TEORÍA DE INCERTIDUMBRES Y
PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
Prácticas de Física I
Departamento de Física Aplicada I
Escuela Politécnica Superior
MEDIDA E INCERTIDUMBRE
Toda ciencia experimental se basa en observaciones cuantitativas que
llamamos medidas.
A su vez todo proceso de medida está sujeto a limitaciones que se traducen
inevitablemente en la existencia de cierta incertidumbre asociada al
resultado y que constituye una indicación cuantitativa de la calidad del
mismo .
Medida = (Valor numérico ± incertidumbre) unidades
¡Es esencial especificar la incertidumbre de una medida ya que nos indica el
grado de exactitud y de precisión de la misma!
Exactitud y precisión
Fuentes de incertidumbre
Errores de calibración.
Condiciones experimentales no apropiadas.
Lectura sesgada de los instrumentos.
Resolución finita del instrumento de medida.
Aproximaciones o hipótesis establecidas en el método y en el
procedimiento de medida.
Fluctuaciones o variaciones en observaciones repetidas
Etc.
Evaluación de la incertidumbre típica de una
medida directa
◼ Evaluación tipo A: tiene en cuenta la variabilidad de las medidas en las
mismas condiciones. Requiere de un análisis estadístico del conjunto de
observaciones: x1,x2,x3,….xN. Se toma:
uA(x)= desviación típica
◼ Evaluación tipo B: tiene en cuenta toda la información disponible acerca
de la resolución del instrumento de medida, especificaciones del fabricante,
certificados de calibración…
◼ En las prácticas de laboratorio de Física I, a menos que en el guión de la
práctica a realizar se indique otra cosa, se tomará:
uB(x)=resolución del instrumento (δx)
Conlleva dos valoraciones diferentes:
Finalmente: 𝒖(𝒙) = 𝒖𝑨 𝒙 𝟐 + 𝒖𝑩 𝒙 𝟐
Análisis estadístico
1
n
i
i
x
xn
==
❑ El valor medio como resultado de la medida:
❑ La desviación típica del valor medio como
incertidumbre típica tipo A:
❑ Cuando el número de medidas es pequeño (inferior
a 10):
A partir de N observaciones independientes x1, x2,…,xN se toma:
)1(
)(
)( 1
2
−
−
=
=
nn
xx
xu
n
i
i
A
6)( mínmáx
A
xxxu
−=
7
Resolución de un instrumento
Si la medida se ha hecho con un
instrumento analógico, se toma como
resolución (dx) de éste la menor unidad
que pueda medir.
La incertidumbre típica debida a la resolución del instrumento
(evaluación tipo B) es
Esta incertidumbre típica será la que se use para el cálculo de la incertidumbre típica
combinada, pero cuando se quiera expresar un resultado final de una única medida
con ese instrumento, la incertidumbre reflejada no puede ser inferior a la resolución
del instrumento
Si el instrumento es digital, se toma como
resolución (dx) una unidad de la última cifra.
𝑢𝐵(𝑥) = 𝛿𝑥
0 1 2 3
dx = 0,1 cm
cm
234,75
dx = 0,01 mA
mA
Incertidumbre Expandida
Magnitud que define un intervalo en torno al resultado
de una medición, y en el que se espera una fracción
importante de la distribución de valores que podrían ser
atribuidos razonablemente al mensurando.
)()( xkuxU c=
Se obtiene multiplicando la incertidumbre típica combinada por
un factor de cobertura k, que típicamente toma valores entre 2 y
3 y se basa en la probabilidad o nivel de confianza requerido
para el intervalo
Incertidumbre relativa
◼ Es el cociente entre la incertidumbre y el resultado de la medida
◼ Se suele expresar en %. Para ello se multiplica por 100. Por ejemplo si
x=12 cm y u(x)=4 cm, entonces ur= 4/12=0,33=33%.
◼ No tiene unidades.
◼ Da información sobre la bondad de la medida.
x
xUU r
)(=
Ejemplos
CASO 1: Supongamos que medimos una temperatura cinco veces con un
termómetro cuya resolución es de un grado y obtenemos:
T1 = 64 ºC, T2 = 61 ºC , T3 = 65 ºC, T4 = 68 ºC, T5 = 65 ºC
Valor medio: T =64,6ºC
Incertidumbre:
uA(T) = (TMáx-Tmín)/6 = (68 – 61)/6 = 1,2 ºC
uB(T)=1 ºC
u(T)= 1,22 + (1)2 = 1,56205 ºC
Resultado: T = (64,6 1,6) ºC; ur=2,4%
¡LA INCERTIDUMBRE u(x) NO PUEDE SER INFERIOR A LA RESOLUCIÓN
DEL INSTRUMENTO!
