Tema 3
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
Fundamentos de FísicaFacultad de Ciencias del Mar.
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Introducción2.1.
Dinámica. Parte de la Física encargada de estudiar el movimiento de un cuerpo analizando los factores que lo originan.Problema fundamental de la dinámica: Conocidas las causas que determinan el movimiento, encontrar el vector de posición y la velocidad.
Aproximación de punto material o partícula. Todo cuerpo es considerado como un punto geométrico al que se le asocia una cierta masa.
Medio. Dada una partícula, se define su medio como el resto de partículas del universo.
Interacción. Influencia que ejerce el medio sobre la partícula.
Partícula libre. Aquélla que no está sujeta a ningún tipo de interacción con el medio.
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Leyes de la Mecánica2.2.
Primera ley de Newton o ley de inercia. Toda partícula libre se encuentra en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme con respecto a ciertos sistemas de referencia, denominados sistemas de referencia inerciales (SRI).
Sistema de referencia inercial (SRI). El movimiento de la partícula se estudia respecto a observador que es asimismo una partícula libre. Éste observador se denomina observador inercial y el sistema de referencia utilizado por él recibe el nombre de sistema de referencia inercial.
Inercia. Tendencia natural que tienen las partículas de mantener invariable su estado de movimiento.
Sistema de referencia no inercial (SRNI). Aquél que posee respecto a un SRI un movimiento diferente al de traslación uniforme.
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Leyes de la Mecánica2.2.
Momento lineal.De una partícula.
mυr
υrr mp = [ ] 1−= MLtp
Enunciado alternativo de la ley de inercia. Toda partícula libre se mueve con momento lineal constante respecto a un SRI.
De un sistema de partículas.
1m
1υr
5m5υr
6m6υr
2m
2υr
Nm
Nυr
3m3υr
4m4υr
im
iυr
NNN
N
ii mmmppppp υυυ rrrrrrrr +++=+++==∑
=
...... 2211211
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Leyes de la Mecánica2.2.
Principio de conservación del momento lineal.
Sistema aislado. Se dice que un sistema de partículas está aislado cuando las únicas interacciones posibles ocurren entre las propias partículas del sistema, no existiendo influencia alguna del medio.
Principio de conservación del momento lineal. El momento lineal de un sistema de partículas aislado permanece constante.
cte=+++==∑=
N
N
ii ppppp rrrrr ...21
1
También puede expresarse como:
0...211
rrrrrr =∆++∆+∆=∆=∆ ∑=
N
N
ii ppppp
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Leyes de la Mecánica2.2.
Principio de conservación del momento lineal.
1m
5m
6m
2m
Nm3m
4m
im
• Nos centramos en la partícula 1
• Resto de partículas medio
0...211
rrrrrr =∆++∆+∆=∆=∆ ∑=
N
N
ii ppppp
( )N
N
ii ppppp rrrrr ∆++∆+∆−=∆−=∆ ∑
=
...322
1
Variación del momento de una partícula
Variación del momento de las partículas del medio
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−=
dtpd
dtpd
dtpd
dtpd N
rrrr...321Dividiendo entre t∆ y luego : 0→∆t
dtpdF 1
1
rr= , fuerza que ejerce el medio sobre la partícula
Fundamentos de Física. FCM.
Se define:
Tema 2. Dinámica de la partícula
Leyes de la Mecánica2.2.
Segunda ley de Newton.
dtpdFrr
= La fuerza que siente una partícula representa la interacción de la partícula con su medio.
[ ] 2−= MLtF Unidad en el SI: 2smkgN Newton, −⋅⋅=
Si ctem =amF rr
=
( )dtdm
dtmd
dtpdF υυ rrrr
===
Fr
ConocidaamF rr
= Determinación del movimiento de la partícula
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Leyes de la Mecánica2.2.
Segunda ley de Newton.
