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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE GUASAVE
Ingeniería Industrial
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
PERIODO AGO-DIC 2012
7mo SEMESTRE
UNIDAD II “LINEAS DE ESPERA”
OCTUBRE 2012
TEORIA DE COLAS
UN SERVIDOR, COLA INFINITA, FUENTE INFINITA
Se trata de modelos descriptivos de situaciones en las que se producen esperas. Estas situaciones son muy frecuentes en el contexto organizativo, y pueden encontrarse en diversas situaciones. Algunas de estas son muy evidentes:
TEORÍA DE COLAS
COLA
LLEGADAS
UN SERVIDOR, COLA INFINITA, FUENTE INFINITA
SELECCIÓN
SERVIDORFUENTE
SISTEMA DE SERVICIO
Es el tipo más sencillo de estructura y existen fórmulas directas para resolver el problema con distribución normal de patrones de llegada y de servicio. Cuando las distribuciones no son normales se resuelve con simulaciones
MODELOS DE TEORÍA DE COLAS
Notación para Modelos de Cola A,B,C,):(D,E,F)
A: distribución de arribos (M=Poisson – D=Determinista – E=Erlang). B: distribución de salidas (M=Poisson – D=Determinista – E=Erlang). C: Número de servidores en paralelo.D: Disciplina del servicio. E: Número máximo de clientes permitidos en el sistema (en cola + en servidores). F: Población
MODELO DE LA COLA INFINITA, FUENTE INFINITA Y UNA UNIDAD DE SERVICIO
Para este modelo se considera lo siguiente:
1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov.
2.- Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de servicios son independientes entre sí e independientes del proceso de llegada.
3.- Sólo hay una unidad de servicio.
4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola.
5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales.
L= l / (m - l)
Lq = l 2 / [m(m - l)] Wq = l / [m(m - l)]
W = 1 / (m - l)
FórmulasAnálisis de la cola
Longitud Promedio de la Cola
Tiempo de EsperaPromedio en la Cola
Análisis del sistema
Longitud Promedio del Sistema
Tiempo de EsperaPromedio en el Sistema
Utilización de la instalación de servicio
Pn = [1 - (l / m)] (l/ m)n
r = l / m
Pw = l / m
P0 = 1- (l / m)
Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.
Probabilidad de que no existan clientes en el sistema
Probabilidad de que un cliente que llega deba esperar para ser atendido
Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo que cada servidor es ocupado)
P n>k = r k+1 Probabilidad de que el estado del sistema tenga un valor mayor que un determinado valor k.
EJEMPLO
Manolo Giménez, reconocido miembro del gremio de los profesionales de la reparación de vehículos está preocupado por la marcha de su negocio: las expectativas son demasiado buenas y el taller parece demasiado pequeño. Para ver qué puede hacer para resolver el problema, le pide ayuda a un experto en teoría de colas. Después de una primera entrevista con el sr. Manolo acerca de las expectativas de su negocio, obtiene la siguiente información:
Las llegadas al taller se producirán de forma aleatoria, según una ley Poisson de media 4 llegadas al día ( para este ejemplo, 1 día = 8 horas de jornada laboral)
El tiempo que se tarda en reparar los automóviles sigue una ley exponencial de media 1.75 hrs. (esto es 1 hora y 45 minutos)
El Sr. Manolo cuenta con un solo equipo para reparar los automóviles
Además del coche que esta reparando, solo caben 3 coches mas en el taller. Si llegan más, debe estacionarlos en la vía pública, con el siguiente deterioro en la calidad de servicio.
Los coches se retiran del taller inmediatamente después de ser reparados
Con estos datos, el sr. Manolo demanda al experto un análisis inicial de la situación. Más concretamente, le pregunta:
a) ¿Qué fracción del tiempo estará el taller en funcionamiento?
b) ¿Cuál es el número promedio de clientes en espera de reparación de su vehículo (suponiendo un coche en reparación por cliente)?
c) ¿Cuál es el número promedio de coches esperando a ser reparados?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que deban estacionarse coches en la calle?
e) ¿Cuánto tiempo trascurrirá, por termino medio, desde que el coche llega al taller hasta que se acaba la reparación
f) ¿Cuánto tiempo transcurrirá, por termino medio, desde que el coche llega al taller hasta que comienza la reparación?
a) ¿Qué fracción de tiempo estará el taller en funcionamiento?
