A ttAppuunn eess ddee IInnggeenniieerrííaa FFiinnaanncciieerraa
TTEEMMAA 99:: VVaalluuee aatt RRiisskk ((VVAARR))
© CARLOS FORNER RODRÍGUEZ
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad, UNIVERSIDAD DE ALICANTE
En este tema vamos a estudiar una forma alternativa de medir el riesgo
de una cartera de inversión: el Valor en Riesgo (VAR). El VAR es la pérdida
máxima que puede tener una inversión en un determinado horizonte temporal y
con un determinado nivel de confianza. Por ejemplo, una “VAR a 1 mes con un
nivel de confianza del 99%” de 1.000 € significa que con una probabilidad del
99% no vamos a perder más de 1.000 € durante los próximos 30 días; o lo que
es lo mismo, la probabilidad de sufrir pérdidas superiores a 1.000 € durante los
próximos 30 días es tan sólo del 1%.
Esta forma de medir el riesgo tiene dos atractivos. Primero, es más
intuitiva y por tanto más fácil de interpretar por parte de inversores con
menores conocimientos en valoración de carteras. Es más fácil entender que “la
probabilidad de sufrir pérdidas superiores a 1.000 € durante los próximos 30
días es tan sólo del 1%” que “este bono tiene una duración de 1 año”, “esta
acción tiene una varianza de 0,15” o “esta opción tiene una sensibilidad Delta
del 0,20”. Segundo, permite calcular en nivel de riesgo de una cartera que
combina distintos tipos de productos financieros: renta variable, renta fija y
derivados.
1
Apuntes de Apuntes de IngenierIngenieríía Financieraa Financiera
TEMA 9: VALUE AT RISK (VAR)TEMA 9: VALUE AT RISK (VAR)
© Carlos Forner Rodríguez
Universidad de AlicanteDepartamento de Economía Financiera y Contabilidad
22
Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner
1. Introducción
2. Cálculo del VAR: Modelo de Varianzas-Covarianzas2.1. VAR de una acción2.2. VAR de una opción2.3. VAR de un bono2.4. VAR de una cartera2.5. Inconvenientes del Modelo Varianzas-Covarianzas
Apéndice 1: Duración y Convexidad de un bono
Apéndice 2: Cálculo de la matriz de correlaciones con Excel.
ÍÍndicendice
Apuntes de Ingeniería Financiera Carlos Forner
2
33
Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner
VARVAR ⇒⇒ Forma alternativa de medir el riesgo:Forma alternativa de medir el riesgo:
¿¿CuCuáánto puedo llegar a perder?nto puedo llegar a perder?
DefiniciDefinicióón:n: ppéérdida mrdida mááxima que puede tener una inversixima que puede tener una inversióón en un n en un determinado horizonte temporal y con un determinado nivel de determinado horizonte temporal y con un determinado nivel de confianzaconfianza
EjemploEjemplo: VAR(1 d: VAR(1 díía)a)99%99%= 100.000= 100.000€€ ⇒⇒
–– La probabilidad (pLa probabilidad (péérdidas en un drdidas en un díía > 100.000) = 1%a > 100.000) = 1%
–– La probabilidad (pLa probabilidad (péérdidas en un drdidas en un díía < 100.000) = 99%a < 100.000) = 99%
Nos referimos a Nos referimos a ppéérdidas relativasrdidas relativas al resultado esperado:al resultado esperado:
Siguiendo el ejemploSiguiendo el ejemplo: Si el beneficio esperado es de 70.000: Si el beneficio esperado es de 70.000€€ ⇒⇒
–– La probabilidad (pLa probabilidad (péérdidas absolutas en un drdidas absolutas en un díía > 30.000a > 30.000€€) = 1%) = 1%
1. Introducci1. Introduccióónn
44
Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner
¿¿CCóómo medimos el riesgo de los activos financieros?:mo medimos el riesgo de los activos financieros?:
–– Acciones Acciones ⇒⇒ volatilidad (volatilidad (σσ))
–– Opciones Opciones ⇒⇒ Sensibilidades (Delta y Gamma) Sensibilidades (Delta y Gamma) ⇒⇒ Carteras Carteras homoghomogééneasneas
–– Bonos Bonos ⇒⇒ DuraciDuracióón y Convexidadn y Convexidad