Para la determinación del movimiento asumiremos:
a) Principio de superposición
1m
5m
6m
2m
3m
4m
im
Nm
14Fr
16Fr
iF1
r
nFFFF 113121 ...rrrr
+++=
ijFij partícula la sobre ejerce partícula la que fuerza :r
b) Conocidas las fuerzas iF1
r
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Leyes de la Mecánica2.2.
Tercera ley de Newton o Principio de acción y reacción.
1m
2m
Cuando dos partículas interactúan, la fuerza sobre una partícula es de la misma magnitud y sentido opuesto a la fuerza sobre la otra.
21Fr
12Fr
2112 FFrr
−=
Ejemplo:
mesa la sobre bloque elpor ejercida fuerza :
bloque el sobre mesa lapor ejercida fuerza :Tierra la sobre bloque elpor ejercida fuerza :'
bloqueelsobreejerceTierralaquefuerza peso, :
'n
n
FFww
r
r
r
r
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Fuerzas fundamentales de la naturaleza2.3.
Interacción gravitatoria.• Primera interacción estudiada en detalle.• Depende de la masa de los objetos. • Siempre atractiva.• Largo alcance.• Responsable de la evolución del Universo.
Interacción electromagnética.• Aparece en objetos magnetizados o con carga eléctrica.• Largo alcance.• Responsable de la interacción entre los átomos de una molécula o entre los electrones y el núcleo de un átomo.• Permite describir la radiación electromagnética.
Interacción nuclear fuerte.• Responsable de la estabilidad del núcleo atómico. Mantiene sus constituyentes unidos, venciendo la fuerte repulsión electrostática entre protones. • Corto alcance (<10-15 m).
Interacción nuclear débil.• Responsable de las desintegraciones β de núcleos radiactivos y de todos los procesos entre partículas elementales donde intervienen neutrinos.• Corto alcance (<10-17 m).• Nuclear débil+electromagnética ⇒ electrodébil.
Interacción Intensidadrelativa Alcance (m)
Nuclear fuerte 1 10-15
Electromagnética 10-2 ∞
Nuclear débil 10-12 <10-17
Gravitatoria 10-40 ∞
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Fuerzas fenomenológicas2.4.
Fuerzas de rozamiento.
P
S
Rr
'Rr
RFr
Nr Interacción electromagnética entre los átomos de las
capas superficiales del cuerpo y la superficie sólida.
Manifestación macroscópica en un par acción-reacción.' , RRrr
Analizamos el movimiento de la partícula Rr
es la fuerza de interés
Componentes de :Rr
RFNRrrr
+=
Nr
Fuerza normal: Componente perpendicular al plano de contacto
RFr Fuerza de rozamiento o fricción: Componente contenida en el plano
de contacto
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Fuerzas fenomenológicas2.4.
Fuerzas de rozamiento.Rozamiento seco. Aquél que se produce entre dos cuerpos sólidos.• Depende de la naturaleza y condiciones de las dos superficies en contacto, pero (en buena aproximación) no depende del área de contacto entre los cuerpos.• Tangente a la superficie de contacto.• Aparece sobre ambos cuerpos al aplicar una fuerza sobre uno de ellos.
Nr
Pr
Situación III
Bloque en equilibrio bajo la acción de la normal y su propio peso.
Bloque en equilibrio bajo la aplicación de una fuerza F. De acuerdo con la 2ª ley de Newton debe de estar actuando una fuerza de igual módulo y sentido contrario: la fuerza de rozamiento estática.
Movimiento inminente. Si el módulo de F aumentase, el bloque se movería. En este caso la fuerza de rozamiento es igual a la fuerza de rozamiento estática máxima.
El bloque se mueve. La fuerza de rozamiento disminuye ligeramente y toma un valor constante igual a la fuerza de rozamiento dinámica, independiente de la fuerza aplicada.
FFer
rr−=
Nr
Pr
Nr
Pr
Nr
Pr
Situación I Situación II
Situación IV
ter uNFe
rrµ−=máx,
:eµ coeficiente de rozamiento estático
tdr uNFd
rrµ−=
:dµ coeficiente de rozamiento dinámico
Fr
erFr
Fr
máx,erFr
Fr
drFr
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Fuerzas fenomenológicas2.4.
