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Tema 3: VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL
Carlos Alberola López
Lab. Procesado de Imagen, ETSI Telecomunicación
Despacho 2D014
[email protected], [email protected],http://www.lpi.tel.uva.es/sar
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Juego de dardos:
• Cada lanzamiento es un experimento aleatorio.
• Los errores (respecto del centro) en sentido horizontal serían realizaciones de las VA X.
• Los errores (respecto del centro) en sentido vertical serían realizaciones de las VA Y.
Concepto de VA bidimensional
• ¿Cuándo será mejor un jugador que otro? Cuando más frecuentemente (probablemente) alcance mayor puntuación.
• Necesitamos pues herramientas bidimensionales ….
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Una modulación digital:
• Se envían símbolos durante un tiempo T de la forma:
con
Un modelo real presenta ruido!!!
Concepto de VA bidimensional
• Diseño de regiones de decisión para minimizar probabilidad de error: sectores angulares similares a la diana.
• Valor de A que garantiza una determinada calidad en el servicio.
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Concepto de VA bidimensional
X
Y( )YX,
Pc: Como norma general no es conocida a partir del conocimiento exclusivo de P1 y P2
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Caracterización de VA bidimensional
A) Función de distribución conjunta
x
y
x{ }x≤X
y
{ }y≤Y
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A) Función de distribución conjunta
x
y
{ }x≤X
y
{ }y≤Y { } 2Sx ×≤X
x
Caracterización de VA bidimensional
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A) Función de distribución conjunta
x
y
{ }x≤X
{ }yS ≤× Y1
x
y
Caracterización de VA bidimensional
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A) Función de distribución conjunta
x
y
{ }x≤X
{ }yS ≤× Y1
{ } { }ySSx ≤××≤ YX 12 I
{ } { }yx ≤≤ YX I
x
y
Caracterización de VA bidimensional
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Función de distribución conjunta
• Se define como la probabilidad de la región anterior:
• Nótese que:
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• Es una función de probabilidad acumulada:
Función de distribución conjunta
{ } { }00 yxA ≤≤= YX I
{ } { }11 yxB ≤≤= YX I
( ) ( )1100 ,, yxFyxF XYXY ≤
pues:
BACAB ⊂⇒= U
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( ) ( )( ) ( )DPAP
DAPBPDAB+=
=⇒= UU
x
y
2x
y
1x
D
x
y
2x
y
1x
A
x
y
2x
y
1x
B
( ) ( ) ( )APBPDP −=
( ) ( ) ( )yxFyxFDP ,, 12 XYXY −=
Función de distribución: usos
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( ) ( ) ( ) ( )DPAPBPEP −−=
( ) ( ) ( )2122 ,, yxFyxFEP XYXY −=
Función de distribución: usos
2x1x
x
y
2y
1yE
Dx
y
2x1x
A
2y
1y
x
y
2x1x
B
2y
1y
( ) ( )( )1112 ,, yxFyxF XYXY −−
( ) ( )( ) ( ) ( )EPDPAP
EDAPBPEDAB++=
=⇒= UUUU
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B) Función de densidad de probabilidad
• La función de distribución es poco versátil, pues sólo permite hallar probabilidades de regiones con geometría muy sencilla.
• ¿Qué sucede si necesitamos calcular la probabilidad de una región con geometría arbitraria?
x
y
( )∑i
iRP
Caracterización de VA bidimensional
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B) Función de densidad de probabilidad
• La función de densidad se define de la forma
• Y la relación inversa es
• De forma que la probabilidad asociada a una región arbitraria D del plano es
No negativa
Volumen encerrado=1
Caracterización de VA bidimensional
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B) Función de densidad de probabilidad
• ¿Por qué recibe este nombre? Dado que se define
• se puede escribir de forma alternativa
Caracterización de VA bidimensional
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Caracterización de VA bidimensional
B) Función de densidad de probabilidad
• ¿Por qué recibe este nombre? Dado que se define
• se puede escribir de forma alternativa xx Δ+x
x
yyy Δ+
y
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Ejercicio:( ) ( )xFxP XX −=> 1 ( ) ( )yxFyxP ,1, XYYX −=>>¿ ?
