1
Tema II. Las muestras y la teoría paramétrica
2.1. Muestras y muestreos:- La muestra:
. Subconjunto de elementos de la población
. Necesidad práctica:. Motivos económicos. Imposibilidad (práctica/teórica) de estudiar TODA la población. Inconveniencia práctica o ética (al destruir o afectar la muestra)
. Representativa de la población- Estrategias de muestreo:
. Muestreo aleatorio (conocemos la p de la población en la muestra)
. Muestreo opinático (criterios subjetivos; experiencia del investigador)
. Muestreo piloto (previo a un estudio)
Ejemplo de muestra?
UNIVERSIDAD DE VIGO
2
Tema II. Las muestras y la teoría paramétrica
2.1. Muestras y muestreos:- Tipos de muestreo aleatorio (representativo):
. Simple con reemplazamiento (o con N grande)
. Simple sin reemplazamiento
. Estratificado (en función de la estructura de la población)
. Por áreas (geográficas, por ejemplo)
Ejemplo de estratificación
UNIVERSIDAD DE VIGO
3
Tema II. Las muestras y la teoría paramétrica
∑(xi-x)2
s2 = (n-1)
∑xix =
n
2.2. Muestras, estadísticos y estimadores:- Normalmente SIEMPRE se trabaja con muestras (estadísticos y estimadores):
. Estadístico: cualquier función que resume propiedades de la muestra
. Estimador: cuando un estadístico pretende inferir el valor de la población:. μ (x). σ2 (s2)
- Estimación puntual (por intervalos)
UNIVERSIDAD DE VIGO
4
2.3. Las muestras y la distribución muestral:- La distribución de probabilidad del estadístico (estimador) cambia en la muestra- El procedimiento de inferencia parámetrico (empírico):
- Se obtiene una muestra- Se mide el estadístico- Se imagina uno ∞ muestras idénticas sobre las que se calcula el estadístico- Se obtiene la distribución muestral (ejemplo Excel)
Tema II. Las muestras y la teoría paramétrica
Población123456789
10
Muestra 1 = 2, 6, 9 (5,67)
Muestra 2 = 1, 3, 6 (3,33)
Muestra 3 = 4, 5, 5 (4,67)
Muestra 4 = 7, 7, 8 (7,33)
Muestra 5 = 1, 7, 9 (5,67)
Muestra 6 = 1, 5, 5 (3,67)
Muestra 7 = 6, 6, 8 (6,67)
Muestra 8 = 1, 2, 3 (2,00)
Muestra 9 = 8, 9, 10 (9,00)
Muestra 10 = 4, 5, 5 (4,67)
Distribución de Frecuencias
Clase 1-2: 1Clase 3-4: 2Clase 5-6: 4Case 7-8: 2Clase 9-10: 1
¡¡La distribución muestral ES normal!! 00.5
11.5
22.5
33.5
44.5
1 2 3 4 5
Distribución muestral
UNIVERSIDAD DE VIGO
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Distribución Población
5
Fórmula General
S2
Varm =N
2.3. Las muestras y la distribución muestral:- Obtención de la distribución muestral de la media:
. Procedimiento inferencial teórico
. Tamaño de muestra (N)
. Media muestral (xs)
. Varianza muestral (s2s)
Distribución de la Población
N1 = 10
μσ2
N2 = 100
xs1 = μ
s2
S2s1 =
10
xs2 = μ
s2
S2s2 =
100
Muestra 1
Tema II. Las muestras y la teoría paramétricaUNIVERSIDAD DE VIGO
6
2.3. Las muestras y la distribución muestral:- El uso de tablas de referencia (distribución t):
- Obtención de IC- Test de Hipótesis
×±
Tema II. Las muestras y la teoría paramétricaUNIVERSIDAD DE VIGO
7
2.3. Las muestras y la distribución muestral:- Aplicación a muestras, la distribución t:
