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Tema 2 – Transformada Z y análisis transformado de
sistemas LTICarlos Óscar Sánchez Sorzano
4º Ing. TelecomunicaciónEPS – Univ. San Pablo – CEU
Bibliografía: Oppenheim I (Cap. 10), Oppenheim II (Cap. 3), Proakis (Cap. 3)
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Funciones propias de los sistemas LTI
)( 000000 zHzzkhzzkhknhzknhkxny n
k
kn
k
kn
k
k
k
nznx 0
k
nkk zanx
k
nkkk zzHany )(
[0.46]
[0.47]
)( 00 zHzkhk
k
Bibliografía: Oppenheim 2.6
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Transformada Z
n
nznxzX )(
jrez }][{)( n
n
njn rnxTFernxzX
jez
zXnxTF
)(]}[{
}Re{z
}Im{z
1z
La transformada Z de converge en z si la transformada de Fourier de converge, es decir,
][nxnrnx ][
0z0: zzz
Si converge para , entonces convergepara . Esto define una región de convergencia (ROC).
La transformada de Fourier converge, si la ROC incluye al círculo unidad.
X(z) y todas sus derivadas son continuas dentro de la ROC.
n
nrnx ][
Bibliografía: Oppenheim II 3.1, Proakis 3.1
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Transformada ZEjemplo:
][][ nuanx n
01
1
11][)(
n
n
n
nn
azazznuazX
azaz 11Si
}Re{z
}Im{z
1z
a
Se llaman polos a aquellos puntos para los que .Se llaman ceros a aquellos puntos para los que .
)(zX
0)( zX
Bibliografía: Oppenheim II 3.1, Proakis 3.1
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Transformada ZEjemplo:
]1[][][ nubnuanx nn
110
1
1'
'1
0
1
11
11)(
azbz
azzbzazbzXn
n
n
n
n
nn
n
nn
azaz 11Si
bzzb 11Si
Caso 1: ab No existe X(z)
Caso 2: ab No existe X(z)
Caso 3: ab Existe X(z) para bza
Bibliografía: Oppenheim II 3.1, Proakis 3.1
Ejemplo: Proakis, pp 160
Problemas Opp: 3.1*, 3.2*, 3.24Problemas Pro: 3.1
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Transformada ZPolos y ceros de una transformada racional
N
kk
M
kk
N
k
kNk
M
k
kMk
MNN
k
kNk
M
k
kMk
N
M
N
k
kk
M
k
kk
zp
zz
ab
za
zbz
za
zb
zz
za
zb
zQzPzX
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
)1(
)1(
)()()(
(N-M) ceros ó (M-N)polos en el origen
M ceros fuera del origenN polos fuera del origen
Bibliografía: Oppenheim II 3.1, Proakis 3.1, Proakis 3.3Problemas Pro: 3.21
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Relación con la TF
jezzXnxTF
)(]}[{• Cuidado con
Ejemplo:
)(sin][ ncnx cc
)(][: zXrnxr
n
n
¡pero la TF tiende en sentido L2 a una función periódica discontinua!
Ejemplo:
)cos(][ 0nnx
En estos casos no se debe pensar en la TF como la evaluación de la TZ en el círculo unidad.
jezzjjj XzXeXeXeX
)()()()()( *
1**2•
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Propiedades de la ROC•La ROC se compone de regiones anulares centradas en el origen del plano z.•La ROC no contiene ningún polo•Si x[n] es de duración finita entonces la ROC es todo el plano z salvo con posible excepción de z=0 y/o z=∞.