El VAR nos permite obtener una medida global del riesgo El VAR nos permite obtener una medida global del riesgo de una cartera heterogde una cartera heterogéénea compuesta por distintos tipos nea compuesta por distintos tipos de activos financieros (acciones, opciones con distintos de activos financieros (acciones, opciones con distintos subyacentes, bonos)subyacentes, bonos)
1. Introducci1. Introduccióónn
Apuntes de Ingeniería Financiera Carlos Forner
3
55
Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner
2.1. C2.1. Cáálculo del VAR de una accilculo del VAR de una accióónnVAR para un horizonte temporal [TVAR para un horizonte temporal [T--t] con un nivel de confianza t] con un nivel de confianza ““cc””::
( ) ( )( ) ( )
( )
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[
Prob º Prob º 1
Prob [ ] 1 Prob (1 ) (1 [ ]) 1
Prob ( [ ]) 1 Prob [ ] 1
[ ]Prob
T t T t
T T t T t t T t
t T t T t T t T tt
T t T t
R T
B VAR c B VAR c
P E P VAR c P R P E R VAR c
VARP R E R VAR c R E R c
P
R E R
σ
− −
− −
− − − −
− −
> − = ⇒ < − = −
− < − = − ⇒ ⋅ + − ⋅ + < − = −
⎛ ⎞⋅ − < − = − ⇒ − < − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
−1 1 [ ]
] [ ] [ ]
1 c c t R T tt t R T t t R T t
VAR VARc VAR P
P Pα α σ
σ σ − − −− − −
⎛ ⎞< − = − ⇒ − = ⇒ = − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠
[ ]( ) / Prob( )asc T tVAR T t P VAR c−− < =
[ ]acción c t R T tVAR Pα σ −= ⋅ ⋅
Si suponemos que:Si suponemos que: ( )[ ] [ ] [ ][ ];T tT t T t R T t
t
P PR N E R
Pσ− − −
−=
Donde αx es el percentil x de la distribución normal estándar
( )( )acción c t R diariaVAR P T tα σ= ⋅ ⋅ ⋅ −
2. C2. Cáálculo del VAR: Modelo de lculo del VAR: Modelo de VarianzasVarianzas--CovarianzasCovarianzas
66
Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner
2.2. C2.2. Cáálculo del VAR de una opcilculo del VAR de una opcióónn
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
[ ] [ ]Prob º Prob º 1
Prob [ ] 1 Prob ( ) [ ] 1
Prob [ ] 1 Prob ( [ ])
Sa
1
bemo
Prob
s que
T t T t
T T T T
T t T t T
T t T t
t
T
t
T
B VAR c B VAR c
Call E Call VAR c Call E Call V
Call Call P P
Ca AR c
P P E P P VAR c P E P VAR c
P
ll Call
− −> − = ⇒ < − = −
− < − = − ⇒ − < − = −
∆
− ∆ − ⇒
− − ∆ − < − = − ⇒ ∆ − < − = −
−
− −
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] 1 Prob (1 ) (1 [ ]) 1
Prob ( [ ]) 1 Prob [ ] 1
[ ]Prob 1
T t T t t T t
t T t T t T t T tt
T t T t
R t R
VAR VARE P c P R P E R c
VAR VARP R E R c R E R c
P
R E R VAR Vc
Pσ σ
− −
− − − −
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞< − = − ⇒ ⋅ + − ⋅ + < − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ − < − = − ⇒ − < − = −⎜ ⎟⎜ ⎟∆ ∆ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−⎛ ⎞< − = − ⇒ −⎜ ⎟∆ ⋅ ⋅⎝ ⎠
1 1c c t Rt R
ARVAR P
Pα α σ
σ − −= ⇒ = − ⋅∆ ⋅ ⋅∆ ⋅ ⋅
[ ]( ) / Prob( )asc T tVAR T t P VAR c−− < =
opción c opción t RVAR Pα σ≈ ⋅∆ ⋅ ⋅
2. C2. Cáálculo del VAR: Modelo de lculo del VAR: Modelo de VarianzasVarianzas--CovarianzasCovarianzas
Apuntes de Ingeniería Financiera Carlos Forner
4
77
Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner
2.3. C2.3. Cáálculo del VAR de un bonolculo del VAR de un bono
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )( )
[ ] [ ]
Sabemos que donde es la Duración modificad
Prob º Prob º 1
Prob [ ] 1 P
a
rob ( ) [ ] 1
Prob
T t T t
T T T
T t M T t t M
T
M t
t
T t
tBono B
B VAR c B VAR c
Bono E Bono VAR c
Bon
Bono E Bono VAR c
D i i B
o
o Bon
no
on
o D i i Bo
E
no
o
D
− −> − = ⇒ < − = −
− < − = − ⇒ − < −
−
= −
−
−
−
− ⇒
−
−
− ( )( )( )( )( )
( )Si suponemos
[ ] 1
Prob ( ) [ ] 1
Prob ( ) [ ]
( ) [ ]Pr
que
ob
( ) [ ];
M T t t
M t T t T t
T t T tM t
T t T t
i M t
T T t
i
t
