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BLOQUE 2: GEOMETRÍA DEL ESPCACIO
Tema 5: Vectores
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Definición de vector
Un sistema de ejes tridimensional se construye trazando un eje Zperpendicular a los ejes X e Y
Así, un punto viene dado por tres coordenadas A(x,y,z)
Un vector es un segmento orientado que tiene su origen en un punto del espacio y el extremo en otro
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Componentes de un vector
Si el vector tiene su origen en A (x1, y1, z1) y su extremo en B (x2, y2, z2) , Las coordenadas del vector, que representamos como AB se obtienen restando. Es decir:
( )121212 zz,yy,xxAB −−−=→
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Componentes de un vector
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Módulo de un vector
Es la longitud del segmento orientado que lo define
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Distancia entre dos puntos
Es el módulo del vector que determinan dichos puntos:
2
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Operaciones con vectores
, ,
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Operaciones con vectores en el espacio
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Dependencia e independencia lineal
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Dependencia e independencia lineal
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Dependencia e independencia: Propiedades
PROPIEDADES.
1.- Si un conjunto de vectores son linealmente dependientes, uno escombinación de los demás
2.- Dos vectores son dependientes si son paralelos
3.- Tres vectores son dependientes si el determinante que podemos formar es nulo
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Ejercicio
=+
+−−
42k1
3k12
6k3
k8)3k)·(2k·(36)3k·(k)2k·(1212 +++−+++++
k818k15k36k3k24k121222 +−−−+++++=
012k4k2 =−−=
k = -2 k = 6
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Producto Escalar de vectores
El producto escalar de dos vectores es:)v,u·cos(v·uv·u
rrrrrr =
Que, efectivamente, tiene como resultado un número.
Dicho número será positivo o negativo según el ángulo que formen los vectores
Ejemplo: Hallar el producto escalar de los vectores (1,1,3) y (4,-4,1)
(1,1,3) · (4,-4,1) = 4 -4 +3 = 3
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Aplicaciones
PROPIEDAD FUNDAMENTAL:
El producto escalar de dos vectores (no nulos) es cero solo y cuando son perpendiculares
vu0v·urrrr ⊥⇔=
¿Sabrías explicar por qué?
�Si el producto es cero, entonces son perpendiculares
�Si son perpendiculares, entonces el producto es cero
)v,u·cos(v·uv·urrrrrr =
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Aplicaciones
)v,u·cos(v·uv·urrrrrr =
v·u
v·u)v,ucos( rr
rrrr =
Calcula el ángulo que forman los vectores )3,2,1(u −=r )1,4,2(v −=r
Despejando podemos escribir:
( ) 33821)·3(4·22·1v·u =−+−=−++−=rr
14)3(21u222 =−++=r
2114)2(v222 =++−=r
21·14
3)v,ucos( =rr
o92.79
21·14
3cosarc =
=α
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Aplicaciones
)u(projvr
r
v
u·v)u(projv r
rrrr =
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Producto Vectorial
El producto vectorial de dos vectores es otro vector con las siguientes características:
1. La dirección es perpendicular a los dos vectores
2. El sentido es el del avance de un sacacorchos al girar el primero sobre el segundo
3. El módulo es igual a ( )v,usen·v·uvu xvrrrrr =
Este producto puede expresarse como un determinante
321
321x
vvv
uuu
kji
vu =rr
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Ejemplo
Determinar el producto vectorial de los vectores )3,2,1(u =r )2,1,1(v −=r
211
321
kji
vux
−=
rrr
rr j2i3k2j3ki4rrrrrr
−−+−+= k3j5irrr
+−=
Es decir el vector (1, -5, 3)
Comprueba que, efectivamente, es perpendicular a los vectores anteriores
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Aplicaciones
Geométricamente, el módulo del producto vectorial coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores
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Aplicaciones
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Producto Mixto
El producto mixto de tres vectores es igual al producto escalar del primer vector por el resultado del producto vectorial de losotros dosSe representa [ ] ( )wv·uw,v,u x
rvrrrr =
Para calcularlo, es más sencillo viendo que:
[ ]321
321
321
www
vvv
uuu
w,v,u =rrr
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Ejemplo
Calcular el producto mixto de los vectores )3,1,2(u −=r
( )5,2,0v =r
( )2,1,1w −−=r
Por la definición:
Por el determinante:
[ ]211
520
312
w,v,u
−−−
−=rrr
190106508 −=−−−++−=
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Aplicaciones
El producto mixto representa el volumen del paralelepípedo que puede formarse con los tres vectores
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Aplicaciones
También nos permite calcular el volumen del tetraedro de la siguiente forma