Download - Tema 2AE. Estabilidad. Cinematica
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Profa: Karla Pacheco
Universidad Nacional Experimental politécnica de Maracaibo
Departamento de construcción civil
Análisis estructural
Tema 2. Estabilidad cinemática de estructuras
1. Chapas:
Cada uno de los planos infinitamente delgados que representan las formaciones rígidas
que se pueden definir en un sistema estructural. La formación rígida elemental constituye una
barra continua de cualquier forma y dimensión. El símbolo βi es utilizado para identificar a la
chapa i (Figura 1):
Figura 1. Idealización de una chapa
2. Grado de libertad:
Numero de parámetros independientes de un sistema estructural necesario para
especificar la posición de cualquiera de sus puntos en su configuración desplazada. Toda
chapa aislada en el plano posee 3 grados de libertad, Es decir, puede trasladarse respecto a
dos ejes X e Y y rotar respecto a un centro. Si los grados de libertad son notados por la letra g,
una chapa en completa libertad de movimiento tiene un g = 3. Para que la barra o chapa se
encuentre en equilibrio estático se deberá restringir o anular sus grados de libertad a través
de vínculos o apoyos.
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3. Vínculos:
La vinculación externa de una chapa, se define como aquella que restringe posibilidades
de movimiento absoluto de los puntos de la chapa, entendiendo como movimientos absolutos
aquellos referidos al sistema, la tierra (βt) tomado como fijo. Según el vínculo externo o
absoluto, restrinja una, dos o las tres posibilidades de movimiento que posee la chapa en
libertad de movimiento, el vínculo será de primera, segunda, o tercera especie
respectivamente.
Vínculo externo de 1ra especie: Este vínculo le restringe a la chapa la posibilidad de
movimiento absoluto, en la dirección de la barra rígida y le permite trasladarse en
dirección perpendicular a la barra y rotar alrededor del punto i. el cual, como se indica,
restringe una posibilidad de movimiento absoluto y permite dos. Ver figura 2.
Figura 2. Vínculo externo de 1ra especie.
Nota: Se debe tener presente que un vínculo externo de 1ra especie no define el polo de
rotación de la chapa, suministra una dirección para su ubicación.
Vínculo externo de 2da especie: Este vínculo restringe las dos traslaciones absolutas y le
permite rotar en forma absoluta alrededor de O, con respecto al sistema de referencia fijo
βt. Este vínculo define el polo de rotación de la chapa (Figura 3).
Figura 3. Vínculo externo de 2da especie.
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Otro vínculo externo de 2da especie se presenta cuando las barras rígidas son paralelas. Esto
impone desplazamientos a los puntos i, j en dirección perpendicular a ellas. Ver figura 4.
Figura 4. Otro vínculo de 2da especie.
Vínculo externo de 3ra especie: Este vínculo fija la chapa ya que restringe sus tres
posibilidades de movimientos. Ver figura 5. Algunas consideraciones a continuación:
Figura 5. Vínculo externo de 3ra especie.
- Tres barras concurrentes no fijan la chapa, le permiten la rotación alrededor de O:
- Tres barras paralelas no fijan la chapa, le permiten la traslación en dirección perpendicular a las barras como se indica:
Figura 6. Vínculos aparentes.
Cuando la chapa está vinculada externamente
mediante tres barras que se intersectan o son
paralelas, ellas son inefectivas como vínculo, pues
no la fijan. Este tipo de vinculación recibe el
nombre de aparente. Algunos ejemplos se ilustran a
continuación en la figura 6.
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-Es posible encontrar también la vinculación conocida como redundante, que se presenta a continuación en la figura:
Figura 7. Vínculos redundantes
Por lo analizado anteriormente, pueden plantearse las siguientes conclusiones relacionadas
con la ubicación de los polos de rotación de las chapas, a partir de la vinculación externa:
- Para todo vínculo de 1ra especie, rodillo o biela, el polo de rotación se encuentra en la dirección
de la barra que lo define.
-Todo empotramiento de 1er grado genera polos impropios.
- Todo apoyo fijo es un polo de rotación.
- Todo empotramiento deslizante, móvil o sobre rodillo, define un polo de rotación en el infinito,
es decir, un polo impropio, en dirección perpendicular al permitido, o lo que es equivalente, en la
dirección de las barras que lo definen.
