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Introducción
• La teoría de colas, o teoría de líneas deespera, es el estudio de los procesos en unafila de espera. Virtualmente todos losresultados en la teoría de colas se supone quelos procesos de llegada y de servicio sonaleatorios.aleatorios.
Población de Clientes
Mecanismo de Servicio
Flujo deLlegada
2
• Los problemas de colas son comunes en laadministración de operaciones. En el contexto demanufactura, el ambiente del taller se puedeconcebir como una red compleja e interrelacionadade colas. A medida que se terminan las labores enun centro de trabajo, forman una cola para suprocesamiento en el siguiente centro de trabajo.
• Los problemas de teoría de colas se presentan con• Los problemas de teoría de colas se presentan conmás frecuencia en los sistemas de servicio. Hacemoscolas en bancos, supermercados, peluquerías,casetas de peaje y restaurantes. La programación delos aterrizajes de los aviones en determinada pista esun problema de colas; imagine que los aviones en elaire son clientes que esperan ser servidos y que lapista es el servidor.
3
Aspectos estructurales de modelos de colas
• Proceso de llegada. Describe las llegadas de losclientes en el sistema. El proceso de llegada secaracteriza por la distribución de los tiempos entrellegadas. El caso más sencillo es cuando lasllegadas son una por una, totalmente al azar.llegadas son una por una, totalmente al azar.
• Proceso de Servicio. Se caracteriza por ladistribución del tiempo necesario para servir a uncliente. De nuevo el caso más sencillo de analizares cuando la distribución de tiempos de servicio esexponencial
4
• Disciplina de Servicio. Regla para servir a los clientes en lacola. La mayoría de los problemas de cola que se dan enlos sistemas de servicio son FIFO (primero en llegar,primero en servirse). Esta es la regla que por lo general seconcibe como “justa”.
• Capacidad de la Cola. En algunos casos podría ser que eltamaño de la cola se limitara. Por ejemplo, en losrestaurantes y cines solo puede entrar una cantidadlimitada de clientes. Desde el punto de vista matemático,limitada de clientes. Desde el punto de vista matemático,el supuesto más sencillo es que el tamaño de la cola esilimitado. Aun cuando hay una capacidad finita, esrazonable pasar por alto la restricción de capacidad si espoco probable que se llene la cola.
• Cantidad de Servidores. Las colas pueden tener uno ovarios servidores.
5
• Estructura de la Red. Resulta una red de colas
cuando la salida de una forma la entrada a otra.
La mayoría de los procesos de manufactura son
una forma de red de colas. La estructura de las
colas en red son, con mucha frecuencia,
demasiado complicados para poder ser
analizados en forma matemáticaanalizados en forma matemática
6
Notación• N(t) = Cantidad de clientes en el sistema en el momento t
• Pn(t) = P{N(t) = n | N(0) = 0}
• Pn = Probabilidad de estado estable de que haya n clientes en el sistema
• λn = Tasa de llegada cuando hay n clientes en el sistema
• μn = Tasa de servicio cuando hay n clientes en el sistema
• c = Cantidad de servidores
• ρ = Tasa de utilización• ρ = Tasa de utilización
• L = Cantidad esperada de clientes cuando el sistema está en estado estable
• Lq = Cantidad esperada de clientes en la cola, en estado estable
• W = Tiempo esperado en el sistema de un cliente, en estado estable
• Wq = Tiempo esperado en la cola, en estado estable
• K = Cantidad máxima en el sistema de capacidad finita
7
• Sea c la cantidad de servidores. El caso c > 1corresponde a servidores múltiples en paralelo.
• La tasa de llegadas, rapidez de llegadas o frecuencia
de llegadas, λn, es la tasa esperada o promedio de
clientes que llegan al sistema, expresada como
cantidad de llegadas por unidad de tiempo.
• Igualmente, μ es la media de la tasa de servicio• Igualmente, μn es la media de la tasa de servicio
cuando hay n clientes en el sistema.
• Cuando λ y μ son independientes de n, se define ρ,
la tasa de utilización del sistema, con la fórmula
µλρc
=8
• La tasa de utilización se interpreta como la
proporción del tiempo que está ocupado cada
servidor, o la cantidad esperada de clientes en
el servicio. La tasa de utilización debe ser
Tasa de Utilización
el servicio. La tasa de utilización debe ser
menor que 1 para asegurar que el tamaño de
la cola no crezca sin límite.
