφ ΦΦΦΦ−−−−====ΦΦΦΦ
md
d
decirdecirdecirdecir::::ΦΦΦΦ((((φφφφ)))) ==== ΦΦΦΦ((((φφφφ ++++ 2222ππππ),),),), sólosólosólosólocuandocuandocuandocuando mmmm tomatomatomatomavaloresvaloresvaloresvalores enterosenterosenterosenteros....
φφφφd
Soluciones se ensamblan como productos Soluciones se ensamblan como productos Soluciones se ensamblan como productos Soluciones se ensamblan como productos de las funciones que son solución de las de las funciones que son solución de las de las funciones que son solución de las de las funciones que son solución de las
ecuaciones diferenciales ordinarias.ecuaciones diferenciales ordinarias.ecuaciones diferenciales ordinarias.ecuaciones diferenciales ordinarias.
)()()(),,( ,,,, φφφφθθθθφφφφθθθθψψψψ mmllnmln rRr ΦΦΦΦΘΘΘΘ====
|n entero mayor o igual a 1.
)()()(),,( ,,,, φφφφθθθθφφφφθθθθψψψψ mmllnmln rRr ΦΦΦΦΘΘΘΘ====
l = 0, 1, …, (n-1).
m = l, l-1,…,0,…,-l+1,-l
n l Rn,l(r) 1 0
0a/Zr23
0
eaZ
2 −−−−
2 0 0a2/Zr
0
2/3
0
eaZr
2aZ
221 −−−−
−−−−
2 1 0a2/Zr
0
2/3
0
eaZr
aZ
621 −−−−
3 0 22/3rZrZZ2 3 0
0a3/rZ
000
e27a
rZ18
arZ
2aZ
3812 −−−−
++++
−−−−
3 1 0a3/Zr
00
2/3
0
eaZr
aZr
6aZ
38122 −−−−
−−−−
3 2 0a3/Zr
2
0
2/3
0
eaZr
aZ
158122 −−−−
l m ΘΘΘΘl,m(θθθθ)ΦΦΦΦm(φφφφ) 0 0 2/1)4/1( ππππ 1 0 θθθθππππ cos)4/3( 2/1 1 1 φφφφθθθθππππ i2/1 esen)8/3( 1 -1 φφφφ−−−−θθθθππππ i2/1 esen)8/3( 2 0 )1cos3()16/5( 22/1 −−−−θθθθππππ 2 1 φφφφθθθθθθθθππππ i2/1 ecossen)8/15( 2 -1 φφφφ−−−−2 -1 φφφφ−−−−θθθθθθθθππππ i2/1 ecossen)8/15( 2 2 φφφφθθθθππππ i222/1 esen)32/15( 2 -2 φφφφ−−−−θθθθππππ i222/1 esen)32/15(
−−−−====
0
22
2 21
aeZ
nE
κκκκ
mxa 100 105292.0 −−−−====
2
2181018.2
n
ZJxE −−−−−−−−====
)()()r(R),,r( mm,ll,nm,l,n φφφφΦΦΦΦθθθθΘΘΘΘ====φφφφθθθθψψψψ
ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES
Conviene hacer el análisis de la parte radial y de la parte angular por separado.
)r(R l,n )()( mm,l φφφφΦΦΦΦθθθθΘΘΘΘ
Análisis de las funciones radiales R n,l(r)
Para el estado basal del átomo de hidrógeno (y ione s hidrogenoides):
0a/Zr
2/3
00,1 e
aZ
2)r(R −−−−
====
r
Postulado de Born: ψ2(r,θ,φ) = R2(r)Θ2(θ)Φ2(φ) representa una función de densidad de probabilidad.
0a/rZ2
3
0
0,12 e
aZ
4)r(R −−−−
====
r
Volumen dV asociado al incremento dr (cuando la distancia cambia de r a r + dr).
rdr4rdrd
r34
ddV 2
3
ππππ====
ππππ====
Volumen αααα 4ππππr 2Volumen αααα 4ππππr 2
4ππππr2 R(r)2
a0/Z 2a0/Z 3a0/Z
En general: Número de nodos = n - l l l l - 1
Orbital 2s más penetrante que el orbital 2p: mayor densidad radial cerca del núcleo.
Orbital 3s más difuso: Mayor densidad radial cerca y lejos del núcleo
Análisis de la parte angular ΘΘΘΘllll,m(θθθθ)ΦΦΦΦm(φφφφ)
m φφφφΦΦΦΦθθθθΘΘΘΘ====φφφφθθθθEsféricos armónicos: )()(),(Y mm,lm φφφφΦΦΦΦθθθθΘΘΘΘ====φφφφθθθθl
s
pz
2
1
41
π
θ
πcos
43 2
1
),(Ym φφφφθθθθl
)()( mm,l φφφφΦΦΦΦθθθθΘΘΘΘ
pz
px
py
θ
π
cos4
φθ
πcossen
43 2
1
φθ
πsensen
43 2
1
1s1s1s1s
),(Ym φφφφθθθθl
)()( mm, φφφφΦΦΦΦθθθθΘΘΘΘl
2zd ( )1cos3
165 22
1
−θ
π
22 yxd
− ( )φθ
π2cossen
1615 22
1
1
xyd ( )φθ
π2sensen
1615 22
1
xzd ( )φθθ
πcoscossen
415 2
1
yzd ( )φθθ
πsencossen
415 2
1