. Ejemplo de muestra (IC) ×±
Ejemplo de Muestra (N = 8)ALUMNOS DE UNA CLASE: 10,2 9,7 10 9,6 8,7 11 10,5 10,9
Estadística descriptiva:Media de muestra (μ) = 10,07 Varianza de muestra (σ2) = 0,571Desviación típica de muestra (σ) = 0,755
∑(xi-x)2
s2 = (n-1)
OBTENCIÓN DE INTERVALO DE CONFIANZA
N NC CÁLCULO INT1 INT2
8 95% 10,07 ± 0,63 (2,36 x 0,755/√8) 9,4 10,78 99% 10,07 ± 0,93 (3,50 x 0,755/√8) 9,1 11,0
80 95% 10,07 ± 0,17 (1,99 x 0,755/√80) 9,9 10,280 99% 10,07 ± 0,22 (2,64 x 0,755/√80) 9,8 10,3
Este intervalo se refiere al de la media de nuestra muestra
Tema II. Las muestras y la teoría paramétricaUNIVERSIDAD DE VIGO
8
2.3. Las muestras y la distribución muestral:- Aplicación a muestras, la distribución t:
. Ejemplo de muestra (Test de hipótesis)
Ejemplo de Muestra (N = 8)ALUMNOS DE UNA CLASE: 10,2 9,7 10 9,6 8,7 11 10,5 10,9
Estadística descriptiva:Media de muestra (μ) = 10,07 Varianza de muestra (σ2) = 0,571Desviación típica de muestra (σ) = 0,755
Nivel significación 5% (p una cola 0.025)
N = 8, si X = 10,5; H0 = pertenece a la población; H1 =no
(10,5 – 10,07)/(0,755/√8) = 1,61 : p en tabla t > 0.05; (>0,1 dos colas)
Según NS del 5% se acepta H0
Método General
x – μ (H0)
σ/√n
Tema II. Las muestras y la teoría paramétricaUNIVERSIDAD DE VIGO
9
2.4. Aplicación del test t en muestras:- Diferencias entre dos muestras:
. Ejemplo en el Hospital
. Análisis descriptivo
. Test t (H0 y H1)- Con comparaciones múltiples se usa ANOVA
Porcentage de HDL en sangre
Muestra 1 (10 enfermos): 120, 107, 110, 116, 114, 111, 113, 117, 114, 112Muestra 2 (10 sanos): 110, 111, 107, 108, 110, 105, 107, 106, 111, 111
Estadística descriptiva: Muestra 1 Muestra 2Media (μ) 113,4 108,6Varianza (σ2) 13,822 5,155Desviación típica (σ) 3,72 2,27
(n1-1) σ21 + (n2-2) σ2
2 (9x13,822) + (9x5,155)σ2
ponderada = = = 9,488 (3,08)n1 + n2 – 2 18
Método General
x1 – x2 – (μ1- μ2; H0=0) t =
σ2p 1 1
√ n1 n2
t = 3,484 Valor de probabilidad asociado a dicha t < 0.01 GL = n1 + n2 -2 = 18 Valor de t al límite del 5% = 2,109
por ello se puede rechazar la h0
Tema II. Las muestras y la teoría paramétricaUNIVERSIDAD DE VIGO
10
2.5. Aplicación del test t en muestras:- Diferencias entre dos muestras apareadas:
. Ejemplo en el Hospital
. Test t (H0 y H1)
Porcentage de HDL en sangre
Muestra 1 (10 enfermos): 120, 107, 110, 116, 114, 111, 113, 117, 114, 112Muestra 2 (los mismos sanos): 110, 111, 107, 108, 110, 105, 107, 106, 111, 111Diferencia: 10, -4, 3, 8, 4, 6, 6, 11, 3, 1
Estadística descriptiva: DMedia (μ) 4,8Varianza (σ2) 19,73Desviación típica (σ) 4,44
H0 = D no es distinto de 0; H1 = Si lo es
t = 3,42 Valor de probabilidad asociado a dicha t < 0.01 GL = n -1 = 9 Valor de t al límite del 5% = 2,26
por ello se puede rechazar la h0
Tema II. Las muestras y la teoría paramétricaUNIVERSIDAD DE VIGO
Método General
D – δ (H0=0) t =
√(σ2p/nparejas)
11
2.6. Estimación y test de hipótesis con otros estadísticos:- Diferencias entre dos varianzas:
. La razón de varianzas (s21/s22)