La pregunta se responde hallando el factor de utilización del sistemas, que
para el modelo de Kendall es igual al parámetro r. Para ello necesitamos las tasas de llegada y servicio
Por lo que el factor de utilización valdrá:
El taller funciona el 87.5 % de tiempo. Se trata de un factor de utilización muy elevado, que hace prever valores de tiempo de servicio y de unidades en el sistema bastante elevados.
b) ¿Cuál es el número promedio de clientes de espera de reparación de su vehículo (suponiendo un coche en reparación por cliente)?
Lo que aquí se nos pide es el número promedio total de vehículos en el sistema, estén en cola (tanto dentro como fuera del taller) o en servicio. Dicho valor se obtiene a partir del parámetro L, que vale:
L= l / (m - l) L= 0.5 / (.5714 - 0.5 ) = 7
De modo que el número promedio de unidades en el sistema (en este caso, de coches en el taller) es de 7. El resultado obtenido con la fórmula se expresa en unidades (en este caso, coches).
c) ¿Cuál es el número promedio de coches esperando a ser reparados?
Ahora nos piden los coches en espera, tanto si están dentro como fuera del taller:
El número promedio de unidades en cola (en este caso, de coches en espera para ser reparados) es de 6. 125. Recordemos que es número promedio de unidades, por lo que puede ser un número no entero.
Nótese que L- Lq = 0.875: es inferior a uno porque el sistema no está funcionando todo el tiempo. Como se ha visto en a), funciona el 87.5 % del tiempo como promedio.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que deban estacionarse coches en la calle?Tendremos coches en la calle cuando el estado del sistema sea superior a 4 (estado 4 3 coches en espera, y uno en reparación). De hecho, se nos pide la probabilidad:
e) ¿Cuánto tiempo transcurrirá, por termino medio, desde que el coche llega al taller hasta que se acaba la reparación?
Por lo que se pregunta es por el tiempo medio que pasa una unidad en el sistema(en espera y reparación). En el modelo de Kendall, viene dado por la expresión:
Así, el tempo promedio que pasará una unidad en el sistema, desde que entra hasta que ha sido servida es de 14 hrs. En este caso, representa el tiempo que pasará, por término medio, desde que el coche llega al taller hasta que concluye la reparación. El valor de W tiene como unidades la unidad de tiempo en que estén expresadas l y µ. Como estas magnitudes, en este caso, están expresadas en llegadas por hora y servicios por hora, respectivamente, W estará expresada en horas.
f) ¿Cuánto tiempo transcurrirá, por termino medio, desde que el coche llega al taller hasta que comienza la reparación?
El valor pedido viene representado por el parámetro Wq (tiempo medio de espera en cola):
Esto indica que una unidad que llegue al sistema estará en espera un tiempo promedio de 12.25 horas, esto es 12 horas y 15 minutos. Para Wq son aplicadas las mismas observaciones relativas a las unidades que las hechas para W. En este caso, esto nos permite afirmar que un coche que llega al taller tarda en promedio de 12 horas y 15 minutos en entrar a ser reparado.
CW= Costo de esperar por período para cada unidad
L= Cantidad promedio de unidades en el sistema
Cs= Costo de servicio por período para cada canal
K= Cantidad de canales
TC= Costo total por período
ANÁLISIS ECONÓMICO DE LAS LÍNEAS DE ESPERA
TC=CwL+CsK
Cantidad promedio de llegadas por período (tasa media de llegada) 0.75 lamdaCantidad promedio de servicios por período (tasa media de servicios) 1mu
Características operativas:
1 Probabilidad de que no hayan unidades en el sistema, Po 0.25 25%2 Cantidad promedio de unidades en la línea de espera, Lq 2.25 clientes3 Cantidad promedio de unidades en el sistema, L 3 clientes4 Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera,Wq 3 minutos5 Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema,W 4 minutos
6Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio, Pw 0.75 75%
Costo directo asociado con la operación del canal de servicio 7 CsCosto del tiempo de espera del cliente 10 Cw
Cantidad de canales 1 K
Costo total: ¿? Dólares por hora
EJEMPLO
TC=CwL+CsK
TC=(10)(3)+(7)(1) TC= 30+ 7 TC = 37 Dólares/ hora
INTEGRANTES
Anguiano Higuera Juan Gerardo
Lugo Rubio Sandra Guadalupe
Martínez Luque Brianda
Montoya García Edgar Javier
Orduño Gutiérrez Irving
Valenzuela Ramírez Luis Manuel
Valle Gutiérrez Horacio Herberto