◼ CASO 2: Supongamos que medimos una longitud tres veces con una regla
graduada en milímetros y obtenemos:
x1 = 6,5 cm, x2 = 6,5 cm, x3 = 6,5 cm
uB(x)=0,1 cm
Resultado: x = (6,5 0,1) cm, ur=1,5%
PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
◼ ¿Qué tienen de extraño estas frases?:
❑ La extinción de los dinosaurios ocurrió hace 65 millones de años y
3 días.
❑ Las pirámides se construyeron hace unos 4000 años y 27
segundos.
❑ El viaje de Marco Polo a China duró unos 4 años, 3 meses, 12
días, 3 horas, 23 minutos, 12 segundos y 345 milésimas.
Presentación de resultados.
El resultado de una medida debe expresarse con un número de cifras que viene
determinado por el valor de la incertidumbre. Por ejemplo, es absurdo dar como
resultado:
x=(1,2732345678534 ± 0,035) m
Y tampoco tiene sentido:
L=(2,1389639 ± 0,18653617) m
Norma:
• Las incertidumbres deben darse con dos cifras significativas
• Deben descartarse del resultado todas las cifras que sean de orden
inferior a la incertidumbre
Resultados correctos: x=(1,273 ± 0,035) m
L=(2,14 ± 0,19) m
Presentación de resultados: Redondeo
La última cifra conservada se redondea de la siguiente forma:
− Aumentándola en 1 unidad si la primera cifra descartada
es mayor que 5.
− Dejándola tal cual si la primera cifra descartada es menor
que 5.
− Si la primera cifra descartada es 5 y al menos una de las
siguientes es mayor que 0, la última cifra conservada se
aumenta en una unidad.
− Si la primera cifra descartada es 5 y todas las demás son
0, la última cifra conservada no cambia si es par o se
aumenta en una unidad si es impar (redondeo al par).
Algunas observaciones...
En ocasiones hay que tener en cuenta que algunos ceros no se
pueden suprimir:
2 0,21 cm → INCORRECTO
2,00 0,21 cm → CORRECTO
◼ Para números muy grandes o muy pequeños conviene usar la
notación científica, esto es, en potencias de 10:
(18000 3000) Pa = (1,80 0,30) 104 Pa
(0,00256 0,00017) N = (2,56 0,17) 10-3 N
Ejemplos
4,81343 0,04661
132,2894 2,8754
5127 234
0,53781 0,00996
50353 2550
2,3487 0,345
1091,32 84,55
5130 230 ; ur = 4,5 %
132,3 2,9 ; ur = 2,2 %
50400 2600 ; ur = 5,2 %
2,35 0,34 ; ur = 0,14 %
1091 85 ; ur = 7,8 %
0,538 0,010 ; ur = 1,8 %
4,813 0,047 ; ur = 0,98 %
Incertidumbre típica combinada de
medidas indirectas
Existen también medidas indirectas, es decir, magnitudes A que se calculan
a partir de los valores x,y,z de otras magnitudes mediante una fórmula:
A=f (x,y,z)
En este caso, la incertidumbre típica combinada de A viene dada por:
222
)()()()(
+
+
= zu
z
fyu
y
fxu
x
fAuc
Ejemplo: cálculo de incertidumbre combinada
b
a c
a = 10,00 0,10 cm
b = 25,0 2,0 cm
c = 15,0 1,5 cm
Se pretende calcular el volumen de un paralelepípedo, cuyas aristas se miden con unas
reglas obteniéndose los siguientes valores:
V = a·b·c = 3750 cm3
Resultado: V = (3750 480) cm3
Incertidumbre combinada:
uc(V)=481,6962217 cm3
5,37)()( ==
aucbau
a
V
300)()( ==
bucabu
b
V
375)()( ==
cubacu
c
V
222
)()()()(
+
+
= cu
c
Vbu
b
Vau
a
VVuc
Algunas observaciones...