. La distribución F:. GL1 (numerador-1) y GL2 (denominador-1). Puede ser asimétrica o no. Test de una cola
Tema II. Las muestras y la teoría paramétrica
Casos de la distribución F:
F(1, ∞) = Distribución Normal
F(1, n2) = Distribución t
F(n1, ∞) = Distribución χ2
UNIVERSIDAD DE VIGO
12
2.6. Estimación y test de hipótesis con otros estadísticos :- Diferencias entre dos varianzas:
. Uso de la distribución F:. Se elige NS. Se busca valor F GL1 y GL2. Se determina rechazo o no de H0
Tema II. Las muestras y la teoría paramétrica
NS = 5%
Ejemplo: F = 3,45GL1 = 3GL2 = 17
Como 3,45 < 3,59
No significativoSe acepta H0
UNIVERSIDAD DE VIGO
13
2.6. Estimación y test de hipótesis con otros estadísticos :- Diferencias entre dos varianzas:
. Ejemplo en el Hospital
. Conclusión
Porcentage de HDL en sangre
Muestra 1 (10 enfermos): 120, 107, 110, 116, 114, 111, 113, 117, 114, 112Muestra 2 (10 sanos): 110, 111, 107, 108, 110, 105, 107, 106, 111, 111
Tema II. Las muestras y la teoría paramétrica
Estadística descriptiva: Muestra 1 Muestra 2Media (μ) 113,4 108,6Varianza (σ2) 13,822 5,155Desviación típica (σ) 3,72 2,27
H0 = no hay diferencias en varianzasH1 = si las hay
F = Mayor/Menor = 2,68 F5%(9,9) = 3.18
Fprueba < Ftabla = se acepta H0
Muestra 1 y 2 con iguales varianzas
UNIVERSIDAD DE VIGO
14
2.6. Estimación y test de hipótesis con otros estadísticos :- Diferencias entre dos varianzas:
. La razón de varianzas (s21/s22)
. La distribución F:. GL1 (numerador-1) y GL2 (denominador-1). Asimétrica. Test de una cola
Tema II. Las muestras y la teoría paramétrica
Casos de la distribución F:
F(1, ∞) = Distribución Normal
F(1, n2) = Distribución t
F(n1, ∞) = Distribución χ2
UNIVERSIDAD DE VIGO
15
2.7. Otros tests de hipótesis:- Evaluación de proporciones, frecuencias, etc:
. Métodos no paramétricos (análisis de frecuencias):. Χ2 (conjunto de distribuciones; asimétricas; de una cola). Test G
- Métodos NO-Paramétricos de aleatorización/remuestreo empírico, etc.
Tema II. Las muestras y la teoría paramétrica
df > 30: use z = sqrt(2chi2)-sqrt(2df-1)
44.31 37.65 34.38 16.47 14.61 11.52 25
37.57 31.41 28.41 12.44 10.85 8.260 20
30.58 25.00 22.31 8.547 7.261 5.229 15
23.21 18.31 15.99 4.865 3.940 2.558 10
15.09 11.079.236 1.610 1.145 0.554 5
13.28 9.488 7.779 1.064 0.711 0.297 4
11.34 7.815 6.251 0.584 0.352 0.115 3
9.210 5.991 4.605 0.211 0.103 0.020 2
6.635 3.8412.706 0.016 0.0039 0.00016 1
0.01 0.05 0.10 0.90 0.95 0.99 df\upper tail area
UNIVERSIDAD DE VIGO
16
Referencias Bibliográficas
Daniel, W.W. 1989. Bioestadística. Base para el análisis de las ciencias de la salud. Limusa, México.
Sokal,R.R., Rohlf, F.J. 1995. Biometry. Freeman and co., New York
LIBROS:
PÁGINAS WEB:
http://www.statsoft.com/textbook/sttable.html(tablas en línea para ver probabilidades de la distribución t)
http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/excel/excel.htm(programación de cálculos estadísticos en EXCEL)
http://statpages.org/(Página que permite análisis estadísticos interactivos)
UNIVERSIDAD DE VIGO