M t
i
D i i Bono VAR c
D Bono i i E i i VAR c
VARi i E i i c
D Bono
i i E i i VAR VARc
D Bono D Bo
N
n
E i i
o
i i
σ
σ
σ
− − < − = −
− ⋅ − − − < − = −
⎛ ⎞− − − < =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
⎛ ⎞− − −< = ⇒⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅
− ⇒
⎠
−
⎝c c M t i
i
VAR D Bonoα α σσ
= ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅⋅
[ ]( ) / Prob( )asc T tVAR T t P VAR c−− < =
bono c M t iVAR D Bonoα σ≈ ⋅ ⋅ ⋅
2. C2. Cáálculo del VAR: Modelo de lculo del VAR: Modelo de VarianzasVarianzas--CovarianzasCovarianzas
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Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner
2.4. C2.4. Cáálculo del VAR de una carteralculo del VAR de una cartera
1/ 2,
,1 1 ,
1/ 2
, ,1 1
,( )(
n ni i t
Rcartera i j Ri Rj Ri Rj ii j cartera t
n n
cartera c i j Ri Rj Ri Rj cartera ti j
cartera c i Ri cartera t c j Rj ca
n Pw w donde w
Valor
VAR w w Valor
VAR w Valor w Valor
σ σ σ ρ
α σ σ ρ
α σ α σ
= =
= =
⋅⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥
⎣ ⎦
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∑∑
∑∑1/ 2
, ,1 1
)n n
rtera t Ri Rji j
ρ= =
⎡ ⎤⋅⎢ ⎥
⎣ ⎦∑∑
,cartera c cartera t RcarteraVAR Valorα σ≈ ⋅ ⋅( )cartera, [T-t] ,[ ]
Si suponemos que:
R [ ];cartera T t RcarteraN E R σ− ⇒
Podemos expresarlo en funciPodemos expresarlo en funcióón del VAR de cada uno de los activos n del VAR de cada uno de los activos financieros incluidos dentro de la cartera:financieros incluidos dentro de la cartera:
2. C2. Cáálculo del VAR: Modelo de lculo del VAR: Modelo de VarianzasVarianzas--CovarianzasCovarianzas
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5
99
Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner
1/ 2
,,, , ,
1 1 , ,
1/ 2
, , ,1 1
( )( )
( )( )
n nj j ti i t
cartera c Ri cartera t c Rj cartera t Ri Rji j cartera t cartera t
n n
cartera c i i t Ri c j j t Rj Ri Rji j
n Pn PVAR Valor Valor
Valor Valor
VAR n P n P
α σ α σ ρ
α σ α σ ρ
= =
= =
⎡ ⎤⋅⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦
∑∑
∑∑1/ 2
,1 1
( )( )n n
cartera i i j j Ri Rji j
VAR n VAR n VAR ρ= =
⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∑∑
Matricialmente:Matricialmente: 1,2 1, 1 1
2,1 2, 2 2
1, ,2
1 ... 0 ... 01 ... 0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ... ...... 1 0 0 ...
N
N
N N N N
VAR n
VAR nC VVAR Q
VAR n
ρ ρρ ρ
ρ ρ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
[ ]1/ 2'carteraVAR VVAR Q C Q VVAR= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2. C2. Cáálculo del VAR: Modelo de lculo del VAR: Modelo de VarianzasVarianzas--CovarianzasCovarianzas
1010
Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner
2.5. Inconvenientes del Modelo Varianzas2.5. Inconvenientes del Modelo Varianzas--CovarianzasCovarianzas
•• Las rentabilidades de los activos financieros no siempre se Las rentabilidades de los activos financieros no siempre se distribuyen como una Normaldistribuyen como una Normal
•• El VAR de las opciones y de los Bonos los hemos El VAR de las opciones y de los Bonos los hemos aproximado con la primera derivada (Delta y Duraciaproximado con la primera derivada (Delta y Duracióón)n)
Existen modelos mExisten modelos máás complejos para calcular el s complejos para calcular el VAR que tratan de resolver estos inconvenientesVAR que tratan de resolver estos inconvenientes
2. C2. Cáálculo del VAR: Modelo de lculo del VAR: Modelo de VarianzasVarianzas--CovarianzasCovarianzas
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6
1111
Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner
La renta fija (bono y obligaciones) cotizan en % y en excupón.
