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7/13/2019 Tema1 - Introduccin a Los Sistemas de Control
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TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
Regulacin Automtica
TEMA 1TEMA 1INTRODUCCIN A LOS SISTEMASINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS
DE CONTROLDE CONTROL
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TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
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TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
ContenidoContenido
1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.2.2. SEALES.SEALES.3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.4.4. ECUACIN DE CONVOLUCIN.ECUACIN DE CONVOLUCIN.5.5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.
6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
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TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
ContenidoContenido
1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.2.2. SEALES.SEALES.3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.4.4. ECUACIN DE CONVOLUCIN.ECUACIN DE CONVOLUCIN.5.5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.
6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
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1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.
INTRODUCCIN
La Automtica o Control (automtico) de Sistemas trata de regular, con la mnima intervencinhumana, el comportamiento dinmico de un sistema mediante rdenes de mando.
El Control Automtico a diferencia de la umica, la !sica, la "eologa# no posee unametodologa$ien esta$lecida.
El Control Automtico al igual %ue otras ciencias de la ingeniera actual trata con sistemascomplejos. &or ello el Control Automtico pertenece a la 'eora de Sistemas.
Qu es la Ingeniera de Control?
Es un enfo%ue interdisciplinario para el control de sistemas dispositivos. Com$ina reas comoElctrica, Electrnica, *ecnica, umica, +ngeniera de &rocesos 'eora *atemtica entre otros.
La metodologa para las ciencias de la 'eora de Sistemas an no est $ien esta$lecida, sinem$argo una herramienta fundamental es el concepto de modelo.
Qu es un modelo?
Se trata de una construccin a$stracta (con-unto de reglas) con una serie de o$-etivos
/ 0escri$ir el sistema en cuestin
/ 0eterminar lo %ue se puede hacer con l
/ 0eterminar cmo alcan1ar o$-etivos
La 'eora de Sistemas no trata directamente con el mundo real sino con modelos del mundo realo$tenidos a partir de las ciencias $sicas. Estos modelos pueden ser tanto !sicos, *atemticoscomo "rficos.
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1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.
DEFINICIONES
TEORA DE LA REGULACIN AUTOMTICA O DE CONTROL DE SISTEMAS:Es la ciencia que se dedica al estudio del comportamiento dinmico de los sistemas yal diseo de estrategia de control para que dichos sistemas se comporten de la formams conveniente y autnoma posi!le"
SISTEMA:
Con#unto de elementos fsicos o a!stractos relacionados entre s con el entorno$ de
forma que las variaciones en determinadas magnitudes entre ellos puedan modificarlos de los dems o viceversa"
VARIABLES DEL SISTEMA:
%aria!les que definen el comportamiento de un sistema" &u naturale'a define elcarcter del sistema( mecnico$ !iolgico$ econmico$ etc)
VARIABLE DE SALIDA:
%aria!le que interesa controlar del sistema" VARIABLE DE ENTRADA:
%aria!le manipula!le o no$ que afecta a la salida del sistema"
SEAL DE CONTROL Se2al usada por el controlador para adecuar la salidaa una referencia dada.
PERTURBACIN Se2al medi$le o no, %ue afecta a la salida %ue no
podemos o %ueremos manipular.
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1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.
DEFINICIONES
PROCESO:
Es la evolucin que sufre el sistema que queremos controlar"
PLANTA:
Es el dispositivo fsico donde se va a dar el proceso * motor$ horno$ reactor$ caldera$ )+"
MODELADO DEL SISTEMA MODELO MATEMTICO:
&e utili'a para estudiar la planta y tener de este modo una serie de ecuacionesmatemticas que descri!en al sistema"
,os modelos caracteri'arn a los sistemas seg-n el tipo que estos sean.
/ SISTE!AS EST"TICOS #Ec$aciones Alge%&aicas'No p&esentan cam%ios ni e(ol$ciones de s$ estado) La salida del sistema pe&manececonstante si la ent&ada tam%i*n lo es)
/ SISTE!AS DIN"!ICOS #Ec$aciones Di+e&enciales'&resenta algn cam$io o evolucin de su estado en un tiempo. La salida puedeevolucionar con el tiempo ante una entrada constante.
SISTEMAENTRADAS! SALIDAS!
"ERTUR#ACIONES!
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1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.
ES$UEMA DEL "ROCESO DE O#TENCIN DEL MODELO MATEM%TICO
PARTIENDO DE UN ANLISIS BASADO EN LA EXPERIMENTACIN SE DEFINEN LASECUACIONES.
COMPROMISO:
Si&temaF'&ico Real
Observacin del
comportamiento
del Sistema
Revisin del Modelo
Matemtico
ModeloModeloMatemticoMatemtico
Aparatos de
Medida
SIMULACIN
Aparato deClculo
Prediccin del
comportamiento
del Sistema
COM"ARACIN
FI
MAL
#IEN
/recisin 0 Comple#idad del 1odelo
Coste
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1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.
ECUACIONES DIFERENCIALES
SE ESTUDIARN LOS SISTEMAS DINMICOS MODELIZADOS MATEMTICAMENTEPOR ECUACIONES DIFERENCIALES.
LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SE PODRN REPRESENTAR DE DOS MANERAS:
REPRESENTACIN E,TERNA #TEOR-A CL"SICA DE CONTROL'
Se conocen las (a&ia%les de ent&ada . salida)
REPRESENTACIN INTERNA #TEOR-A !ODERNA DE CONTROL'Se conocen las (a&ia%les de ent&ada . salida/ pe&o tam%i*n se conoce el estado inte&nodel sistema # Variab!" #! E"$a#%')
=++ yyby
SISTEMAEstado!"#$"%$&"n'
ENTRADA!
ySALIDA! Sistema de Ecuaciones
Diferenciales
SISTEMAENTRADA! SALIDA!
y
http://tema1%20-%20definicion%20variables%20de%20estado.ppt/http://tema1%20-%20definicion%20variables%20de%20estado.ppt/http://tema1%20-%20definicion%20variables%20de%20estado.ppt/ -
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1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.
SISTEMAS DE CONTROL EN LA(O A#IERTO ) LA(O CERRADO
&A' DOS T(CNICAS DIFERENTES PARA CONTROLAR UN SISTEMA) ' SUSCARACTERSTICAS SON COMPLETAMENTE DIFERENTES* SISTE!AS DE CONTROLEN LA0O ABIERTO 1 SISTE!AS DE CONTROL EN LA0O CERRADO.
+, LOS SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO
/ S%- a/!%" !- %" 0/a!" a !-$ra#a a "i"$!1a #! 0%-$r% a0$2a #ir!0$a1!-$!"%br! ! #i"3%"i$i4% /! 0%-$r%a ! 3r%0!"% "i- $!-!r !- 0/!-$a -i-5/-ai-#i0a0i6- "%br! "i ! 4a%r #! a "ai#a #! 3r%0!"% !" a #!"!a#a.
/ N% $i!-! a 0a3a0i#a# #! 0%rr!5ir "/" !rr%r!".
/ S! !"3!ra /! a "ai#a "!a a #!"!a#a 3!r% -% "! 1i#!.
/ S! /$ii7a 18" /! -a#a !- "i"$!1a" "!-0i%") !"$ab!" % "i- 3!r$/rba0i%-!".
/ La !9a0$i$/# #! "i"$!1a #!3!-#! #! a 0aibra0i6-.
CONTROLADORENTRADA! "LANTA * "ROCESO SALIDA!
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1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.
SISTEMAS DE CONTROL EN LA(O A#IERTO ) LA(O CERRADO
, LOS SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO CERRADO
/ S%- a/!%" !- %" 0/a!" a "ai#a #! 3r%0!"% "! 1i#! 0%-$i-/a1!-$! ; "!0%13ara 0%- a !-$ra#a a "i"$!1a #! 0%-$r%) #a-#% /-a "!?0i!" #! 0%-$r%ar.
/ E "i"$!1a !- a7% 0!rra#% !" 18" i-"!-"ib! a a" 3!r$/rba0i%-!" ; a a"4aria0i%-!" #! 3ar81!$r%" #! "i"$!1a) /! !- a7% abi!r$% .
/ S%- 18" 0%13!=%" /! %" "i"$!1a" !- a7% abi!r$%) a -!0!"i$ar #! "!-"%r!" ;$ra-"#/0$%r!" 3ara 5!-!rar a "!
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1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.
SISTEMAS DE CONTROL EN LA(O A#IERTO ) LA(O CERRADO
/ E" -!0!"ari% ! !"$/#i% #! a !"$abii#a# #! "i"$!1a r!"/$a-$!) ;a /! ar!ai1!-$a0i6- 1%#i>i0a #! >%r1a i13%r$a-$! a #i-81i0a #! "i"$!1a.
/ E 0%-$r%a#%r "! #i"!
