Teorema de Dunford Pettis
sobre los Espacios de Orlicz.
M. Sc. Jorge Eliecer Hernandez Hernandez
Barquisimeto, Julio de 2009.
Teorema de Dunford Pettis
sobre los Espacios de Orlicz.
por
M. Sc. Jorge Eliecer Hernandez Hernandez
Trabajo de Ascenso para optar a la categoria de:
Profesor Asociado en el escalafon del
Personal Docente y de Investigacion.
Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado
Decanato de Administracion y Contaduria
Departamento de Tecnicas Cuantitativas
Barquisimeto, Julio de 2009.
A mi hija Gabriela Alejandra.
ii
Agradecimiento
Quiero agradecer, en primer lugar, a Dios, fuente de toda sabidurıa; a mis padres,
Samuel y Judith, por su dedicacion y sacrificio, en la invalorable labor de brindarme
soporte para culminar este trabajo; a mi hermana, Jazmın, y mis sobrinos, Teresa,
Juan, y Francisco, quienes al igual que mis padres dieron estımulo a la persever-
ancia; a Katty, adorable mujer amada, por su paciencia.
Muy especialmente, mi profundo agradecimiento, a los doctores: Ventura Ec-
handıa, Wilfredo Urbina, Carlos Finol, Neptalı Romero, Francisco Montes de Oca,
ya que fueron quienes por su labor docente y de investigacion, me iniciaron en el
camino de la investigacion, al comenzar los estudios de Maestrıa en Matematicas.
Demas esta decir, que el trabajo que realizan estos profesionales no tiene precio.
Los licenciados, Miguel Vivas, Ivan Vasquez, Marıa Biondi, amigos y companeros
de estudio en el Doctorado de Matematicas, son personas a las cuales agradesco,
precisamenete, la virtud de la amistad, y hago un reconocimiento, en estas lineas,
a su capacidad y talento.
Gracias a todos.
iii
Introduccion
La integrabilidad uniforme es una propiedad de algunos conjuntos del espacio
de funciones medibles e integrables sobre un espacio de medida finita (Ω,Σ, µ), es
decir, subconjuntos de L1(µ). Nuestra intension es estudiar este concepto hasta
llegar a la caracterizacion de los mismos por medio del concepto de compacidad
debil.
Para llegar a tal fin, usamos publicaciones de Joseph Diestel , John Alexopoulos[AJ1]
y David Carothers[CN1]. Seguimos el siguiente esquema. Presentamos la defini-
cion de Integrabilidad Uniforme de subconjuntos de L1(µ) donde µ es una medida
de probabilidad. Seguidamente, damos algunos ejemplos de conjuntos uniforme-
mente integrables.
Como primer teorema, presentamos una caracterizacion de conjuntos uniforme-
mente integrables por medio de la acotabilidad del conjunto y la integrabilidad
uniforme de las integrales sobre conjuntos medibles[DJ2, p. 41]. Inmediatamente,
sigue una forma equivalente a este teorema por medio de medidas uniformemente
absolutamente continuas [DJ2, p. 150].
Para tener otra caracterizacion de conjuntos uniformemente integrables presen-
tamos el Teorema de De la Vallee-Poussin, que logra esta caracterizacion,
mediante la existencia de una funcion convexa par, con ciertas propiedades en el
origen, conducta al infinito y acotacion uniforme de las integrales de la composicion
de dicha funcion con los elementos del conjunto en referencia [AJ1, p. 3].
Suponiendo conocido lo referente a topologıa debil, pasamos al objetivo principal,
iv
el Teorema de Dunford-Pettis, que establece que cualquier subconjunto de
L1(µ), que sea relativamente debilmente compacto es uniformemente integrable, y
viceversa.[DJ2, p. 46]
Usamos el Teorema de Lebesgue-Vitali para probar el recıproco del teorema
de Dunford-Pettis. Este teorema muestra una condicion necesaria para que una
sucesion de funciones en L1(µ), sea uniformemente integrable. Ademas, como una
consecuencia inmediata de este teorema, presentamos el Lema de Rosenthal.
Por ultimo damos una consecuencia del teorema de Dunford-Pettis, debido a Kadec
y Pelcsynski, que nos muestra una propiedad fundamental del espacio de Banach
L1(µ), a saber, que cualquier conjunto K que no es uniformemente integrable
contiene una sucesion de elementos, cuyo espacio lineal generado es isomorfo al
espacio de sucesiones `1.
v
Indice General
Teorema de Dunford Pettis
sobre los Espacios de Orlicz. 1
Teorema de Dunford Pettis
sobre los Espacios de Orlicz. i
Agradecimiento iii
Introduccion iv
1 Fundamentos Basicos. 1
1.1 Funciones Convexas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Propiedades de las funciones Convexas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Funciones de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Funciones complementarias en el sentido de Young. . . . . . . . . . . 17
vi
1.5 Funciones logarıtmicamente convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 N-Funciones o Funciones de Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Equivalencia entre N-Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Espacios de Orlicz. 29
2.1 Nociones Generales respecto a Espacios de Orlicz . . . . . . . . . . . 29
2.2 Espacios de Sucesiones de Orlicz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Igualdad entre `Φ y hΦ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Apendice A.
Prerrequisitos. 48
A.1 Del Analisis Funcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.2 Del Analisis Real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
A.3 De la Topologıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.4 Topologıas inducidas por familias de funciones. . . . . . . . . . . . . 60
A.5 Topologıa debil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
A.6 Topologıa Debil* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A.7 Teorema de Banach-Alaoglu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Apendice B.
vii
Integrabilidad Uniforme. 72
B.1 Integrabilidad Uniforme: Definicion. Ejemplos . . . . . . . . . . . . 73
B.2 Caracterizacion de conjuntos uniformemente integrables. . . . . . . 74
B.3 Teorema de Lebesgue-Vitali. Lema de Rosenthal. . . . . . . . . . . 77
B.4 Teorema de Dunford-Pettis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B.5 Consecuencias del Teorema de Dunford-Pettis . . . . . . . . . . . . 80
Bibliografıa 82
viii
Capıtulo 1
Fundamentos Basicos.
El presente capıtulo contiene una recopilacion de los aspectos mas importantes
de la Teorıa de Funciones Convexas que seran de utilidad en el desarrollo del
trabajo propuesto, ademas de incluir como casos especiales de estas funciones a las
funciones de Young y las N -Funciones o Funciones de Orlicz. Iniciamos entonces
con la definicion de funcion convexa.
1.1 Funciones Convexas.
Definicion 1.1.1 Sea f una funcion definida en un intervalo I de R con valores
en R = R ∪ −∞,∞. Si para todo par de puntos x, y ∈ I y α ∈ [0, 1] se tiene
que
f(αx+ (1− α)y) ≤ αf(x) + (1− α)f(y), (1.1.1.1)
1
entonces se dice que f es una funcion convexa.
Geometricamente esta definicion establece que una funcion f definida sobre un
intervalo abierto o cerrado I ⊂ R se denomina convexa si para todo par de
puntos P1, P2 sobre la curva y = f(x), los puntos del arco P1P2 estan por debajo
o sobre el segmento de recta (cuerda) P1P2.
1.2 Propiedades de las funciones Convexas.
Algunas de las propiedades de las funciones convexas son listadas a continuacion.
Entre ellas destacan la acotabilidad y continuidad, las caracterizaciones de las
funciones convexas por medio de razones de cambio, la desigualdad de Jensen
en su version discreta y continua, la obtencion de funciones convexas a partir de
funciones monotonas, y otras.
Acotabilidad y Continuidad de las Funciones Convexas.
El primero de estos resultados establece condiciones que debe tener una funcion
convexa para ser acotada y cumplir una condicion de Lipschitz de orden α = 1.
Teorema. 1.2.1 Sea f : I → R una funcion convexa. Si para cada x ∈ int(I),
f(x) es finito, entonces f es acotada en cada intervalo [a, b] contenido en el interior
de I y satisface una condicion de Lipschitz de orden λ = 1.
2
Demostracion:
Sean a, b ∈ int(I). Sea x = αa + (1 − α)b, donde α ∈ [0, 1] . Como f(x) es finito
para cada valor en el interior de I, entonces f(a) y f(b) son finitos, por lo cual,
podemos definir k = max(f(a), f(b)). Entonces, como f es convexa, obtenemos
que
f(x) = f(αa+ (1− α)b)
≤ αf(a) + (1− α)f(b)
≤ αk + (1− α)k ≤ k
es decir, hemos encontrado que f es acotada superiormente en cualquier intervalo
contenido en el interior de I.
Ahora, sea x un elemento de (a, b) distinto del punto medio de este intervalo,
es decir x 6= (a+ b)/2, entonces existe z ∈ (a, b) tal que
a+ b
2=x
2+z
2,
en consecuencia, de la desigualdad 1.1.1.1 dada por la definicion (1.1.1), tenemos
que
f
(a+ b
2
)= f
(x2
+z
2
)≤ 1
2f(x) +
1
2f(z) ≤ 1
2f(x) +
1
2k
ası, que
f(x) ≥ 2f
(a+ b
2
)− k
es decir, f es acotada inferiormente en cualquier intervalo contenido en el interior
de I.
Sea ε > 0 tal que a − ε y b + ε estan en el interior de I. Sean k y K las cotas
inferiores y superiores de f , respectivamente, en [a− ε, b+ ε] . Si x, y son puntos
3
en [a, b] entonces el punto z definido por medio de
y =|y − x|
ε+ |y − x|z +
(1− |y − x|
ε+ |y − x|
)x
esta en [a− ε, b+ ε]; notese que
0 <|y − x|
ε+ |y − x|< 1,
entonces, usando la definicion de funcion convexa 1.1.1 tenemos que
f(y) ≤ |y − x|ε+ |y − x|
f(z) +
(1− |y − x|
ε+ |y − x|
)f(x)
=|y − x|
ε+ |y − x|(f(z)− f(x)) + f(x)
≤ |y − x|ε+ |y − x|
(K − k) + f(x);
en consecuencia,
f(y)− f(x) ≤ K − k
ε|y − x|
Intercambiando x con y se obtiene, de manera similar que,
f(x)− f(y) ≤ K − k
ε|y − x|
Por lo tanto, hemos encontrado que f satisface una condicion de Lipschitz de orden
λ = 1 en cada intervalo contenido en el interior de I.
Del hecho que una funcion convexa sea acotada y que satisfaga una condicion
de Lipschitz de orden λ = 1, se deduce la continuidad de tal funcion. En efecto,
sean a ∈ I y ε > 0 arbitrarios, entonces,
|f(x)− f(a)| ≤ K − k
ε|x− a| ,
4
ası que, haciendo δ ≤ ε2/(K − k), obtenemos que para todo a ∈ I se tiene que si
|x− a| < δ entonces
|f(x)− f(a)| <K − k
ε|x− a|
≤ K − k
ε
ε2
K − k= ε
lo cual indica que f es continua.
Definicion Equivalente de Funcion Convexa.
Nos proponemos mostrar una definicion equivalente de funcion convexa al com-
parar el valor de la funcion en cada punto medio entre dos elementos arbitrarios
de su dominio, y el valor medio de sus correspondientes imagenes.
Teorema. 1.2.2 La funcion f : [a, b] → R es convexa si y solo si f es continua y
para todo x, y ∈ [a, b] se tiene que
f
(1
2x+
1
2y
)≤ 1
2f(x) +
1
2f(y).
Demostracion:
Sea f : [a, b] → R una funcion convexa. De acuerdo a los resultados encontrados en
la seccion anterior, tenemos que f es continua, y tomando α = 1/2 obtenemos la
desigualdad buscada. Recıprocamente, supongamos que f es una funcion continua
y que para todo x, y ∈ [a, b] se tiene que
f
(1
2x+
1
2y
)≤ 1
2f(x) +
1
2f(y),
5
pero que f no es convexa. Entonces existen x0, y0, z0 ∈ (a, b) tales que el punto
(y0, f(y0)) esta por encima del segmento de recta que une al punto (x0, f(x0)) con
el punto (z0, f(z0)) , esto es,
f(y0) >
(f(z0)− f(x0)
z0 − x0
)(y0 − x0) + f(x0).
De la continuidad de la funcion f , deducimos que existe δ > 0 tal que
f(x) >
(f(z0)− f(x0)
z0 − x0
)(x− x0) + f(x0)
para todo x ∈ (y − δ, y + δ) . De lo cual encontramos que los conjuntos
t : f(s) > g(s), s ∈ (t, y] y t : f(s) > g(s), s ∈ [y, t)
son no vacıos, donde
g(s) =
(f(z0)− f(x0)
z0 − x0
)(s− x0) + f(x0).
Podemos definir entonces,
k = inf t : f(s) > g(s), s ∈ (t, y]
y
m = sup t : f(s) > g(s), s ∈ [y, t) .
Es claro que k < y < m y que f(k) = g(k) y f(m) = g(m), ademas se tiene que
f(s) >
(f(z0)− f(x0)
z0 − x0
)(s− x0) + f(x0),
para todo s ∈ (k,m) . En particular, para s = (k +m)/2, es decir,
f
(k +m
2
)>
(f(m)− f(k)
m− k
)(k +m
2− k
)+ f(k)
=
(f(m)− f(k)
m− k
)(m− k
2
)+ f(k)
=f(m)− f(k)
2+ f(k)
=1
2f(m) +
1
2f(k)
6
lo cual contradice la hipotesis.
Caracterizacion de Funciones Convexas por medio de
Razones de Cambio.
Esta caracterizacion tiene su fundamento en el cociente entre la variacion de
los valores de la funcion y la variacion de los valores del argumento de la funcion.
Lema 1.2.3 La funcion f : I → R es convexa si y solo si para cada c ∈ I la
funcion
g(x) =f(x)− f(c)
x− c, con x 6= c (1.2.3.1)
es creciente como funcion de x.
Demostracion:
Consideremos el caso en que c < x < y. Si f es convexa, entonces con
x =y − x
y − cc+
x− c
y − cy
tenemos que
f(x) = f
(y − x
y − cc+
x− c
y − cy
)≤ y − x
y − cf(c) +
x− c
y − cf(y).