- Toda chapa empotrada está fija.
4. Desplazamientos finitos de una chapa en su plano
Para estudiar, los desplazamientos que experimenta una chapa β en su plano, considere
primero, la chapa mostrada en la figura siguiente en su configuración inicial, donde se destacan
los puntos i, j y en su configuración desplazada, donde los puntos i, j han pasado a las posiciones
i’j’. Figura 8.
Figura 8. Rotación de una chapa en su plano
La chapa β con las tres barras rígidas b1, b2 y b3
está fija, por lo que la barra b4, no se requiere para
fijarla; ésta barra es redundante. Note que los
vínculos redundantes, son las cantidades de
vínculos en exceso sobre las necesarias y
suficientes para fijar la chapa. Figura 7.
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Una chapa puede experimentar otro tipo de desplazamiento, que se manifiesta cuando
todos los puntos de ella se desplazan la misma cantidad y en una misma dirección, es decir,
experimentan desplazamientos paralelos e iguales, como se indica en la figura siguiente:
Figura 9. Traslación de una chapa en su plano.
En este caso el segmento i'j' es paralelo y se orienta en el mismo sentido que el segmento
ij, entonces se tiene que ii' = jj'. Trazando mediatrices a los puntos medios de esos segmentos,
resultan rectas paralelas que se cortan en el infinito. A este tipo de desplazamiento
experimentado por la chapa se le conoce como traslación; es decir, movimiento que a una
rotación alrededor de un polo impropio en el infinito, en dirección perpendicular a la de
traslación.
Alternativamente, de ahora en adelante, cuando una chapa tenga su polo en el infinito, se
dirá que ella se traslada en dirección perpendicular al polo en el infinito y además, todos los
puntos de la chapa que se traslada se desplazan en dirección perpendicular a su polo en el
infinito, la misma cantidad y en la misma dirección y sentido.
5. Rotación infinitesimal de una chapa
Para analizar la rotación infinitesimal de una chapa, supóngase una chapa que tiene un
polo de rotación O, alrededor del cual rota una cantidad infinitesimal α, como se aprecia en la
figura siguiente.
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Figura 10. Rotacion infinitesimal de una chapa.
Por efecto de la rotación α impuesta a la chapa β, un punto cualquiera i, separado de O
auna distancia ρi, se desplaza a lo largo de un arco de circunferencia de centro en O y radio ρi,
pasando a la posición i'. Cuando se consideran desplazamientos infinitésimos la cuerda ii', el arco
i≈i’ y la tangente (normal al radio Oi) i≈i" se confunden por ser infinitésimos equivalentes, es
decir, i≈i’ = ii' = ii". Se considera entonces que:
“Para rotaciones infinitesimales los desplazamientos que experimentan los puntos de una chapa
se tomarán en dirección normal a las rectas determinadas por los puntos y el polo de rotación o
radios de giro y en el sentido de la rotación”, como se muestra en la figura 11:
Figura 11. Desplazamientos de los puntos de una chapa que rotan
“los de rotación absolutos (solo gira) y relativos (gira y desplaza). Los desplazamientos son siempre perpendiculares a la línea imaginaria que une el polo absoluto de la chapa con el punto que se desplaza”.
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6. Desplazamiento relativos entre dos chapas: Teorema 1: Los polos absolutos de dos chapas y el polo relativo entre ellas. Están alineados. Figura 12.
Figura 12. Teorema 1.
Teorema 2: Si una chapa β1 esta fija, el polo relativo que la vincula con la chapa β2 pasa a ser el
polo absoluto de rotación de β2. Figura 13.
Figura 13. Teorema 2.
Teorema 3: Los polos relativos entre tres chapas están también están alineados. Figura 14.
Figura 14. Teorema 3
Teorema 4: Cualquier chapa en el plano que posea dos polos de rotación distintos esta fija
(indesplazable).
Teorema 5. Cualquier chapa que posea un polo absoluto y una dirección definida de otro polo
adicional que no pase por el anterior también esta fija.
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7. Vinculación interna entre chapas
La vinculación interna entre dos chapas, sé estudia a partir de las restricciones de
movimiento relativo, impuestas a los puntos de una de las chapas respecto a la otra, considerada
fija.
