Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
TEMA 3.3Mecánica del medio continuo:
El cuerpo elástico: ley de Hooke generalizada
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3.3.1. Introducción
ESTUDIO DE LOS SÓLIDOS DEFORMABLES: efectos de las fuerzas aplicadas
1) las TENSIONES INTERIORES que se engendran en un punto
MÉTODO DE ESTUDIO que hemos seguido:
2) las DEFORMACIONES que se originan alrededor de un punto
3.3.1. Introducción
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⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
γβα
στττστττσ
zyzzx
yzyxy
zxxyx
z
y
x
ttt
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
αβα
εγγ
γεγ
γγε
εεε
zyzxz
yzyxy
xzxyx
21
21
21
21
21
21
2
2
1
ESTADO TENSIONAL:ESTADO DE DEFORMACIÓN:
uTt rr⋅= [ ] uD
rr⋅=ε
3.3.1. Introducción
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3.3.2. Sólido elástico
ESTADO TENSIONAL
ESTADO DE DEFORMACIÓN
CAUSA Y EFECTO:NO SON INDEPENDIENTES
Ecuaciones que relacionan TENSIÓN-DEFORMACIÓN complejas:
- dependientes de fuerzas de atracción molecular
- determinación experimental
3.3.1. Introducción
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PEQUEÑAS DEFORMACIONES
Tensiones y deformaciones son proporcionales:COMPORTAMIENTO ELÁSTICO LINEAL
SÓLIDO ELÁSTICO:- una fuerza exterior lo deforma- recupera su forma inicial al cesar la fuerza
3.3.2. Sólido elástico
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Medida experimental comportamiento mecánico: ENSAYO DE TRACCIÓN
3.3.3. Diagrama esfuerzos-deformaciones
PROBETA: pieza recta, dimensiones normalizadas
: área transversal inicial, : longitud inicial0S 0L
),( ii LF
0SFi
i =σ0
0
LLLi
i−
=ε
3.3.3. Diagrama esfuerzos-deformaciones
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1. Oa : ley de Hooke: límite de proporcionalidad
2. ab : elástico no lineal: límite elástico
3. bc : deformación permanente: tensión de fluencia
4. cd : zona de fluencia
5. de : aumento de resistencia, acritud : tensión de rotura
6. ef : rotura: deformación de rotura
),( ii εσ : DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACIÓN
Pσ
eσ
Flσ
Rσ
rεZona plástica: estricción
3.3.3. Diagrama esfuerzos-deformaciones
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MATERIALES FRÁGILES: la rotura aparece bruscamente
MATERIALES DÚCTILES
3.3.3. Diagrama esfuerzos-deformaciones
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3.3.4. Ley de Hooke generalizada
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN O DE INDEPENDENCIA DE EFECTOS:
- efecto de un sistema de fuerzas: suma de efectos de fuerzas por separado
- tensiones, deformaciones: independiente orden de aplicación de fuerzas
3.3.4. Ley de Hooke generalizada
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PROPIEDADES DEL SÓLIDO ELÁSTICO :
- CONTINUIDAD- ISOTROPÍA- HOGOMENEIDAD
DEFORMACIÓN ε:
- suma de deformación debida a cada tensión
- sólido ISÓTROPO: deformación independiente de dirección (de 21 a 2 parámetros independientes)
3.3.4. Ley de Hooke generalizada
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SÓLIDO ELÁSTICO: relación entre componentes de tensor de tensiones y deformaciones
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
zyzzx
yzyxy
zxxyx
Tστττστττσ
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
D
εγγ
γεγ
γγε
21
21
21
21
21
21
3.3.4. Ley de Hooke generalizada
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EK x
xxσσε ==1
TENSIÓN :xσ
1) Alargamiento eje X:
2) Contracciones ejes Y y Z:
Ex
xzyσ
υυεεε −=== 111
Ey
yσ
ε =2 Ey
zx
συεε −== 22TENSIÓN :yσ
Ez
zσ
ε =3E
zyx
συεε −== 33TENSIÓN :zσ
3.3.4. Ley de Hooke generalizada
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PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN:
Deformación longitudinal eje X:
⇒++= 321 xxxx εεεε )( zyx
x EEσσυσε +−=
Deformación longitudinal eje Y:
)( xzy
y EEσσυσ
ε +−=⇒++= 321 yyyy εεεε
Deformación longitudinal eje Z:
)( yxz
z EEσσυσε +−=⇒++= 321 zzzz εεεε
3.3.4. Ley de Hooke generalizada
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TENSIONES TANGENCIALES
⇓DEFORMACIONES ANGULARES
GK xy
xyxy
ττγ == ´
Gyz
yz
τγ =