7
Observemos que
(y − c)f(x) ≤ (y − x)f(c) + (x− c)f(y)
= yf(c)− xf(c) + (x− c)f(y) + cf(c)− cf(c)
= (y − c)f(c)− (x− c)f(c) + (x− c)f(y)
de donde
(y − c)f(x)− (y − c)f(c) ≤ (x− c)f(y)− (x− c)f(c)
y asıf(x)− f(c)
x− c≤ f(y)− f(c)
y − c
y por lo tanto, si x < y entonces g(x) < g(y), es decir, g es creciente.
Recıprocamente, supongamos que la funcion g definida previamente es cre-
ciente. Hagamos x = αu+ βv, donde c = u, y = v,y α+ β = 1. Entonces,
f(αu+ βv)− f(u)
αu+ βv − c≤ f(v)− f(u)
v − u,
f(αu+ βv)− f(u)
(1− β)u+ βv − u≤ f(v)− f(u)
v − u,
f(αu+ βv)− f(u)
β(v − u)≤ f(v)− f(u)
v − u,
f(αu+ βv)− f(u) ≤ βf(v)− βf(u),
f(αu+ βv) ≤ βf(v)− (1− α)f(u) + f(u),
8
f(αu+ βv) ≤ αf(u) + βf(v)
con lo que f es convexa.
Finalmente, los casos x < y < c y x < c < y se demuestran de manera analoga.
Geometricamente, el cociente del lema 1.2.3 representa la pendiente de la recta
que pasa por los puntos (x, f(x)) y (c, f(c)). Lo que se establece en este resultado
es que dados tres puntos P1, P2, P3 (en ese orden), la pendiente entre P1 y P2 es
menor que la pendiente entre P2 y P3.
Desigualdad de Jensen.
Teorema. 1.2.4 Sean, ϕ una funcion convexa definida sobre un intervalo I, pini=1
escalares no negativos (no todos nulos) tales que∑n
i=1 pi 6= 0, y x1, .., xn ∈ I. En-
tonces,
ϕ
(∑ni=1 pixi∑ni=1 pi
)≤ 1∑n
i=1 pi
n∑i=1
piϕ(xi) (1.2.4.1)
Demostracion:
En efecto, si n = 2, tenemos, precisamente, la definicion 1.1.1 de funcion convexa.
Supongamos, como hipotesis inductiva, que la desigualdad 1.2.4.1 es cierta para
9
n = k − 1 entonces probaremos para n = k. Sean, p1, .., pk−1, pk numeros reales
tales que∑k
i=1 pi 6= 0. De esta manera, para cada i = 1, .., k − 1, k se tiene que
0 ≤ pi∑ki=1 pi
≤ 1
y tambien,
1 =
∑ki=1 pi∑ki=1 pi
=
∑k−1i=1 pi∑ki=1 pi
+pk∑ki=1 pi
.
Sean x1, .., xk ∈ I. Usando la definicion 1.1.1 dada por la desigualdad 1.1.1.1,
tenemos que
ϕ
(∑ki=1 pixi∑ki=1 pi
)= ϕ
(∑k−1i=1 pixi∑k
i=1 pi
+pkxk∑ki=1 pi
)
= ϕ
(∑k−1i=1 pi∑ki=1 pi
) ∑k−1i=1 pixi(∑k−1
i=1 pi∑ki=1 pi
)∑ki=1 pi
+pkxk∑ki=1 pi
≤
(∑k−1i=1 pi∑ki=1 pi
)ϕ
∑k−1i=1 pixi(∑k−1
i=1 pi∑ki=1 pi
)∑ki=1 pi
+pk∑ki=1 pi
ϕ(xk)
=
(∑k−1i=1 pi∑ki=1 pi
)ϕ
(∑k−1i=1 pixi∑k−1i=1 pi
)+
pk∑ki=1 pi
ϕ(xk)
y aplicando la hipotesis inductiva queda que
ϕ
(∑ki=1 pixi∑ki=1 pi
)≤
(∑k−1i=1 pi∑ki=1 pi
)1∑k−1
i=1 pi
k−1∑i=1
piϕ(xi) +pk∑ki=1 pi
ϕ(xk)
=
∑k−1i=1 piϕ(xi)∑k
i=1 pi
+pk∑ki=1 pi
ϕ(xk)
=
∑ki=1 piϕ(xi)∑k
i=1 pi
quedando probada la desigualdad de Jensen.
El siguiente resultado es la version continua de la desigualdad de Jensen.
10
Teorema. 1.2.5 Sea Φ : I → R una funcion convexa. Sea (X,A, µ) un espacio
de medida finita. Si f es integrable, y f(X) ⊂ I, para algun intervalo I de longitud
finita, y si Φ f es integrable, entonces,
Φ
(1
µ(X)
∫X
fdµ
)≤ 1
µ(X)
∫X
(Φ f)dµ. (1.2.5.1)
Demostracion:
Sea
γ =1
µ(X)
∫X
fdµ.
Notese que si I = (α, β) entonces,
αµ(X) <
∫X
fdµ < βµ(X),
con lo que α < γ < β. Ahora, conocemos que la funcion g, definida en 1.2.3 es
una funcion creciente, en consecuencia, podemos definir
s = sup g(x) : x ∈ (α, γ) .
En consecuencia,
s ≥ Φ(γ)− Φ(x)
γ − x,
para todo x ∈ (α, γ) , luego,
s(γ − x) ≥ Φ(γ)− Φ(x).
Por otra parte, si x ∈ (γ, β) tenemos que
s ≤ Φ(γ)− Φ(x)
γ − x,
11
con lo que
s(γ − x) ≥ Φ(γ)− Φ(x)
que es lo mismo que
s(x− γ) ≥ Φ(γ)− Φ(x),
entonces, si x ∈ (α, β) , podemos escribir que
Φ(γ) ≤ s(γ − x) + Φ(x).
Entonces, si x = f(t), tenemos
Φ
(1
µ(X)
∫X
fdµ
)≤ s
(1
µ(X)
∫X
fdµ− f(t)
)+ Φ (f(t)) .
Como, Φ f es integrable, podemos integrar y obtenemos,
Φ
(1
µ(X)
∫X
fdµ
)µ(X) ≤ s
µ(X)
µ(X)
∫X
fdµ− s
∫X
fdµ+
∫X
Φ (f) dµ,
Φ
(1
µ(X)
∫X
fdµ
)≤ 1
µ(X)
∫X
Φ (f) dµ.
Derivadas de las Funciones Convexas.
Dado que una derivada es una razon de cambio instantanea, el resultado obtenido
en el lema 1.2.3 nos conduce a este otro.
Lema 1.2.6 Toda funcion continua y convexa f : I → R tiene en cada punto una
derivada derecha f ′+ y una derivada izquierda f ′−, tales que f ′− ≤ f ′+.
12
Demostracion:
Sean h1, h2 tales que 0 < h1 < h2, entonces por el lema 1.2.3, tenemos que
f(u)− f(u− h2)
h2
≤ f(u)− f(u− h1)
h1
=f(u− h1)− f(u)
−h1
≤ f(u+ h1)− f(u)
h1
≤ f(u+ h2)− f(u)
h2
La expresionf(u+ h1)− f(u)
h1
es decreciente cuando h1 → 0 y acotada inferiormente, entonces existe el lımite
limh→0
f(u+ h)− f(u)
h= f ′+(u).
Tambien, la expresionf(u)− f(u− h1)
h1
es creciente cuando h1 → 0 y acotada superiormente, en consecuencia, existe el
lımite
limh→0
f(u)− f(u− h)
h= f ′−(u).
Ademas, se tiene que f ′−(u) ≤ f ′+(u).
Convexidad de las Funciones Integrales de Funciones
Monotonas.
A partir de funciones monotonas crecientes podemos construir funciones convexas.
13
Teorema. 1.2.7 Sea ϕ : I → R+ una funcion creciente. Sea c ∈ I; entonces, se
tiene que la funcion
Φ(t) =
∫ t
c
ϕ(s)ds, c < t
es una funcion continua, creciente y convexa.
Demostracion:
Observemos que de la definicion de Φ, y el teorema 6.20 en Principios de Analisis
Matematico de Walter Rudin, pag. 133, tenemos que es continua y que Φ′(t) = ϕ(t)
en cada punto donde ϕ es continua, y como ϕ es positiva, se tiene que Φ es creciente.
Para probar la convexidad de Φ usaremos el teorema 1.2.2, ya que Φ es continua.
Sean r, t tales que c < r < t. Usando la defincion de la funcion Φ y el crecimiento
de la funcion positiva ϕ, tenemos que
Φ
(r
2+t
2
)=
∫ (r+t)/2
c
ϕ(s)ds
=
∫ r
c
ϕ(s)ds+
∫ (r+t)/2
r
ϕ(s)ds
=
∫ r
c
ϕ(s)ds+1
2
∫ (r+t)/2
r
ϕ(s)ds+1
2
∫ (r+t)/2
r
ϕ(s)ds
≤ Φ(r) +1
2
∫ (r+t)/2
r
ϕ(s)ds+1
2
∫ t
(r+t)/2
ϕ(s)ds
=1
2Φ(r) +
1
2Φ(r) +
1
2
∫ (r+t)/2
r
ϕ(s)ds+1
2
∫ t
(r+t)/2
ϕ(s)ds
=1
2Φ(r) +
1
2
[∫ r
c
ϕ(s)ds+
∫ (r+t)/2
r
ϕ(s)ds+
∫ t
(r+t)/2
ϕ(s)ds
]=
1
2Φ(r) +
1
2Φ(t).
Lo cual indica que Φ es una funcion convexa.
14
El siguiente resultado nos muestra que una funcion convexa tiene una repre-
sentacion integral por medio de un funcion creciente.
Teorema. 1.2.8 Sea Φ : I → R una funcion convexa y continua. Sea c ∈ I,
entonces existe una funcion ϕ(s) creciente tal que
Φ(t)− Φ(c) =
∫ t
c
ϕ(s)ds
Demostracion:
Segun el lema 1.2.6 las derivadas laterales de Φ existen y son crecientes, ademas
ellas coinciden fuera de un conjunto numerable. Se deduce del primer teorema
fundamental del calculo que
Φ(t)− Φ(c) =
∫ t
c
ϕ′+(s)ds =
∫ t
c
ϕ′−(s)ds
Es necesario en esta seccion incorporar algunas funciones que gozan de la
propiedad de ser convexas y que han sido usadas durante el desarrollo del Analisis
funcional en las definiciones de las normas que son asignadas a los espacios nor-
mados. A continuacion mostramos algunas de ellas.
15
1.3 Funciones de Young
Definicion 1.3.1 Sea ϕ(t) ≥ 0, para todo t ≥ 0, una funcion creciente y continua
a la derecha. A la funcion Φ definida por medio de
Φ(t) =
∫ t
0
ϕ(s)ds, para todo t ≥ 0 (1.3.1.1)
se le denomina funcion de Young.
De esta definicion se deduce que estas funciones cumplen la siguiente desigualdad
t
2ϕ
(t
2
)≤ Φ(t) ≤ tϕ(t), t ≥ 0. (1.3.1.2)
En efecto, como la funcion ϕ es una funcion creciente, entonces ϕ(t) ≥ ϕ(s) para
todo s ∈ [0, t] , en consecuencia
Φ(t) =
∫ t
0
ϕ(s)ds ≤∫ t
0
ϕ(t)ds = tϕ(t);
por otra parte, por la monotonıa de ϕ, tenemos que
t
2ϕ(t/2) =
∫ t/2
0
ϕ(t/2)ds ≤∫ t
0
ϕ(s)ds = Φ(t).
Una consecuencia de la definicion 1.3.1 y del teorema 1.2.7, es que toda funcion
de Young es creciente, continua y convexa.
16
1.4 Funciones complementarias en el sentido de
Young.
Sea Φ(t) una funcion de Young. Definamos la funcion ψ por medio de
ψ(s) = sup t : ϕ(t) ≤ s .
Es facil ver que esta es una funcion creciente, continua a la derecha y que ψ(0) = 0.
En efecto, si s < r, entonces
ψ(s) = sup t : ϕ(t) ≤ s y ψ(r) = sup t : ϕ(t) ≤ r
y si t es tal que ϕ(t) ≤ s entonces, ϕ(t) ≤ r, por lo tanto,
t : ϕ(t) ≤ s ⊂ t : ϕ(t) ≤ r
encontramos ası que sup t : ϕ(t) ≤ r ≥ sup t : ϕ(t) ≤ s , es decir, ψ(r) ≥ ψ(s),
lo que nos dice que ψ es una funcion creciente. Tambien, si s = 0 tenemos que
t : ϕ(t) ≤ 0 = 0 con lo que ψ(0) = 0.
Se tiene entonces que la funcion
Ψ(t) =
∫ t
0
ψ(s)ds (1.4.1)
es una funcion de Young, denominada funcion complementaria en el sentido
de Young .
Nota 1.4.1.0 Sea s < r. Entonces,
ψ(s) = sup t : ϕ(t) ≥ s y ψ(r) = sup t : ϕ(t) ≥ r
17
como s < r, si t es tal que ϕ(t) ≥ r entonces, ϕ(t) ≥ s, por lo tanto,
t : ϕ(t) ≥ r ⊂ t : ϕ(t) ≥ s
encontramos ası que sup t : ϕ(t) ≥ r ≥ sup t : ϕ(t) ≥ s , es decir, ψ(r) ≥ ψ(s).
La funcion es creciente. Por otra parte, verifiquemos la continuidad de esta fun-
cion. Sea s0 ∈ R arbitrario. Probaremos que
lims→s+
0
ψ(s) = ψ(s0).
Veamos que
|ψ(s)− ψ(s0)| = sup t : ϕ(t) ≥ s − sup t : ϕ(t) ≥ s0
≤
Ahora, veamos que ψ(0) = 0. Es decir,
sup t : ϕ(t) ≥ 0 = 0.