9
Fórmula de Little
• Relaciones útiles entre los valores esperados en estado estable de L, Lq, W y Wq.
µ1+= qWW
WL λ= WL λ=
qq WL λ=
10
Las distribuciones exponencial y de Poisson en las colas
• Las distribuciones exponencial y de Poisson desempeñanun papel importante en la teoría de colas. Cuando sehabla acerca de las llegadas puramente aleatorias en lascolas se quiere indicar que el proceso de llegadas es dePoisson. Un proceso puramente aleatorio de serviciosignifica que los tiempos de servicio tienen distribuciónexponencial.exponencial.
• Si las llegadas se apegan a un proceso de Poisson, estoindica que los tiempos entre llegadas tiene unadistribución exponencial. Debido a la propiedad deamnesia de la distribución exponencial, diremos que elproceso de Poisson es un proceso puramente aleatorio dellegadas.
• Si T es una variable aleatoria que representa el tiempoentre llegadas sucesivas, entonces
11
Además, la cantidad de llegadas en cualquiertiempo t, dígamos A(t), tiene la distribución dePoisson con parámetro λt. Esto es,
)()( tetTP λ−=>
[ ] , ..., , n n
tentAP
nt
210 para !
)( )(
)(
===− λλ
[ ]n!
12
Análisis de Nacimiento y Muerte para la cola M/M/1
• Una notación abreviada para los problemas de
colas tiene la forma
Indicador 1/Indicador 2/ Número
El proceso A(t), la cantidad de llegadas hasta el momento t,
es un proceso puro de nacimiento. Aumenta en uno en cadaes un proceso puro de nacimiento. Aumenta en uno en cada
llegada. El proceso N(t), la cantidad de clientes en el sistema
en el momento t, es un proceso de nacimiento y muerte
porque aumenta y disminuye a la vez. Aumenta en uno en
cada llegada y disminuye en uno en cada terminación de un
servicio. La siguiente figura muestra una realización de N(t).Observe que el estado del sistema aumenta o disminuye en
uno13
La intensidad o tasa a la que aumenta la cantidad de clientes
en el sistema es λ, y la intensidad o tasa a la que disminuye
es μ. Esto indica que podemos representar la tasa a la que el
sistema cambia de estado mediante el diagrama siguiente.
Supongamos que el sistema ha evolucionado hasta lacondición de estado estable. Esto significa que el estadodel sistema es independiente del estado inicial. Comoestamos en el estado estable, sólo nos fijamos en lasprobabilidades estacionarias, Pn. La siguiente deducciónse basa en el Principio de Balance: 15
Principio de Balance
En el estado estable, la tasa de entrada a un estado
debe ser igual a la tasa de entrada fuera del sistema,
si existe una distribución de probabilidades de
estado estable.
• μP1 =λP0• μP1 =λP0
• μP2 + λP0 = (λ + μ)P1
• μPi+1 + λPi-1 = (λ + μ)Pi para 1 ≤ i ≤ α
• P2 =(λ/μ)2P0
De igual manera, encontramos en general que
• Pi =(λ/μ)iP016
• Sea ρ = λ/μ la tasa de utilización. Para que exista unasolución se debe cumplir que ρ < 1. En este caso,tenemos una serie geométrica cuya suma converge a
10
=∑=
α
iiP 1
00 =
∑
=
α
µλ
i
i
P
ρρ
α
−=∑ 1
1i
ρ−∑= 10i
10 ρ−=P
.321 para )1( , .., , iP ii =−= ρρ
17
Cálculo de las medidas esperadas del sistema para la cola M/M/1
λρρρ)1( −
) -(1)1( 1
000
−
===∑∑∑ =−== i
i
i
ii
i
iiPiL ρρρρρααα
20
i1
0 )1(
1
-1
1
ρρρρ
αα
−=
=
= ∑∑=
−
= dρ
d
dρ
di
i
i
i
λµλ
ρρ
ρρρ
-
) -(1)1(
)1(2
==−−=L
)(11
-L)1(
)1(
22
0
111
λµµλ
ρρρ
ρρρ
ααα
−=
−=−
−==−−=
−=−= ∑∑∑===
PLL
PPiPiL
q
iii
ii
iq
)(
)1(y
1
)1(
2
λµµλ
ρλρ
λµρλρ
−=
−=
−=
−= qWW
18
Un Ejemplo sobre Optimización de Colas.• Los mecánicos que trabajan en una planta troqueladora
deben solicitar su herramienta en un centro deherramientas. Un promedio de 10 mecánicos por horallegan pidiendo su equipo. Por el momento un empleadoatiende este centro, su salario es de 6 dólares por hora ytarda un promedio de 5 minutos en cumplir con cadapedido de herramienta solicitada. Como cada mecánicoproduce 10 dólares en valor de bienes por hora, cada horaproduce 10 dólares en valor de bienes por hora, cada horaque un mecánico tarda en el centro de herramienta cuesta ala compañía 10 dólares. La compañía está evaluando sivaldría la pena o no contratar (a 4 dólares la hora) unayudante para el empleado. Si se contrata al ayudante, elempleado tardará un promedio de sólo 4 minutos en reunirel equipo que solicita cada mecánico. Suponga que lostiempos de servicio y de llegadas son exponenciales. ¿Sedebe contratar al ayudante?