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ContenidoContenido
1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.2.2. SEALES.SEALES.3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.4.4. ECUACIN DE CONVOLUCIN.ECUACIN DE CONVOLUCIN.5.5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.
6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
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2.2. SEALES.SEALES.
INTRODUCCIN
UNA SEALES TODO SOPORTE DE IN:OR!ACIN) SE DE:INE CO!O UNA CANTIDAD:-SICA ;UE 6AR-A CON EL TIE!PO/ EL ESPACIO O CUAL;UIER OTRA 6ARIABLE O6ARIABLES INDEPENDIENTES) !ATE!"TICA!ENTE/ DESCRIBI!OS UNA SEAL CO!OUNA :UNCIN DE UNA O !"S 6ARIABLES INDEPENDIENTES)
EN PARTICULAR/ UNA SEAL ES TODO :EN!ENO :-SICO SUSCEPTIBLE DE SERPROCESADO !EDIANTE SISTE!AS !EC"NICOS/ EL
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2.2. SEALES.SEALES.
CLASIFICACIN DE SE,ALES
EN BASE A LA VARIACIN
SEAL DETER!INISTA: C$ando a p&io&i conocemos el (alo& de la se5al pa&a c$al7$ie&(alo& de la (a&ia%le independiente) Po& lo tanto son se5ales p&edeci%les . tend&9n $nmodelo matem9tico # toda se5al 7$e se p$eda e>p&esa& mediante $na ec$aci8nanaltica es dete&minista ')
SEAL ALEATORIA # ESTOC"STICA ': C$ando a p&io&i no podemos sa%e& o p&edeci&el (alo& 7$e toma&9 la misma en $n dete&minado instante de tiempo) No tienen $nmodelo matem9tico . solamente se p$eden ca&acte&i2a& estadsticamente # pa&9met&osp&o%a%ilsticos ')
Las se5ales 7$e no cam%ian con el tiempo se denominan !"$a0i%-aria". -% !"$a0i%-aria"a las 7$e si lo ?acen)
Toda se5al contiene in+o&maci8n/ . no&malmente s$ele se& aleato&ia a$n7$e nosot&os noscent&a&emos en las S!el')
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2.2. SEALES.SEALES.
CLASIFICACIN DE SE,ALES
POR SU NATURALEZA
CONTINUA: C$ando la se5al toma (alo& pa&a c$al7$ie& (alo& de la (a&ia%leindependiente)
DISCRETA: C$ando la se5al toma (alo&es e>cl$si(amente en ente&os de la (a&ia%leindependiente # m$est&as ') Tam%i*n se les denomina sec$encias)
SEGN ENERGA O POTENCIA
SEAL DE ENER4-A :INITA P!ED
SEAL DE POTENCIA :INITA ENER4-A
V. I-#!3!-#i!-$! V. D!3!-#i!-$!
S!
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2.2. SEALES.SEALES.
CLASIFICACIN DE SE,ALES
SEGN SIMETRA
SI!ETR-A PAR
+ #>' + #>'
SI!ETR-A I!PAR
+ #>' + #>' o + #>' + #>'
Toda se5al se p$ede descompone& en dos pa&tesF $na pa&te pa& . la ot&a impa&=
>#t' >p#t' G >i#t'
SEGN SU PERIODICIDAD
SEALES PERIDICAS: Son a7$ellas 7$e se &epiten a lo la&go del tiempo)
>#t' >#t G T' H //J/K3
SEALES APERIDICAS: No se &epiten a lo la&go del tiempo)
>#t' >#t G T' H //J/K3
7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6
5
4
3
2
2
3
4
*
4 3 2 2 3 4
2
3
4
5
*
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2.2. SEALES.SEALES.
TRANSFORMACINES DE LA +ARIA#LE INDE"ENDIENTE
INVERSIN
Consiste en in(e&ti& la se5al &especto del o&igen de la (a&ia%le) Pa&a ello aplica&emos $nat&ans+o&maci8n de la (a&ia%le t t )
DESPLAZAMIENTO
RETARDO= La se5al se despla2a t?acia de&ec?as) T&ans+o&mamos t t t )
tt
x(t)
tt1 t2
x(-t)
t-t1-t2
x(t)
tt1 t2
x(t-to)
tto+t1to to+t2
+ttt
-
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2.2. SEALES.SEALES.
TRANSFORMACINES DE LA +ARIA#LE INDE"ENDIENTE
ADELANTO= La se5al se despla2a t?acia i27$ie&das) T&ans+o&mamos t t G t )
DESPLAZAMIENTO DE LA SEAL INVERTIDA
Se aplica pa&a la se5al >#t') Se despla2a al &e(*s de la se5al sin in(e&ti&)
RETARDO= La se5al se despla2a t?acia i27$ie&das) T&ans+o&mamos t t t
)
x(t)
tt1 t2
x(t+to)
t-to+t1-to -to+t2
+ +ttt
x(-t)
t-t1-t2
x(-t-to)
t-to-t1 -to-to-t2
+ttt
-
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2.2. SEALES.SEALES.
TRANSFORMACINES DE LA +ARIA#LE INDE"ENDIENTE
ADELANTO= La se5al se despla2a t?acia de&ec?as) T&ans+o&mamos t t G t )
ESCALADO
Consiste en aplica& $na t&ans+o&maci8n de la (a&ia%le t aMt ?aciendo 7$e la d$&aci8n de la
se5al a$mente o dismin$.a segn el (alo& de aQ)
Si a la d$&aci8n de la se5al se &ed$ce po& ese (alo& aQ) Esto es ?ace& $nacomp&esi8n)
Si a la d$&aci8n de la se5al se ?ace aQ (eces ma.o&) Esto es ?ace& $na
e>pansi8n)
x(-t)
t-t1-t2
x(-t+to)
tto-t1 toto-t2
+ +ttt
G C
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2.2. SEALES.SEALES.
TRANSFORMACINES DE LA +ARIA#LE INDE"ENDIENTE
CO!PRESIN=
E,PANSIN=
tat
x(t)
tt1 t2
x(at)
tt2/at1/a
#>a
x(t)
tt1 t2
x(at)
tat2at1
tat#
-
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2.2. SEALES.SEALES.
"RO"IEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES
LA INVERSIN ' EL ESCALADO CUMPLEN LA PROPIEDAD CONMUTATIVA.
1 si lo ?acemos en el o&den in(e&so 7$eda lo mismo)
x(t)
tt1 t2
x(-t)
t-t1-t2
x(-at)
t-t2/a -t1/a
x(t)x(-t)
INVER
TIMOS
ESCA
LAMOS(com
presin)
tat#>a
tt
x(t)
tt1 t2
x(-at)
t-t2/a -t1/a
x(t)x(at)
ESCA
LAMOS(com
presin)
#>ax(at)
tt2/at1/a
tat ttINVER
TIMOS
TEMA 1TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACIN
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2.2. SEALES.SEALES.
"RO"IEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES
EL ESCALADO CON EL DESPLAZAMIENTO NO CUMPLEN LA PROPIEDADCONMUTATIVA.
1 si lo ?acemos en el o&den in(e&so NO 7$eda lo mismo)
x(t)
tt1 t2
x(t)x(at)
ESCA
LAMOS(compresin)
#>ax(at)
tt2/at1/a
tat tottDESLA
!AMOS
x(at-ato)
tto+t2/ato+t1/ato
x(t)
tt1 t2
x(t)
x(t-t0) x(at-t0)
tottDESLA
!AMOS
x(t-to)
tto+t2to+t1to
x(at-to)
t(to+t2)/a(to+t1)/ato/aESCA
LAMOS(com
presin)
#>a
tat
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2.2. SEALES.SEALES.
"RO"IEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES
DESPLAZAMIENTO CON SEALES DE SIMETRA PAR 9@$, 9@$, .
>#tt' es despla2a& >#t' ?acia la de&ec?a #&et&asa&' pe&o >#tGt' tam%i*n lo es po& se&pa&)
>#tGt' es despla2a& >#t' ?acia la i27$ie&da #adelanta&' pe&o >#tt' tam%i*n lo es po& se&pa&)
DESPLAZAMIENTO CON SEALES DE SIMETRA IMPAR 9@$, 9@$, .
>#tt' es despla2a& >#t' ?acia la de&ec?a #&et&asa&' pe&o >#tGt' tam%i*n lo es po& se&impa&)
>#tGt' es despla2a& >#t' ?acia la i27$ie&da #adelanta&' pe&o >#tt' tam%i*n lo es po&se& impa&)
x(t) = x(-t)
t
x(t) = -x(-t)
t
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-
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2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
ESCALN UNITARIO.
P%#!1%" %3!rar 0%- !"$a "!
-
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2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
Ta1bi- "! 3%#r8 i-4!r$ir) ; /!5% #!"3a7ar) a0ia a #!r!0a % i7/i!r#a.
