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8/18/2019 Teorema de Valor Medio
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Teorema de Rolle
Sea f una función que verifica las siguientes hipótesis:
- Es continua en el intervalo cerrado [a, b]- Es derivable en el intervalo abierto (a, b)- Toa el iso valor en los e!treos del intervalo, es decir f(a) " f(b)
Entonces, e!iste un punto c que pertenece (a, b) tal que f#(c) " $ , es decir, con tangentehori%ontal&
Ejemplos y ejercicios resueltos
1 Comprobar que la función f(x) = x 2 !x " 11 #erifica las $ipótesis del teorema de Rolleen el inter#alo %1& '
- Es continua en [', ] por ser polinóica&- Es derivable en (', ) por ser polinóica&- f(') " * f() "
Entonces e!iste un punto c en el intervalo abierto (a, b) con derivada nula en dicho punto&
+eaos: f#(!) " ! . f#(c) " $ c . " $ c " . c "
El punto c " esta en el interior del intervalo [', ]
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Teorea del valor edio
E/eplos 0 e/ercicios
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Teorea de 1auch0
Raíces de una ecuación o función. Existencia: teoremas de Bolzano y Rolle
2Entre cada dos ra3ces de una función derivable e!iste al enos una ra3% de la función derivada4
5 Si f# no posee ra3ces reales, el n6ero 7!io de ra3ces de f ser7 uno&
5 Si f# sólo posee una ra3% real, en n6ero 7!io de ra3ces ser7 dos 0 as3 sucesivaente&
8a función puede tener coo 7!io una ra3% 7s que la derivada&
E/eplo
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9eostrar que la función f(!) " ! ! ' tiene coo 7!io una ra3% real&
9erivaos f#(!) " ! ' ! ' " $ ! " -'; f#(!) no tiene ra3ces reales,
la función f(!) " ! ! ' no tiene 7s de una ra3% real&
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eri#abilidad de una función en un punto
Ejemplos y ejercicios resueltos
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