Vínculo interno de 1ra especie: La rigidez de β1, le impide a la chapa β2 la traslación
relativa en su dirección y le permite moverse en dirección perpendicular a ella y rotar
relativamente respecto a β1. Ver figura 15.
Figura 15. Vínculo interno de 1ra especie
Vínculo interno de 2da especie: Las chapas se vinculan internamente por dos barras
rígidas que se cortan en un lugar propio. Este vínculo permite a β2 respecto de β1 solo la
rotación y restringe las dos traslaciones. Figura 16.
Figura 16. Vínculo interno de 2da especie
Figura 17. Vínculo interno ficticio propio de 2da especie
A este vínculo interno de 2da especie se le conoce como vínculo interno ficticio propio.
Se nota que la intersección de esas barras puede
ocurrir dentro o fuera del dominio de las chapas,
así como se indica en la figura 17:
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Este tipo de vinculación interna se presenta también cuando las chapas se vinculan
mediante una articulación interna propia o articulación real, como se muestra en la figura 18:
Figura 18. Vínculo interno propio de 2da especie
Otro tipo de vinculación interna de 2da especie se presenta cuando las dos barras rígidas
β1 y β2 son paralelas. En este caso, β2 sólo puede trasladarse relativamente con respecto a β1 en
dirección perpendicular a las barras rígidas, quedándole impedidas la traslación en dirección de
las barras rígidas y la rotación relativa. Figura 19.
Figura 19. Vínculo interno Ficticio impropio de 2da especie
Visto, que β2 sólo se traslada relativamente con respecto a β1, puede afirmarse que el polo
relativo de rotación entre las dos chapas vinculadas por dos barras paralelas, se encuentra en el
infinito, en dirección perpendicular a la de traslación o lo que es equivalente, en la dirección de
las barras que definen este tipo de vinculación interna de segunda especie. A este vínculo interno
de 2da especie también se le conoce como vínculo ficticio impropio, o articulación ficticia
impropia.
Vínculo interno de 3ra especie: se define cuando las dos chapas son vinculadas mediante
tres barras rígidas que no sean las tres ni paralelas, ni concurrentes como se muestra en la
figura 20.
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Figura 20. Vínculo interno de 3ra especie
Esta vinculación le restringe a β2 todas las posibilidades de movimiento relativo respecto
a β1, es decir, la fija. Por tal razón; cuando dos chapas se vinculan internamente mediante tres
barras rígidas, que definen una vinculación interna de tercera especie efectiva, se establece que
ellas forman una sola chapa, una sola formación rígida. Figura 21:
Figura 21. Tres chapas triarticuladas forman una sola chapa,
Cuando las tres barras rígidas son las tres concurrentes o paralelas, la chapa β2 no está
impedida de moverse con respecto a β1 quedando representada en este caso una vinculación
interna aparente como se muestra en la figura 22.
Figura 22. Vinculación interna aparente.
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8. Clasificación De cadena de chapas
Las cadenas de chapas, según el contorno de las chapas, pueden clasificarse en; abiertas,
cerradas y mixtas. Se muestran a continuación en forma esquemática algunas cadenas
abiertas, cerradas y mixtas. Ver figura 23.
Figura 23. Clasificación de cadena de chapas
A partir de la definición de cadenas de chapas, se derivan algunos aspectos resaltantes,
relacionados con la identificación de las cadenas de chapas, en las cuales deben considerarse las
chapas vinculadas por vínculos internos de segunda especie. Así, una barra rígida, no cargada,
que ha sido definida como vínculo interno de primera especie, debe ser considerada como una
chapa; tres barras no paralelas ni concurrente, que definen un vínculo interno de tercera especie
entre dos formaciones rígidas forman con ellas una sola chapa.
Cadenas abiertas
Cadenas cerradas
Cadena mixta
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Es importante tener presente, que una barra para ser considerada vínculo, debe ser rígida
y no puede estar cargada. La cadena cerrada más pequeña y simple, es la de tres chapas; pero es
necesario, aclarar que ese conjunto se constituye en una sola chapa rígida, con un g= 3, siempre
que las articulaciones entre ellas no estén en línea recta (alineadas), como se muestra a
continuación:
Lo expresado anteriormente se demuestra, aplicando el procedimiento cinemático
indicado a continuación, en vista de que estudio cinemático de la formación, depende del
movimiento independiente de cada chapa. Considérese una de las tres chapas fijas, sí a partir de
esta consideración es posible fijar las restantes, encontrando dos polos por chapa, entonces, el
sistema está fijo y forma una sola chapa:
“Tres chapas en cadena cerrada, cuyos polos relativos no estén alineados, forman una
chapa rígida que tiene tres grados de libertad”.