Fuerzas de rozamiento.Rozamiento seco.
F
rF
máx,erF
drF
III
IIIIV
F
rF
de rr FF =máx,
Modelo simplificado
Material µe µd
Acero sobre acero 0.74 0.57
Aluminio sobre acero 0.61 0.47
Vidrio sobre vidrio 0.94 0.40
Caucho sobre hormigón 0.90 0.80
Acero sobre hielo 0.10 0.06
[ ] [ ] 1== de µµ
En general,
de µµ >
Fotografía microscópica de una superficie de acero pulida. Irregularidades superficiales ≈ 10-5 cm.
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Fuerzas de rozamiento.
Fuerzas fenomenológicas2.4.
Rozamiento fluido. Aquél que aparece entre capas contiguas de fluido que se mueven a diferentes velocidades o el que sufre un sólido que penetra en un fluido.
• Depende, entre otras cosas, de la naturaleza del fluido, de la velocidad del objeto respecto al fluido, de la forma del sólido que se sumerge en el fluido.• A este tipo de rozamiento se le suele llamar fuerza viscosa o fuerza de arrastre.
Ejemplo. Movimiento en el seno de un fluido viscoso.
Pr
fr
Er
Pr
fr
Velocidades bajas υ−= rrbf [ ] 1−= Mtb
La fuerza de arrastre aumenta con la velocidad y acaba compensando el efecto del peso. El paracaidista alcanza entonces una velocidad límite.
0rrrr
=++ fEP0lím
rrrr =−− υbgmgm liq
El cuerpo acaba moviéndose con una velocidad constante (a=0), que recibe el nombre de velocidad límite.
: viscosaFuerza
:Empuje :Peso
υrr
rr
rr
bf
gmEgmP
líq
−=
−=
=
( )b
gmm líqlím
rr −
=υ
Velocidades altas υυ−= rrruDf 2 [ ] 1−= MLD
Ejemplo. Descenso de un paracaidista.
:Arrastre :Peso
2υυ−=
=
rrr
rr
uDfgmP
0rrr
=+ fP02
lím
rrrr =− υυ uDgm
υ=υ rrr u
Dmg
lím
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Fuerza elástica.
Fuerzas fenomenológicas2.4.
Es una fuerza de naturaleza electromagnética. Al alargar o comprimir un cuerpo, aparecen fuerzas de atracción o repulsión que obliga a los átomos a recuperar sus posiciones iniciales.
0r
r
P
Orur
elFr
Ley de Hooke. La fuerza elástica está dirigida en sentido opuesto a la deformación sufrida, y es proporcional a la magnitud de dicha deformación.
rel urkF rr∆−=
[ ] 2 elástica, constante −= Mtkk
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Momento angular. Momento de una fuerza.2.5.
rr
Momento angular.
O
m
OLr
υr
( )υυ rrrrrrr×=×=×= rmmrprLO
[ ] 12 −= tMLLO
En un movimiento general, LO cambia en magnitud y en dirección.
Si el movimiento tiene lugar sobre un plano, 2ωr
rmrLO =
siendo O un punto del plano.
rr
Momento de un fuerza.
O
m
OMr
Fr
FrMO
rrr×=
[ ] 22 −= tMLMO Unidad en el SI: mN ⋅
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Momento angular. Momento de una fuerza.2.5.
Teorema del momento angular.
OO M
dtLd rr
=La expresión es válida si tanto el momento angular como el momento de la fuerza se evalúan respecto al mismo punto O.
• Esta expresión guarda una gran analogía con la 2ª ley de Newton (se reemplaza p por LO
y F por MO.• Ecuación fundamental en el estudio del movimiento de rotación.
Teorema de conservación del momento angular.
Si el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, respecto a un punto O, es nulo, el momento angular respecto a ese punto se conserva.
cte=⇒= OO LMrrr
0 Si
Situaciones en las que : cte=OLr
• La partícula es una partícula libre.