Supongamos que ψ(0) > 0. Entonces, se tiene que
ψ(0) ≥ t
y que dado ε > 0 existe t0 tal que
ψ(0)− ε ≤ t0 ≤ ψ(0)
Desigualdad de Young.
Teorema. 1.4.2 Si Φ y Ψ son funciones de Young complementarias, entonces
u.v ≤ Φ(u) + Ψ(v), para todo u, v > 0.
18
1.5 Funciones logarıtmicamente convexas
Definicion 1.5.1 Denotaremos por I al intervalo (0, 1] o [1,∞) . Una funcion
f : I → [0,∞) es logarıtmicamente convexa si para todo s, t ∈ I, α, β > 0, y
α+ β = 1 se tiene que
f(αt+ βs) ≤ f(t)αf(s)β, (1.5.1.1)
es decir, f es logarıtmicamente convexa si la funcion log(f) es convexa.
Teorema. 1.5.2 La clase de funciones logarıtmicamente convexa es un cono. Tam-
bien, el lımite de una sucesion de funciones convexas, cuando existe, es convexa.
1.6 N-Funciones o Funciones de Orlicz
A continuacion definimos una importante clase de funciones de Young.
Definicion 1.6.1 Una funcion de Young, con representacion
Φ(t) =
∫ t
0
ϕ(s)ds
se dice que es una N-funcion o funcion de Orlicz si ϕ(t) satisface las sigu-
ientes propiedades
i) ϕ(0) = 0
ii) ϕ(t) > 0 para t > 0
iii) limt→∞ ϕ(t) = ∞
19
Alternativamente, una funcion Φ se denomina N−funcion si y solo si es continua,
par y convexa y satisface lo siguiente
a. limt→0 (Φ(t)/t) = 0
b. limt→∞ (Φ(t)/t) = ∞
c. Φ(t) > 0 siempre que t > 0
Nota 1.6.1.1 Adoptando la primera de estas definiciones obtenemos que
limt→0
Φ(t)
t= 0 y lim
t→∞
Φ(t)
t= ∞.
En efecto, como Φ es una funcion de Young, de 1.3.1.2, se tiene que Φ(t) ≤ tϕ(t),
t ≥ 0, con lo queΦ(t)
t≤ ϕ(t) para t > 0
con esto, pasando al lımite, sigue que
0 ≤ limt→0
Φ(t)
t≤ lim
t→0ϕ(t) = 0.
Analogamente, como (t/2)ϕ (t/2) ≤ Φ(t), entonces,
1
2ϕ(t
2) ≤ Φ(t)
t
y pasando al lımite, queda que
∞ = limt→∞
1
2ϕ(t
2) ≤ lim
t→∞
Φ(t)
t.
Por otra parte, siendo una funcion de Young, es convexa y continua.
Lema 1.6.2 Si Φ es una N-funcion entonces se tiene que Φ (αt) < αΦ(t) para
todo α ∈ (0, 1) y t > 0.
20
Demostracion:
Notese que si Φ es cualquier funcion convexa definida en [0, t0) , t0 > 0 tal que
Φ(0) = 0,entonces para todo α ∈ (0, 1), tenemos
Φ (αt+ (1− α)0) ≤ αΦ(t), t > 0
Supongamos que para algun α0 ∈ (0, 1) y t0 > 0 tales que Φ (α0t0) = α0Φ (t0) .
Definamos la funcion
F (α) = Φ(αu+ (1− α)v)− αΦ(u)− (1− α)Φ(v)
para u = t0 y v = 0, entonces
F (α) = Φ(αt0)− αΦ(t0);
conocemos por el lema ?? que esta funcion es convexa, ademas F0) = F (1) = 0.
Debe tenerse entonces que F (α) = 0 para todo α ∈ (0, 1), esto es, Φ(αt0) = αΦ(t0),
para todo α ∈ (0, 1). De aquı deducimos que
0 = limt→0
Φ(t)
t= lim
α→0
Φ(αt0)
αt0= lim
α→0
αΦ(t0)
αt0=
Φ(t0)
t0> 0;
lo cual es una contradiccion.
Lema 1.6.3 Si Φ es una N-funcion entonces la funcion g(t) = Φ(t)/t es una
funcion creciente.
Demostracion:
Usaremos el resultado mostrado en el lema 1.6.2. Sea t1 < t2. Entonces
Φ (t1) = Φ
(t1t2t2
)≤ t1t2
Φ(t2)
21
ası, queda queΦ (t1)
t1≤ Φ (t2)
t2,
con lo que la funcion g(t) = Φ(t)/t es una funcion creciente.
No es muy dificil ver que la composicion de dos N−funciones es una N−funcion.
Proposicion 1.6.4 La composicion de dos N − funciones es una N − funcion.
Demostracion:
En efecto, sean Φ1 y Φ2 dos N−funciones. Entonces, Φ1 es una funcion continua,
convexa y par, tal que
a. limt→0 (Φ1(t)/t) = 0
b. limt→∞ (Φ1(t)/t) = ∞
c. Φ1(t) > 0 siempre que t > 0
y tambien tenemos que Φ2 es una funcion continua, convexa y par, tal que
a.′ limt→0 (Φ2(t)/t) = 0
b.′ limt→∞ (Φ2(t)/t) = ∞
c.′ Φ2(t) > 0 siempre que t > 0.
Definamos la funcion Φ = Φ1 Φ2, por medio de
Φ(t) = Φ1 (Φ2(t)) , para t ≥ 0.
22
Entonces, de c y c′, obtenemos que Φ(t) = Φ1 (Φ2(t)) , para t > 0. Ahora, de a′ y
del hecho Φ2(t) → 0 cuando t→ 0, obtenemos
limt→0
Φ(t)
t= lim
t→0
Φ1 (Φ2(t))
t
= limt→0
Φ1 (Φ2(t))
t· Φ2(t)
Φ2(t)
= limt→0
Φ1 (Φ2(t))
Φ2(t)· Φ2(t)
t= 0.
Con un analogo razonamiento, obtenemos que
limt→∞
Φ(t)
t= ∞.
Probaremos ahora el recıproco de la proposicion anterior.
Proposicion 1.6.5 Toda N − funcion es la composicion de dos N − funciones.
Demostracion:
Sea Φ una N−funcion. Entonces existe una funcion ϕ no negativa, definida sobre
[0,∞) , creciente y continua por la derecha, tal que
Φ(t) =
∫ t
0
ϕ(s)ds
y tal que cumple con las tres condiciones establecidas en 1.6.1. Sea ϕ1 la funcion
definida por medio de
ϕ1(s) = (ϕ(s))p para algun p ∈ (0, 1) .
23
Esta funcion satisface lo siguiente
1. ϕ1 es no negativa, y ϕ1(0) = 0
2. ϕ1 es no decreciente
3. ϕ1 es continua por la derecha
4. limt→∞ ϕ1(t) = limt→∞ (ϕ(s))p = ∞
Luego, la funcion Φ1 definida por medio de
Φ1(t) =
∫ t
0
ϕ1(s)ds =
∫ t
0
(ϕ(s))p ds
es una N − funcion. Ahora, definamos la fiuncion ϕ2 por medio de
ϕ2 (t) =ϕ(Φ−1
1 (t))
ϕ1
(Φ−1
1 (t)) .
Esta funcion es creciente, no negativa, tiende a cero cuando t → 0 y a infinito
cuando t→∞. Definimos entonces la funcion Φ2 por medio de
Φ2(t) =
∫ t
0
ϕ2(s)ds.
Ahora, notese que
Φ2(t) =(Φ Φ−1
)(t)
Comparacion entre N-Funciones.
Pretendemos establecer condiciones para estudiar la equivalencia entre N-funciones.
24
Proposicion 1.6.6 Supongamos que Φ1,Φ2 son N − funciones con funciones
complementarias Ψ1,Ψ2, respectivamente. Supongamos que Φ1(x) ≤ Φ2(x) para
x ≥ x0, para algun x0 > 0. Entonces Ψ2(y) ≥ Ψ1(y) para y ≥ y0, donde y0 =
ϕ2(x0), y ϕ2 = Φ′2+.
Demostracion:
Sean ϕ1, ϕ2,ψ1y ψ2 las derivadas derechas de las funciones Φ1,Φ2,Ψ1,Ψ2, respec-
tivamente. Recordemos que ψ1 es la inversa derecha de ϕ1, y que a su vez ψ2 es
la inversa derecha de ϕ2. En consecuencia, si y0 = ϕ2(x0) entonces ψ2(y0) = x0.
Entonces, ψ2(y) > x0 siempre que y > y0. Notese que, usando el caso de igualdad,
en 1.4.2, tenemos que
yψ2(y) = Ψ2(y) + Φ2(ψ2(y)).
Ahora, usando la desigualdad,
yψ2(y) = Ψ1(y) + Φ1(ψ2(y)).
Tenemos entonces que
Ψ2(y) + Φ2(ψ2(y)) ≤ Ψ1(y) + Φ1(ψ2(y)).
Por hipotesis, tenemos que Φ1(ψ2(y)) ≤ Φ2(ψ2(y)), en consecuencia,
Φ2(ψ2(y))− Φ1(ψ2(y)) ≥ 0
y de aquı que
Ψ2(y) + Φ2(ψ2(y))− Φ1(ψ2(y)) ≤ Ψ1(y)
de lo cual se deduce que
Ψ2(y) ≤ Ψ1(y), si y ≥ y0.
25
1.7 Equivalencia entre N-Funciones.
Definicion 1.7.1 Sean Φ1,Φ2 dos N-funciones. Escribiremos Φ1 ≺ Φ2 si existe
una constante k1 tal que Φ1(x) ≤ Φ2(kx) para grandes valores de x. Si Φ1 ≺ Φ2 y
Φ2 ≺ Φ1 entonces decimos que Φ1,Φ2 son equivalentes y escribimos Φ1 ∼ Φ2.
Definicion 1.7.2 Las N−funciones Φ1,Φ2 son δ−equivalentes si existen con-
stantes K1,K2,k1, k2, t0 tales que
K1Φ1(k1t) ≤ Φ2(t) ≤ K2Φ1(k2t), para 0 ≤ t ≤ t0. (1.7.1)
Si esta desigualdad se cumple para todo t > t0, entonces se dice que las funciones
son ∆−equivalentes, y si se cumple para todo t > 0 se dice que son equivalentes
.
Generalizando la proposicion 1.6.6, decimos que si Φ1 ≺ Φ2 entonces Ψ2 ≺ Ψ1,
donde Ψ1 y Ψ2 son las funciones complementarias de Φ1 y Φ2.
Teorema. 1.7.3 Toda N-funcion es equivalente a una N-funcion cuya derivada
es continua y estrictamente creciente.
Demostracion:
26
Sea Φ una N−funcion. Entonces Φ se escribe como
Φ(t) =
∫ t
0
ϕ(s)ds.
Luego, la funcion Φ(t)/t es continua y estrictamente creciente. Ahora, de la de-
sigualdad 1.3.1.2 se obtiene que
1
2ϕ
(t
2
)≤ Φ(t)
t≤ ϕ(t)
e integrando obtenemos
1
2
∫ t
0
ϕ(s
2
)ds ≤
∫ t
0
Φ(s)
sds ≤
∫ t
0
ϕ (s) ds
es decir,
Φ(t/2) ≤∫ t
0
Φ(s)
sds ≤ Φ(t);
esto es, la N-funcion
F (t) =
∫ t
0
Φ(s)
sds
es equivalente a Φ y tiene las propiedades deseadas.
Definicion 1.7.4 A una funcion convexa Q se le llama parte principal de una
N − funcion Φ si Φ(x) = Q(x) para grandes valores de x.
Condiciones de crecimiento de las N funciones
Existen varias clases de N − funciones, dependiendo de ciertas condiciones rela-
cionadas con el crecimiento de las mismas.
27
Definicion 1.7.5 Sea Φ una N − funcion y sea Ψ su funcion complementaria.
Se dice que Φ satisface una condicion ∆2 si
lim supx→∞
Φ(2x)
Φ(x)<∞,
esto es, existe una constante K > 0 tal que Φ(2x) ≤ Φ(x) para grandes valores de
x. Si Ψ satisface una condicion ∆2 entonces decimos que Φ satisface una condicion
∇2.
Definicion 1.7.6 Sea Φ una N − funcion y sea Ψ su funcion complementaria.
Decimos que Φ satisface una condicion ∆′ si existe una constante K > 0 tal que
Φ(xy) ≤ KΦ(x)Φ(y) para grandes valores de x y y. Si Ψ satisface una condicion
∆′ entonces decimos que Φ satisface una condicion ∇′.
Definicion 1.7.7 Sea Φ una N − funcion y sea Ψ su funcion complementaria.
Decimos que Φ satisface una condicion ∆3 si existe una constante K > 0 tal
que xΦ(x) ≤ Φ(Kx) para grandes valores de x. Si Ψ satisface una condicion ∆3
entonces decimos que Φ satisface una condicion ∇3.
Definicion 1.7.8 Sea Φ una N − funcion y sea Ψ su funcion complementaria.
Decimos que Φ satisface una condicion ∆2 si existe una constante K > 0 tal que
(Φ(x))2 ≤ Φ(Kx) para grandes valores de x. Si Ψ satisface una condicion ∆2
entonces decimos que Φ satisface una condicion ∇2.
28
Capıtulo 2
Espacios de Orlicz.
2.1 Nociones Generales respecto a Espacios de
Orlicz
Definicion 2.1.1 Sea Φ una funcion de Young. La clase de Orlicz P (Φ) con-
siste de todas las funciones medibles f sobre el intervalo [0, a] para las cuales el
funcional
MΦ(f) =
∫ a
0
Φ (|f(x)|) dx <∞.
Proposicion 2.1.2 Sea Φ una funcion de Young. Entonces la clase de Orlicz
P (Φ) es un subespacio lineal de la clase de funciones de valor escalar medibles
sobre [0, a] que son finitas casi en todas partes, M0 ([0, a]) , si y solo si Φ satisface
una condicion ∆2.