¡¡NO!!{ } { }yxyxS ≤≤>>= YXYX UU,
( ) { } { }( )yxyxPSP ≤≤>>= YXYX UU,
( ) ( )yxPyxP ≤≤+>>= YXYX U,1
( ) ( )yxPyxP ≤≤−=>> YXYX U1,( ) ( ) ( ) ( )yxPyPxPyxP ≤≤−≤+≤=≤≤ YXYXYX IU
( ) ( ) ( )( )yxFyFxF ,1 XYYX −+−=
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Funciones marginales• Las funciones de distribución o densidad de cada variable por
separado, en este contexto se denominan funciones marginales.
• A partir de las funciones de densidad o distribución conjunta siempre se pueden obtener las marginales
X
Y( )YX,
• Recíproco, en general, no es cierto
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Funciones de distribución marginales• Para obtener hay que definir el suceso a
partir del caso 2D. Para ello escribimos
• Es decir, que en el suceso compuesto la segunda variable no suponga restricción alguna. Por ello
• De la misma forma
( )xFX ( )xP ≤X
( ) { }( )2SxPxP ×≤=≤ XX
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Funciones de densidad marginales• En este caso:
• Lo cual se puede escribir de forma compacta como
• con
( )∫ ∞−=
xd
dxd ααφ
( ) ( )∫∞
∞−= dyyf ,ααφ XY
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Funciones de densidad marginales• Para derivar bajo el signo integral acudimos a la regla:
• En nuestro caso tenemos:
• por lo que:
( ) ( ) ,∫ ∞−=
xd
dxdxf ααφX
( ) ( )∫∞
∞−= dyyf ,ααφ XY
( ) ( ) ( )∫∞
∞−== dyyxfxxf ,XYX φ
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Funciones de densidad marginales• Por tanto:
![Page 23: Tema 3: VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL › SarGrado › sarweb › transparencias › Tema3.pdfTema 3: VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL Carlos Alberola López Lab. Procesado de Imagen,](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022041116/5f2906f56efd9021044ba5a7/html5/thumbnails/23.jpg)
Casos particulares:
A) Dos variables discretas
Supongamos que nos preguntan:
con
( )xP ≤X
( ) ( ) ( )CPBPAP ++=A B
C
222111 ppp ++=
{ } { }( )jiij yxPp === YX I
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Casos particulares:
B) Una variable continua y una discreta
Supongamos que nos preguntan:
2R1R
( )yxP ≤≤ YX , ( )21 RRP U=
{ } { }yxR ≤== YX I11
{ } { }yxR ≤== YX I22
( ) ( )21 RPRP +=
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( ) ( ) { } { }( ) { } { }( )yxPyxPRPRP ≤=+≤==+ YXYX II 2121
( ) ( ) ( ) ( )2121, RPRPRRPyxP +==≤≤ UYX
( ) ( ) ( ) ( )2211 xPxyPxPxyP ==≤+==≤= XXYXXY
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞− ∞−==+===
y y
Y dxfxPdxfxP ττττ 2211 XXXX Y
Entonces:
Por lo que:
Es necesario pues conocer:
( )ixP =X
( )ixyf =XY
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Casos particulares:
C) Componentes relacionadas mediante ( )XY g=Se puede obtener la función
conjunta a través de cada una de las marginales:
( )xgy >
( ) )(),( xFxPyxF XXY X =≤=
( )xgy <
( )( ) ( ))(),( 11 ygFygPyxF −− =≤= XXY X
( )( )xg,x
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Casos particulares:Supongamos que las componentes están relacionadas mediante
una recta y nos piden la probabilidad de la región sombreada:
A
B C
D
R
( ))()(
)()(DFCF
BFAFRP
XYXY
XYXY
−−
+=
( )xgy >
( )xgy <
D
CBA ,,
( ) XXY 2== g
)0())0(()()( 1XXXYXY FgFCFBF === −
( ) =−= )()( DFAFRP XYXY ( )( ) =−− )1(51XX FgF ( ) )1(2/5 XX FF −
![Page 28: Tema 3: VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL › SarGrado › sarweb › transparencias › Tema3.pdfTema 3: VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL Carlos Alberola López Lab. Procesado de Imagen,](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022041116/5f2906f56efd9021044ba5a7/html5/thumbnails/28.jpg)
Funciones condicionadas
• Se plantea cómo incluir más información en las funciones de caracterización total de las variables aleatorias una vez que se sabe que un determinado suceso se ha verificado.
• A tales funciones se les denomina funciones condicionadas, y se representan:
donde M es un suceso de probabilidad no nula.