' $a1bi- "! 3/!#! a3i0ar /- !"0aa#%) 3!r% $!-i!-#% !- 0/!-$a /! 3%r 1/0% /!a 0%13ri1a % a !93a-#a) "i!13r! !13i!7a !- H @ % !- $%, ; a0aba !- @ % !- ,.
u(at) = u(t)
t
1
u(-t)
t
1
u(-t+to)
t
1
to
u(-t-to)
t
1
-to
tt + +ttt +ttt
o
$(at) % $(t)
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2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
IMPULSO UNITARIO. S! ! a1a $a1bi- D!$a #! Dira0 ; !" /-a "!i0a1!-$!.
E" /-a "!
-
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2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
S! %b$i!-! #! a0!r /- ?1i$! #! /- 3/"% r!0$a-5/ar) 0/;a 8r!a 4a! +. D! a? /! ! 8r!a % 3!"% #! a @$, 4a5a +.
A3i0a-#% a" 0ara0$!r?"$i0a") "ab!1%" /!:
p(t)
t
1 / a
a / 2-a / 2
( ) ( )tpt+
lim
=
##
%% ==
Area
a %
( ) ( )+
==+
+
#'tt'tt
( ) ( )
=t
't$ ( ) ( )
=
tt
'ttp'ttp++
limlim
TEMA 1TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACIN
-
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TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
' a a i-$!5ra #! 3@$, #! 8r!a + ! a1ar!1%" /3@$, #%-#!:
A3i0a-#% /- ?1i$! a /3@$, a0i!-#% /! a $i!-#a a 0!r%) 0%-"!5/ir!1%" ! !"0a6-/-i$ari%.
" t # * $
p(t) % & (t + *) * # t # *
& t , *
Up(t)
t
1
a / 2-a / 2
(1/a)t +1/2
a %
t
lim Up(t)a-->o
u(t)
t
1
-acemos .$e " As/ conse0$imos $(t)
TEMA 1TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACIN
-
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30/110
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
P%r % /! "! #!1/!"$ra /!:
C%1% ;a "! a 0%1!-$a#% a-$!" a @$, -% !9i"$! !- a r!ai#a#) !" /-a r!3r!"!-$a0i6-a-a?$i0a /! -%" a;/#a 1/0% a 1a-!=ar ; >%r1ai7ar "!
-
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31/110
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
/ PESO DE LA #t' / @)
Si m$ltiplicamos la #t' po& $n escala&/ se dice 7$e ese es s$ peso o 9&ea) Esto es $nap&opiedad 7$e no oc$&&a con el escal8n $nita&io .a 7$e el 9&ea siemp&e (ale )
(t) % (t)
Esta es $na manera 'e i'enti1icar por .$e n2mero o 1$ncin se m$3tip3ica a 3a
'e3ta4
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACIN
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32/110
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
/ ESCALADO)
Las #t' son se5ales 7$e se escalan de +o&ma especial)
Podemos llega& a s$pone& 7$e #Ht' #t' po&7$e si t tiende a el (alo& de la delta (ale/ pe&o ?a. 7$e tene& c$idado) 6eamos=
Si H &eali2amos $na comp&esi8n) Si H &eali2amos $na e>pansi8n)
p(kt)
t
1 / a
a / 2k-a / 2k
p(t / k)
t
1 / a
ak / 2-ak / 2( ) ( )tpt
+lim
=
a %
55Area
##
%% ==
,
, #
%% 5
5Area ==
( ) ( )t5
5t #
= ( ) ( )t5
5t #
=
A.$/
tampoco
6a3e &7 esta
6e87 e3 6a3or
.$e co0e es
594
( )t55
t ,
, =
( )t55
t ,
, =
A:ora e3 peso
no 6a3e &7 sino
.$e :a
cambia'o a &5
(no .$e'a 3o
mismo)4
p(kt)
a / 2k a / 2k
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TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
/ PRODUCTO DE UNA SEAL POR UNA #t' )
DE:INICIN= El p&od$cto de $na se5al con $na Delta de Di&ac esF $na #t' en la mismaposici8n de esa #t'/ c$.o peso es el (alo& 7$e toma la +$nci8n >#t' en la posici8n de las$sodic?a #t')
t
x(t)
kd(t)
t
;(t)(t)% ;(")(t)
"
x(t).d(t)
t
k
-
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TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
/ INTE4RAL DEL PRODUCTO DE UNA SEAL POR UNA #t' )
1 si la #t' est9 despla2ada=
( E3 inter6a3o p$e'e ser c$a3.$iera mientras este 'entro 3a(t))( ) ( ) =
'ttt;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++
+
+
+
+
+
+
+ 'ttt;'tt;'ttt;
( ) ( ) ( ) cte;'tt; ==+
+++
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )++++
+
t;'ttt;'tttt;t
t
== +
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TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
Nos +ijamos entonces 7$e el &es$ltado es el (alo& de la +$nci8n en la posici8n de la #t')
CONCLUSIN= Toda se5al p$ede e>p&esa&se en +$nci8n de la #t')
>#' es el (alo& de >#t' donde est9 la delta/ #t ')
Como la +$nci8n Delta es pa& #t ' # t')
1 se coge como (a&ia%le ?aciendo 7$e la cantidad 7$e se despla2a sea t)
Pa&a (e&lo mejo& ?acemos t t=
( Di1erenciamos 1rente a )( ) ( ) ( )
= 't;t;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )###### t;'tt;'tt;'t;t; =+=+==
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TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
PULSO RECTANGULAR.
/ ESCALADO)
( )t
#=Area
x(t)
1/2-1/2
1
t#=D$racin
x(t)
T/2-T/2
1
t
T
t
TArea=
TD$racin=
&TCOMRESI
-
7/13/2019 Tema1 - Introduccin a Los Sistemas de Control
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TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
/ DESPLA0A!IENTO #CON E,PANSIN')
/ !ULTIPLICACIN POR UN ESCALAR)
x(t)
62
1
t4
.
.t
.tt>'esp3a8ase$e0oL
>e;pan'eserimero
.tt
x(t)
1/2-1/2
5
t
( )t/
/=Area
#=D$racin
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACIN
-
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38/110
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLO UCC OS S S S CO O REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
PULSO TRIANGULAR.
/ ESCALADO)
( )t
#=Area
%=D$racin
T
t
TArea=
TD$racin %=
&TCOMRESI
-
7/13/2019 Tema1 - Introduccin a Los Sistemas de Control
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TEMA 1 REGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
/ DESPLA0A!IENTO #CON E,PANSIN 1 !ULTIPLICACIN POR UN ESCALAR')
%
3.
t
3tt>'esp3a8ase$e0oL
>e;pan'eserimero
%tt
4=Area
.=D$racin
x(t)
84
4
t6
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACIN
-
7/13/2019 Tema1 - Introduccin a Los Sistemas de Control
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AUTOMTICAAUTOMTICA
2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
SEAL RAMPA.
SEAL PARABLICA.
t
x(t)
t
x(t)
( ) tt; =
( ) %tt; =
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACIN
-
7/13/2019 Tema1 - Introduccin a Los Sistemas de Control
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AUTOMTICAAUTOMTICA
2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
SEAL EXPONENCIAL COMPLEA.
U- -21!r% 0%13!=% "! 3/!#! r!3r!"!-$ar #! >%r1a !93%-!-0ia:
/ SI cQ 1 aQ SON REALES)
( ) atect; = Cayc'on'e
?eccb?a +
c>0
c0
c0
ca +
-
7/13/2019 Tema1 - Introduccin a Los Sistemas de Control
42/110
AUTOMTICAAUTOMTICA
2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
/ SI cQ 1 aQ SON CO!PLEVOS)
Nos inte&esa pone& as pa&a los c9lc$los=
+?@ra
ecc?
+=
=
p$3sacin3aes@
amp3it$'3aaa1ectanryc
+
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
+++=
=+++=
=== ++
t@ec?t@ec
t@?t@ec(E$3er)ricatri0onomten1ormaonien'o
eeceeeceect;
rtrt
rt
t?@rtt?@?rtt?@r?