Cuando los cálculos se realizan mediante calculadora u ordenador, conviene
conservar siempre todas las cifras que éstos permitan, procediéndose al
redondeo SÓLO en el resultado final, NUNCA redondeando resultados
intermedios.
Si en la fórmula o ley que permite el cálculo de una magnitud aparece
alguna constante matemática o física (como π, NA, g, c, etc.), conviene
considerar, en el momento de operar, el máximo número significativo de
cifras, de forma que el error considerado sea despreciable frente a la
incertidumbre de las magnitudes que intervienen en la fórmula.
Ejemplo
=
==
83
4
23
43
4 333 D
m
D
m
R
m
3
6
D
m
=
20
D: Diámetro m: masa
El diámetro D se mide con un calibre cuya
resolución es: 0,01 cm
La masa m se mide con una balanza cuya
resolución es: 0,1 g
Dm
La expresión a utilizar será:
Medición de la densidad de una bola de acero
Ejemplo
Medida nº 1 2 3 4 5 6
D (cm) 2,38 2,45 2,39 2,44 2,40 2,43
cm 415,26
43,240,244,239,245,238,2=
+++++= DD
n
X
Xx
n
k
ki
ii
=== 1
,
21
Cálculo de D:
Medición de la densidad de una bola de acero
22
Ejemplo
𝑢(𝑥𝑖) = 𝛿𝑥𝑖
Medida nº 1 2 3 4 5 6
D (cm) 2,38 2,45 2,39 2,44 2,40 2,43
𝑢𝐵(𝐷) = 0,01 cm
Medición de la densidad de una bola de acero
6)( min,máx, ii
i
XXxu
−=
Cálculo de incertidumbre típica de D:
01166667,06
38,245,2)( =
−=DuA
22 )()()( iBiAi xuxuxu +=
𝑢 𝐷 = 𝑢𝐴(𝐷)2 + 𝑢𝐵(𝐷)
2 = 0,011666672 + 0,012 = 0,0153659𝑐𝑚
23
Ejemplo Medición de la densidad de una bola de acero
Resultado de D:
𝐷 = 2,415 ± 0,0153659 ⇒ 𝐷 = (2,415 ± 0,015) cmResultado truncado y redondeado
MUY IMPORTANTE: El dato encuadrado de D aquí expresado NO es un
resultado final de la medida de D. Sólo se ha encuadrado el dato con el valor
de D y la incertidumbre típica u(D) que SÍ serán los valores a usar
posteriormente en el cálculo de la incertidumbre combinada uc de
24g 7,57=m
En este caso la incertidumbre típica sólo es consecuencia de haber
sido estimada la magnitud por una evaluación tipo B,
Medición de la densidad de una bola de acero
Se realiza una única medida de m, obteniéndose:
Cálculo de incertidumbre típica de m:
𝑢(𝑥𝑖) = 𝛿𝑥𝑖 𝑢(𝑚) = 0,1 g
𝑚 = (57,7 ± 0,1) gResultado truncado y redondeado
Ejemplo
Resultado de m:
MUY IMPORTANTE: El dato encuadrado de m aquí expresado NO es un resultado final
de la medida de m, pues en este caso la incertidumbre reflejada no puede ser inferior
a la resolución del instrumento. Sólo se ha encuadrado el dato con el valor de m y la
incertidumbre típica u(m) que SÍ serán los valores a usar posteriormente en el cálculo
de la incertidumbre combinada uc de .