• La fuerza neta que actúa sobre la partícula es nula, .
• Fuerza y vector de posición son paralelos, .
0rrr
==∑i
iFF
0 ||rrrrrr
=×=⇒ FrMrF O
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
O
P
Trabajo realizado por una fuerza. Energía cinética.2.6.
Trabajo realizado por una fuerza.
rr
rdr rr +
Fr
A
BC
ϕ
Trabajo elemental realizado por la fuerza F en un desplazamiento dr rdFdW rr
=
Trabajo realizado por la fuerza F en un desplazamiento finito. ∫=
B
CA
CAB rdFW
,
rr
[ ] 22 −= tMLW En el SI: 22 Julio, −⋅⋅=⋅= smkgmNJ
tFr
rdr
Algunas consideraciones
drFrdFdW ϕcos== rra) ϕcosFFt =
componente de la fuerza tangente a la trayectoriadrFt=
b) En general, el trabajo realizado por una fuerza depende de la trayectoria seguida por la partícula para desplazarse de un punto a otro. ∫∫ ≠
B
CA
B
CArdFrdF
21 ,,
rrrr
tF
sA B
CABW
c) d) Si la fuerza permanece constante sobre la trayectoria seguida:
FsWF CAB =⇒= cte
r
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
¿Qué información proporciona el trabajo realizado por una fuerza?
Trabajo realizado por una fuerza. Energía cinética.2.6.
Trabajo realizado por una fuerza.
Fr
tFr
υr
0>FW0>dW
La componente tangencial de la fuerza tiene el mismo sentido que el desplazamiento
Se favorece el movimiento en el sentido del desplazamiento
Fr
tFr
υr
0<FW0<dW
La componente tangencial de la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos opuestos
No se favorece el movimiento en el sentido del desplazamiento
• Fuerza nula• Desplazamiento nulo• Fuerza y desplazamiento perpendiculares
0 =⇒⊥ rdFrdF rrrr
0=dW
MCU
0=nFWnF
rrdr
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Trabajo realizado por una fuerza. Energía cinética.2.6.
Energía cinética.Dada una partícula de masa que se mueve con una velocidad , se define su energía cinética como:
m υr
2
21 υmEc =
[ ] 22 −= tMLEc En el SI: 22 Julio, −⋅⋅=⋅= smkgmNJ
El trabajo para desplazar una partícula desde un punto A a un punto B, realizado por la fuerza neta que actúa sobre ella, es igual a la variación de su energía cinética.
22,, 2
121
ABAcBccCAB mmEEEW υυ −=−=∆=
Teorema del trabajo y la energía cinética.
Potencia.
Potencia mediat
WPCAB
m ∆= Potencia instantánea
dtdWP = υr
rFP =
[ ] 32 −= tMLP En el SI: 32/ Vatio, −⋅⋅== smkgsJW
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Trabajo realizado por una fuerza conservativa. Energía potencial.2.7.
Fuerzas conservativas y no conservativas.
Fuerza conservativa ∫=B
CA
CAB rdFW
,
rres independiente de la trayectoria C
Fuerza no conservativa ∫=B
CA
CAB rdFW
,
rrdepende de la trayectoria C
Energía potencial.
Si es una fuerza conservativa entonces existe una función escalar asociada a tal que:
( )zyxFF ,,rr
=( )zyxUU ,,= F
r
( ) ( ) UBUAUrdFWB
CA
CAB ∆−=−== ∫ ,
rr
La función recibe el nombre de energía potencial.( )zyxUU ,,=
[ ] 22 −= tMLU En el SI: 22 Julio, −⋅⋅=⋅= smkgmNJ
BA ≡
El trabajo realizado por una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es igual a cero.
( ) ( )∫ =−=∆−= 0AUAUUrdF rr
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Energía potencial asociada a una fuerza conservativa.
Trabajo realizado por una fuerza conservativa. Energía potencial.2.7.
