Tema 3 Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemticas B 4 ESO 1
TEMA 3 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS RESOLUCIN DE ECUACIONES EJERCICIO 1 : Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 6
x13
1x2
1x2 2
b) x4 26x2 + 25 = 0 c) 4.(5x + 1)2 9 = 0 d) 2x4 + 9x2 68 = 0
e x4 4x2 3 0 f) 25
x2
2x
g) 4x2x3 h)65
x1
1xx2
i) x4 9x2 = 0 j) x51x k) 3xx3
x1
l) 3x4 10x2 8 = 0
m) 16
5x72
5x3
)1x3)(5x2( 2
n) 22xx ) 47
x2x
2x1
o) 5x2
8x p) 31x6x2 q) 4
151x
x21x
x
r) 21
x
813
s) 31x4x t) x(4x + 1)(2x 7)(x2 - 4) = 0 u) x(9x2 1)(2x + 3 ) = 0 v) 5x1x
w) 22 1 5 6 0x x x x x) 72x1x5
x1
y) x4 3x 2 4 0 z) x531x5
1) 33x2
x43x2
5
Solucin:
a) Multiplicamos los dos miembros por 6: 2 23 2 1 2 1 1 6 3 2 2 1x x x x x x
2
8 212 31 1 48 1 76 2 0
12 126 1
12 2
x x x 1 22 1Las soluciones son y .3 2
x x
b) Por ser bicuadrada, hacemos el cambio x2 z:
2
2 1226 676 100 26 576 26 2426 25 0
2 2 250 252
z z z
2
2
Si 1 1 1 Si 25 25 5
z x xz x x
Las soluciones de esta ecuacin son x 1 1, x 2 1, x 3 5 y x 4 5.
c) Sabemos que si a2 b2, entonces, o bien a b o bien a b.
En este caso:
22 2 29 34 5 1 9 0 5 1 5 1
4 2x x x
As:
3 15 1 10 2 3 10 12 10
3 5 15 1 10 2 3 10 52 10 2
x x x x
x x x x
1 2
1 1Las soluciones son y .10 2
x x
Tema 3 Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemticas B 4 ESO 2 d) 2x4 + 9x2 68 = 0 equivale a 2z2 + z 68 = 0, siendo z = x2.
34 174 29 81 544 9 625 9 25
4 4 416 44
z
2
2
17 17Si no hay solucin real.2 2
Si 4 4 2
z x
z x x
Las soluciones pedidas son x1 2 y x 2 2.
e Hacemos el cambio: x2 z x4 z2
As obtenemos:
2
6 324 16 12 4 4 4 24 3 0
2 2 22 12
z z z
2
2
Si 3 3 3
Si 1 1 1
z x x
z x x 1 2 3 4Por tanto, hay cuatro soluciones: 3, 3, 1, 1x x x x
f) x54xx4x5
x24
x2x
25
x2
2x 22
2
45 25 16 5 9 5 35 4 0
2 2 21
xx x x
x
g) x42x34x2x3 . Elevamos al cuadrado y operamos:
2 2 2 23 2 4 9 2 16 8 9 18 16 8x x x x x x x x
2
21 1 8 1 9 1 30 2
2 2 21
xx x x
x
)1x(x6)1x(x5
)1x(x6)1x(6
)1x(x6x12
65
x1
1xx2)h
2
2 2 212 6 6 5 5 7 11 6 0x x x x x x
211 121 168 11 289 11 17
14 14 146 3
14 7
xx
x
i) x4 - 9x2 = 0 x2(x2 9) = 0
39x09x
0x0x2
2 Hay tres soluciones: x1 0, x2 3, x3 3
j) 5x1xx51x
Elevamos al cuadrado y operamos: 2 2 2 21 5 1 10 25 0 11 24x x x x x x x
811 121 96 11 25 11 5
2 2 23 no vlida
xx
x
k) xx3
xx
x3
x13x
x3
x1 2
2 21 3 3 0 3 2x x x x
23 9 8 3 1 3 1
2 2 21
xx
x
Tema 3 Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemticas B 4 ESO 3
l) Haciendo x2 z, se obtiene: 3z2 10z 8 0
24 46
10 100 96 10 146 6
4 26 3
z
2
2
Si 4 4 22 2Si no hay solucin real.
3 3
z x x
z x
Las soluciones son x1 2 y x2 2.
m) Multiplicamos ambos miembros por 6: 22 2 5 3 1 3 5 7 5 6x x x x
2 212 4 30 10 3 15 7 5 6 0x x x x x 215 19 4 0x x
30 130
19 361 240 19 121 19 1130 30 30
8 430 15
x
1 2
4Las soluciones son 1 y .15
x x
n) 2x2x Elevamos al cuadrado ambos miembros:
2 4 4 4 6 2 3x x x x x
Volvemos a elevar al cuadrado: 94 9 es la posible solucin.4
x x
Lo comprobamos: 9 9 3 1 42 24 4 2 2 2 9Luego es la solucin buscada.
4x
) Multiplicamos ambos miembros por 4x(x 2): 2 2 24 4 2 7 2 4 4 4 4 7 14x x x x x x x x x
2 2 24 4 16 16 7 14 3 2 16 0x x x x x x x
22 4 192 2 196 2 14
6 6 616 86 3
x
Comprobamos estas soluciones sobre la ecuacin:
1 4 1 8 7 2 es solucin.4 2 4 4
8 221 1 3 2 14 7 83 3 es solucin.8 8 2 8 2 8 8 4 32
3 3 3 3
1 28Las soluciones son 2 y .