29
Demostracion:
Sea M0 ([0, a]) el conjunto de funciones de valor real, finitas casi en todas partes,
medibles y definidas sobre el intervalo [0, a] . Primero, supongamos que Φ es una
funcion de Young, la cual satisface una condicion ∆2. Probaremos que P (Φ) es un
subespacio lineal de M0 ([0, a]) . Existen entonces constantes s0 > 0 y c > 0 tales
que
Φ(2s) ≤ cΦ(s) para s ≥ s0.
Afirmamos la siguiente implicacion
f ∈ P (Φ) ⇒ 2f ∈ P (Φ).
En efecto, sea E = x : |f(x)| > s0 y F = Ec. Entonces,∫ a
0
Φ (|2f(x)|) dx =
∫E
Φ (2 |f(x)|) dx+
∫F
Φ (2 |f(x)|) dx
≤∫
E
cΦ (|f(x)|) dx+
∫F
cΦ(s0)dx
≤ c
[∫ a
0
Φ (|f(x)|) dx+ Φ(s0)
∫ a
0
dx
]= c
[∫ a
0
Φ (|f(x)|) dx+ aΦ(s0)
]<∞.
Con este resultado probaremos que αf ∈ P (Φ) para cualquier α ∈ R. Sea n un
entero tal que |α| ≤ 2n. Entonces,∫ a
0
Φ (|αf(x)|) dx =
∫ a
0
Φ (|α| |f(x)|) dx
≤∫ a
0
Φ (2n |f(x)|) dx <∞
dado que por recursividad, si f ∈ P (Φ) entonces 2nf ∈ P (Φ).
30
Pasamos a probar que si f, g ∈ P (Φ) entonces (f + g) ∈ P (Φ). Veamos que,
usando la convexidad de Φ, tenemos∫ a
0
Φ (|f(x) + g(x)|) dx ≤∫ a
0
Φ (|f(x)|+ |g(x)|) dx
=
∫ a
0
Φ
(1
2|2f(x)|+ 1
2|2g(x)|
)dx
≤ 1
2
∫ a
0
Φ (|2f(x)|) dx+1
2
∫ a
0
Φ (|2g(x)|) dx <∞.
Es claro que f = 0 es una funcion en P (Φ). Con esto ultimo hemos probado que
P (Φ) es un subespacio lineal de M0 ([0, a]) .
Ahora, supongamos que P (Φ) es un subespacio lineal deM0 ([0, a]), probaremos
que Φ satisface una condicion ∆2. Lo haremos por reduccion al absurdo. Supong-
amos que Φ no satisface una condicion ∆2. Entonces existe una sucesion sn ↑ ∞
tal que
Φ(2sn) > 2nΦ(sn) > 0, n = 1, 2, 3, ...
Escojamos conjuntos disjuntos de [0, a] con medidas
µ(En) = tn =aΦ(s1)
2nΦ(sn).
Esto es posible porque
tn ≤ 2−na y ası∑
tn ≤ a.
Definamos la funcion
f(x) =∞∑
n=1
snχEn(x), 0 ≤ x ≤ a.
31
Esta funcion f ∈ P (Φ). En efecto,∫ a
0
Φ (|f(x)|) dx =
∫ a
0
Φ
(∣∣∣∣∣∞∑
n=1
snχEn(x)
∣∣∣∣∣)dx
=∞∑
n=1
∫En
Φ (|sn|) dx
=∞∑
n=1
Φ (|sn|)aΦ(s1)
2nΦ(sn)
= aΦ(s1)∞∑
n=1
1
2n= aΦ(s1) <∞.
Pero la funcion 2f /∈ P (Φ). Veamos,∫ a
0
Φ (|2f(x)|) dx =∞∑
n=1
Φ (2 |sn|) tn ≥ a∞∑
n=1
Φ (|sn|) = ∞,
contradiciendo que P (Φ) es un espacio lineal.
Aunque la clase de Orlicz puede no ser un espacio lineal, siempre es un conjunto
convexo que contiene el orıgen. Para generar un espacio lineal a partir de este,
con una topologıa de la norma, es usual asociarle como norma al funcional de
Minkowski.
Definicion 2.1.3 Si Φ es una funcion de Young, la norma ‖·‖Φ esta definida por
medio de
‖f‖Φ = inf
k : MΦ
(f
k
)≤ 1
Ya que Φ es continua por la izquierda, por el teorema de la convergencia
monotona, sigue que el ınfimo en la definicion anterior se alcanza, si es positi-
32
vo en otras palabras
‖f‖Φ = min
k : MΦ
(f
k
)≤ 1
, si ‖f‖Φ > 0.
En efecto, por la caracterizacion de definicion de ınfimo, tenemos que para cada
ε > 0 existe kε tal que
‖f‖Φ ≤ kε ≤ ‖f‖Φ + ε,
luego, existe una sucesion kn∞n=1, decreciente, que converge a ‖f‖Φ . Con lo cual
la sucesion f(x)/kn∞n=1 es una sucesion creciente que converge a f(x)/ ‖f‖Φ . Ası,
tenemos que
limn→∞
f(x)/kn = f(x)/ ‖f‖Φ , para cada x.
De la continuidad por la izquierda de Φ, obtenemos que
limn→∞
Φ
(f(x)
kn
)= Φ
(f(x)
‖f‖Φ
), para cada x,
en forma creciente. Esto puede reescribirse, definiendo las funciones hn, positivas,
por medio de
hn(x) = Φ
(f(x)
kn
),
de tal manera que hn∞n=1 es una sucesion creciente que converge a h = Φ (f/ ‖f‖Φ)
puntualmente. En consecuencia, usando el Teorema de la convergencia monotona,
tenemos ∫ a
0
Φ
(f(x)
‖f‖Φ
)dx = lim
n→∞
∫ a
0
Φ
(f(x)
kn
)dx ≤ 1,
quedando probado ası que
‖f‖Φ ∈k : MΦ
(f
k
)≤ 1
.
33
Los siguientes resultados seran necesarios para probar que la clase de Orlicz con
la norma ‖·‖Φ asociada es un espacio de Banach.
Lema 2.1.4 Si Φ es una funcion de Young entonces
f = 0 a.e si y solo si MΦ(kf) ≤ 1 para todo k > 0.
Demostracion:
Supongamos que f = 0 a.e. Sea k > 0, entonces∫ a
0
Φ (|kf(x)|) dx =
∫A
Φ (k |f(x)|) dx+
∫B
Φ (k |f(x)|) dx,
donde A = x : f(x) = 0 y B = x : f(x) 6= 0, de lo cual se deduce que∫A
Φ (|kf(x)|) dx =
∫A
Φ (0) dx = 0,
y que ∫B
Φ (k |f(x)|) dx = 0,
ya que la medida de B es cero. Luego,∫ a
0
Φ (|kf(x)|) dx = 0 ≤ 1;
como k fue escogido arbitrariamente, se tiene entonces la implicacion buscada.
Supongamos ahora que para todo k > 0 se tiene que∫ a
0
Φ (|kf(x)|) dx ≤ 1,
pero que para algun ε > 0 se tiene que |f(x)| > ε para todo x en algun conjunto
C de medida positiva. Entonces,∫ a
0
Φ (|kf(x)|) dx ≥∫
C
Φ (|kf(x)|) dx ≥ Φ(kε)µ(C)
34
como Φ(s) →∞ en la medida que s→∞, entonces,
limk→∞
∫ a
0
Φ (|kf(x)|) dx ≥ µ(C) limk→∞
Φ(kε) = ∞
contradiciendo la hipotesis. En consecuencia, f = 0 a.e.
Lema 2.1.5 Si Φ es una funcion de Young entonces
‖|f |‖Φ ≤ 1 ⇒MΦ(|f |) ≤ ‖|f |‖Φ
y
‖|f |‖Φ > 1 ⇒ ‖|f |‖Φ ≤MΦ(|f |).
Consecuentemente,
‖|f |‖Φ ≤ 1 ⇔MΦ(|f |) ≤ 1.
Demostracion:
Es suficiente probar para f ≥ 0. Supongamos que ‖f‖Φ ≤ 1. Si ‖f‖Φ = 0 entonces
de la definicion 2.1.3 se tiene que MΦ(f) ≤ 1 para todo k > 0, y por el lema 2.1.4
que f = 0 a.e, en consecuencia, MΦ(|f |) = 0. Ahora, supongamos que ‖f‖Φ < 1.
Siendo positivo, existe un k0 > 0 tal que ‖f‖Φ = k0 y MΦ(f/k0) ≤ 1. Como
k−10 > 1 y Φ(s)/s es una funcion creciente, tenemos que k−1
0 Φ(s) ≤ Φ(s/k0). En
consecuencia, k−10 MΦ(f) ≤ MΦ(f/k0) ≤ 1, y de aqui que MΦ(f) ≤ ‖f‖Φ .
Ahora, supongamos que ‖f‖Φ > 1.Para cada γ tal que 1 < γ < ‖f‖Φ , sigue
de la definicion 2.1.3 MΦ(f/γ) > 1. Dado que la funcion Φ(s)/s es una funcion
creciente, se tiene que γΦ(s/γ) ≤ Φ(s) y ası, 1 < MΦ(f/γ) ≤ MΦ(f)/γ, con lo
35
que MΦ(f) > γ y a causa de la naturaleza arbitraria de γ < ‖f‖Φ , tenemos que
‖f‖Φ ≤MΦ(f).
En consecuencia, si‖f‖Φ ≤ 1 entonces MΦ(f) ≤ ‖f‖Φ ≤ 1, y recıprocamente,
si MΦ(f) ≤ 1, entonces para k = 1,se tiene que ‖f‖Φ ≤ k = 1.
Teorema 1 Si Φ es una funcion de Orlicz entonces ‖·‖Φ cumple con las siguientes
propiedades
a) ‖f‖Φ = 0 ⇔ f = 0 µ a.e.; ‖af‖Φ = a ‖f‖Φ ;
‖(f + g)‖Φ ≤ ‖f‖Φ + ‖g‖Φ
b) 0 ≤ g ≤ f µ a.e. ⇒ ‖g‖Φ ≤ ‖f‖Φ
c) 0 ≤ fn ↑ f µ a.e. ⇒ ‖fn‖Φ ↑ ‖f‖Φ
d) µ(E) <∞⇒ ‖χE‖Φ <∞
e) µ(E) <∞⇒∫
Efdµ ≤ CEχE
para alguna constante 0 < CE <∞, dependiente de E pero no de f.
Demostracion:
Que χE = 0 ⇔ f = 0 µ a.e. sigue del lema 2.1.5 y de la definicion 2.1.3.
Probaremos la homogeneidad. Sea a una constante. Entonces
‖af‖Φ = infk−1 : MΦ(kaf) ≤ 1
= inf
k−1 : MΦ((ka)f) ≤ 1
= inf
u−1a : MΦ((uf) ≤ 1
, haciedo u = ka
= a infu−1 : MΦ((uf) ≤ 1
= a ‖f‖Φ
36
Probaremos la desigualdad triangular. Sean f y g dos funciones no nulas con
γ = ‖f‖Φ + ‖g‖Φ <∞. Sea α = ‖f‖Φ /γ y β = ‖g‖Φ /γ, de esta manera α, β > 0
y α+ β = 1. De la definicion 2.1.3, se tiene que
MΦ
(f
‖f‖Φ
)≤ 1 y MΦ
(g
‖g‖Φ
)≤ 1;
y en particular,
Φ
(f
‖f‖Φ
)y Φ
(g
‖g‖Φ
)son finitas casi en todas partes. Como Φ es convexa en el intervalo donde esta es
finita, tenemos
MΦ
(f + g
γ
)= MΦ
(f
γ+g
γ
)= MΦ
(αf
αγ+βg
βγ
)= MΦ
(αf
‖f‖Φ
+βg
‖g‖Φ
)≤ αMΦ
(f
‖f‖Φ
)+ βMΦ
(g
‖g‖Φ
)≤ α+ β = 1
entonces, de la definicion 2.1.3, tenemos que
‖f + g‖Φ ≤ γ ≤ ‖f‖Φ + ‖g‖Φ
que es la desigualdad buscada. Con esto queda probado la parte a) del enunciado
del teorema. Pasaremos a probar b).
Sean f y g funciones medibles tales que 0 ≤ g ≤ f a.e., y supongamos que
0 < ‖f‖Φ <∞. Entonces,
MΦ
(g
‖f‖Φ
)≤MΦ
(f
‖f‖Φ
)≤ 1,
37
entonces por la definicion 2.1.3 queda que
‖g‖Φ ≤ ‖f‖Φ ,
esto es lo que quierıamos demostrar. Probaremos c).
Sea fn una sucesion tal que 0 ≤ fn ↑ f a.e. Entonces, por la propiedad b)
tenemos que la sucesion‖fn‖Φ∞n=1
es creciente. Sea αn = ‖fn‖Φ y sea α = supαn.
Como ‖f‖Φ ≥ αn para todo n, entonces‖f‖Φ ≥ α. Queremos mostrar la igualdad.
Esta igualdad es clara para α = 0 y para α = ∞. Supongamos entonces que
0 < αn ≤ α <∞. En este caso, tenemos
MΦ
(fn
α
)≤MΦ
(fn
αn
)≤ 1
con la ayuda del Teorema de la Convergencia Monotona obtenemos que la cantidad
del lado izquierdo converge a MΦ (f/α) . Luego,
MΦ
(f
α
)≤ 1
y por la definicion 2.1.3, sigue que ‖f‖Φ ≤ α. De esta forma queda establecida la
igualdad ‖f‖Φ = α = sup ‖fn‖Φ , de aquı que
‖fn‖Φ ↑ ‖f‖Φ .
Probaremos d). Aquı se requiere probar que ‖χE‖Φ < ∞ para cualquier sub-
conjunto medible del intervalo [0, a] . Supongamos que la medida de uno de estos
conjuntos, E, sea b, es decir, µ(E) = b. Ademas, b > 0. Por hipotesis Φ es una fun-
cion de Orlicz, con lo que Φ no es identicamente cero en (0,∞) y es continua sobre
el intervalo donde esta es finita. Como Φ(0) = 0, sigue que existe un numerok > 0
tal que Φ(k) ≤ 1/b. Entonces,
MΦ (kχE) =
∫ a
0
Φ (kχE) dµ =
∫E
Φ(k)dµ = bΦ(k) ≤ 1,
38
por la definicion de la norma, obtenemos entonces que
‖χE‖Φ ≤1
k<∞.