ROC},0{ROC}{ ROC}0{
Bibliografía: Oppenheim 3.2, Proakis 3.1
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Propiedades de la ROC
0r}Re{z
}Im{z
0r }Re{z
}Im{z
0r
}Re{z
}Im{z
Bibliografía: Oppenheim 3.2, Proakis 3.1
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Propiedades de la ROCEjemplo:
resto
Nnanx
n
00
][
azaz
zz
azazzX
NNNN
11
1
1)(1)(
ROC}0{ 0r }Re{z
}Im{z
Bibliografía: Oppenheim 3.2, Proakis 3.1
Ejercicio: representar los polos y ceros de una transformada Z
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Propiedades de la ROC•Si X(z) es racional, entonces su ROC está delimitada por polos o se extiende hasta el infinito.•Si X(z) es racional y x[n] estáacotada por la izquierda, entonces la ROC se extiende desde el polo más externo hacia el infinito. Si además x[n] es causal, entonces el infinito está incluido en la ROC.•Si X(z) es racional y x[n] estáacotada por la derecha, entonces la ROC se extiende desde el origen hasta el polo más interno. Si además x[n] es anticausal, entonces el origen está incluido en la ROC.
)()()(zQzPzX
}Re{z
}Im{z
}Re{z
}Im{z
Bibliografía: Oppenheim 3.2, Proakis 3.1
Problemas Opp: 3.8*, 3.10*, 3.11*, 3.46
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Propiedades de la ROCEjemplo:
11 111)(
bzaz
zX
}Re{z
}Im{z
ba 1
a b2 }Re{z
}Im{z
a b2 }Re{z
}Im{z
a b2
}Re{z
}Im{z
a b2
1z
Esta es la ROC porque es la única para la que la TF converge
Bibliografía: Oppenheim 3.2, Proakis 3.1
Ejercicio: realizar la TZ inversa de X(z) con cada una de las ROC
Problemas Opp: 3.4*, 3.12, 3.15, 3.48Problemas Pro: 3.5, 3.20, 3.44, 3.51, 3.53
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Propiedades de la TZLinealidad nBynAx )()( zBYzAX
Desplazamiento en el tiempo 0nnx 0)( nzzX
Escalado en el dominio z njenx 0 )( 0 zeX j
Al menos yx ROCROC
ROC salvo la adición o substracción del origen
ROC nznx 0
0zzX
ROCz0
Inversión en el tiempo nx )( 1zX1ROC
TF:Desplazamiento en frecuencia
ROCzzCz 0/:
Bibliografía: Proakis 3.2, Oppenheim 3.4
Problemas Pro: 3.9
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Propiedades de la TZ
Conjugación nx*
Upsampling
restomknmnx
nxm 0/
Convolución nynx
)( ** zX
)( mzX
)()( zYzX
mROC /1
ROC
Al menos yx ROCROC
Parte real }Re{ nx ))()(( **21 zXzX ROCAl menos
Parte imaginaria }Im{ nx ))()(( **21 zXzXj
ROCAl menos
Downsampling ][nmxnxm
1
0
1 )(21
m
k
jm
mk
m ezX
mROC
Bibliografía: Proakis 3.2, Oppenheim 3.4
Problemas Opp: 3.3, 3.7*, 3.9*, 3.16, 3.18, 3.19*, 3.20*, 3.21, 3.22, 3.31, 3.34Problemas Pro: 3.2, 3.3, 3.4, 3.7*, 3.8, 3.16, 3.27
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Propiedades de la TZ
Diferenciación en frecuencia nnxdzzdXz )(
ROCTma. del valor inicial
Si , entonces 0,0 nnx )(lim0 zXxz
Diferencia finita 1 nxnx )(1 1 zXz
Al menos }0{ zROC
Integración
n
kkx )(
11
1 zXz
Al menos }1{ zROC
Si , entonces 0,0 nnx )(lim00
zXxz
ROCROC0
Bibliografía: Proakis 3.2, Oppenheim 3.4