19
SOLUCIÓNEl objetivo de la compañía es minimizar la suma del costo deservicio por hora y el costo esperado por hora debido a lostiempos muertos de los mecánicos. El componente de costodebido a los clientes que esperan en la cola se denominacosto por demora. Por lo tanto la compañía debe minimizar
horahorahora
Demora de Esperado CostoServicio de CostoEsperado Costo +=horahorahora
El cálculo del costo de servicio por hora es, por lo regular,
simple. La manera más fácil de calcular el costo por la demora
por hora es observar que
=
horaclientehora
Esperados Clientes*
demorapor Esperado CostoDemora de Esperado Costo
−=
sistema elen pasa mecánico
el que promedio Horas10$demorapor Esperado Costo
mecánicohora
US
cliente20
( ) Wmecánicohora
US10W
10$
Cliente
demorapor Esperado Costo =
−=
( ) ( ) λλ WWhora
10*10Demora de Esperado Costo ==
Ya que podemos comparar el costo esperado por hora si no
se contrata al ayudante con el costo esperado por hora si se
contrata al ayudante. Si no se contrata al ayudante, λ=10contrata al ayudante. Si no se contrata al ayudante, λ=10
mecánicos/hora y μ=12 mecánicos/hora.
horaW2
1
1012
1 =
−=
Como el empleado gana 6 dólares la hora, tenemos que
horaUSHora
horaUSHora
/50$1010Demorapor Esperado Costo
y /6$Servicio Costo
21 ==
=
Por lo tanto, sin el ayudante, el costo esperado por hora es 6 + 50 =56dólares.
21
horaW51
10151
=−
==
horaUSHora
/20$1010Demorapor Esperado Costo
51 ==
Con el ayudante, µ=15 mecánicos/hora. Entonces,
Como el costo de servicio por hora es ahora 6 + 4=10 dólares porhora, el costo esperado por hora con el ayudante es 20 + 10 = 30dólares. Por lo tanto se debe contratar al ayudante porque con élse ahorran 50 – 20 = 30 dólares por hora en costos por demora,que es más que el salario de 4 dólares por hora del ayudante.
22
La distribución de los tiempos de esperaEn esta sección deduciremos la distribución de lostiempos de espera W para un cliente aleatorio que seune a la cola en estado estable. Por comodidad usaremosel símbolo W en esta sección, para indicar la variablealeatoria y no su esperanza. La interpretación correcta deW se establece de acuerdo al contexto.
kα λ{ } ttt
k
kt eee
k
tetWP )(
0 !)( λµλµ
αµ λ −−+−
=
− ===> ∑
{ } 0 todapara )( ≥=> −− tetWP tq
λµρ
Observe que la probabilidad de que el tiempo de espera en lacola sea cero es positivo, e igual a la probabilidad de que elsistema esté vacío, P0; esto es { } ρ−=== 10 0PWP q 23
Servidores Múltiples en paralelo: La Cola M/M/C
CnPn
Pn
n ≤≤
= 0 para !
10µ
λ
para 1
cnPPn
>
= λ
25
para !
10 cnP
ccP
cnn >
= − µλ
1
11
00 )1(
!