Probaremos e). Sea E un subconjunto de [0, a] con medida b > 0. Consideremos
una funcion f ≥ 0 medible con 0 < ‖f‖Φ < ∞. Con k = 1/ ‖f‖Φ la desigualdad
de Jensen, dada por 1.2.5, nos da
Φ
(1
b
∫E
kf(x)dµ
)≤ 1
b
∫E
Φ (kf(x)) dµ ≤ 1
bMΦ(kf) ≤ 1
b.
Entonces, como Φ es creciente al infinito, existe una constante c que depende de
Φ y de b tal que1
b
∫E
kf(x)dµ ≤ c,
esto es ∫E
f(x)dµ ≤ cb
k= cb ‖f‖Φ <∞
que es lo que se querıa probar.
Lema 2.1.6 Sea Φ una funcion de Orlicz. Supongamos que fn∞n=1 ⊂ P (Φ).
Entonces
i) Si 0 ≤ fn ↑ f µ a.e., entonces
o f /∈ P (Φ) y ‖fn‖Φ ↑ ∞, o f ∈ P (Φ) y ‖fn‖Φ ↑ ‖f‖Φ
ii) (lema de Fatou) Si fn → f µ a.e., y si lim infn→∞‖fn‖Φ <∞, entonces
f ∈ P (Φ) y ‖f‖Φ ≤ lim infn→∞ ‖fn‖Φ
Demostracion:
39
La primera afirmacion es una consecuencia de la propiedad de Fatou (c, teorema
??). Para probar ii) hagamos hn(x) = infm≥n |fm(x)| tal que 0 ≤ hn ↑ |f | µ−a.e.
Por la propiedad b) y c) en el teorema 1, obtenemos que
‖f‖Φ = limn→∞
‖hn‖Φ ≤ limn→∞
(infm≥n
‖|fm(x)|‖Φ
)= lim inf
n→∞‖fn‖Φ .
Pero f es medible, puesto que es el lımite de una sucesion de funciones medibles,
entonces f ∈ P (Φ)
Estableceremos el siguiente resultado para luego probar que el espacio (P (Φ), ‖·‖Φ)
es un espacio de Banach.
Teorema 2 Supongamos que fn∞n=1 ⊂ P (Φ) y que
∞∑n=1
‖fn‖Φ <∞.
Entonces∑fn converge en P (Φ) a alguna funcion f ∈ P (Φ) y
‖f‖Φ ≤∞∑
n=1
‖fn‖Φ .
Demostracion:
Sean t =∑∞
n=1 |fn| , tN =∑N
n=1 |fn| , (N = 1, 2, 3, ..), de esta manera tenemos que
0 ≤ tN ↑ t. Como
‖tN‖Φ ≤N∑
n=1
‖fn‖Φ ≤∞∑
n=1
‖fn‖Φ ,
entonces, de la convergencia absoluta de la serie y de la parte i) del lema 2.1.6,
sigue que t ∈ P (Φ). La serie∑∞
n=1 |fn(x)| converge puntualmente µ − a.e. y en
40
consecuencia∑∞
n=1 fn(x) tambien. Ası, si definimos
f =∞∑
n=1
fn y sN =N∑
n=1
fn, N = 1, 2, 3, ...
entonces tenemos que sN → f µ− a.e. Ademas, para cualquier entero positivo M
se tiene que
(sN − sM) → (f − sM)
cuando N →∞. De aquı, tambien vemos que
lim infN→∞
‖sN − sM‖Φ ≤ lim infN→∞
N∑n=M+1
‖fn‖Φ =∞∑
n=M+1
‖fn‖Φ ,
y que al tomar lımite cuando M → ∞, este resultado es cero, ya que la serie
converge absolutamente, como hemos supuesto. Entonces por la parte ii) del lema
2.1.6, (lema de Fatou), sigue que f − sM ∈ P (Φ), y en consecuencia, f, y ademas,
‖f − sM‖Φ → 0 en la medida que M →∞. Pero entonces, para cada M, tenemos
que
‖f‖Φ ≤ ‖f − sM‖Φ + ‖sM‖Φ ≤ ‖f − sM‖Φ +M∑
n=1
‖fn‖Φ ,
ası, haciendo que M →∞ obtenemos que
‖f‖Φ ≤∞∑
n=1
‖fn‖Φ .
Con este ultimo resultado, y usando la propiedad de Riesz Fischer, establecida
en el teorema A.1.3 del Apendice A, establecemos que el espacio P (Φ) dotado de
la norma ‖·‖Φ, es un espacio normado completo, es decir, un espacio de Banach.
41
2.2 Espacios de Sucesiones de Orlicz.
Definicion 2.2.0 Al espacio vectorial de todas las sucesiones x = (a1, a2, ....) tales
que∞∑
n=1
Φ
(|an|ρ
)<∞
para algun ρ > 0, se le llama espacio de sucesiones de Orlicz y se denota con
`Φ. El espacio de sucesiones x tales que para todo ρ > 0 se tiene que
∞∑n=1
Φ
(|an|ρ
)<∞
es denotado por hΦ.
El espacio `Φ se convierte en un espacio de Banach estableciendo la norma
‖x‖`Φ= inf
ρ > 0 :
∞∑n=1
Φ
(|an|ρ
)≤ 1
Es claro que hΦ ⊂ `Φ.
Proposicion 2.2.1 El espacio hΦ es un subespacio cerrado de `Φ y la sucesion de
vectores en∞n=1 forman una base simetrica para este espacio.
Demostracion:
Es claro que los vectores unitarios forman una sucesion basica simetrica en `Φ. Ası
pues, las dos afirmaciones de la proposicion seran probadas si demostramos que
42
hΦ coincide con span en o [en]∞n=1 . Un ele-mento x = (a1, a2, ....) ∈ [en]∞n=1 si y
solo si para todo ρ > 0, existe un entero N = N(ρ) tal que
∞∑n=N
Φ
(|an|ρ
)≤ ρ
es decir, si y solo si∞∑
n=N
Φ
(|an|ρ
)≤ 1.
En general, `Φ y hΦ son distintos. Para dar condiciones bajo las cuales `Φ=hΦ,
necesitamos la siguiente definicion.
2.3 Igualdad entre `Φ y hΦ.
Definicion 2.3.0 Condicion ∆2.Se dice que una funcion de Orlicz Φ satisface
una condicion ∆2 en cero si
lim supt→∞
Φ(2t)
Φ(t)<∞
Facilmente se puede chequear que la condicion ∆2 en cero implica que la funcion
Φ satisface la condicion ∆Q en cero, con Q ∈ Z+, es decir,
lim supt→∞
Φ(Qt)
Φ(t)<∞.
La importancia de la condicion ∆2 la encontramos al probar que esta es una
condicion necesaria y suficiente para que `Φ = hΦ.
43
Proposicion 2.3.1 Para una funcion de Orlicz Φ, las siguientes condiciones son
equivalentes:
i) Φ satisface una condicion ∆2
ii) `Φ = hΦ
iii) Los vectores unitarios forman una base simetrica
acotadamente completa.
iv) `Φ es separable
v) `Φ no contiene subespacios isomorfos a `∞
Demostracion:
El hecho que la convergencia de una serie
∞∑n=N
Φ
(|an|ρ
)< ρ
implique que la convergencia de la serie
∞∑n=1
Φ
(|an|ρ
)< ε
sigue facilmente de la condicion ∆Q en cero, con Q = ρ/ε. Esto prueba la im-
plicacion i ⇒ ii. Para probar ii ⇒ iii usamos la proposicion 1.1.3 y el hecho
que
supn
∥∥∥∥∥n∑
i=1
aiei
∥∥∥∥∥ ≤ 1
para alguna sucesion ai∞i=1, implica que
∞∑n=N
Φ
(|an|ρ
)≤ 1,
44
es decir, x = (a1, a2, ....) ∈ `Φ = h∞ y ası
n∑i=1
aiei
converge. Es obvio que iii ⇒ iv ⇒ v. Supongamos ahora que una funcion de
Orlicz Φ no satisface la condicion ∆2 en cero. Entonces, podemos encontrar una
sucesion tn tal que
Φ(2tn)
Φ(tn)> 2n+1 y Φ(tn) < 2−n.
Sean kn enteros escogidos de manera que
2−(n+1) < kn < 2−n
para todo n. Entonces∞∑
n=1
knΦ(tn) ≤ 1
mientras que knΦ(2tn) > 1. Ası, para cualquier escogencia de escalares an,
tenemos que
2−n supn|an| ≤
∥∥∥(︷ ︸︸ ︷a1, .., an, ..,
︷ ︸︸ ︷antn, .., antn
)∥∥∥ ≤ supn|an|
y, ası pues, v ⇒ i.
Las definiciones de `Φ y hΦ demuestran que, salvo un isomorfismo, lo que realmente
importa es la conducta de Φ en la vecindad de t = 0 : si dos funciones de Orlicz Φ1
y Φ2 consisten de las mismas sucesiones sobre un intervalo 0 ≤ t ≤ t0 y las normas
inducidas por Φ1 y Φ2 son equivalentes. Lo mismo es cierto para hΦ1 y hΦ2 . Aquı
establecemos un resultado mas general.
45
Proposicion 2.3.2 Sean Φ1 y Φ2 dos funciones de Orlicz. Entonces, las sigu-
ientes afirmaciones son equivalentes:
i) `Φ1 = `Φ2 y la aplicacion identidad es un isomorfismo entre ellos
ii) Las bases de vectores unitarios de `Φ1 y `Φ2 son equivalentes
iii) Φ1 y Φ2 son equivalentes en cero, es decir, existen constantes k > 0
y K > 0 y t0 > 0 tales que para todo 0 < t ≤ t0 tenemos
K−1Φ2(k−1t) ≤ Φ1(t) ≤ KΦ2(kt)
La demostracion de esta proposicion es muy simple. La implicacion ii ⇒ iii, es
probada por comparacion de las normas de e1 + ..+ en∞n=1 en `Φ1 y `Φ2 .
Si al menos una de las funciones satisface que la condicion ∆2 en cero, entonces
la equivalencia en cero de Φ1 y Φ2 puede ser expresada en una forma mas simple:
existen constantes K y t0 tal que
K−1 ≤ Φ1(t)/Φ2(t) ≤ K
para todo 0 < t ≤ t0.
Hay muchas instancias donde una funcion de Orlicz Φ esta definida solamente en
una vecindad de cero. En esta situacion la funcion Φ puede ser extendida para
t > t0 ası que esto transforma una funcion de Orlicz sobre la lınea recta positiva.
Por la proposicion anterior los espacios correspondientes `Φ y hΦ seran los mismos,
tratados de la forma en que hemos extendido a Φ. Las normas asociadas a dos
extensiones distintas pueden ser diferentes pero siempre equivalentes.
46
La razon tϕ(t)/Φ(t) esta tambien relacionada a la condicion ∆2. Mas precisamente,
una funcion de Orlicz Φ satisface la condicion ∆2 en cero, si y solo si
lim supt→0
tϕ(t)
Φ(t)<∞.
En efecto, si Φ(2t) ≤ KΦ(t), para alguna constante K y para 0 ≤ t ≤ t0, entonces
tϕ(t) ≤∫ 2t
t
ϕ(s)ds = Φ(2t)− Φ(t) ≤ KΦ(t).
Inversamente, si tϕ(t)/Φ(t) ≤ K1, 0 ≤ t ≤ t0, entonces
lg
(Φ(2t)
Φ(t)
)=
∫ 2t
t
ϕ(s)
Φ(s)ds ≤ K1 lg 2, 0 ≤ t ≤ t0/2,
es decir, Φ(2t) ≤ 2K1Φ(t).
47
Apendice A.
Prerrequisitos.
En el presente capitulo daremos las notaciones, definiciones, teoremas y lemas, que
constituiran los conocimientos basicos para el desarrollo del objetivo principal del
trabajo planteado: Teorema de Dunford-Pettis.
Para tal fin desarrollamos tomando en cuenta tres ramas de la Matematica: Analisis
Funcional, Analisis Real y Topologıa.
Iniciamos con lo que respecta al Analisis Funcional.
A.1 Del Analisis Funcional.
Lo expuesto en esta seccion es tomado del libro de Robert E. Megginson [MR1].
Definicion. A.1.1 Sea X un espacio vectorial. Una norma sobre X es una
aplicacion ‖·‖ definida sobre X tal que cualesquiera par x, y de elementos X, y
48
cualquier escalar α ∈ R, cumplen las siguientes condiciones:
(1) ‖x‖ ≥ 0, y ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0
(2) ‖αx‖ = |α| ‖x‖
(3) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ .
El par (X, ‖·‖) es denominado espacio normado.
Esta norma genera una metrica denominada metrica inducida por la norma
d(x, y) = ‖x− y‖
y la topologıa generada por esta metrica se denomina topologıa fuerte o inducida
por la norma. En consecuencia, al considerar el problema de la convergencia de
sucesiones, haremos referencia a esta topologıa. En particular, consideraremos
espacios donde convergen todas las sucesiones de Cauchy.
Definicion. A.1.2 Un espacio normado en el cual la metrica inducida por su
norma es completa, es decir, en esta metrica convergen todas las sucesiones de
Cauchy, se denomina espacio de Banach.
Es claro entonces que para probar que un espacio normado es un espacio de Banach
es necesario y suficiente que toda sucesion de Cauchy converja en la norma del
espacio. Sin embargo, a continuacio, mostramos un util criterio para determinar
la completitud de un espacio normado.
Teorema. A.1.3 Toda serie absolutamente convergente en un espacio normado
es convergente en el espacio si y solo si el espacio es completo.
49
El concepto de funcional lineal es uno de los objetos matematicos de importancia.
Definicion. A.1.4 A toda aplicacion lineal, definida sobre un espacio normado
con va-lores en R, lo denominamos funcional lineal.