Ejemplo:
Plazo entre cupones: Plazo entre cupones: cuponescupones anuales = 365 danuales = 365 dííasas
Tiempo transcurrido desde el pago del Tiempo transcurrido desde el pago del úúltimo cupltimo cupóón = 51 dn = 51 díías (del as (del 27/03/2006 al 17/05/2006)27/03/2006 al 17/05/2006)
CupCupóón corrido en %= (51/365)n corrido en %= (51/365)××3,9% = 0,54% 3,9% = 0,54% ×× 601,01601,01€€ = 3,28= 3,28€€
Precio del bono en %= 100,50%+0,54%=101,04% Precio del bono en %= 100,50%+0,54%=101,04% ×× 601,01601,01€€ = 607,30= 607,30€€
Fuente: Fuente: www.bolsamadrid.eswww.bolsamadrid.es
ApApééndice 1: Duracindice 1: Duracióón y convexidad n y convexidad de un bonode un bono
1212
Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner
VV00
iii*i*
P*P*BB
( )( ) ( )=
= ++ +
∑01 1 1
T
t Tt
C NV ii i
DuraciDuracióón:n:
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
− − −+ + + +
= + + +1 2
0 0 0
1 1 11 * 2 * ... *
TC i C i C N i
D TV i V i V i
ApApééndice 1: Duracindice 1: Duracióón y convexidad n y convexidad de un bonode un bono
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7
1313
Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner
Ejemplo:
PPbb(%)=101,04%(%)=101,04%××601,01601,01€€=607,30=607,30€€
años1,82V0
días666,281607,31€
654,540,962562584,56624,4568027/03/2008
11,750,03743722,7323,4431427/03/2007
-(hoy) 17/05/2006
t * %%
=VA/V0
VA=FC(1+i)-t/365FC
t(días)
Fecha
i inv.equivalente=3,6%anual
CupCupóón = n = 0,039*601,01=23,440,039*601,01=23,44€€
ApApééndice 1: Duracindice 1: Duracióón y convexidad n y convexidad de un bonode un bono
1414
Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner
La duración nos permite aproximar la variación en el precio de un bono antes cambios en el tipo de interés:
∆= − ∆ ⇒ ∆ = − ∆ ×
+ +123 123
00 0
0 (1 ) (1 )Duración Duracióncorregida corregida
V D Di V i VV i i
5.35Aprox. Duración = -1,765*(-0,005)*607,30=
5.45Variación=612.76VA=↓ tipo interés del 0,005 ⇒
-5.35Aprox. Duración = -1,765*0,005*607,30=
-5.25Variación=602.05VA=↑ tipo interés del 0,005 ⇒
1,82 1,756 1,036
Duración corregida años= =Ejemplo:Ejemplo:
( )( ) ( )=
= ++ +
∑01 1 1
T
t Tt
C NV ii i
PPbb==607,30607,30€€
AproximaciAproximacióón n pesimistapesimista
Tipo interés (i) y Duración (D) expresados en la misma
unidad de tiempo
ApApééndice 1: Duracindice 1: Duracióón y convexidad n y convexidad de un bonode un bono
Apuntes de Ingeniería Financiera Carlos Forner
8
1515
Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner
VV00
ii3,6%3,6%
( )( ) ( )=
= ++ +
∑01 1 1
T
t Tt
C NV ii i
607,30607,30€€
4,1%4,1%
602,05602,05€€601,95601,95€€
--5,255,25€€--5,355,35€€
0,5%0,5%
3,1%3,1%
0,5%0,5%
612,66612,66€€
612,76612,76€€
5,455,45€€5,355,35€€
Convexidad:Convexidad:
( )∆= − ∆ + ∆
20
0
1* * *
2C
VD i Convexidad i
V
ApApééndice 1: Duracindice 1: Duracióón y convexidad n y convexidad de un bonode un bono
1616
Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner
11ºº
22ºº
ApApééndice 2: Cndice 2: Cáálculo de la matriz de lculo de la matriz de correlaciones con Excelcorrelaciones con Excel
Apuntes de Ingeniería Financiera Carlos Forner
9
1717
Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner
11ºº 22ºº
33ºº
ApApééndice 2: Cndice 2: Cáálculo de la matriz de lculo de la matriz de correlaciones con Excelcorrelaciones con Excel
Apuntes de Ingeniería Financiera Carlos Forner
10
APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA CARLOS FORNER
EJERCICIOS Ejercicio 9.1 Calcular a fecha de cierre del 17/05/2006 el VAR con un nivel de confianza del 99% a cinco días de una cartera compuesta por:
‐ 500 acciones compradas de BSCH ‐ 40 acciones vendidas en descubierto de FERROVIAL ‐ 5 OBLIG. BONIF. AUTOPISTAS DEL ATLANTICO CONCE. ESPAÑOLA S.A.
EM.27.03.98/27.03.08 comprados. Dado el nivel de riesgo de crédito de esta obligación, se le exige una prima por riesgo sobre el tipo de interés del 0,0031
‐ 120 PUTs compradas s/BSCH con precio de ejercicio 12 € y vto. 16/06/2006
Fuente: www.bolsamadrid.es
11
APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA CARLOS FORNER
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APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA CARLOS FORNER
Fuentes: www.meff.es y www.bolsamadrid.es
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APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA CARLOS FORNER
Fuente: www.bde.es
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