Problemas Opp: 3.37, 3.54Problemas Pro: 3.6*, 3.10, 3.52, 3.54
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Propiedades de la TZCorrelación lylxlrxy ][ )()( 1 zYzX
Al menos yx ROCROC
Multiplicación nynx * dvvvzYvXCj
11***21 )(
Al menos yuxuylxl rrzrr )()( 1
zYzX ROCROCC
Relación de Parseval
nnynx * dvvvYvX
Cj11**
21 )(
)()( 1zYzX ROCROCC
Bibliografía: Proakis 3.2, Oppenheim 3.4
La relación de Parseval sale de la regla de multiplicación particularizada para z=1
Problemas Opp: 3.17, 3.32, 3.33, 3.40, 3.41, 3.42, 3.47, 3.50, 3.51*Problemas Pro: 3.13*, 3.18, 3.22, 3.28, 3.30*, 3.35, 3.42, 3.43, 3.49, 3.50
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Algunas TZs nuan 11
1 az
na111 1
111
zaaz
nunan 211
1
azaz
za
1 nuan 111
azaz
aza
1
za
1 nunan 211
1
azaz az
0nn 0nz
0}{0}0{
0
0
nCnC
1)1( nuan n
2111
azza
Bibliografía: Proakis 3.3, Oppenheim 3.1
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Algunas TZs nunrn 0cos 221
0
10
)cos2(1)cos(1
zrzrzr
zr
nunrn 0sin 2210
10
)cos2(1)sin(
zrzrzr
zr
])[( Nnunuan 111
azza NN
z0
nunrn
0
0
sin)1(sin
2210 )cos2(11
zrzr zr
nunrn )cos( 0 2210
10
)cos2(1))cos((cos
zrzrzr
zr
Bibliografía: Proakis 3.3, Oppenheim 3.1
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Transformada Z inversa
• Directa
• Inspección
• Expansión en fracciones parciales
• Expansión en serie de potencias
dzzzXj
nx n 1)(21][
Integral de línea para alguna circunferencia recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj.
ROCzzz 00 :
Bibliografía: Oppenheim 3.3, Proakis 3.4
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Transformada Z inversa
• Directa
n
nznxzX )(
}Re{z
}Im{z
C
kkC
kn
C
n
k
k
C
n knjkxdzzkxdzzzkxdzzzX ][2][][][)( 111
][2 nxj ROCC Tma. integral de Cauchy
C
zdzzfd
kkj Cdefueraz
Cdedentrozdzzzzf k
k
0
0)(
)!1(1
021
0)(
01
1
Si )( 0zf
Bibliografía: Oppenheim 3.3, Proakis 3.4
Multiplico por los dos lados por z^(n-1) e integro en C. C se recorre en sentido contrario a las agujas del reloj. Como C está en la ROC la suma converge y se puede intercambiar la suma con la integral. Ejercicio: demostrar que la aplicación del teorema integral de Cauchy a la integral dada da una delta.
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Transformada Z inversa
• Directa
N
iii
N
iC
i
ijC
N
i i
ijCj zAdz
zzzAdz
zzzAdz
zgzf
1121
121
21 )()()(
)()(
Suponiendo que todos los polos son distintos
)()()()(zgzfzzzA ii
1
1
( ) ( )i
Nn
i z ziz z X z z
Residuo del polo i Suma de los residuos de todos los polos
112[ ] ( ) nj C
x n X z z dz �
Bibliografía: Oppenheim 3.3, Proakis 3.4
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Transformada Z inversa
• Directa
N
izzm
im
mCj ii
i
i dzzAddz
zgzf
11
1
)!1(1
21 )(
)()(
Suponiendo que hay polos de multiplicidad múltiple
)()()()(zgzfzzzA k
iik
N
izzm
nmi
m
m ii
ii
i dzzzXzzdnx
11
11
)!1(1 )()(][
Suma de los residuos de todos los polos
Bibliografía: Oppenheim 3.3, Proakis 3.4