++
++
sincos
sincos5
+++
arte Rea3 arte Ima0inaria
TEOREMA DE EBLER
sincos ?e? +=
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-
7/13/2019 Tema1 - Introduccin a Los Sistemas de Control
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AUTOMTICAAUTOMTICA
2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
Se p$eden &ep&esenta& g&9+icamente tanto la pa&te &eal/ como la pa&te imagina&ia=
[Re x(t)]
Desfase|c|
|c|
t
[Im x(t)]
|c|
|c|
t
||
||
[Re x(t)]
Desfase
|c|
|c|
||
||
I
[Im x(t)]
|c|
t
|c|
+>r
+
-
7/13/2019 Tema1 - Introduccin a Los Sistemas de Control
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AUTOMTICAAUTOMTICA
2.2. SEALES.SEALES.
SE,ALES #%SICAS CONTINUAS
/ SI cQ ES REAL 1 aQ I!A4INARIO PURO)
S! 3/!#! #!1%"$rar /! /-a "!%r1a:
( ) ( ) ( )[ ]t@c?t@cect; t?@ ++ sincos+ +==
arte Rea3 arte Ima0inaria
TEOREMA DE EBLER
sincos ?e? +=
( ) ( )
( )
{ }
( ) ( )
( ) ( ) ( ){ }( ) ( )
?
eAeAeAt@At;
eAeA
eAt@At;
t?@t?@t?@
t?@t?@t?@
%Imsin
%Recos
++
+
++
+
+
+
+++
+++
+=
+
+=
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACIN
-
7/13/2019 Tema1 - Introduccin a Los Sistemas de Control
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AUTOMTICAAUTOMTICA
ContenidoContenido
1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.2.2. SEALES.SEALES.3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.4.4. ECUACIN DE CONVOLUCIN.ECUACIN DE CONVOLUCIN.5.5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACIN
-
7/13/2019 Tema1 - Introduccin a Los Sistemas de Control
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AUTOMTICAAUTOMTICA
3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.
CLASIFICACIN ) "RO"IEDADES DE LOS SISTEMAS
NUESTRO OBVETI6O ES EL DE CONOCER EL CO!PORTA!IENTO DE LOS SISTE!AEN DI:ERENTES SITUACIONES/ 1 C!O/ LA INTERACCIN ENTRE SUS PARTESDETER!INAN SU E6OLUCIN TE!PORAL)
POR EL !O!ENTO DE:INIRE!OS A UN SISTE!A CO!O UNA CAVA NE4RA CON UNAO 6ARIAS ENTRADAS 1 CON UNA O 6ARIAS SALIDAS/ DE !ANERA ;UE LAS SALIDASSON UNA RESPUESTA CAUSAL A LOS CA!BIOS EN LA ENTRADA)
LA WNICA RESTRICCIN ;UE I!PONE!OS ES LA DE CAUSALIDAD) UN SISTE!A ESCAUSAL SI SU SALIDA EN CUAL;UIER INSTANTE DE TIE!PO DEPENDE SOLO DELOS 6ALORES DE ENTRADA EN EL !O!ENTO PRESENTE 1 PASADO/ PERO NO DE6ALORES :UTUROS DE LA ENTRADA)
LOS SISTE!AS CU!PLIRAN UNA SERIE DE PROPIEDADES 1 EN BASE A ESTAS SEOBTIENE UNA CLASI:ICACIN DE ELLOS)
PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
/ CAUSALIDAD
/ LINEALIDAD
/ ESTABILIDAD
/ INVARIANZA TEMPORAL
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACIN
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7/13/2019 Tema1 - Introduccin a Los Sistemas de Control
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AUTOMTICAAUTOMTICA
3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.
CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS
SEGN SU NATURALEZA
EST"TICOS : No p&esentan cam%ios ni e(ol$ciones de s$ estado) La salida del sistemape&manece constante si la ent&ada tam%i*n lo es)
SISTE!AS DIN"!ICOS: P&esenta algn cam%io o e(ol$ci8n de s$ estado en $ntiempo) La salida p$ede e(ol$ciona& con el tiempo ante $na ent&ada constante)
SEGN EL NMERO DE VARIABLES
!ONO6ARIABLES #ESCALARES': Se t&ata de sistemas 7$e poseen $na ent&ada . $nasalida # simple inp$t/ o$tp$t SISO ')
!ULTI6ARIABLES: Se t&ata de sistemas 7$e poseen (a&ias ent&adas . salidas# m$ltiple inp$t/ o$tp$t !I!O ')
SEGN EL TIPO DE SEAL
CONTINUOS: Todas las se5ales son contin$as en el tiempo)
DISCRETOS: Las se5ales del sistema s8lo est9n de+inidas en instantes disc&etos detiempo)
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACIN
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AUTOMTICAAUTOMTICA
3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.
CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS
SEGN SU COMPORTAMIENTO DINMICO
Segn el compo&tamiento din9mico 7$e el sistema posea/ este p$ede se& LINEAL o NOLINEAL) El sistema se&9 lineal si c$mple con la condici8n de i-!ai#a#) Pa&a ello tend&9 7$ec$mpli&=
SUPERPOSICIN O ADITI6IDAD
XO!O4ENEIDAD O ESCALADO
EN GENERAL:
Sx1(t) + x2(t) y1(t) + y2(t)y1(t) = S{x1(t)}
y2(t) = S{x2(t)}
SaJx(t) aJy(t) y(t) = S{x(t)}
S!a"Jx"(t) !a"#y"(t) y"(t) = S{x"(t)}
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AUTOMTICAAUTOMTICA
3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.
CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS
SEGN SU ESTABILIDADUn sistema es ESTABLE si apa&tando las (a&ia%les de s$ p$nto de e7$ili%&io/ estas ($el(ennat$&almente a *ste/ . es INESTABLE si di(e&gen de *l sin &eto&no)
En los sistemas esta%les/ ante toda ent&ada acotada la salidaY&esp$esta es tam%i*n acotada)
SEGN SU INVARIANZA TEMPORAL
Un sistema es IN6ARIANTE con &especto al tiempo c$ando la &esp$esta del sistema nodepende del instante en el 7$e se le apli7$e la e>citaci8n o ent&ada) Esto signi+ica 7$e/ si seaplica al sistema $na e>citaci8n pa&tic$la& . se o%tiene $na &esp$esta/ si se aplica la mismae>citaci8n $n tiempo desp$*s/ se o%tiene la misma &esp$esta/ despla2ada el mismo tiempo7$e se despla28 la e>citaci8n)
Lo ante&io& implica +sicamente 7$e las ca&acte&sticas del sistema no cam%ian en el tiempo)S$ &esp$esta cam%ia dependiendo de la e>citaci8n 7$e se le apli7$e . la din9mica inte&nadel sistema mismo/ pe&o la +o&ma en 7$e &esponde a $na e>citaci8n pa&tic$la& es siemp&e lamisma/ independiente del instante de tiempo en 7$e se le apli7$e)
tty
tCt;
citaciones . s$s co&&espondientes&esp$estas=
K9@
, ; K
"%- 0%-"$a-$!" a i5/a /! Ka ; K$H.
/ 3a"ar?a "i a "i"$!1a "! ! a3i0a 0%1% !90i$a0i6- /-a "/1a #! 1/0%"i13/"%" 0%1% ! #!"0ri$% !- ! 2$i1% 0a"%
Dado 7$e el sistema es lineal e in(a&iante en el tiempo/ la &esp$esta se&a $na s$ma de las&esp$estas a cada $no de los imp$lsos 7$e contiene la e>citaci8n)
( )
( )( )
( ) ( )
t;
tt
ta
t
E;citacin
o
( )
( )( )
( ) ( )
t:;
tt:
ta:
t:
Resp$esta
o
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AUTOMTICAAUTOMTICA
4.4. ECUACIN DE CONVOLUCIN.ECUACIN DE CONVOLUCIN.
LA CON+OLUCIN DE LA E.CITACIN ) LA RES"UESTA AL IM"ULSO
La d$&aci8n de $n imp$lso tiende a ce&o/ es deci&/ p$de se& conside&ado como $nadi+e&encial) La s$ma de di+e&enciales es $na integ&al/ entonces/ se tend&a lo sig$iente=
La integ&al 7$e &ep&esenta la &esp$esta del sistema es $na I-$!5ra #! C%-4%/0i6-) Estainteg&al &ep&esenta la con(ol$ci8n de la &esp$esta al imp$lso . la e>citaci8n aplicada)
La e>citaci8n es tam%i*n $na con(ol$ci8n de la se5al aplicada . la +$nci8n Delta de Di&ac) Lacon(ol$ci8n de c$al7$ie& se5al . la +$nci8n imp$lso $nita&io da como &es$ltado la mismase5al=
Entonces/ la &esp$esta de $n sistema lineal e in(a&iante en el tiempo a $na e>citaci8ngene&al es la con(ol$ci8n de la e>citaci8n aplicada . la &esp$esta al imp$lso del sistema=
( ) ( )
( ) ( )
't;
t;
E;citacin
( ) ( )
( ) ( )
't:;
t:;
Resp$esta
( ) ( ) ( )t;'t; =
( ) ( ) ( )
= 't:;ty
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
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AUTOMTICAAUTOMTICA
4.4. ECUACIN DE CONVOLUCIN.ECUACIN DE CONVOLUCIN.
"RO"IEDADES DE LA CON+OLUCIN
NOTACIN MATEMTICA:
CLCULO DE LA INTEGRAL DE CONVOLUCIN.
/ Se deja 7$ieta la >#' la ?#' la mo(e&emosQ)/ Se in(ie&te ?#')
/ Se despla2a en (alo& de tQ)
/ !o(emos en el tiempo ?#G t' . m$ltiplicamos las dos +$nciones)
/ Se calc$la la integ&al en el inte&(alo)
LA CONVOLUCIN CUMPLE LAS SIGUIENTES PROPIEDADES.