)(
!
)(−
−−
=
−∗+= ∑ ρρρ cc
n
n
c
c
n
cP
Las medidas de desempeño
ρρ
ρ)1(! 02
1
=
+=−
=+
q
q
cc
q
LW
cLL
Pc
cL
26
µ
λ1+=
=
q
WW
LW
0)1(!
)()( P
c
ccnP
c
ρρ−
=≥
ρ c = 2 c = 3 c = 4 c =5 c =6 c =70.10 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.20 0.07 0.02 0.00 0.00 0.00 0.000.30 0.14 0.07 0.04 0.02 0.01 0.000.40 0.23 0.14 0.09 0.06 0.04 0.030.50 0.33 0.24 0.17 0.13 0.10 0.080.55 0.39 0.29 0.23 0.18 0.14 0.110.60 0.45 0.35 0.29 0.24 0.20 0.17
el para
)( cnP ≥
28
0.60 0.45 0.35 0.29 0.24 0.20 0.170.65 0.51 0.42 0.35 0.30 0.26 0.210.70 0.57 0.51 0.43 0.38 0.34 0.300.75 0.64 0.57 0.51 0.46 0.42 0.390.80 0.71 0.65 0.60 0.55 0.52 0.490.85 0.78 0.73 0.69 0.65 0.62 0.600.90 0.85 0.83 0.79 0.76 0.74 0.720.95 0.92 0.91 0.89 0.88 0.87 0.85
M/M/C
cola de
sistema
el para
La distribución de los tiempos de espera
[ ]
[ ]tccnPtWPcc
cctcnPttWP
ρµρ
ρµµ
)1(exp)()(
*
1)1(exp)(1exp)( 1
)(
−−∗≥=>−−
−−−≥+=>
−∗−
29
[ ]( )tcnPttWPcc
tccnPtWPq
µµρρµ
)(1exp)(1
)1(exp)()(
)( entonces , Si * ≥+=>=−−−∗≥=>
∗−
EjerciciosUn banco tiene un cajero. Llegan al banco un promedio de 80 clientes por hora y esperanen una sola cola que los atiendan. El tiempo promedio que se necesita para atender a uncliente es de 0,5 minutos. Suponga que los tiempos entre llegadas y los de servicio sonexponenciales.
• Determine las medidas de desempeño del sistema
• Determine la fracción del tiempo que determinado cajero está desocupado
Un banco tiene tres (3) cajeros. Llegan al banco un promedio de 80 clientes por hora yesperan en una sola cola que los atiendan. El tiempo promedio que se necesita paraatender a un cliente es de 1.2 minutos. Suponga que los tiempos entre llegadas y los deservicio son exponenciales. Calcule
• Número esperado de clientes en el banco • Número esperado de clientes en el banco
• Tiempo esperado que pasa un cliente en el banco
• La fracción del tiempo que determinado cajero está desocupado
El gerente de un banco debe determinar cuantos cajeros deben trabajar los viernes. Porcada minuto que un cliente espera en la cola, el gerente supone que se incurre en uncosto de 5 centavos de dólar. Al banco llega un promedio de 2 clientes por minuto. Enpromedio, un cajero se tarda 2 minutos en tramitar la transacción de un cliente. Al bancole cuesta 9 dólares por hora la contratación de un cajero. Los tiempos entre llegadas y lostiempos de servicio son exponenciales. Para reducir al mínimo la suma de los costos deservicio y los de demora, ¿cuántos cajeros deben trabajar los viernes?
30
3. Llega un promedio de 100 clientes por hora albanco donde los estudiantes de la Universidaddel Magdalena pagan sus matriculas. El tiempopromedio de servicio para cada cliente es 1minuto. Los tiempos de servicio y entre llegadasson exponenciales. Los estudiantes deInvestigación de Operaciones del programa deIngeniería Industrial de la Universidad asesoraránal gerente del banco para que no haya más delal gerente del banco para que no haya más del1% de los clientes que tengan que esperar en lacola durante más de 5 minutos. Si el banco tienecomo política formar a todos los clientes en unacola única, ¿Usted como estudiante deInvestigación de Operaciones cuantos cajerosaconseja que se contraten?