3x x
o) Multiplicamos ambos miembros por 2x:
2 2 22 8 10 2 10 8 0 5 4 0x x x x x x 5 25 16 5 9 5 32 2 2
x4
1
Comprobacin de las posibles soluciones: 84 4 1 5 4 es solucin8
; 81 1 4 5 1 es solucin2
Las soluciones son x1 4 y x2 1.
Tema 3 Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemticas B 4 ESO 4 p) x231x6 Elevamos ambos miembros al cuadrado:
2 2 26 1 9 12 4 4 18 8 0 2 9 4 0x x x x x x x
9 81 32 9 49 9 74 4 4
x
2 14 2
16 44
Comprobamos las posibles soluciones sobre la ecuacin: 1 6 12 1 1 4 1 2 3 es solucin2 2 2
x
8 24 1 8 25 8 5 13 4 no es solucinx 1La nica solucin es .2
x
q) Hacemos comn denominador:
2 2 2
2 2 2
4 1 8 1 15 1 1
4 4 8 8 15 1512 4 15 15 3 4 15 0
x x x x x x
x x x x xx x x x x
18 36
4 16 180 4 196 4 146 6 6
10 56 3
x
Comprobamos las soluciones:
3 6 3 6 3 12 15 3 es solucin.
3 1 3 1 4 2 4 4
5 10 5 105 10 20 10 30 15 53 3 3 3 es solucin.
5 5 2 8 2 8 8 8 4 31 13 3 3 3
1 25Las soluciones son 3 y .
3x x
r) Multiplicamos ambos miembros por x3: 3 3381 3 81 3x 27 3x xx
Comprobamos si es, o no, solucin en la ecuacin inicial: 81 1 3 1 2 3 es solucin27
x
s) 1x34x Elevamos ambos miembros al cuadrado:
4 9 1 6 1 6 1 4 3 1 2x x x x x
Volvemos a elevar al cuadrado: 139 1 4 9 9 4 9 139
x x x x
Comprobamos si es, o no, solucin: 13 49 749 9 3
; 13 4 2 73 1 3 39 9 3 3
13Ambos miembros coinciden, luego es la solucin buscada.9
x
Tema 3 Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemticas B 4 ESO 5 t) Para que el producto de varios factores sea 0, alguno de ellos tiene que ser 0. As:
2
2
014 1 0
44 1 2 7 4 072 7 02
4 0 2
x
x xx x x x
x x
x x
1 7Las soluciones son 0, , , 2 y 2. 4 2
x x x x x
u) Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir que: x 0
2 2 1 19 1 09 332 3 0
2
x x x
x x
1 2 3 41 1 3Las soluciones son 0, , y .3 3 2
x x x x
v) 5x1x5x1x Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad:
x 1 x 52 x 1 x2 10x 25 x2 11x 24 0
11 121 96 11 25 11 52 2 2
x 8
3
Comprobamos estas soluciones sobre la ecuacin: 8 1 8 9 8 3 8 5 8 es solucin.x
3 1 3 4 3 2 3 1 3 no es solucin.x
w) Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir: x 0
1 0 1 1x x x
2 5 25 24 5 15 6 02 2
x x x 3
2 Las soluciones son 0, 1, 2 y 3. x x x x
x) Multiplicamos ambos miembros de la ecuacin por xx 2:
1 5 1 7 2 5 1 7 22
x x x x x xx x
x 2 5x2 x 7x2 14x 12x2 14x 2 0 6x2 7x 1 0
7 49 24 7 25 7 512 12 12
x 1
2 112 6
Comprobamos si son o no solucin, sustituyendo en la ecuacin inicial: 1 5 1 1 6 7 1 es solucin.1 1 2
x
1 5 1 11 11 11 2 6 : 6 1 7 es solucin.1 6 6 6 6 66
x
y) Haciendo x2 z, obtenemos z2 3z 4 0 3 9 16 3 25 3 52 2 2
z 4
1
As: z 4 x2 4 x 2
z 1 x2 1 no hay solucin. Las soluciones son: x1 2, x2 2
z) x531x5x531x5 Elevamos al cuadrado ambos miembros:
Tema 3 Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemticas B 4 ESO 6 5x 1 3 5x2 5x 1 9 30x 25x2 25x2 35x 10 0 5x2 7x 2 0
7 49 40 7 310 10
x 1
4 210 5
Comprobamos estas soluciones sobre la ecuacin: 5 1 1 3 4 3 2 3 1 5 1 no es solucin.x
2 2 25 1 3 1 3 2 5 es solucin.5 5 5
x
1) Multiplicamos ambos miembros de la ecuacin por 2x 3 2x 3:
5 4 3 5 2 3 4 2 3 3 2 3 2 32 3 2 3
x x x x x xx x
10x 15 8x2 12x 34x2 9 8x2 22x 15 12x2 27
4x2 22x 12 0 2x2 11x 6 0 11 121 48 11 169 11 134 4 4
x
2 14 2
6
Comprobamos estas soluciones en la ecuacin: 5 2 5 1 13 es solucin.
1 3 4 2 2 2x
5 24 5 24 1 8 9 3 6 es solucin.12 3 12 3 15 9 3 3 3
x
1 21Las soluciones son: , 62
x x
EJERCICIO 2 : , .1 1 3Escribe una ecuacin cuyas soluciones sean y2 2 2
Solucin:
1 1 3La ecuacin 0 tiene como soluciones las pedidas.2 2 2
x x x
Multiplicando estos tres factores se llega a la ecuacin buscada:
2 3 2 3 21 3 3 1 30 0 8 12 2 3 0 es la solucin.4 2 2 4 8
x x x x x x x x
SISTEMAS DE INECUACIONES EJERCICIO 3 : Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
a)
y3
1x2
55y2
21x
6 1 3 1b) 7
6 3
x y
y x