/ CON!UTATI6A)
/ ASOCIATI6A)
/ DISTRIBUTI6A RESPECTO DE LA SU!A)
/ ELE!ENTO NEUTRO)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t:t;'t:;ty ==
%DE&'DE&'
/TRANSLACIONES)
/DERI6ACIN)
/3
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.htmlhttp://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.htmlhttp://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html -
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AUTOMTICAAUTOMTICA
ContenidoContenido
1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.2.2. SEALES.SEALES.3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.4.4. ECUACIN DE CONVOLUCIN.ECUACIN DE CONVOLUCIN.5.5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
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AUTOMTICAAUTOMTICA
5.5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.
ECUACIN DIFERENCIAL LINEAL CON COEFICIENTES CONSTANTES
DESDE EL CO!IEN0O DE LA ERA INDUSTRIAL 1 EN A6ANCE CONSTANTE A !EDIDA;UE AU!ENTABA EL CONOCI!IENTO DE LAS LE1ES :-SICAS ;UE RI4EN LANATURALE0A/ PUDO SER POSIBLE LA REPRESENTACIN !ATE!"TICA DE LOSSISTE!AS O !ODELOS DEL !IS!O)
EL PRI!ER PASO EN EL PROCESO DE !ODELADO/ ES PODER SEPARAR AL SISTE!A;UE NOS INTERESA DEL !EDIO E,TERIOR DE:INIENDO UN BORDE O L-!ITE) ELSISTE!A SE CONECTA CON EL !EDIO E,TERIOR A TRA6
-
7/13/2019 Tema1 - Introduccin a Los Sistemas de Control
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AUTOMTICAAUTOMTICA
5.5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.
ECUACIN DIFERENCIAL LINEAL CON COEFICIENTES CONSTANTES
LA REPRESENTACIN 4ENERAL DE UN SISTE!A L)T)I # SISO ' EN TIE!PO CONTINUOSE REALI0A NOR!AL!ENTE A TRA6
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AUTOMTICAAUTOMTICA
ContenidoContenido
1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.2.2. SEALES.SEALES.3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.4.4. ECUACIN DE CONVOLUCIN.ECUACIN DE CONVOLUCIN.5.5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
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AUTOMTICAAUTOMTICA
6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.
INTRODUCCIN
UNA XERRA!IENTA ;UE SE UTILI0A EN EL DISEO DE CONTROL CL"SICO ESPRECISA!ENTE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE)
CO!O XE!OS 6ISTO/ EN EL ESTUDIO DE LOS PROCESOS ES NECESARIOCONSIDERAR !ODELOS DIN"!ICOS # !ODELOS DE CO!PORTA!IENTO 6ARIABLERESPECTO AL TIE!PO ' 1 ESTO TRAE CO!O CONSECUENCIA EL USO DEECUACIONES DI:ERENCIALES RESPECTO AL TIE!PO PARA REPRESENTAR!ATE!"TICA!ENTE EL CO!PORTA!IENTO DE UN PROCESO)
LA TRANS:OR!ADA DE LAPLACE ES UNA XERRA!IENTA !ATE!"TICA !U1 WTILPARA EL AN"LISIS DE SISTE!AS DIN"!ICOS LINEALES)
PER!ITE RESOL6ER ECUACIONES DI:ERENCIALES LINEALES !EDIANTE LATRANS:OR!ACIN EN ECUACIONES AL4EBRAICAS :ACILITANDO SU ESTUDIO)
AL APLICAR LAPLACE PASA!OS DEL DE!ONIO TE!PORAL #t' AL DO!INIODENO!INADO LAPLACIANO #s'/ CUANDO SE TIENE LA SOLUCIN DE LA ECUACINSE APLICA UNA ANTITRANSFORMADA DE LAPLACE PARA 6OL6ER AL DO!INIOTE!PORAL 1 OBTENER EL RESULTADO EN :UNCIN DEL TIE!PO)
Ec-Di/e0encial
Ec-Alge0aica
TRANSFORMADALA"LACE
Solucin Ec-Di/e0encial
ANTITRANSFORMADALA"LACE
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AUTOMTICAAUTOMTICA
6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.
DEFINICIN DE LA TRANSFORMADA DE LA"LACE
S!a >@$, /-a >/-0i6- #!>i-i#a 3ara $ H) "/ Tra-">%r1a#a #! La3a0! "! #!>i-! 0%1%:
D%-#! " !" /-a 4ariab! 0%13!=a:
N%$a0i6-:
'tet1sFt1L st
== + '!'!'8!9
{ }! ' ! '$1 t F s=L
{ }
{ }
! ' ! '$
! ' ! '$ etc2
y t G s
; t = s
=
=
L
L
2?@s +=
Parte Ima:inariaParte Real
&'D*'
,.&E/'
%% @s +=
=
@arct0s
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AUTOMTICAAUTOMTICA
6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.
DEFINICIONES ) E2EM"LOS
S! #i0! /! a Tra-">%r1a#a #! La3a0! #! >@$, !9i"$! "i a i-$!5ra 0%-4!r5!. S! %b"!r4a /! a Tra-">%r1a#a #! La3a0! !" /-a i-$!5ra i13r%3ia* /-% #! "/"
?1i$!" !" i->i-i$%.
E #%1i-i% #! a TL !" ! 0%-=/-$% #! %" 4a%r!" #! K" 3ara %" 0/a!" !9i"$! ai-$!5ra i13r%3ia.
S! a1a ab"0i"a #! 0%-4!r5!-0ia a -21!r% r!a K"0 #!>i-i#% 3%r:
EEMPLOS.
La i-$!5ra /! #!>i-! a TL -% 0%-4!r5! -!0!"aria1!-$!. P%r !=!13% !"$a" >/-0i%-!"-% $i!-!- TL) ;a /! -% 0%-4!r5!-:
La" 0%-#i0i%-!" "/>i0i!-$!" /! 5ara-$i7a- a !9i"$!-0ia #! a TL "%- /! >@$, "!a0%-$i-/a a $r%7%" ; /! "!a #! %r#!- !93%-!-0ia.
t# %te
( ){ }t1L'omsc in1=
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AUTOMTICAAUTOMTICA
6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.
CONDICIONES SUFICIENTES DE E.ISTENCIA DE LA TL
CONTINUIDAD A TRO0OS Si $na +$nci8n es contin$a a t&o2os en $n inte&(alo ce&&ado/ es integ&a%le en dic?o
inte&(alo .a 7$e +#t' posee a lo s$mo $n nme&o +inito de discontin$idades simples # desalto +inito ')
ORDEN E,PONENCIAL
Se dice 7$e $na +$nci8n es de o&den e>ponencial si e>iste $na constante aQ .constantes positi(as !Q . tQ con t t tal 7$e=
TEOREMA DE EXISTENCIA
Para /-a >/-0i6- >@$, a 0%-$i-/i#a# a $r%7%" a"!5/ra "/ i-$!5ra0i6-) ; ! %r#!-!93%-!-0ia i-#i0a /! "/ 3r%#/0$% 3%r !"$ !"$8 a0%$a#%. E"$a" #%" 0%-#i0i%-!" "%-"/>i0i!-$!" 3ara /! !9i"$a a Tra-">%r1a#a #! La3a0! #! /-a >/-0i6-.
E" #!0ir) >@$, !" #! %r#!- !93%-!-0ia !- ! i->i-i$%:
'$+;$
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AUTOMTICAAUTOMTICA
6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.
TA#LA DE TRANSFORMADAS DE LA"LACE
f(t) (s)
( )t #
At %s
A
( ) %as
A
+atet
ate
as +#
%%
+stsin
%% +ss
tcos
f(t) (s)
te at sin( ) %%
++ as
( ) +tcos
( ) +tsin%%
cossin
++
s
s
( )ass +
#
( )at
ea
##
( )atn et
n
#
?#
#
( ) nas +#
%%
sincos
+
s
s
nAt#
?+
ns
nA
As
A
( )[ ]t
eta
+ +# ( )%+
+
+s
as
te at cos( ) %% ++
+as
as
( ) #?
++ nasn
atn et
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AUTOMTICAAUTOMTICA
"RO"IEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LA"LACE
TRANSFORMADA DE FUNCIONES PERIDICASS$pongamos 7$e +#t' es $na +$nci8n pe&i8dica de pe&iodo T) Entonces=
Donde :#s' es la t&ans+o&mada de Laplace de la +$nci8n +#t' so%&e el p&ime& pe&iodo . ce&o+$e&a)
6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.