31
4. El dueño de un restaurante selecto tiene dos mesas,pero un solo mesero. Si se ocupa la segunda mesa,el dueño sirve en esa mesa. Los tiempos de serviciotienen distribución exponencial con promedio deuna hora y los tiempos entre llegadas tambiéntienen distribución exponencial con promedio de 1.5horas. Cuando el restaurante se llena, las personasdeben hacer cola para esperar su turno.deben hacer cola para esperar su turno.
• ¿Qué porcentaje del tiempo está sirviendo el dueñoen una mesa?
• Si el dueño desea pasar el 10% de su tiempoatendiendo a clientes, ¿cuál es la frecuencia máximade llegadas que se puede tolerar?
32
La cola M/M/1 con capacidad finitaSupongamos que la cantidad máxima de clientes que permite elsistema es K. El diagrama de tasas de transición es el mismoque el de la cola M/M/1, con la excepción de que las transicionesno suceden más allá del estado K. Ya que el diagrama de tasasde transición es igual hasta el estado K, las ecuaciones debalance producirán la misma relación entre Pn y P0 para n=1,2,...K. Esto es KnPP n
n ,..2,1 para 0 == ρ
33
1 * 1
1
1
1110 ≠
−−=
−−= ++ ρρ
ρρ
ρρ n
KnKPP
2
1) cuando (sólo 0 para 1
1
KL
KnK
Pn
=
=≤≤+
= ρ
La Fórmula de Little se sigue aplicando pero utilizando un
valor modificado de la tasa de llegadas, porque no a todos
los clientes que llegan se les permite entrar al sistema.
( )Kef P−= 1λλ( )[ ]
( )( ) 1 ,11
111
1
≠−−++−= +
+
ρρρ
ρρρK
KK KKL
34
( )( ) 1 ,11 1
≠−−
= + ρρρ K
L
( )sq
ks
LLL
PPPPPPL
−=−=+•••++++= 03210 110
( ) ( )K
q
ef
Kef P
LLW
P
LLW
−==
−==
1y
1 λλλλ
Ejercicios
5. Una instalación de servicio consiste de una personaque puede atender un promedio de 2 clientes/h. Lostiempos de servicio son exponenciales. Llega unpromedio de 3 clientes/h, y se supone que lostiempos entre llegadas son exponenciales. Lacapacidad del sistema es de 3 clientes La capacidaddel sistema es de 3 clientes.del sistema es de 3 clientes.
• Determine las medidas de desempeño
• En promedio, ¿cuántos clientes potenciales entran alsistema cada hora?
• ¿Cuál es la probabilidad de que quien atiende esteocupado?
35
6. Hay un promedio de 40 automóviles por hora,con tiempos exponenciales entre llegadas, quedesean se les atienda en la ventanilla de serviciode “Servicio en su Auto” del Hot Dog KingRestaurant. Si hay una cola de más de 4 coches,incluyendo el de la ventanilla, el coche que lleguese va. En promedio, toman cuatro minutos enservir a un automóvil.servir a un automóvil.
• ¿Cuál es el número promedio de automóvilesesperando en la cola, sin incluir el que está frentea la ventanilla?
• En promedio, ¿cuántos automóviles se atiendenen cada hora?
36
La cola M/G/1
Este es un sistema de colas con un servidor en el que
los tiempos de llegadas son exponenciales, pero en
el que la distribución del tiempo de servicio (S) no
necesita ser exponencial. Sea λ la frecuencia de
llegadas, que suponemos se mide en llegadas porllegadas, que suponemos se mide en llegadas por
hora. También, definimos a 1/μ= E(S) y a σ2=Var(S).