Definicion. A.1.5 El espacio de todos los funcionales lineales acotados definidos
sobre un espacio normado X se le denomina espacio dual de X, y se denota con
X∗. El espacio dual de este espcio, denotado por X∗∗, se le denomina doble dual o
bidual de X.
Otro concepto de importancia es el siguiente.
Definicion. A.1.6 Operador Lineal.
Sean X y Y espacios vectoriales sobre el mismo campo escalar R o C. Una apli-
cacion T de X en Y es denominado operador lineal si para todo x1, x2 ∈ X y
escalares α, β en el campo escalar considerado, se tiene
T (αx1 + βx2) = αT (x1) + βT (x2).
Definicion. A.1.7 Operador lineal acotado.
Un operador lineal de un espacio lineal normado X en un espacio lineal normado
Y se denomina acotado, si existe una constante M positiva tal que
‖T (x) ‖Y ≤M ‖x ‖X , para todo x ∈ X.
50
Notese que si x ∈ X es arbitrario, tenemos T (0) = T (x − x) = T (x) − T (x) = 0,
es decir, T envıa 0 ∈ X a 0 ∈ Y.
El siguiente resultado nos muestra que para un operador lineal entre espacios
lineales normados es equivalente “continuidad” , “acotacion”, “continuidad uni-
forme” , y la “propiedad lipschitziana”.
Proposicion. A.1.8 Caracterizacion de operadores lineales acotados.
Sea T un operador lineal de un espacio normado X en un espacio normado Y .
Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
• (a) T es continuo en 0 ∈ X.
• (b) T es continuo.
• (c) T es uniformemente continuo sobre X.
• (d) T es Lipschitz; esto es, existe una constante 0 < C < ∞ tal que
‖T (x)− T (y) ‖ ≤ C ‖x− y ‖ para todo x, y ∈ X.
• (e) T es acotado.
Los operadores lineales acotados de un espacio lineal normado X en otro Y , for-
man un espacio vectorial denotado por B(X, Y ), donde la suma de vectores y la
multiplicacion por escalar estan definidas por
(T1 + T2)(x) = T1(x) + T2(x), para todo x ∈ X,
y
(αT1(x)) = αT1(x), para todo α ∈ R, x ∈ X.
51
Proposicion. A.1.9 Norma de B(X, Y ).
La aplicacion ‖ · ‖ : B(X, Y ) → R+ definida por medio de
‖T ‖ = supx 6=0
‖T (x) ‖Y
‖x ‖X
,
o equivalentemente,
‖T ‖ = sup‖x ‖X≤1
‖T (x) ‖Y = sup‖x ‖X=1
‖T (x) ‖Y = sup‖x ‖X<1
‖T (x) ‖Y ,
es una norma.
De la anterior proposicion tenemos que (B(X, Y ), ‖ · ‖) es un espacio normado.
Al estudiar la completitud de este espacio, vemos que esta depende de la completi-
tud del espacio normado Y, como lo muestra la siguiente proposicion.
Proposicion. A.1.10 Completitud de B(X, Y ).
B(X, Y ) es un espacio de Banach si y solo si Y es completo.
Una propiedad de interes corresponde a la de aquellos operadores que preservan
la norma.
Definicion. A.1.11 Isometrıas.
Una aplicacion T : X → Y se denomina isometrıa si
‖T (x)− T (y) ‖Y = ‖x− y ‖X , para todo x, y ∈ X.
52
Notese que si T es una isometrıa y si T (x1) = T (x2) entonces T (x1)− T (x2) = 0,
con lo que
0 = ‖T (x1)− T (x2) ‖Y = ‖x1 − x2 ‖X ,
luego x1 = x2, por lo tanto, T es inyectiva.
Claramente toda isometrıa es continua. En el caso en que T sea lineal, basta
probar que ‖T (x) ‖Y = ‖x ‖X para todo x ∈ X. En adelante, se usara el termino
isometrıa para hablar de isometrıa lineal.
Una interesante propiedad es la mostrada en el siguiente resultado debido a Banach
y Mazur.
Proposicion. A.1.12 Toda isometrıa que aplica 0 en 0 es lineal.
A continuacion vemos que la aplicacion inversa de una isometrıa mantiene la
propiedad de preservar las normas.
Proposicion. A.1.13 Invertibilidad de las isometrıas y preservacion de
la propiedad.
Toda isometrıa entre espacios normados, sobreyectiva, es invertible y la inversa es
de nuevo una isometrıa.
Otras definiciones de interes son las siguientes.
Definicion. A.1.14 Isomorfismo.
Una aplicacion lineal sobreyectiva entre espacios normados T : X → Y es un
isomorfismo si T es inyectiva, y tanto T como T−1 son continuas.
53
La anterior definicion nos dice que T es un isomorfismo sobreyectivo si T es un
homeomorfismo lineal. A continuacion veremos una caracterizacion de este tipo
de operadores.
Proposicion. A.1.15 Caracterizacion de Isomorfismos.
T : X → Y es un isomorfismo si y solo si T es sobreyectivo y existen constantes
0 < c,C <∞ tales que
c ‖x ‖X ≤ ‖T (x) ‖Y ≤ C ‖x ‖X , para todo x ∈ X.
Uno de los teoremas cuya aplicacion ha sido significativa en el Analisis funcional
es el Teorema de la Aplicacion Abierta. Antes veamos la siguiente definicion.
Definicion. A.1.16 Operador lineal cerrado.
Sean X y Y espacios normados, y T : D → Y un operador lineal, donde D
es un subespacio de X. el operador T se denomina cerrado si su grafo, GT =
(x, T (x)) : x ∈ D es un subespacio cerrado de X × Y. Equivalentemente, T es
cerrado si y solamente si se tiene la siguiente condicion:
si xn ∈ D, xn → x ∈ X, y T (xn) → y entonces x ∈ D y y = T (x).
con esta definicion en mano, presentamos los siguientes resultados, mostrados en
[MR1, p. 43-47].
Daremos un criterio para decidir cuando un operador lineal acotado es cerrado,
y en forma inversa, cuando un operador cerrado es continuo. Encontramos una
primera relacion en el siguiente resultado.
54
Proposicion. A.1.17 Caracterizacion de operadores lineales cerrados.
Sea T : D → Y, donde D ⊂ X, un operador lineal continuo. Entonces, si D es
un subespacio cerrado de X, tenemos que T es cerrado. Recıprocamente, si Y es
completo y T es cerrado, entonces D es un subespacio cerrado de X.
Teorema. A.1.18 Teorema de la aplicacion abierta.
Sea X un espacio de Banach y Y un espacio normado de segunda categorıa. Si
T es un operador lineal cerrado de un subespacio cerrado de X sobre Y , entonces
T es una aplicacion abierta, es decir, la imagen bajo T de conjuntos abiertos es
abierto.
Una consecuencia del teorema de la aplicacion abierta es que todo operador lineal
biyectivo, acotado, definido sobre un espacio de Banach es un isomorfismo, en
efecto, sea X un espacio de Banach y Y un espacio normado de segunda categorıa,
y T : X → Y un operador lineal acotado y biyectivo. Como X es completo,
entonces X es cerrado. En consecuencia, por la proposicion A.1.17, tenemos que
T es un operador lineal cerrado. Entonces por el teorema A.1.18 tenemos que T
es una aplicacion abierta. De esta forma, por la continuidad de T, tenemos que
la imagen inversa de cualquier abierto es un conjunto abierto, y del hecho que
T es una aplicacion abierta, la imagen de cualquier abierto es un abierto; pero
esto ultimo nos dice que la imagen, bajo T−1, de cualquier conjunto abierto es un
conjunto abierto, es decir, T−1 es continuo. Por lo tanto T es un homeomorfismo
lineal, es decir, un isomorfismo.
Teorema. A.1.19 Teorema del Grafo Cerrado
55
Sea T un operador lineal de un espacio de Banach X en un espacio de Banach
Y . Supongamos que siempre que una sucesion xn ∞n=1 en X converge a algun
x ∈ X, y T (xn) ∞n=1 converge a algun y ∈ Y , se tiene que y = T (x). Entonces
T es acotado.
A.2 Del Analisis Real.
De esta importante rama de la Matematica extraemos algunos conceptos funda-
mentales en la Teorıa de la Medida y de la integracion de Lebesgue. Todo lo aquı
expuesto se encuentra en el libro de Hewitt-Stromberg [HS1].
Definicion. A.2.1 Sea Ω un conjunto y Σ una σ−algebra de conjuntos de X.
Una funcion de conjunto µ definida sobre Σ es denominada medida finitamente
aditiva si
i) 0 ≤ µ(A) ≤ ∞ para todo A ∈ Σ
ii) µ(∅) = 0
iii) µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B) si A,B ∈ Σ y A ∩B = ∅.
Definicion. A.2.2 Una medida finitamente aditiva µ tal que
µ
(∞⋃
n=1
An
)=
∞∑n=1
µ(An)
para toda coleccion de conjuntos disjuntos dos a dos An∞n=1 , donde An ∈ Σ,se
deno-minada medida numerablemente aditiva o simplemente medida.
56
Definicion. A.2.3 La tripleta (Ω,Σ, µ) , donde Σ es una σ−algebra y µ es una
medida numerablemte aditiva, se le denomina espacio de medida.
En particular nosotros estaremos interesados en espacios de medida finita, es decir,
aquellos espacios para los cuales µ(Ω) < ∞. Estas medidas, generalmente tienen
valores en R+, y en particular sobre el intervalo [0, 1] .
Es posible encontrar tambien medidas que poseen valores en los reales extendidos,
y mas ampliamente en los numeros complejos.
Definicion. A.2.4 Sea X un conjunto y Σ una σ−algebra de conjuntos de Ω.
Una funcion de valor real extendido ν definida sobre Σ con valores en los reales
extendidos se denomina medida signada si cumple con
i) ν(∅) = 0
ii) µ (⋃∞
n=1An) =∑∞
n=1 µ(An),
para toda coleccion de conjuntos disjuntos dos a dos An∞n=1 , donde An ∈ Σ. Una
funcion ν con valores en los numeros complejos y que satisface las condiciones i)
y ii) se le denomina medida compleja.
Es posible obtener una medida con valores reales a partir de una medida con
valores complejos. Definamos la funcion de conjunto
|ν| (A) = sup
n∑
k=1
|ν(Ak)| : A1, .., An es una particion medible de A
,
denominada variacion total de ν.Obtenemos entonces el siguiente resultado mostra-
do en [HS1, p. 308].
57
Teorema. A.2.5 La variacion total de la medida compleja ν es una medida sobre
Ω.
Otro concepto de importancia para este trabajo lo constituye la siguiente defini-
cion.
Definicion. A.2.6 Sea Ω un conjunto y Σ una σ−algebra de conjuntos de Ω.
Sean µ, ν dos medidas signadas o complejas definidas sobre Ω. Decimos que ν
es absolutamente continua respecto a µ, denotandolo por ν µ, si |µ| (A) = 0
implica que ν(A) = 0 .
Con esta definicion podemos entonces presentar uno de los mas grandes resultados
del Analisis, el Teorema de Radom-Nikodym. Este teorema y su demostracion es
expuesto por Hewitt-Stromberg en [HS1, p. 315 ].
Teorema. A.2.7 Sea (Ω,Σ, µ) un espacio de medida. Sea ν una medida tal que
ν µ. Existe una funcion medible f0, de valor real extendido, medible, definida
sobre Ω con las siguientes propiedades:
i) ν(A) =
∫A
f0dµ
para todo A ∈ Σ que sean σ−finitos respecto a µ.
ii)
∫Ω
fdν =
∫Ω
ff0dµ
para toda funcion f , no negativa, de valor real extendido, medible, definida sobre
Ω, y tal que x ∈ Ω : f(x) > 0 es σ−finito respecto a µ.
58
A.3 De la Topologıa.
Conocemos que para un espacio normado (X, ‖ · ‖), la norma considerada genera
una topologıa, la cual es metrizable, puesto que d(x, y) = ‖x− y ‖ es una metrica
definida sobre X. Sobre esta topologıa, los elementos de X∗, son continuos. Nos
proponemos mostrar en esta seccion otras topologıas mas debiles que hacen que
los elementos de X∗ sean continuos.
Comenzamos estableciendo alguna definiciones basicas, como lo son las correspon-
dientes a topologıa, bases y subbases,y topologıas menos finas, de una topologıa.
Definicion. A.3.1 Topologıa.
Una topologıa T para un conjunto X es una coleccion de subconjuntos de X,
llamados abiertos, tal que
• (i) ∅ ∈ T , X ∈ T .
• (ii) Si A,B ∈ T , entonces (A ∩B) ∈ T .
• (iii) Si Aα α es una coleccion arbitraria de conjuntos en T , entonces⋃αAα ∈ T .
Como un ejemplo vemos que si X = R, y T la coleccion de todos los sub-
conjuntos G de R tales que si x ∈ G implica que para algun ε > 0 se tiene
que y ∈ R : | y − x | < ε ⊂ G; entonces, T es una topologıa para R, llamada
topologıa usual de R.
Definicion. A.3.2 Bases y Subbases de una topologıa.
59
Sean L,B colecciones de conjuntos tales que B consiste de todas las intersecciones
finitas de conjuntos de L. Sea T la coleccion de todos los conjuntos que son uniones
arbitrarias de conjuntos de B. Entonces L es una subbase y B una base para T .
Definicion. A.3.3 Topologıas menos finas.
Decimos que una topologıa T1 es una topologıa menos fina que la topologıa T , si
T1 ⊂ T .
A.4 Topologıas inducidas por familias de
funciones.
Supongamos que X es un conjunto y que F es una familia de funciones, tal que
cada f ∈ F aplica X en un espacio topologico (Yf , Tf ). El siguiente resultado
muestra que existe una topologıa con suficientes conjuntos abiertos como para que
cada elemento de la familia F sea continuo.
Proposicion. A.4.1 Existencia de una topologıa inducida.