Sea una fuerza conservativa, Fr
• si ( )ixFF xrr
= ( )dxdUxFx −= ( ) ( )∫−= dxxFxU xi
dxdUF
rr−=
• si ( ) ( ) ( )kzyxFjzyxFizyxFF zyx
rrrr,,,,,, ++=
,xUFx ∂∂
−= ,yUFy ∂∂
−=zUFz ∂∂
−= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−= kzUj
yUi
xUF
rrrr
Se define el gradiente de una función escalar como:U
kzUj
yUi
xUU
rrr
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ Expresión en coordenadas cartesianas
Si es una fuerza conservativa y la función energía potencial asociada:UFr
UF −∇=r
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Energía potencial asociada a una fuerza conservativa.
Trabajo realizado por una fuerza conservativa. Energía potencial.2.7.
Energía potencial asociada al peso.
kmgPrr
−=dzdUmgPz −=−=
( )∫ ∫ ∫ +==−= CmgzzUmgdzdzPdU z , X
Y
Z
Pr
m
Si se elige el origen de energía potencial en : 0=z
( ) mgzzU = ( ) ⇒== 0 0zU
Energía potencial asociada a la fuerza elástica.
0x
x
elFr ( )ixxkFel
rr0−−= ( )
dxdUxxkF xel −=−−= 0,
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +−=−=−= CxxkxUdxxxkdxFdU xel2
021
0, ,
Si se elige el origen de energía potencial en : 0xx =
( ) ⇒== 0 0xxU ( ) ( )2021 xxkxU −=
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Teorema de la energía mecánica.2.8.
Energía mecánica.Se define la energía mecánica de una partícula como la suma de su energía cinética más su energía potencial.
UEE c +=
Teorema de la energía mecánica.Sea una partícula sobre la que actúan fuerzas conservativas y fuerzas no conservativas .
CFr
NCFr
A
Si la partícula se desplaza desde un punto arbitrario A a otro punto arbitrario B, el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual a la variación de energía mecánica en dicho desplazamiento.
EWNC ∆=B
( ) ( )AAcBBcABNCAB UEUEEEW +−+=−= ,,,
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Teorema de la energía mecánica.2.8.
Principio de conservación de la energía mecánica.Cuando sobre una partícula sólo actúan fuerzas conservativas, su energía mecánica se conserva.
0=∆E
0=−=∆ AB EEE BA EE = BBcAAc UEUE +=+ ,,
1E
2E
E3E
4E
Discusión de curvas de energía potencial
U
cE
x
( )xU
1M3M
2M
a b
c d e f
g h
iUEE c +=
dxdUF −=
izquierda la hacia 0/derecha la hacia 0/
FdxdUFdxdU
⇒>⇒<
⎩⎨⎧
=⇒=(máximos) inestable
(mínimos) estable equilibrio ,0 0 F
dxdU
baEE y entre oscilación 1 ⇒=fedcEE y entre o y entre oscilación 2 ⇒=
hgEE y entre oscilación 3 ⇒=
∞⇒= e entre posible o,oscilatori no mov. 4 iEEFundamentos de Física. FCM.
Tema 2
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
Fundamentos de FísicaFacultad de Ciencias del Mar.
Tema 2. Dinámica de la partícula
Interacción gravitatoria (ampliación).Ley de la Gravitación Universal de Newton
12212
2112 u
rmmGF rr
−=
,kg/mN 1067.6 22 11 ⋅⋅= −Gconstante de gravitación universal
1m
2m
12ur
12Fr
Atracción gravitatoria terrestre. Peso.
( ) rrg uhR
MmGur
MmGF rrr22 +
−=−=
gmFugg grrrrr ≈⇒−=
h
rur gFr
rg umRMGFRhRRh rr
2 −≈⇒≈+⇒<<
En las proximidades de la superficie terrestre:
gmP rr=Llamamos peso:
g aceleración de la gravedad
Fundamentos de Física. FCM.