Para calcular Lq, L, Ls, W, y Wq utilizamos los
resultados de Pollaczek y Khinchin. Ellos
demostraron que para el sistema de colas M/G/1,
37
Donde ρ = λ/µ. Como Ws = 1/ µ, entonces
Ls = λ(1/ µ) = ρ. L = Lq + Ls = Lq + ρ
+= ρLL q
)1(2
222
ρρσλ
−+=qL
38
ρ−=
+=
=
+=
1
1
0P
µWW
λ
LW
ρLL
q
q
Ejercicio
� Se tiene un sistema de colas M/G/1 en el cual hay
un promedio de 10 llegadas por hora. Supóngase
que el tiempo de trámite de cada cliente sigue una
distribución de uniforme U(4, 6) minutos
Determine la cantidad esperada de clientes en el servicio• Determine la cantidad esperada de clientes en el servicio
• Determine la cantidad esperada de clientes en la cola
39
La cola M/G/∞ y GI/G/∞Hay muchos ejemplos de sistemas en los cuales un
cliente nunca espera para que inicie su atención. En
un sistema de estos, se puede pensar que todo el
tiempo que pasa el cliente en el sistema es su
tiempo de servicio, o de trámite. Como un cliente
nunca tiene que esperar para que lo atiendan hay,nunca tiene que esperar para que lo atiendan hay,
en esencia, un servidor disponible para cada
llegada, y podemos pensar que este sistema es de
cantidad infinita de servidores, o sistema
autoservicio. En la siguiente tabla se presentan
algunos ejemplos de este tipo de sistema.40
CASO LLEGADA
TIEMPO EN EL SERVICIO
(TIEMPO EN EL SISTEMA)
ESTADO DEL SISTEMA
IndustriaLa empresa entra a la industria
Tiempo hasta que la empresa sale de la
industria
Número de empresas en la
industria
El estudiante Tiempo que el estudiante Número de Programa escolar
El estudiante entra al
programa
Tiempo que el estudiante permanece en el
programa
Número de estudiantes en el
programa
41
Un sistema de cola M/G/∞ es aquella en la que los
tiempos entre llegadas sigue una distribución
exponencial, los tiempos de servicio sigue una
distribución arbitraria y tiene infinito servidores. Una
cola GI/G/∞ es un sistema con servidores infinitos
en el que tanto los tiempos entre llegadas como los
tiempos de servicio sigue una distribución arbitrariatiempos de servicio sigue una distribución arbitraria
de probabilidad.
42
Estos sistemas trabajan como sigue:•
• Los tiempos entre llegadas son iid con distribución común
A. Se define E(A)= 1/λ. Así λ es la frecuencia o rapidez de
llegada.
• Cuando llega un cliente, inmediatamente pasa al servicio:
El tiempo de cada cliente en el sistema está gobernado
por la distribución S con E(S) = 1/µ.por la distribución S con E(S) = 1/µ.
43
Sea L el número esperado de clientes en el sistema en estado
estable, y W el tiempo esperado que un cliente pasa en el
sistema. Por definición W = 1/µ. Por lo tanto la Fórmula deLittle nos proporciona
µλ=L
• La ecuación anterior no requiere hipótesis de
exponencialidad. Si los tiempos entre llegadas
son exponenciales, se puede demostrar, aun
para una distribución arbitraria de tiempos de
servicio, que la probabilidad de estado
estable, Pn, de que haya n clientes en el
sistema sigue una distribución Poisson consistema sigue una distribución Poisson con
promedio λ/µ. Esto significa que
44
!n
e
P
n
n
−
=
µλ
µλ
Ejercicios• El programa de doctorado de la universidad del estado admite
un promedio de 25 estudiantes de doctorado cada año. Si un
estudiante de doctorado pasa un promedio de 4 años de
residencia en la universidad ¿cuántos estudiantes de
doctorado cabe esperar en ella?
• Cada semana, el Columbus Record Club atrae a 100 miembros
nuevos. Los miembros permanecen en el club un promedio de
1 año (52 semanas). En promedio, ¿cuántos miembros tiene el
club?
45
Modelo de Reparación de Máquinas
• Los modelos en los cuales las llegadas son
extraídas de una población pequeña se denominan
Modelos de Origen Finito. A continuación se
estudia un modelo de origen finito conocido como
modelo de reparación de máquinas.
• En el problema de la reparación de máquinas, el
sistema consiste en K máquinas y R personas que
reparan máquinas o reparadores.
46
• El tiempo en que una máquina está en buenas
condiciones sigue una distribución exponencial con
tasa λλλλ.... Siempre que una máquina se descompone, es
enviada a un centro de reparación que consiste de R
personas encargadas de reparar las máquinas.