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Funciones condicionadas
![Page 30: Tema 3: VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL › SarGrado › sarweb › transparencias › Tema3.pdfTema 3: VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL Carlos Alberola López Lab. Procesado de Imagen,](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022041116/5f2906f56efd9021044ba5a7/html5/thumbnails/30.jpg)
Funciones condicionadas, marginales y conjuntas
• Existe una relación importante entre estas tres funciones, tanto a nivel de función de distribución como a nivel de función de densidad.
• Para la función de distribución, supongamos que el condicionante es y calculemos la función . Así pues
• Por ello:
• Y de forma similar
{ }yM ≤= Y( )MxFX
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Funciones condicionadas, marginales y conjuntas
• Para la función de densidad, consideremos que el condicionante es una franja de valores de la VA Y, a saber, { }21 yyM ≤<= Y
• Renombramos ahora para poder acudir a cálculo diferencial:
⎩⎨⎧
+=
=
yyyyy
Δ2
1
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• Teníamos que
• Y con el cambio de variables:
• Calculando el límite:
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• Repetimos la expresión:
• Y ahora derivando con respecto a x:
• Por lo que podemos escribir:
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Comentarios adicionales
• ¿Cómo es una función de densidad condicionada a la otra variable?
• Esta expresión permite construir muestras de una VA bidimensional mediante ordenador:
( )( ) muestras
x
100x,1N~0,1N~
⎭⎬⎫
=XYX x=randn(100,1)
y=x+randn(100,1)
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Teorema de la Probabilidad Total
• Nótese que podemos integrar estas expresiones y obtenemos las funciones marginales:
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Teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total
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Independencia de dos VAs• Se dice que dos VAs son independientes si se verifica
que los experimentos aleatorios de los que proceden son independientes. Esto trae consigo que:
con
• En particular si escogemos podemos afirmar que dos VAs son independientes si:
• O bien
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Independencia de dos VAs• Vimos que de forma general podemos escribir
• Según hemos visto las variables son independientes si se verifica que
Por tanto si son independientes “el condicionante no condiciona”
• Para el caso de las VAs discretas, la independencia se traduce en:
![Page 39: Tema 3: VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL › SarGrado › sarweb › transparencias › Tema3.pdfTema 3: VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL Carlos Alberola López Lab. Procesado de Imagen,](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022041116/5f2906f56efd9021044ba5a7/html5/thumbnails/39.jpg)
• La comprobación de la “no independencia” es muy sencilla e intuitiva. En particular
Independencia de dos VAs
Recorridos de VAsdependientes entre sí!!!!!
( ) 0, 00 =yxfXY pero ( )( )⎩
⎨⎧
≠
≠
00
0
0
yfxf
Y
X
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• Objetivo: obtener la caracterización de Z a partir de la de X e Y.
• Procedimiento: a partir de la definición de función de distribución:
siendo
el procedimiento consiste en:
1. Identificar la región Dz
2. Realizar la integral
Transformación de VA 2D. Caso Z=g(X,Y)
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• Consideremos que . Obtengamosla función de distribución de la VA Z.
• Partimos de:
Transformación de VA 2D. Ejemplo
• Entonces:
• Para obtener la función de densidad derivamos
( ) ( )∫ ∫∞
∞−
−
∞−=
xz
z dxdyyxfDP ,XY
( ) ( ) ( )dzDdP
dzzdFzf z== Z
Z
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• Por tanto:
• Hagamos el cambio de variable
• Entonces
Transformación de VA 2D. Ejemplo
( ) ( ) ( )∫ ∫∞
∞−
−
∞−==
xzz dxdyyxf
dzd
dzDdPzf ,XYZ
xty −=
( ) ( )∫ ∫∞
∞− ∞−−=
zdxdtxtxf
dzdzf ,XYZ
( )∫ ∫∞−
∞
∞− ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
zdtdxxtxf
dzd ,XY
( )∫ ∞−=
zdtt
dzd ϕ
( ) ( ) ( )∫∞
∞−−== dxxzxfzzf ,XYZ ϕ
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• Nótese que si las VAs fuesen independientes, el resultado anteriormente obtenido:
• se escribiría
• Es decir
• Este resultado recibe el nombre de Teorema de la Convolución (la función de densidad de la suma de 2 VAs independientes es igual a la convolución de las funciones de densidad)
• Consultar tres ejemplos más en el libro.
Transformación de VA 2D. Ejemplo
( ) ( ) ( )∫∞
∞−−== dxxzxfzzf ,XYZ ϕ
( ) ( ) ( ) ( )∫∞
∞−−== dxxzfxfzzf YXZ ϕ
( ) ( ) ( )zfzfzf YXZ ∗=
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• Consideremos ahora que partimos de:
• El objetivo es obtener la función de densidad de las VAs de destino como función de la función de densidad de las VAs de origen.