Sea X un conjunto, y sean, F una familia de funciones y (Yf , Tf ) : f ∈ F una
familia de espacios topologicos tal que cada f ∈ F aplica X en el espacio topologico
(Yf , Tf ) correspondiente. Entonces existe una topologıa mas pequena para X con
respecto a la cual cada f ∈ F es continua. Esto es, existe una unica topologıa TFpara X tal que
• (1) cada f ∈ F es TF−continua; y
60
• (2) si T es cualquier topologıa para X tal que cada f ∈ F es T −continua,
entonces TF ⊆ T .
La topologıa TF tiene a f−1(U) : f ∈ F , U ∈ Tf como una subbase.
Demostracion:
Sea G = f−1(U) : f ∈ F,U ∈ Tf . A partir de G, tenemos que la coleccion B
de todas las intersecciones finitas de elementos de G, forman una base para la
topologıa TF , la cual es la coleccion de conjuntos que son uniones arbitrarias de
elementos de B. Consideremos entonces la topologıa TF . Como G ⊆ TF , entonces
cada elemento de F es TF−continuo. Ahora, supongamos que T es una topologıa
para X tal que cada elemento de F es T −continuo. Entonces, G ⊆ T , y ası
TF ⊆ T . La afirmacion de la unicidad sigue inmediatamente.
A.5 Topologıa debil.
Usando la notacion de la precedente proposicion obtenemos la siguiente definicion.
Definicion. A.5.1 Topologıa Debil de X inducida por X∗.
Sea X∗ la familia de funciones topologizantes para X, y σ(X,X∗) la topologıa
de X, inducida por la familia X∗. Esta es conocida como la topologıa debil de
X inducida por X∗.
La topologıa debil, σ(X,X∗) , de X es la topologıa menos fina de X para la
61
cual cada elemento de X∗ es continuo.
Cabe ahora la siguiente aclaratoria. Al considerar un espacio normado (X, ‖ · ‖),
llamaremos a la topologıa T , inducida por la norma, la topologıa fuerte de X.
Para esta topologıa todo elemento de X∗ es continuo, es decir, si f ∈ X∗ se tiene
que f−1(V ) ∈ T para cada V ∈ Σ, donde Σ es la topologıa usual de R. En
consecuencia, la topologıa σ(X,X∗) es la topologıa menos fina para la cual todo
elemento de X∗ es continuo, es decir, si f ∈ X∗ se tiene que f−1(V ) ∈ σ(X,X∗)
para cada V ∈ Σ.
En consecuencia, es facil ver que si A es un conjunto debilmente abierto entonces es
fuertemente abierto, o simplemente, abierto, ya que σ(X,X∗) ⊂ T . Tambien, si A
es debilmente cerrado, su complemento es debilmente abierto, y en consecuencia,
abierto, por lo tanto, A es fuertemente cerrado, o cerrado. En lo sucesivo usare-
mos solo la expresion ”fuertemente”para recalcar que nos referimos a la topologıa
inducida por la norma.
Otro aspecto de interes es aquel que corresponde a los elementos de la base de la
topologıa, y a la convergencia de sucesiones en esta topologıa.
Definicion. A.5.2 Vecindades de base entorno a un punto arbitrario,
respecto a la topologıa debil.
Para cada x0 ∈ X sus vecindades de base esta definida como
U(x0; ε, x∗1, .., x
∗n) =
x ∈ X :
∣∣ x∗j(x)− x∗j(x0)∣∣ < ε, j = 1, .., n
,
donde x∗1, .., x∗n es un conjunto finito arbitrario de elementos de X∗ y ε es un
numero positivo arbitrario.
62
En vista de que cada elemento de base U(x0; ε, x∗1, .., x
∗n) es un conjunto convexo,
tenemos que la topologıa σ(X,X∗) es localmente convexa.
Tambien sera util considerar aquellos conjuntos que siendo acotados en la topologıa
inducida por la norma son tambien acotados respecto a la topologıa debil.
Definicion. A.5.3 Conjuntos debilmente acotados.
Decimos que A es un conjunto debilmente acotado si para toda vecindad debil de
cero, U, existe un entero positivo sU tal que A ⊂ tU para todo t ≥ sU .
Entonces, de acuerdo a esta definicion tenemos los siguientes resultados, cuyas
demostraciones se encuentran en [MR1, p. 213-214].
Proposicion. A.5.4 Conjuntos acotados debilmente y fuertemente.
Un subconjunto de un espacio normado es acotado si y solo si es debilmente aco-
tado.
Corolario. A.5.5 Un subconjunto A de un espacio normado X es acotado si y
solo si x∗(A) es un subconjunto acotado de numeros reales para cada x∗ ∈ X∗.
Corolario. A.5.6 Los subconjuntos debilmente compactos de un espacio normado
son acotados.
Corolario. A.5.7 Todo subconjunto debilmente abierto de un espacio infinito di-
mensional normado es no acotado.
63
Proposicion. A.5.8 Subespacios cerrados respecto a topologıas debıl y
fuerte.
Todo subespacio lineal de un espacio normado X es cerrado si y solo si es debilmente
cerrado.
Demostracion:
Sea Y un subespacio cerrado del espacio normadoX. Supongamos que Y es cerrado
y que y ∈ XY . Entonces por el corolario al teorema de Hann-Banach, existe
x∗ ∈ X∗ tal que x∗(y) 6= 0 y x∗(z) = 0 para todo z ∈ Y.
Esto significa que el conjuntoA = w ∈ X : |x∗(w) | > 0 es un conjunto debilmente
abierto, ya que A es interseccion arbitraria de abiertos basicos de la topologıa debil
de X. Ademas, A ∩ Y es vacıo. En consecuencia, y no es punto de clausura debil
de Y .
Entonces XY es debilmente abierto y en consecuencia Y es debilmente cerrado.
El resto de la demostracion sigue del hecho que todo conjunto debilmente cerrado
es cerrado.
El siguiente resultado, tomado de [MR1, p. 215], nos muestra que en un espacio de
dimension infinita, la topologıa debil esta propiamente contenida en la topologıa
fuerte.
Proposicion. A.5.9 Coincidencia entre las topologıas debil y fuerte.
La topologıa debil, σ(X,X∗), de un espacio normado X, coincide con la topologıa
64
fuerte, T , si y solo si X tiene dimension finita.
Demostracion:
Probaremos que si la bola abierta unitaria en X es debilmente abierta entonces
X∗ (y ası X ) tiene dimension finita.
Supongamos que S = x ∈ X : ‖x ‖ < 1 es debilmente abierto. Entonces existe
un abierto basico de Tw contenido en S, es decir, existen x∗1, .., x∗n y numeros reales
r1, .., rn tales que
x ∈ X : |x∗i (x) | < ri, 1 ≤ i ≤ n ⊂ S.
Si el conjunto A = x ∈ X : x∗i (x) = 0 contiene a algun x0, entonces para todo
r ∈ R se tiene que rx0 ∈ A ⊂ S; en efecto, si x0 ∈ A entonces x∗i (x0) = 0 para
cada i. Entonces, x∗i (rx0) = rx∗i (x0) = 0. Esto implica que x0 = 0, ası A = 0.
Afirmamos que x∗1, .., x∗n generan a X∗.
Sea x∗ ∈ X∗. Definamos T : X → F n por
T (y) = (x∗1(y), .., x∗n(y)) ∈ F n.
Ahora, definamos h : T (X) → F por
h(T (y)) = x∗(y).
Veamos la buena definicion de h. Esto es claro, ya que si T (z) = T (y) entonces
z − y ∈ A = 0 es decir x = y, con lo que x∗(z) = x∗(y) implica que z = y.
Como h es lineal y ya que T (X) tiene dimension finita, entonces (T (X) )∗ tambien
la tiene. Entonces podemos suponer que existen h1, .., hm , (1 ≤ m ≤ n) en
65
(T (X) )∗ tales que
hi(t1, .., tn) = ti
para cada i, y
h =m∑
i=1
aihi
para algunos escalares a1, .., am. Entonces x∗ =∑m
i=1 aix∗i . Por lo tanto X∗ tiene
dimension finita, y ası tambien X.
Cabe preguntarse si los funcionales y los operadores lineales continuos, respecto a
la topologıa fuerte, son continuos respecto a la topologıa debil.
Proposicion. A.5.10 Un funcional lineal definido sobre un espacio normado es
continuo respecto a la topologıa debil si y solo si es continuo respecto a la topologıa
fuerte.
Demostracion:
Supongamos que (X, ‖ · ‖) es un espacio normado y que f es un funcional lineal
continuo respecto a la topologıa σ(X,X∗). Sea T la topologıa inducida por la
norma. Como σ(X,X∗) ⊂ T entonces es claro que f es continua respecto a la
topologıa fuerte.
Supongamos ahora que f es un funcional continuo respecto a la topologıa fuerte,
es decir, f ∈ X∗. Como σ(X,X∗) es la menor topologıa respecto a la cual todo
funcional lineal es continuo, queda que f es continuo respecto a esta.
66
El siguiente resultado, tomado de [MR1, p. 214], nos muestra que un operador
lineal entre espacios topologicos, es continuo con respecto a las topologıas inducidas
por la norma, y al mismo tiempo, continuo respecto a las topologıas debiles.
Proposicion. A.5.11 Sean X, Y espacios normados, y TX , TY las topologıas in-
ducidas por sus normas, respectivamente. Un operador lineal T : (X, TX) →
(Y, TY ) es fuertemente continuo si y solo si T : (X, σ(X,X∗)) → (Y, σ(Y, Y ∗))
es continuo.
Demostracion:
Supongamos que T : (X, TX) → (Y, TY ) es continuo. Entonces, si V ⊂ TY entonces
T−1(V ) ⊂ TX .
La convergencia de sucesiones respecto a esta topologıa debil queda definida como
sigue.
Definicion. A.5.12 Sucesion Debilmente Convergente.
Decimos que una sucesion xn ∞n=1 en un espacio normado (X, ‖ · ‖) converge
debilmente a x ∈ X, si para todo funcional lineal acotado y∗ ∈ X∗ se tiene que
limn→∞
y∗(xn) = y∗(x).
Similarmente se define una sucesion de Cauchy respecto a esta topologıa.
Definicion. A.5.13 Sucesion debil de Cauchy.
Decimos que una sucesion xn ∞n=1 es una sucesion debil de Cauchy si para cada
x∗ ∈ X∗ se tiene que la sucesion x∗(xn) converge en R.
67
Algunos resultados de interes son los siguientes.
Lema. A.5.13.1 Toda sucesion debil de Cauchy es acotada en norma.
Demostracion:
Sea xn ∞n=1 una sucecion debil de Cauchy, entonces, para cada x∗ ∈ X∗ la suce-
sion x∗(xn) ∞n=1 converge en R.
Esto nos sugiere considerar la aplicacion T : X∗ → c, definida por T (x∗) =
x∗(xn) ∞n=1 para cada x∗ ∈ X∗. Esta aplicacion es lineal, en efecto,
T (αx∗ + βy∗) = (αx∗ + βy∗)(xn) ∞n=1
= α x∗(xn) ∞n=1 + β y∗(xn) ∞n=1
= αT (x∗) + βT (y∗)
Por otra parte, sea y∗m ∈ X∗, con y∗m → y∗ ∈ X∗ y T (y∗m) → z ∈ c. Entonces
T (y∗m) = y∗m(xn) ∞n=1 → zn ∞n=1 en la medida que m→∞
es decir,
limm→∞
y∗m(xn) = zn.
Pero, el hecho que y∗m → y∗ ∈ X∗ implica que la convergencia es uniforme, en
consecuencia, tenemos que
limm→∞
y∗m(xn) = y∗(xn), para cada xn
y de la unicidad del lımite, queda que y∗(xn) = zn, es decir, T (y∗m) = T (y∗), y
con esto vemos que T es un operador cerrado de un espacio de Banach en otro;
68
luego por el teorema del grafo cerrado A.1.19 obtenemos que T es un operador
acotado.
Ahora, del hecho que
‖T ‖ = sup‖ y∗ ‖≤1
‖T (y∗) ‖c = sup‖ y∗ ‖≤1
supn∈N
| y∗(xn) | = supn∈N
sup‖ y∗ ‖≤1
| y∗(xn) | = supn∈N
‖xn ‖ ,
y que T es acotado, obtenemos el resultado buscado, que
supn∈N
‖xn ‖ = ‖T ‖ <∞.
A.6 Topologıa Debil*
Conocemos que la topologıa debil de X∗, es la topologıa menos fina de X∗ tal que
los elementos de X∗∗ son continuos. Sin embargo esta topologıa se torna menos
util que la topologıa en X∗ generada por los elementos de i(X), donde i : X → X∗∗
es la aplicacion natural, definida por medio de i(x)(x∗) = x∗(x), para todo x ∈ X.
Definicion. A.6.1 Topologıa debil*.
La topologıa menos fina de X∗ para la cual los elementos de J(X) son continuos
se denomina topologıa debil* de X∗; la denotaremos con T ∗w .
Es claro que esta topologıa es menos fina que la topologıa debil, es decir, T ∗w ⊂ Tw
de X∗.
Una base para la topologıa debil* esta dada por los conjuntos de la forma
f ∈ X∗ : | f(xi)− f0(xi) | , 1 ≤ i ≤ n ,
69
donde x1, .., xn ∈ X, ε > 0 y f0 ∈ X∗. Recordemos que f(xi) = J(xi)(f).
Si X es reflexivo, tenemos que J(X) = X∗∗, y en consecuencia la topologıa debil
Tw de X∗ coincide con la topologıa debil*, T ∗w .
La importancia de esta topologıa la veremos en la siguiente seccion.
A.7 Teorema de Banach-Alaoglu.
Este importante resultado establece la compacidad debil* de la bola unitaria cer-
rada en la topologıa fuerte de X∗.
Teorema. A.7.1 Teorema de Banach-Alaoglu.
La bola unitaria cerrada en X∗ es compacta en su topologıa debil*, T ∗w .