25
Ejemplo
=3
6
D
m
=
3415,2
700,576
3g/cm 82394494,7=
Cálculo de :
𝑚 = (57,7 ± 0,1) g𝐷 = (2,415 ± 0,015) cm
Medición de la densidad de una bola de acero
26
Ejemplo
=
=
+
+
=
N
i
i
i
N
N
c xux
fxu
x
fxu
x
fxu
x
fyu
1
2
222
2
2
2
1
1
)()(...)()()(
22
)()()(
+
= mu
m
fDu
D
fuc
𝜕𝜌
𝜕𝐷𝑢(𝐷)
2
=−18𝑚
𝜋𝐷4 𝑢(𝐷)
2
=−18 × 57,700
𝜋 × 2,4154× 0,015
2
= 0,01360261
Cálculo de incertidumbre típica combinada de :
𝜕𝜌
𝜕𝑚𝑢(𝑚)
2
=6
𝜋𝐷3𝑢(𝑚)
2
=6
𝜋 × 2,4153× 0,01
2
= 1,54630778 × 10−5
+= − 01360261,01054630778,1)( 5cu
Medición de la densidad de una bola de acero
3g/cm 11669650,0)( =cu
3
6
D
m
=
27
Ejemplo
3g/cm 82394494,7=
0,11669650 82394494,7 =
3g/cm 11669650,0)( =cu
Resultado final :
Medición de la densidad de una bola de acero
3g/cm 0,12) 82,7( =Resultado truncado y redondeado
28
Incertidumbres
Representaciones Gráficas
Eje de abscisas
(v. independiente)
Eje de
ordenadas
(v. dependiente)
V (102 mV)
I (mA)
Identificación
de los ejes
El origen no tiene
porqué ser el (0,0)
Escala
sencilla
1 2 3 4 5 6 7 8
12
13
14
15
16
17
¡Nunca!
Puntos distribuidos
por toda la gráfica
Línea de
ajuste
Ajuste por mínimos cuadrados
M(g) y(cm)
100 0,6
200 0,9
400 2,2
600 3,0
800 4,1
1000 4,85 0
1
2
3
4
5
6
0 200 400 600 800 1000 1200
M (g)
x (
cm
)
Por ejemplo supongamos que queremos comprobar la ley de Hooke F=-ky para un
resorte y para ello colgamos del muelle masas de distinto valor del muelle y
medimos la elongación de éste. Debe cumplirse Mg-ky=0, luego y=g/k M por lo
que esperamos que si se representa x frente a M los datos se alineen en una recta
Los puntos no están
perfectamente
alineados como cabría
esperar debido a los
errores accidentales e
instrumentales del
experimento.El método de Ajuste por Mínimos
Cuadrados permite encontrar la recta
que ajusta mejor a todos los puntos
experimentales
Ajuste por mínimos cuadrados
La recta que buscamos es: y = m·x + b.
m → Pendiente
b → Ordenada en el origen
Se calcula de la siguiente manera. Para unos puntos (x1, y1), (x2, y2) …(xn,yn)
2
11
2
111
−
−
=
==
===
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
xxn
yxyxn
m
n
xmy
b
n
i
i
n
i
i ==
−
= 11
( )
( ) ( )
=
=
−−
−−
=n
i
i
n
i
ii
c
xxn
bmxy
mu
1
2
1
2
2
)(
=
=n
i
icc xmubu1
2)()(
Coeficiente de correlación
−
−
−
=
====
===
2
11
2
2
11
2
111
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yynxxn
yxyxn
r
◼ Hay que darlo siempre que se hace un ajuste por mínimos cuadrados.
◼ Es un número que está entre 1 y -1 y que nos da información de cómo de
bueno es el ajuste (cuanto más cercano a 1 o -1, mejor).
¡ Un ajuste por mínimos cuadrados es aceptable solo si |r| > 0,9 !
◼ Siempre se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que no sea
9, redondeándola en su caso: r = 0,9996714 → r = 0,9997
En nuestro ejemplo:
4.851000
4.1800
3.0600
2.2400
0.9200
0.6100
yi
xi
4.851000
4.1800
3.0600
2.2400
0.9200
0.6100
yi
xi
Resultado final:
m = 0,0049 ± 0,0005 cm/g
b = 0,09 ± 0,80 cm
r = 0,997
m = 0,0048726027 cm/g; uc(m)=0,0005401 cm/g
b = 0,0908219 cm; uc(b)=0,8029164 cm
r = 0,99728
Frecuentemente la recta de regresión nos permite calcular alguna magnitud de
interés. En este caso, por ejemplo, la constante del muelle. En efecto, según la
teoría g
y xk
=
Lo que implica que g/k es la pendiente y la ordenada en el origen es cero
2
2
082,200204
0049.0
981
s
g
g
cms
cm
m
gk
k
gm ===→=
k = (20,0 2,0) 104 g/s2; ur= 10 %
Por lo tanto
𝑢𝑐 𝑘 =𝜕𝑘
𝜕𝑚𝑢 𝑚
2
+𝜕𝑘
𝜕𝑔𝑢 𝑔
2
= 20430,01𝑔
𝑠2