{ } '!#
#'!'! # sF
et1LsF
sT==
=
T
st 'tt1esF+
# '!'!
t t
T
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AUTOMTICAU O C
"RO"IEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LA"LACE
LINEALIDADSi c . cJ son constantes/ +#>' . +J#>' son +$nciones c$.as t&ans+o&madas de Laplace son:#s' . :J#s'/ &especti(amente/ entonces=
La t&ans+o&mada de Laplace es $n ope&ado& lineal)
DESPLAZAMIENTO TEMPORAL
DESPLAZAMIENTO FRECUENCIAL
6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.
'!'!'8!'!9 %%##%%## sFcsFct1ct1cL +=+
'!'8!9
'!'8!9
+
+sFett1L
sFt1L
st
=
=
'!'8!9
'!'8!9
asFt1eL
sFt1L
at +=
=
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U O C
"RO"IEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LA"LACE
ESCALADO EN EL TIEMPO
DERIVADA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LAS DERIVADAS DE UNA FUNCIN
La t&ans+o&mada de Laplace de la de&i(ada de $na +$nci8n est9 dada po&=
6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.
=
=
a
sF
aat1L
sFt1L
#'8!9
'!'8!9
{ }'!'!
'8!9'!
tt1LsF
t1LsF
==
'+!'!'8!,9 1ssFt1L = ( 'on'e 1(") es e3 6a3or 'e 1(t) en t % " )
'+!,'+!'!'8!,,9%
1s1sFst1L ='+!'+!,'+!'!'8!9 '#!%#'! = nnnnn 11s1ssFst1L
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"RO"IEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LA"LACE
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIN
TEOREMA DEL VALOR FINAL
Si e>iste/ entonces=
TEOREMA DEL VALOR INICIAL
El (alo& inicial +#' de la +$nci8n +#t' c$.a T&ans+o&mada de Laplace es :#s'/ es=
INTEGRAL DE CONVOLUCIN
6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.
{ }s
sFt1L
s'$$1L
t '!'8!9
#'!
+==
'!lim t1t
'!lim'!lim + ssFt1 st =
'!lim'!lim'+!+
ssFt11 st == +
'!'!'8!9'8!9'8!@'!9 %#%#%# sFsFt1Lt1Lt1t1L ==
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LA TRANSFORMADA IN+ERSA DE LA"LACE
4RACIAS A LAS PROPIEDADES DE LA DERI6ACIN 1 LA LINEALIDAD DE LA TLPODE!OS CON6ERTIR UNA ECUACIN DI:ERENCIAL EN UNA ECUACINAL4EBRAICA)
SI RESOL6E!OS LA ECUACIN AL4EBRAICA 1 ENCONTRA!OS LA TRANS:OR!ADAIN6ERSA DE LAPLACE DE LA SOLUCIN/ 1#S'/ ENCONTRARE!OS LA SOLUCIN DELA ECUACIN DI:ERENCIAL)
AL PROCESO IN6ERSO DE ENCONTRAR +#t' A PARTIR DE :#s' SE LE CONOCE CO!OTRANS:OR!ADA IN6ERSA DE LAPLACE O ANTITRANS:OR!ADA DE LAPLACE 1 SEOBTIENE !EDIANTE=
6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.
+
==i
i
st t'sesFi
t1sFL
+$'!
%
#'!'8!9
#
3 determina un contorno vertical en
el 4lano com4le5o6 tomado de tal
manera 7ue todas las sin8ularidades
de (s) 7ueden a su i97uierda:;
Re!s'
Im!s'
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CONDICIONES DE E.ISTENCIA
E,ISTE UN PROBLE!A AL TRABAVAR CON LA TRANS:OR!ADA IN6ERSAF PUEDE NOSER NICA)
ES POSIBLE ;UE LQ >@$, LQ 5@$, / SIENDO >@$,
5@$,)
DOS :UNCIONES ;UE DI:IERAN SLO EN UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD TIENENLA !IS!A TRANS:OR!ADA) POR LO ;UE SE PUEDE LLE4AR A PENSAR ;UE SEPUEDEN ELE4IR IN:INITAS :UNCIONES)
DE TODAS LAS :UNCIONES POSIBLES XABR" SOLO UNA ;UE SEA CONTINUA # ATRO0OS ' :RENTE A LAS DE!"S ;UE SER"N DISCONTINUAS/ PARA H ) .
AUN AS- TENDR" ;UE CU!PLIR LAS CONDICIONES DE EXISTENCIA=
EN LA PR"CTICA A LA XORA DE CALCULAR ANTITRANS:OR!ADAS DE LAPLACEAPLICARE!OS LAS PROPIEDADES DE LA TRANS:OR!ADA DE LAPLACE 1 SEUTILI0AR"N TABLAS)
6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.
%r1a#a":
P%r % /! "! 4! /! a r!"3/!"$a a i13/"% !- ! #%1i-i% $ra-">%r1a#% !":
( ) ( ) ( )t:t;ty =
( ) ( ) ( )s-s=sG =
( ) ( )
( )s=sG
s- =
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7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.
RE"RESENTACIN E.TERNA
E"$a &@", !" a F/-0i6- #! Tra-">!r!-0ia #! "i"$!1a !- ! #%1i-i% #! La3a0!. E- a T!%r?a #! a R!5/a0i6- A/$%18$i0a "! ! 0%-%0! 0%12-1!-$! 3%r G@", ; "/
0%rr!"3%-#i!-$! 4a%r !- ! #%1i-i% #! $i!13% 5@$, !" a F/-0i6- #! P%-#!ra0i6- !- !#%1i-i% #! $i!13% @ % /! a-$!" #!-%1i-8ba1%" @$, ,.
D! !"$! 1%#%) ; 3ar$i!-#% #! a" !0/a0i%-!" #i>!r!-0ia!" /! #!"0rib!- a /- "i"$!1aL.T.I ) $raba=a-#% !- ! #%1i-i% La3a0ia-%) "!r!1%" 0a3a0!" #! #!>i-ir ! 4a%r #! a
:UNCIN DE TRANS:ERENCIA $a-$% !- La3a0! 0%1% !- ! $i!13% @ a3i0a-#%a-$i$ra-">%r1a#a" ,.
;5&6g5t6
?(s)
x(t)
@(s)
y(t)
( ) ( )
( )
[ ][ ]nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
s=
sGsH
++++++++
==
#
#
#+
#
#
#+
222
222
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7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.
RE"RESENTACIN E.TERNA
CARACTERSTICAS Solo es aplica%le a sistemas desc&itos po& ec$aciones di+e&enciales lineales in(a&iantes en el
tiempo)
Es $na desc&ipci8n ent&ada salida del compo&tamiento del sistema)
Depende de las ca&acte&sticas del sistema . no de la magnit$d . tipo de ent&ada)
No p&opo&ciona in+o&maci8n ace&ca de la est&$ct$&a inte&na del sistema
A las &aces del n$me&ado& se les denomina los 0!r%"del sistema)
La E0/a0i6- Cara0$!r?"$i0ade $n sistema L)T)I se de+ine como la ec$aci8n 7$e se o%tieneal ig$ala& a ce&o el polinomio del denominado& de la :$nci8n de T&ans+e&encia) Contiene todala in+o&maci8n so%&e las ca&acte&sticas de la &esp$esta nat$&al #imp$lso' del sistema)
Las &aces de esta ec$aci8n son los3%%"del sistema)
!ediante los ce&os . los polos se de+ini&9 si el sistema es esta%le o inesta%le como se (e&9m9s adelante)
Un sistema +sico es &eali2a%le si los a iQ . %iQ son nme&os &eales . nm # tiene ig$al oma.o& nme&o de polos 7$e de ce&os ') Esto esF es ca$sal . esta%le)
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7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.
RE"RESENTACIN E.TERNA
MATRIZ DE TRANSFERENCIAEs la e>tensi8n del concepto :$nci8n de T&ans+e&encia a los sistemas m$lti(a&ia%les) Engene&al/ el sistema esta&9 acoplado/ es deci&/ cada salida se (e&9 in+l$ida po& cada $na delas ent&adas/ po& lo 7$e se aplica el teo&ema de s$pe&posici8n)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )s=sHs=sHsGs=sHs=sHsG
##%%%
%%###
+= +=
;15&6?1(s)
?2(s) ;
-
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7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.
RE"RESENTACIN INTERNA
ENTRE LAS :OR!AS DE !ODELAR UN SISTE!A !ATE!"TICA!ENTE SEENCUENTRA LA DE DESCRIBIR AL SISTE!A !EDIANTE LA REPRESENTACIN DE6ARIABLES DE ESTADO)
BUSCAR UN !ODELO !ATE!"TICO ES ENCONTRAR UNA RELACIN !ATE!"TICAENTRE LAS SALIDAS 1 LAS ENTRADAS DEL SISTE!A) EN PARTICULAR LAREPRESENTACIN INTERNA #REPRESENTACIN POR 6ARIABLES DE ESTADO'RELACIONAR"N !ATE!"TICA!ENTE LAS SALIDAS CON LAS ENTRADAS A TRA6
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7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.