Grados de libertad de una cadena de chapas: En secciones anteriores, se ha determinado y
considerado el número de grados de libertad que posee una chapa en completa libertad de
movimientos, (g = 3). Interesa establecer el número de grados de libertad g, que posee una
cadena de chapas, formada por m chapas, bajo cualquier configuración y en completa libertad de
movimiento. Para ello, se propone determinar, una expresión general, que sea válida para
cualquier tipo de cadena. Se define:
=
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Donde:
g: Número de grados de libertad de la cadena
m: Número de chapas de la cadena
a: Número de articulaciones en la cadena
mi Número de chapas que concurren a cada articulación.
Para ilustrar su aplicación, se considera el siguiente ejemplo:
Figura 24. Ejemplo 1.
Al aplicar la fórmula general de la ecuación (2.15), para determinar así el número de
grados de libertad que la cadena mostrada posee, se tiene entonces:
m = 9
m = 8
mi = 2+2+2+3+2+2+2+2 = 17
g = 3*9+2 * 8 – 2(17) = 9
A partir de lo visto anteriormente, es posible utilizar dos expresiones particulares muy
sencillas, que pueden utilizarse en el caso de cadenas abiertas y cerradas, bajo la estricta
consideración de que a todas las articulaciones de la cadena, sólo se vinculen dos chapas.
Para cadenas abiertas g = m+2
Para cadenas cerradas g = m
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9. Determinación cinemática de un sistema
En la sección anterior, se estableció la manera de calcular los grados de libertad de
cualquier cadena de chapas.
Ahora bien, esas cadenas de chapas, que se han considerado sin restricción de
movimientos impuestas por vinculación externa, en realidad están vinculadas externamente al
sistema de referencia fijo la tierra, como se indica esquemáticamente:
Cada vínculo externo o apoyo, suministra un número de restricciones según sea su
especie; al número total de restricciones impuestas por la vinculación externa se le denota como
“r” y su determinación se realiza por simple conteo. Entonces, en un sistema definido por una
chapa o una cadena de chapas cualquiera, conocidos sus grados de libertad g y determinado r,
por simple conteo de restricciones impuestas por la vinculación externa, puede evaluarse la
relación g – r, cuyo resultado puede ser mayor, igual o menor que cero, esto es:
Sistema cinemáticamente indeterminado
g - r > = 0
Sistema cinemáticamente determinado
g - r = 0
Sistema cinemáticamente sobredeterminado
g - r < 0
“Se necesitan como mínimo, tantas condiciones de vínculo externo para estabilizar el
sistema, como grados de libertad tenga, pero esto no implica necesariamente estabilidad; de allí
que ésta sea considerada condición necesaria, pero no suficiente para la estabilidad del sistema.”
Esto permite establecer que sistemas con:
g – r > 0 = > Inestables
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g – r ≤ 0 = > Aparentemente estables
10. Estabilidad cinemática de un sistema
Los sistemas considerados se definen como cinemáticamente estables, cuando cumpliendo
con la condición necesaria, se encuentren fijos o estabilizados. Si el sistema está formado por una
sola chapa, se considera fijo si tiene dos polos de rotación. Por consiguiente, si se trata de una
cadena de chapas, para que sea estable todas y cada una de sus chapas, deben tener dos polos
rotación, o sea, todas deben estar fijas. Esta representa la condición suficiente para la estabilidad
del sistema.
Todo lo expuesto hasta ahora, permite en forma general establecer algunos pasos que deben
seguirse para determinar la estabilidad cinemática de las estructuras:
Identificar el sistema (chapa o cadena de chapas), tratando de configurar el menor
número de chapas, y clasificar el tipo de formación de acuerdo ésta configuración.
Determinar los grados de libertad g del sistema, haciendo uso de la ecuación
Contar las restricciones impuestas por la vinculación externa y calcular la diferencia g – r.