Demostracion:
Sea S∗ = f ∈ X∗ : ‖ f ‖X∗ ≤ 1 . Sea Ix = c ∈ F : | c | ≤ ‖x ‖ . Entonces,
f(x) ∈ Ix. En efecto, como f ∈ X∗ tenemos que
| f(x) | ≤ ‖ f ‖X∗ ‖x ‖ ≤ ‖ x ‖ .
Si P =∏
x∈X Ix, el conjunto de funcionales definidas sobre X con f(x) ∈ Ix,
entonces podemos pensar en S∗ como un subconjunto de P , con la topologıa pro-
ducto. La topologıa que S∗ hereda es la topologıa debil*.
Del Teorema de Tychonoff obtenemos que P es compacto, ası, S∗ sera compacto
si este es cerrado como subconjunto de P . Probaremos esto.
70
Sea f un punto de clausura de S∗ en P . Entonces f : X → F y | f(x) | ≤ ‖ x ‖ .
Ahora, para x, y ∈ X y α, β ∈ F , el conjunto
V = g ∈ P : | g(x)− f(x) | < ε, | g(y)− f(y) | < εy | g(αx+ βy)− f(αx+ βy) | < ε
es un subconjunto abierto de P que contiene a f , y en consecuencia, V ∩ S∗ 6= ∅.
Si g ∈ V ∩ S∗, g es lineal, en consecuencia,
| f(αx+ βy)− αf(x) + βf(y) | < ε |α |+ | β | .
Como esta desigualdad se tiene para todo ε > 0, entonces f es lineal y por tanto
f ∈ S∗. Hemos probado que S∗ es cerrado en P , por lo tanto es compacto.
De este resultado tenemos que, si X es reflexivo entonces X y X∗∗ pueden ser
identificados, y en consecuencia, la topologıa debil sobre X puede ser tratada
como la topologıa debil* de X∗∗.
71
Apendice B.
Integrabilidad Uniforme.
En adelante, dado un conjunto Ω, una σ−algebra Σ, y una medida probabilıstica
µ, definida sobre Σ, consideramos el espacio de medida de probabilidad (Ω,Σ, µ)
de tal forma que µ(Ω) = 1. El conjunto L1(µ) es el espacio de Lebesgue constituıdo
por aquellas funciones integrables f : Ω → R (o C), tales que∫Ω
|f | dµ <∞;
ası, estas funciones son acotadas casi en todas partes.
Ademas recordemos que una medida µ es numerablemente aditiva si dada cualquier
sucesion En de conjuntos medibles disjuntos por pares, se tiene que µ(∪n≥1En) =∑n≥1 µ(En). Tambien, diremos que una medida ν es abolutamente continua re-
specto a µ si cada vez que E ∈ Σ con µ(E) = 0, se tiene que ν(E) = 0. Por otra
parte, dada una funcion f ∈ L1(µ) podemos definir la medida ν(E) =∫
E|f | dµ,
la cual es absolutamente continua respecto a µ, y numerablemente aditiva si µ lo
es.
72
B.1 Integrabilidad Uniforme: Definicion. Ejem-
plos
Dado un conjunto Ω, una σ−algebra Σ, y una medida probabilıstica µ, definida
sobre Σ, consideramos el espacio de medida de probabilidad (Ω,Σ, µ) de tal forma
que µ(Ω) = 1. El conjunto L1(µ) es el espacio de Lebesgue constituıdo por aquellas
funciones integrables f : Ω → R (o C.), tales que∫Ω
| f | dµ <∞;
ası, estas funciones son acotadas casi en todas partes.
J. Diestel presenta la definicion de integrabilidad uniforme en [DJ2, p. 41], como
sigue.
Definicion. B.1.1 Integrabilidad Uniforme.
Un subconjunto K de L1(µ) es uniformemente integrable si
limc→∞
(supf∈K
∫ | f |>c
| f | dµ)
= 0.
De acuerdo a la definicion de lımite al infinito y la definicion de supremo, se tiene
que K es uniformemente integrable si dado ε > 0 existe un numero real cε = c > 0
tal que para t > c se tiene que ∫ | f |>t
| f | dµ < ε,
para todo f ∈ K.
Los siguientes ejemplos de conjuntos uniformemente integrables son tomados de
[CN1, p. 149].
73
B.2 Caracterizacion de conjuntos uniformemente
integrables.
La definicion B.1.1 tiene una forma equivalente. J. Diestel presenta el siguiente
enunciado equivalente. [DJ2, p. 41].
Teorema. B.2.1 Un subconjunto K de L1(µ) es uniformemente integrable si y
solo si K es acotado y dado ε > 0 existe δ > 0 tal que para cualquier E ∈ Σ con
µ(E) ≤ δ se tiene que ∫E
| f | dµ ≤ ε
para todo f ∈ K.
Estamos en el ambiente de los conjuntos uniformemente integrables, y podemos
pasar al de los conjuntos de medidas uniformemente absolutamente continuas,
concepto expuesto por Dunford-Shwartz en [DS1].Definamos el espacio ca(Σ).
Definicion. B.2.2 Sea Ω un conjunto, y Σ una σ−algebra de conjuntos de Ω. De-
notamos con ca(Σ) el espacio lineal de medidas acotadas que son numerablemente
aditivas. Con la norma definida como
‖µ‖ca(Σ) = |µ| (Ω) (variacion de µ .)
tenemos que(ca(Σ), ‖µ‖ca(Σ)
)es un espacio de Banach.
Sea λ ∈ ca(Σ) no negativa. Definimos una pseudo-metrica sobre Σ de la siguiente
manera
dλ(A,B) = λ(A∆B), para todo A,B ∈ Σ,
74
donde A∆B es la diferencia simetrica de los conjuntos A,B ∈ Σ. A partir de esto
obtenemos que (Σ, dλ) es un espacio pseudo-metrico.
Notese ademas que
λ(A∆B) =
∫A∆B
dλ =
∫Ω
χA∆Bdλ =
∫Ω
|χA − χB| dλ = ‖χA − χB‖L1(λ) .
Veamos el siguiente resultado, cuya demostracion es rutinaria.
Teorema. B.2.3 (Σ, dλ) es un espacio pseudo-metrico completo, en el cual las
operaciones (A,B) 7→ A ∪B, (A,B) 7→ A ∩B, A 7→ Ac son continuas.
La intencion de esta idea es poder estudiar la convergencia de las sucesiones de
medidas numerablemente aditivas definidas sobre Σ, como funciones continuas
sobre el espacio pseudo-metrico (Σ, dλ) Veamos.
Definicion. B.2.4 Conjuntos uniformemente µ−continuos sobre con-
juntos me-dibles.
Decimos que un conjunto K de medidas finitamente aditivas de valor escalar es
uniformemente µ− continuo en E ∈ Σ si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si
F ∈ Σ y ρ(F,E) < δ entonces |µ(F )− µ(E) | < ε para todo µ ∈ K.
Definicion. B.2.5 Conjuntos uniformemente µ−continuas sobre Σ.
Decimos que un conjunto K de medidas finitamente aditivas de valor escalar es
uniformemente µ− continuo sobre Σ si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si
F,E ∈ Σ y ρ(F,E) < δ entonces |µ(F )− µ(E) | < ε para todo µ ∈ K.
75
Definicion. B.2.6 Conjuntos uniformemente numerablemente aditivos.
Decimos que un conjunto K de medidas finitamente aditivas de valor escalar es uni-
formemente numerablemente aditivo si para cada sucesion decreciente En ∞n=1 ⊂
Σ con⋂
nEn = ∅ y cada ε > 0 existe un Nε tal que si n ≥ Nε entonces |µ(En | < ε
para todo µ ∈ K.
Con estas definiciones, veamos el siguiente teorema, cuya demostracion se con-
struye por medio de las definiciones. Vease el libro de Dunford-Schwartz [DS1].
Teorema. B.2.7 Sea K una familia de medidas finitamente aditivas de valor es-
calar sobre Σ. Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:
• 1. K es uniformemente µ−continuo en algun E ∈ Σ.
• 2. K es uniformemente µ−continuo en ∅.
• 3. K es uniformemente µ−continuo sobre Σ.
Ademas, cualquiera de estas implican que K es uniformemente numerablemente
aditiva.
N. Carothers plantea la caracterizacion del teorema B.2.1 en estos terminos en
[CN1, p. 45].
Teorema. B.2.8 Integrabilidad Uniforme y Medidas uniformemente ab-
solutamente continuas.
76
Un subconjunto K ⊂ L1(µ) es uniformemente integrable si y solo si la familia
de medidas F = ∫
A| f | dµ : f ∈ K
es uniformemente absolutamente continuas
respecto a µ; esto es, si y solo si, para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que∫E
| f | dµ < ε
para toda f ∈ K y todo conjunto medible A, con µ(A) < δ.
El siguiente ejemplo nos da otra idea para una caracterizacion de conjuntos uni-
formemente integrables.
De La Vallee-Poussin, extrae del analisis armonico y probabilidad en el estudio
de la cola de algunas sumas especiales, el siguiente resultado, expuesto por J.
Alexoupolus en [AJ1].
Teorema. B.2.9 De la Vallee Poussin.
Para que K ⊂ L1(µ) sea uniformemente integrable es necesario y suficiente que
exista una funcion, par y convexa, Φ : R → R tal que
Φ(0) = 0 , limx→∞
Φ(x)
x= ∞ y sup
∫Φ(| f(ω) |)dµ(ω) : f ∈ K
<∞.
B.3 Teorema de Lebesgue-Vitali. Lema de Rosen-
thal.
Ya hemos visto que los conjuntos finitos de L1(µ) son uniformemente integrables;
el Teorema de Lebesgue-Vitali nos dice que bajo cierta condicion, los conjuntos
numerables de L1(µ) tambien lo son.
77
Teorema. B.3.1 Lebesgue-Vitali.
Sea fn ∞n=1 una sucesion acotada en L1(µ) tal que para cada E ∈ Σ se tiene que
limn→∞
∫E
fndµ = 0,
entonces fn : n ≥ 1 es uniformemente integrable.
La idea escondida en la prueba del este teorema nos ayuda a introducir el Lema de
Rosenthal, una herramienta, que nos mostrara que en todo conjunto acotado que
no es uniformemente integrable existe una sucesion de vectores que es equivalente
a la base standard de l1.(Teorema de Kadec-Pelczynski.)
Lema. B.3.1.1 Rosenthal.
Sean µn una sucesion acotada de medidas finitamente aditivas de valor real
acotado, definidas sobre Σ, ε > 0 y En una sucesion de elementos de Σ, disjuntos
dos a dos. Entonces existe una sucesion creciente de numeros enteros positivos
nk tales que para cada k se tiene que
|µnk| (∪j 6=kEnj
) < ε.
B.4 Teorema de Dunford-Pettis.
Como uno podrıa esperar, no todos los subconjuntos acotados de los espacios L1
son uniformemente integrables. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo. B.4.1 Supongamos que fn ∞n=1 ⊂ L1([0, 1]) es una sucesion de fun-
ciones disjuntamente soportadas de valor real no negativo y que∫ 1
0fn(t)dt = 1,
78
para cada n. Debe ser claro que los soportes de las fn necesariamente se contraen
en un conjunto de medida cero aun en ninguna forma podemos obligar el compor-
tamiento de las integrales indefinidas. En efecto, para tal sucesion fn ∞n=1 , y
para cualquier sucesion de escalares an ∞n=1 , se tiene que∥∥∥∥∥∞∑
n=1
anfn
∥∥∥∥∥1
=
∫R
∣∣∣∣∣∞∑
n=1
anfn(t)
∣∣∣∣∣ dt=
∞∑k=1
∫sop(fk)
∣∣∣∣∣∞∑
n=1
anfn(t)
∣∣∣∣∣ dt=
∞∑k=1
| ak |∫
sop(fk)
fn(t)dt
=∞∑
n=1
| an | .
Parte del estudio de la integrabilidad uniforme es el notable hecho que el ejem-
plo anterior es, en un fuerte sentido, la unica obstruccion para la integrabilidad
uniforme de un conjunto acotado. Antes de ver la razon de que esto sea ası, es
importante relacionar la integrabilidad uniforme con la topologıa debil del espacio
de Banach L1(µ).
¿Como determina uno que un conjunto relativamente debilmente compacto es ası?.
Tomamos un conjunto K en un espacio de Banach X, que es acotado en norma.
Tomamos la imagen de este conjunto, bajo la aplicacion natural i : X → X∗∗,
y consideramos la clausura debil* del mismo. Si esta clausura debil* permanece
dentro de i(X) entonces, K es relativamente debilmente compacto, ya que i es un
homeomorfismo del espacio topologico (X, σ(X,X∗)) (topologıa debil de X) en el
espacio topologico (X∗∗, σ(X∗∗, i(X∗))).
79
El siguiente teorema, y objetivo pincipal de este trabajo, fue extraıdo de la recopi-
lacion de J. Diestel en [DJ2].
Teorema. B.4.2 Dunford-Pettis.
Un subconjunto K de L1(µ) es relativamente debilmente compacto si y solo si K
es uniformemente integrable.
B.5 Consecuencias del Teorema de Dunford-Pettis
Antes de entrar en otro resultado, vamos a recordar alhunos conceptos respecto a
bases de Shauder.
Definicion. B.5.1 Base de Schauder.
Una sucesion xn ∞n=1 en un espacio de Banach X es denominada Base de
Schauder de X, si para cada x ∈ X existe una unica sucesion de escalares
an ∞n=1 tal que x =∑∞
n=1 anxn.
Definicion. B.5.2 Bases Equivalentes.
Dos bases xn ∞n=1 y yn ∞n=1 de un espacio de Banach X se denominan bases
equi-valentes si la convergencia de una implica la convergencia de la otra.
Es de esperar que un resultado como el del teorema B.4.2 tenga consecuencias
importantes. Veamos la siguiente.
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Teorema. B.5.3 Teorema de Kadec-Pelcinsky
Supongamos que K es un subconjunto acotado que no es debilmente compacto en
L1(λ), donde λ es un elemento no negativo de ca(Σ). Entonces K contiene una
sucesion fn ∞n=1 que es equivalente a la base de vectores unitarios de l1.
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