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Transformada Z inversa• Directa
Ejemplo: 111)(
az
zX
C
n
C
n
dzaz
zj
dzazz
jnx
21
121][ 1
1
Caso 1: nzzn :0n
az azAnx )(][ 1
Caso 2: nzzn :00 Polo de orden n
1n
011)(
121][ 0
zazC azzdz
azzjnx
nn
zaz
zazzA
)()(1
zazzazzA 1
)(1)()(1
azazzzzA
1)(
1)(2
za
Bibliografía: Oppenheim 3.3, Proakis 3.4
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Transformada Z inversa• Directa
Ejemplo: 111)(
az
zX
C
n
C
n
dzaz
zj
dzazz
jnx
21
121][ 1
1
Caso 2:
2n
C dz
azzjnx
)(1
21][ 2221
1)(
1)()(zazz
azzA
azazzzzA
1)(
1)( 22
2
02
11zaz azdz
dz
0)(
11022
zaz azz
Bibliografía: Oppenheim 3.3, Proakis 3.4
Ejercicio: calcular x[n] para n=-3
Problemas Opp: 3.38, 3.39, 3.57Problemas Pro: 3.29, 3.56, 3.57, 3.58
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Transformada Z inversa
• Inspección
Ejemplo:
1212
41
121
1241
1
212
1)(
zzz
zzzzX z2
1
2121
121
)1(2
zz
][][ 21 nunnx n
Ejemplo: 111)(
az
zX ][][ nuanx nza
Bibliografía: Oppenheim 3.3, Proakis 3.4
Problemas Opp: 3.5*, 3.13
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Transformada Z inversa
Ejemplo:
1212
1411
1211
41 1111
1)(
zK
zK
zzzX z2
1
1)1(
1)()1(41
41 1
21
141
1
zz zzXzK
2)1(
1)()1(21
21 1
41
121
2
zz zzXzK
1211
41 1
211)(
zz
zX z21 ][2][][ 2
141 nununx nn
• Expansión en fracciones parciales
Bibliografía: Oppenheim 3.3, Proakis 3.4
Problemas Opp: 3.6*, 3.14*, 3.23, 3.35, 3.36, 3.43*, 3.44, 3.45Problemas Pro: 3.24, 3.25, 3.26, 3.33, 3.37, 3.38*, 3.39, 3.40*, 3.41, 3.45, 3.46, 3.47, 3.48, 3.55
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Transformada Z inversa
Ejemplo:
)1)(1)(1()( 111212 zzzzzX },0{ C1
21
212 1 zzz
]1[][]1[]2[][ 21
21 nnnnnx
Ejemplo:
1
11 1)1log()(n
nnn
nzaazzX za
1
1 1
1
1 1[ ] 1 [ ] 1 [ 1]0 0
nnk n
k n
k
a na ax n n k u nnk nn
• Expansión en serie de potencias
Bibliografía: Oppenheim 3.3, Proakis 3.4
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Transformada Z inversa
Ejemplo:
• Expansión en serie de potencias
...111)( 221
1
zaaz
azzX
1 11 az
...1 221 zaaz11 az1az
221 zaaz22 za ][...]2[]1[][][ 2 nuananannx n
a }Re{z
}Im{z
Decreciente
Bibliografía: Oppenheim 3.3, Proakis 3.4
Problemas Opp: 3.25, 3.26, 3.27, 3.28, 3.29
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Transformada Z inversa
Ejemplo:
• Expansión en serie de potencias
...11)( 221
1
zaza
azz
azzX
z za
...221 zaza21zaz 21za
3221 zaza 32za ]1[...]2[]1[][ 21 nuanananx n
a}Re{z
}Im{z
Creciente
Bibliografía: Oppenheim 3.3, Proakis 3.4
Problemas Pro: 3.12, 3.14*, 3.15, 3.19, 3.23
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Resumen
• Definición de la Transformada Z• Relación con la Transformada de Fourier• Propiedades de la ROC• Propiedades de la Transformada Z• Algunas transformadas Z• Transformada Z inversa:
– Directa– Inspección– Expansión en serie de potencias
Problemas Opp: 3.49, 3.52, 3.53, 3.55, 3.56Problemas Pro: 3.36