• Llegaremos a una expresión que será el Teorema Fundamental extendido a dos dimensiones.
Transformación de VA 2D. Dos funcionesde dos VAs
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• Para ello, escribimos
Transformación de VA 2D. Dos funcionesde dos VAs
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• Generalizando
• Y dado que:
Transformación de VA 2D. Dos funcionesde dos VAs
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• Entonces resulta la expresión del teorema:
• con:
Transformación de VA 2D. Dos funcionesde dos VAs
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• Solución: la expresión del teorema fundamental es:
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( ) ( ) ( )yfxfyxf YXXY =,
• Sólo hay una raíz del plano origen que se transforma en una del plano destino (salvo para el (0,0), pero es un punto aislado en el plano).
• Por ello, escribimos:
• Sustituyendo términos:
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• Hemos obtenido pues:
• Y dado que W=X
• Ahora hay que indicar en qué zona del plano (z,w) es cierta la conclusión obtenida.
( )xx
wzf 11, ==ZW
( )w
wzf 1, =ZW
x
y
1
1
0 w
z
1
1
0w
10 ≤≤≤ wz
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• Consideremos ahora que partimos de:
es decir, de una transformación de 2 Vas.
• Supongamos que deseamos conocer su función de densidad. Podemos emplear el teorema fundamental haciendo lo siguiente:
• Este procedimiento es el método de la VA auxiliar
Transformación de VA. Método de la Variable Auxiliar
( )wzf ,ZW ( ) ( )∫∞
∞−= dwwzfzf ,ZWZ
(1)
(2) (3)
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Indep.
Tenemos pues:
De forma que:
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• De forma similar al caso 1D, si se tiene yse desea entonces se puede escribir:
• En particular, si
Caracterización parcial de VA-2D
( ){ }ZhE( )YXZ ,g=
( ) ZZ =h
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• Si ahora
Caracterización parcial de VA-2Dcba ++= YXZ
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• Variables discretas:
• Esperanzas condicionadas: úsese función de densidad condicionada
Caracterización parcial de VA-2D
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Momentos de una VA-2D• Se dividen en
• No centrales:
• Centrales:
• Si las VAs son discretas:
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Momentos de una VA-2D• Con nombre propio
• Correlación:
• Covarianza:
• Existe relación entre ellos:
• Coef. de correlación:
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Momentos de una VA-2D• Variables ortogonales:
• Variables incorreladas:
• Independencia implica incorrelación:
• El recíproco no es cierto!!!!! (en general)
0=XYR
0=XYC
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Momentos de una VA-2D• Variables incorreladas:
• Varianza de la suma es igual a suma de las varianzas:
• Variables ortogonales:
• Si las variables son ortogonales el mismo razonamiento aplica para el valor cuadrático medio de la suma.
0=XYC
0=XYR
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Unas nociones sobre estimación• Se trata de poder predecir lo que vale una variable (Y)
una vez que se ha observado lo que vale la otra (X):
( )XY g=ˆ (estimador de Y)
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Unas nociones sobre estimación• Criterio de construcción de estimadores:minimizar el
valor cuadrático medio del error
• Veremos tres casos:
• Estimar mediante constante:
• Estimar mediante función lineal
• Estimador sin restricciones
YYε ˆ−= { } ( ){ }22 ˆminmin YYε −= EE
( ) ag == XY
( ) bag +== XXY
( )XY g=ˆ
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Unas nociones sobre estimación• Estimar mediante constante
• Estimar mediante función lineal
• Estimador sin restricciones
{ }2min εEa
( ) ag == XY { }YEa =∗
{ }2
,min εE
ba{ } { }XYX
XY
EaEb
Ca∗∗
∗
−=
= 2σ( ) bag +== XXY
( ){ }2min εE
g( )XY g=ˆ ( ) { } ( )∫∞
∞−=== dyxyyfxEg YXYX
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Unas nociones sobre estimación• Es interesante ver que el coeficiente de correlación mide
el grado de relación lineal entre las variables:
• VCM del error para estimador constante:
• VCM del error para estimador lineal
• Si ambos coinciden, ¿Por qué? Porque:
{ } 22Yε σ=E
{ } ( )222 1 XYYε ρσ −=E
0=XYρ
{ } { }XYX
XY
EaEb
Ca∗∗
∗
−=
= 2σ
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