RE"RESENTACIN INTERNA
A;U- CONSIDERA!OS ;UE 9/ ; 1 / SON 6ECTORES # COLU!NAS ' DE -/ 3 1 1CO!PONENTES RESPECTI6A!ENTE) ESTA :OR!A DE REPRESENTACIN ES 6"LIDAPARA LOS SISTE!AS CONT-NUOS NOLINEALES 1 6ARIANTES EN EL TIE!PO EN:OR!A 4ENERAL)
SI EL SISTE!A ES IN6ARIANTE EN EL TIE!PO/ LAS :UNCIONES > 1 5 DEVAN DEDEPENDER E,PL-CITA!ENTE DEL TIE!PO=
SI EL SISTE!A REPRESENTADO POR LAS ECUACIONES/ ES UN SISTE!A LINEAL/ LADEPENDENCIA DE E ;/ PASA A SER LINEAL=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) Sa3i'a'eEc$acint$t;0ty
Esta'o'eEc$acint$t;1t;
$
$
==
;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sa3i'a'eEc$acint$tDt;tCty
Esta'o'eEc$acint$tt;tAt;
+=+=
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7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.
RE"RESENTACIN INTERNA
Donde A es $na mat&i2 de n>n/ B es $na mat&i2 de n>m # n +ilas > m col$mnas '/ C es $namat&i2 de p>n/ . D $na mat&i2 de p>m/ 7$e p$eden se& dependientes del tiempo)
SI ADE!"S DE LINEAL/ EL SISTE!A ES IN6ARIANTE EN EL TIE!PO/ LAS !ATRICESA/B/ C1 DDEVAN DE DEPENDER DEL TIE!PO=
En gene&al la dimensi8n de los (ecto&es /e ;p$ede se& c$al7$ie&a) Si en pa&tic$la& am%osse &ed$cen a $n escala& #p m ' el sistema se denomina SISO #singleinp$t singleo$tp$t') En el caso 7$e am%as dimensiones +$esen ma.o&es a la $nidad/ el sistema sedenomina MIMO#m$ltipleinp$t m$ltipleo$tp$t')
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) Sa3i'a'eEc$acint$Dt;Cty
Esta'o'eEc$acint$t;At;
+=
+=
$b$b;a;a;a;
$b$b;a;a;a;
$b$b;a;a;a;
mnmnnnnnnn
mmnn
mmnn
++++++=
++++++=++++++=
222222
222222
222222
##%%##
%#%#%%%%#%#%
#####%#%####
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7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.
RE"RESENTACIN INTERNA
Del estado se calc$la la salida del sistema)
$;A; +=
+
=
mnm
m
m
nnnnnn
n
n
n $
$
$
b
b
b
b
b
b
;
;
;
aaa
aaa
aaa
;
;
;
%
#
%
#
#
%#
##
%
#
%#
%%%%#
##%##
%
#
222
222
222
222
222
222
ENTRADA$
INSTANTEBNENESTADO;
OSTERIORESTADO;
5
5
5
$'$';c;cy
$'$';c;cy
mpmpnpnpp
mmnn
+++++=
+++++=
222222
222222
####
#########
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
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7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.
RE"RESENTACIN INTERNA
EEMPLOS
$D;Cy +=
+
=
m'm
m
m
pnpnpp
n
n
p $
$
$
'
'
'
'
'
'
;
;
;
ccc
ccc
ccc
y
y
y
%
#
%
#
#
%#
##
%
#
%#
%%%%#
##%##
%
#
222
222
222
222
222
222
ENTRADA$
INSTANTEBNENESTADO;
SALIDAy
5
5
5
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7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.
RE"RESENTACIN INTERNA
SISTEMAS PROPIOS ' ESTRICTAMENTE PROPIOS
Pa&a $n sistema SISO/ 7$e sea lineal/ la &elaci8n ent&e la ent&ada . la salida p$ededesc&i%i&se mediante $na ec$aci8n di+e&encial o&dina&ia/ de la sig$iente +o&ma=
Donde ;@r,es la de&i(ada tempo&al r*sima de la salida ;con &especto al tiempo/ . /@,es lade&i(ada tempo&al *sima de la ent&ada /con &especto del tiempo)
En sistemas +sicos &eales se da siemp&e 7$e res ma.o& o ig$al 7$e ) Si +$e&a lo cont&a&io/
n$nca se pod&a de+ini& ;en +$nci8n de /p$es no se&a ca$sal) A los sistemas en 7$e res ma.o& o ig$al a se los denomina3r%3i%") En el caso en 7$e r
es ma.o& 7$e #no ca%e la posi%ilidad de 7$e sean ig$ales' se los denomina !"$ri0$a1!-$!3r%3i%")
Se p$ede demost&a& 7$e en los casos 7$e el sistema es est&ictamente p&opio/ no e>istet&ansmisi8n di&ecta/ . la mat&i2 Dse ?ace n$la en esos casos)
( ) ( ) ( ) ( ) $b$b$b$byayayay ...
.
r
p
r +++=++++
+##
#+#
#
# 222222
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-
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7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.
RE"RESENTACIN INTERNA
DETERMINACIN DE LA DESCRIPCIN EXTERNA A PARTIR DE LA INTERNA
Sea el sistema &ep&esentado po& las ec$aciones de estado . de salida sig$ientes=
Dado 7$e la &ep&esentaci8n inte&na as$me 7$e las condiciones iniciales son n$las/ si seaplica la t&ans+o&mada de Laplace se o%tiene=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )t$Dt;Cty
t$t;At;
+=+=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )sBDs=CsG
sBs=Ass=
+=+=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )sBAsIs=
sBs=AsI
sBs=Ass=I
=
=+=
#
( ) ( ) ( ) ( )sBDsBAsICsG += #
( )
( ) ( ) ( ) DAsICsH
sB
sG +== #
(1)
(2)
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
-
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7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.
RE"RESENTACIN INTERNA
RECORDAR=
teDeterminan
A'?$ntoIn6ersa
t
=
ticoCaracter/so3inomioAsI
ticaCaracter/s8MatriAsI
5
5
( ) ( ) DAsI
AsIA'?CsH
t
+
=
( ) ( ) ( )nn&nn sssasasAsI =+++= 222222 %##
Estos son los valores 4ro4ios de la matri9 Son los 4olos:
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7/13/2019 Tema1 - Introduccin a Los Sistemas de Control
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ContenidoContenido
1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.2.2. SEALES.SEALES.3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.4.4. ECUACIN DE CONVOLUCIN.ECUACIN DE CONVOLUCIN.5.5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.
7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
8 G O! S
-
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8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.
DIA;RAMA DE #LO$UES> CONCE"TO
UNA :OR!A ES;UE!"TICA DE REPRESENTAR LOS SISTE!AS DE CONTROL ES ATRA6
-
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8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.
ELEMENTOS #%SICOS DE UN DIA;RAMA DE #LO$UES
BLOUE FUNCIONAL# O SI!PLE!ENTE BLO;UE '
Es $n sm%olo 7$e &ep&esenta $n componente de $n sistema/ 7$e (iene ca&acte&i2ado po& s$:$nci8n de T&ans+e&encia 4#s')
PUNTO DE SUMA O COMPARACIN
Se &ep&esenta po& $na ci&c$n+e&encia/ a la 7$e llegan se5ales 7$e p$eden se& s$madas o&estadas dependiendo del signo)
PUNTO DE BIFURCACIN
Se &ep&esenta po& $n p$nto en el 7$e la se5al p&osig$e a lo la&go de (a&ias t&a.ecto&ias ?acia(a&ios destinos)
;5&6?(s) @(s)
?1(s)
?2(s)
3
?1(s) ?
2(s)
?1(s)
?1(s)
?1(s)
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88 DIAGRAMA DE LO!UESDIAGRAMA DE LO!UES
-
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8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.
REDUCCIN O AL;E#RA DE #LO$UES
SON T
-
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8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.
REDUCCIN O AL;E#RA DE #LO$UES
MOVIMIENTO DE UN PUNTO DE BIFURCACIN &ACIA ADELANTE
DIA4RA!A ORI4INAL DIA4RA!A E;UI6ALENTE
MOVIMIENTO DE UN PUNTO DE BIFURCACIN &ACIA ATRS
DIA4RA!A ORI4INAL DIA4RA!A E;UI6ALENTE
;5&6?(s) @(s)
?(s)
;5&6?(s) @(s)
1 ?;5&6
?(s)
;5&6?(s) @(s)
@(s)
;5&6?(s) @(s)
;5&6 @(s)
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88 DIAGRAMA DE LO!UESDIAGRAMA DE LO!UES
-
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8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.