• Por lo tanto, si n ≤ R máquinas están en malas
condiciones, entonces, una máquina que apenas se
descompuso será asignada de inmediato adescompuso será asignada de inmediato a
reparación; si n > R máquinas se descomponen, n – Rmáquinas estarán esperando en una sola cola a que
un trabajador de desocupe para que las repare. Se
supone que el tiempo que se requiere para reparar
una máquina es exponencial con una tasa μ (el
tiempo medio de reparación es 1/μ).47
• Tras reparar una máquina, ésta vuelve a estar en buenas
condiciones y nuevamente es susceptible de
descomponerse. Este modelo de reparación de máquinas
se podría modelar como un proceso de nacimiento y
muerte, donde el estado n en cualquier momento es la
cantidad de máquinas en malas condiciones.
• Mediante la notación de Kendall – Lee, el modelo descrito
se podría expresar como un modelo M/M/R/GD/K/K. Lase podría expresar como un modelo M/M/R/GD/K/K. La
primera K indica que podrían estar presentes, en
cualquier momento, no más de K clientes (o máquinas), y
la segunda K significa que las llegadas tienen un origen
finito de tamaño K.
48
En la siguiente tabla se muestra la interpretación de cada
estado para un modelo de reparación de máquinas que
tiene K = 5 y R = 2 (B = Máquina en buen estado;
M = Máquina en malas condiciones).
EstadoNo de
Máquinas Cola de
Reparación
No de Reparadores
49
BuenasReparación
Ocupados0 BBBBB 01 BBBB 12 BBB 23 BB M 24 B MM 25 MMM 2
λλλλn= λ+ λ+...+ λ= (Κλ+ λ+...+ λ= (Κλ+ λ+...+ λ= (Κλ+ λ+...+ λ= (Κ−−−− n)λλλλμn = n μ (n=0,1,…., R) μn = Rμ (n=R+1, R+2,…, K)
K λ
50)!(!
! Donde
21
!
10
0n
0
nKn
K
n
K
,...., K), RR (nR!R
Pnn
K
P
,...., R), (nPn
KPSi
n-Rn
nn
−=
++=
=
=
==
ρ
ρµλρ
• Empezamos por determinar P0 a partir de que
P0+P1+… + Pk =1
( ) n
K
Rnqn
K
n
PRnLPnL ∑∑==
−== 0
)()( LKPnKPK
nn
K
n −=−== ∑∑ λλλλ
51
00 nnn
nn ∑∑
==
λλq
q
LW
LW == y
Ejercicio• El departamento de policías de Gotham City tiene cinco
patrullas. Una patrulla se descompone, y requiere servicio
una vez cada 30 días. El departamento tiene dos
mecánicos, cada uno de los cuales requiere tres días para
reparar una patrulla. Los tiempos de descompostura y los
tiempos de reparación son exponenciales.
a) Determine el número promedio de patrullas en buenas
condiciones.
b) Encuentre el tiempo promedio de paralización para una
patrulla que necesita reparación
c) Estime la fracción de tiempo en que un mecánico en
particular está desocupado
52
00
3
3
00
2
2
001
015.02!2
!3
3
5
1.02
5
5.010
1
1
5
101
101
PPP
PPP
PPP
=
=
=
=
=
=
SOLUCIÓN:
K=5, R=2, λ=λ=λ=λ=1/30 patrullas por día y µ=1/3 de patrulla por día, entonces ρ =1/10
53
003
5
5
002
4
4
000075.0)2(!2
!5
5
5
0015.0)2(!2
!4
4
5
101
101
10
PPP
PPP
=
=
=
=
619.0 1)000075.00015.0015.01.05.01( 00 =⇒=+++++ PP
0 001.0 009.0 062.0 310.0 54321 ===== PPPPP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]sCondicione Buenasen patrullas 535.4
05001.04009.03062.02310.01619.0050
=
+++++−=−∑=
n
K
n
PnK
λL
W =
[ ]01234530
1)5( 543210
5
+++++=−=∑ PPPPPPPn nλλ
•a) El número esperado de patrullas en buenas condiciones es K - L que se obtiene mediante
b) Determinamos
54P0 + 0.5P1 = 0.619 + 0.5(0.310) = 0.774
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]díapor Patrullas 0.151 .
00001.01009.02062.03310.04619.0530
1 .
30 5432100
=
+++++=
∑=n
n
díapor Patrullas 151.0)535.4(301
)(bien O ==−= LKλλ
•c) La fracción de tiempo en que un mecánico está desocupado esComo L=0.465 patrullas, entonces W =0.465/0.151=3.08 días