Clasificar cinemáticamente el sistema a la diferencia g-r
10.1. Estabilidad cinemática de cadenas abiertas
En una cadena cinemática abierta aparentemente estable, se asegura su estabilidad
estudiando los polos de rotación:
Cadenas cinemáticas abiertas inestables: Cuando sólo se puede conseguir un polo
absoluto de rotación, para cada chapa de la cadena o no logran fijarse todas las chapas. Si
al menos una chapa de la cadena está en condición inestable, como lo postulado, no es
aplicado solo a una parte de la estructura sino a toda ella en conjunto, la estructura es
inestable.
Cadenas cinemáticas abiertas estables: Cuando se consigue más de un polo de rotación
para todas y cada una de las chapas de la cadena.
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10.2. Estabilidad cinemática de cadenas cerradas y mixtas
Una cadena cinemática cerrada o mixta aparentemente estable como condición necesaria,
pero no suficiente, será estable cuando se consiga más de un polo de rotación para todas sus
chapas, en el caso contrario será inestable. Alternativamente, la estabilidad de estos tipos de
cadenas se puede estudiar buscando un solo polo de rotación para cada chapa, cosa que no
implica inestabilidad en la cadena, y comprobando compatibilidad de movimientos. Según esto,
se tendrá:
Cadena cinemática cerrada o mixta inestable: Cuando es aparentemente estable, se
consiga un polo de rotación para cada chapa y la cadena tenga compatibilidad de
movimientos (dirección, sentido, magnitud).
Cadena cinemática cerrada o mixta estable: Cuando es aparentemente estable, se
consiga un polo de rotación para cada chapa y la cadena tenga incompatibilidad de
movimientos.
Se insiste en el hecho que si una cadena cinemática cerrada o mixta, tiene más de un polo
de rotación, para cada chapa no es necesario el estudio de la compatibilidad de movimientos para
decretarla estable, como se indicó inicialmente.
Estudio de la compatibilidad del movimiento: Debido a que la estabilidad de las cadenas
cerradas y mixtas, puede estudiarse como se ha indicado, buscando un polo por chapa y
comprobando la compatibilidad de movimientos, resulta inmediato aclarar el significado y
procedimiento para realizar el chequeo de esa compatibilidad de desplazamientos en la
cadena:
Una vez hallado un polo de rotación para cada chapa, por ser una formación cerrada o mixta
(que tiene parte cerrada) puede hablarse de un punto de cierre P. C., el cual es ubicado
apropiadamente en un polo relativo; seguidamente se imprime una rotación infinitesimal,
alrededor de su polo a una de las chapas de la cadena vinculada al P.C.
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Al observar cómo se desplaza el P.C., debido a esa rotación. Inmediatamente, se traslada el
desplazamiento a través de la cadena, se distinguen especialmente los desplazamientos de los
polos relativos, hasta llegar en formación cerrada al desplazamiento experimentado por el P.C.,
debido a la rotación de la otra chapa vinculada con él.
Entonces podrá establecerse si en el P.C. se produce incompatibilidad o compatibilidad de
desplazamientos. Debe recordarse que cualquier tipo de incompatibilidad se traduce en
estabilidad de la cadena y la compatibilidad de desplazamientos manifiesta en el P.C., en
dirección, sentido y magnitud, indica que la cadena tiene posibilidades de movimiento, luego es
inestable desde el punto de vista cinemática.
Este procedimiento alternativo para cadenas cerradas o mixtas, puede resumirse en los
siguientes pasos:
Buscar un polo por chapa
Definir el punto de cierre (P.C.)
Dar rotación infinitesimal a una de las chapas vinculadas al P.C., e indicar el
desplazamiento experimentado por el P.C., debido a esa rotación.
Trasladar los desplazamientos en formación cerrada y secuencia contraria a la chapa
vinculada al P.C.
Indicar el desplazamiento producido en el P. C., debido a la rotación de la otra chapa
vinculada a él.
Observar los desplazamientos en el P. C. incompatibilidad de desplazamientos en
dirección o sentido cadena estable. Compatibilidad de desplazamientos en dirección y
sentido, no implican necesariamente inestabilidad de la cadena, debe chequearse las
magnitudes. Si los desplazamientos en el P. C., resultan compatibles, también en magnitud,
entonces existe compatibilidad de desplazamientos cadena inestable.