REDUCCIN O AL;E#RA DE #LO$UES
MOVIMIENTO DE UN PUNTO DE SUMA &ACIA ADELANTE
DIA4RA!A ORI4INAL DIA4RA!A E;UI6ALENTE
MOVIMIENTO DE UN PUNTO DE SUMA &ACIA ATRS
DIA4RA!A ORI4INAL DIA4RA!A E;UI6ALENTE
;5&6?(s) @(s)
B(s)
3
;5&6?(s) @(s)
;5&6
3
B(s)
;5&6?(s) @(s)
B(s)
3
;5&6?(s) @(s)
B(s)
3
1 ?;5&6
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88 DIAGRAMA DE LO!UESDIAGRAMA DE LO!UES
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8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.
REDUCCIN O AL;E#RA DE #LO$UES
BLULE DE REALIMENTACIN
DIA4RA!A ORI4INAL DIA4RA!A E;UI6ALENTE
;5&6 ?1=;5&6@5&6
?(s) @(s)3
4;5&6?(s) @(s)
@5&6
E(s)
C(s)
( )
( ) ( ) Re1erenciasRs=
ErrorsE
===
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )sRsHs-sHsG
sGs-sRsHsG
sGs-sRsEsEsHsG
=+=
= =
#
( )( )
( )( ) ( )s-sHsH
sR
sG
+=
#
( )( ) ( ) ( )s-sHsEs
=
( )( )
( )sHsE
sG=
uncin de
ransferencia en *a9o
errado
uncin de
ransferencia en *a9o
,ierto
uncin de
ransferencia en
amino Directo
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ContenidoContenido
1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.2.2. SEALES.SEALES.3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.4.4. ECUACIN DE CONVOLUCIN.ECUACIN DE CONVOLUCIN.5.5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.
7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
"" DIAGRAMA DE FLU#O DE SEALDIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL
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".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
DIA;RAMA DE FLU2O DE SE,AL> CONCE"TO
EL DIAGRAMA DE BLOQUES ES TIL PARA LA REPRESENTACIN GRFICA DESISTEMAS DE CONTROL DINMICO Y SE UTILIZA EXTENSAMENTE EN EL ANLISIS YDISEO DE SISTEMAS DE CONTROL.
OTRO PROCEDIMIENTO ALTERNATIVO PARA REPRESENTAR GRFICAMENTESISTEMAS DE CONTROL DINMICOS, ES EL MTODO DE LOS DIAGRAMAS DEFLUJO DE SEAL, ATRIBUIDO A S.J. MASON.
UN DIAGRAMA DE FLUJO DE SEAL ES UN DIAGRAMA QUE REPRESENTA UNCONJUNTO DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES SIMULTNEAS.
Como sabemos, los sistemas lineales e invariantes en el tiempo vienendesritos por e!aiones di"ereniales #!e nos permiten relaionar laentrada $ o entradas % del sistema on la salida $ o salidas % del mismo&
'ara poder apliar el m(todo del dia)rama de *!+o de seal al an-lisisde sistemas de ontrol, primero .a/ #!e trans"ormar las e!aionesdi"ereniales lineales en e!aiones al)ebraias en 0s1&
Solo de este modo se podr- representar el sistema de ontrol din-mioen !esti2n mediante el dia)rama de *!+o de seal&
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"" DIAGRAMA DE FLU#O DE SEALDIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL
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".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
DIA;RAMA DE FLU2O DE SE,AL> CONCE"TO
DESCRIPCIN
El diag&ama de +l$jo de se5al consiste en $na &ed en la c$al los nodos est9n conectado po&&amas con di&ecci8n . sentido)
Cada nodo &ep&esenta $na (a&ia%le del sistema . cada &ama conectada ent&e dos nodos/acta como $n m$ltiplicado& de se5al)
La se5al +l$.e solamente en $n sentido) El sentido del +l$jo de se5al se indica po& $na +lec?a$%icada en la &ama . el +acto& de m$ltiplicaci8n apa&ece a lo la&go de la &ama)
El g&9+ico de +l$jo de se5al despliega el +l$jo de se5ales de $n p$nto de $n sistema a ot&o .da las &elaciones ent&e las se5ales)
x1
x2 xF
xG
xH
a b
c
'&
7/
%.7
7#%
;;
;b;';
;c;a;
=
+=
+=
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
"" DIAGRAMA DE FLU#O DE SEALDIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL
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".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
DIA;RAMA DE FLU2O DE SE,AL> DEFINICIONES
NODO
Un nodo es $n p$nto 7$e &ep&esenta $na (a&ia%le o se5al)
TRANSMITANCIA
Es la ganancia ent&e dos nodos # o +$nci8n de t&ans+e&encia ent&e dos nodos ')
RAMA
Una &ama es $n segmento de lnea con di&ecci8n . sentido/ 7$e $ne dos nodos) La gananciade $na &ama es $na t&ansmitancia)
NODO DE ENTRADA O FUENTE
Un nodo de ent&ada o +$ente es $n nodo 7$e s8lo tiene &amas 7$e salen) Esto co&&esponde a$na (a&ia%le independiente)
NODO DE SALIDA O SUMIDEROUn nodo de salida o s$mide&o es $n nodo 7$e s8lo tiene &amas de ent&ada) Estoco&&esponde a $na (a&ia%le dependiente)
NODO MIXTO
Nodo mi>to es $n nodo 7$e tiene tanto &amas 7$e llegan/ como &amas 7$e salen)
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
"" DIAGRAMA DE FLU#O DE SEALDIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL
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".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
DIA;RAMA DE FLU2O DE SE,AL> DEFINICIONES
CAMINO O TRA'ECTO
Es $n &eco&&ido de &amas conectadas en el sentido de las +lec?as de las &amas) Si no se c&$2aningn nodo m9s de $na (e2/ el camino o t&a.ecto es a%ie&to) Si el camino o t&a.ecto +inali2aen el mismo nodo del c$al pa&ti8/ . no c&$2a ningn ot&o m9s de $na (e2/ es $n camino ot&a.ecto ce&&ado)
LAZO
Un la2o es $n camino o t&a.ecto ce&&ado)
GANANCIA DE LAZO
La ganancia de la2o es el p&od$cto de las ganancias de &amas de $n la2o)
LAZOS DISUNTOS
Son disj$ntos los la2os 7$e no tienen ningn nodo comn)
TRA'ECTO O CAMINO DIRECTO
Es el camino o t&a.ecto de $n nodo de ent&ada a $n nodo de salida/ sin c&$2a& ningn nodom9s de $na (e2)
GANANCIA DE TRA'ECTO DIRECTO
Es el p&od$cto de las ganancias de &ama de $n camino o t&a.ecto di&ecto)
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
"" DIAGRAMA DE FLU#O DE SEALDIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL
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".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
AL;E#RA DEL DIA;RAMA DE FLU2O DE SE,AL
#% ;a; =
%7
#%
;b;;a;
= = #7;ba; =
7#%
%7
;c;a;
;b;
+=
=
7#7 ;bc;ab; +=
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"" DIAGRAMA DE FLU#O DE SEALDIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL
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".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
DIA;RAMA DE FLU2O DE SE,AL DE SISTEMAS LINEALES
EEMPLO
777%7%#7#7
%%7%7%%%#%#%
##7#7%#%####
;a;a;a;
b;a;a;a;
b;a;a;a;
++=
+++=
+++=
entra'a4'e6ariab3esson
sa3i'a4'e6ariab3es son;;;
%#
7%#
$
$$
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
"" DIAGRAMA DE FLU#O DE SEALDIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL
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".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
DIA;RAMA DE FLU2O DE SE,AL DE SISTEMAS DE CONTROL
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
"" DIAGRAMA DE FLU#O DE SEALDIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL
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".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
DIA;RAMA DE FLU2O DE SE,AL DE SISTEMAS DE CONTROL
TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA
"". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEALDIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
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".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.
FRMULA DE ;ANANCIA DE MASON
EN !UCXOS CASOS PR"CTICOS SE DESEA DETER!INAR LA RELACIN ENTRE UNA6ARIABLE DE ENTRADA 1 UNA 6ARIABLE DE SALIDA EN EL 4R":ICO DE :LUVO DESEAL) LA 4ANANCIA ENTRE UN NODO DE ENTRADA 1 UN NODO DE SALIDA ES LA4ANANCIA TOTAL O :UNCIN DE TRANS:ERENCIA/ ENTRE ESOS DOS NODOS)
LA :R!ULA DE GANANCIA DE MASON/ APLICABLE A LA 4ANANCIA TOTAL/ ES=
= 5 55#
5 e& la ;anancia del "3&imo Camino Di0ecto-
e& el Dete0minante del Diag0ama-
- 13 5&uma de toda& la& ganancia& de laBo& indi7iduale&6=5&uma de lo& 90oducto& de la&ganancia& de toda& la& 9o&ile& cominacione& de do& laBo& ue no &e tocan635&uma de lo&90oducto& de ganancia& de toda& la& 9o&ile& cominacione& de t0e& laBo& ue no &e tocan6=---
++=
n tsr.m .mn
LLLLLL $
#