Gzx
zxτγ =
Ley de Hooke:
: módulo de elasticidad transversal o módulo de rigidezG
3.3.4. Ley de Hooke generalizada
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LEY DE HOOKE generalizada para un cuerpo isótropo:
)( zyx
x EEσσυσε +−=
)( xzy
y EEσσυσ
ε +−=
)( yxz
z EEσσυσε +−=
Gxy
xy
τγ =
Gyz
yz
τγ =
Gzx
zxτγ =
Sólido elástico:
EJES PRINCIPALES ⇒ coincidentes para tensor de TENSIONESy de DEFORMACIONES
3.3.4. Ley de Hooke generalizada
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3.3.5. Ecuaciones de Lamé
Expresión de las tensiones en función de las deformaciones
Invariantes lineales o traza de los tensores de deformación y tensión:
zyx εεεε ++=3
zyx σσσσ ++=3
Ecuaciones de Hooke para deformaciones longitudinales:
[ ] [ ]33 )1(1)(1)( υσυσσσυσσσυσε −+=−−=+−= xxxzyx
x EEEE
[ ]3)1(1)( υσυσσσυσε −+=+−= yxz
yy EEE
[ ]3)1(1)( υσυσσσυσε −+=+−= zyxz
z EEE
3.3.5. Ley de Hooke generalizada
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Sumando las tres ecuaciones:
[ ] [ ]333 3)1(13)1)((1 υσυσυσυσσσεεε −+=−+++=++EE zyxzyx
3321 συε
E−
=
[ ]⇒−+= 3)1(1 υσυσε xx E xxxEEE ευ
ευυ
υευ
συ
υσ+
+−+
=+
++
=1)21)(1(11 33
[ ]⇒−+= 3)1(1 υσυσε yy Eyyy
EEE ευ
ευυ
υευ
συ
υσ+
+−+
=+
++
=1)21)(1(11 33
[ ]⇒−+= 3)1(1 υσυσε zz Ezzx
EEE ευ
ευυ
υευ
συ
υσ+
+−+
=+
++
=1)21)(1(11 33
3.3.5. Ecuaciones de Lamé
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Se escriben de la siguiente manera:
⇒+
+−+
= xxEE ευ
ευυ
υσ1)21)(1( 3 xx µελεσ 23 +=
yy µελεσ 23 +=
zz µελεσ 23 +=
Coeficientes de Lamé:
)21)(1( υυυλ
−+=
E)1(2 υ
µ+
==EG
3.3.5. Ecuaciones de Lamé
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Para las tensiones cortantes:
xyxyxy
xy GG
γττ
γ =⇒=
yzyzyz
yz GG
γττ
γ =⇒=
xzxzxz
xz GG
γττγ =⇒=
3.3.5. Ecuaciones de Lamé
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ECUACIONES DE LAMÉ PARA UN CUERPO ISÓTROPO:
yy µελεσ 23 +=
xx µελεσ 23 +=
zz µελεσ 23 +=
xyxy Gγτ =
yzyz Gγτ =
xzxz Gγτ =
3.3.5. Ecuaciones de Lamé
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3.3.6. Tensiones y deformaciones de origen térmico
- proceso reversible: dimensión original- temperatura uniforme
Cambio de forma:DILATACIÓN
Sólido en forma de barra, para cualquier dimensión:
TLLLLTLL LL ∆=∆=−⇒∆+= αα 00101 )1(
Lα - coeficiente de dilatación lineal- característico del material
3.3.6. Tensiones y deformaciones de origen térmico
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CASO PARTICULAR (unidimensional):
a) DILATACIÓN LIBRE: b) DILATACIÓN NO LIBRE:
- DEFORMACIÓN LONGITUDINAL: - DEFORMACIÓN LONGITUDINAL:
- TENSIÓN:
TL
LLtérmica ∆=
−= αε
0
01
⇒−=⇒= térmicaEE
εσσε
TE ∆−= ασ
No se produce dilatación
- TENSIÓN:
No se producen tensiones
3.3.6. Tensiones y deformaciones de origen térmico
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CASO GENERAL:
a) DILATACIÓN LIBRE:
- Deformaciones: sistema de fuerzas + dilatación térmica
- Cuerpo isótropo: dilatación térmica no produce variaciones angulares
- Estado tensional: sistema de fuerzas externas
),,,,,(),,,,,,( xzyzxyzyxxzyzxyzyx T γγγεεετττσσσ ⇒∆
Gxy
xyτ
γ =[ ] TE Lzyxxtérmicaxelásticax ∆++−=+= ασσυσεεε )(1
Gyz
yzτ
γ =[ ] TE Lzxyytérmicayelásticay ∆++−=+= ασσυσεεε )(1
[ ] TE Lyxzztérmicazelásticaz ∆++−=+= ασσυσεεε )(1
Gxz
xzτ
γ =
3.3.6. Tensiones y deformaciones de origen térmico
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CASO GENERAL:
a) DILATACIÓN NO LIBRE:
- Deformaciones: sistema de fuerzas + dilatación térmica + ligaduras
- Estado tensional: sistema de fuerzas + tensiones de constricción
),,,,,(),,,,,,0( ´xzyzxyzyxxzyzxyzyx T γγγεεστττσσε ⇒∆=
[ ] ´´ 0)(1xLzyxxtérmicaxelásticax T
Eσασσυσεεε ∃⇒=∆++−=+=
Gxy
xyτ
γ =
[ ] TE Lzxyytérmicayelásticay ∆++−=+= ασσυσεεε )(1
Gyz
yzτ
γ =
[ ] TE Lyxzztérmicazelásticaz ∆++−=+= ασσυσεεε )(1
Gxz
xzτ
γ =
3.3.6. Tensiones y deformaciones de origen térmico
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CASO GENERAL:
- se conocen las fuerzas exteriores
SOLUCIÓN:
- TEORÍA DE LA ELASTICIDAD: solución exacta en casos particulares
- RESISTENCIA DE MATERIALES: resolución utilizando métodos aproximados e hipótesis simplificadoras
TRACCIÓN Y FLEXIÓN
8.8. Problema elástico