Supongamos que las cargas aplicadas al sólido crecen, progresivamente, desde cero hasta su valor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo W realizado por todas las cargas que actúan sobre el sólido quedaría almacenado como energía elástica de deformación U en el sólido y, por tanto:
U = W
Tema 2: TEOREMAS ENERGÉTICOS
ENERGÍA INTERNA, ELÁSTICA O DE DEFORMACIÓN
Trabajo externo y energía de deformación La mayoría de los métodos energéticos en el cálculo de estructuras se basan en el Principio de la conservación de la energía, que establece que el trabajo realizado por las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema estructural, We, coincide con laenergía de deformación que almacena dicho sistema, Ui. We = Ui
Trabajo de una fuerza exterior
δ
El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un sólido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos de sus puntos de aplicación (en las dirección de las mismas). Si entre las cargas aplicadas existiera algún momento, bastaría con tener en cuenta que: - donde se dijera fuerza se debería decir momento - donde se dijera desplazamiento se debería decir giro - donde se expresara trabajo (W=Fd, en el caso de fuerzas) se debería escribir W=Mθ.
ENERGÍA INTERNA, ELÁSTICA O DE DEFORMACIÓN
ENERGÍA INTERNA: esfuerzos y desplazamientos
Esfuerzos en barras: criterio de signos
Energía de deformación en una rebanada: una rebanada en una pieza prismática o barra, es un segmento de la pieza delimitado por dos secciones (normales a la directriz de la pieza) y separadas una distancia ds. La rebanada es el elemento más pequeño que se identifica en la barra.
z
x
ENERGÍA INTERNA: esfuerzos y desplazamientos
DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR ESFUERZO AXIL
z
x
x
x
ENERGÍA INTERNA: esfuerzos y desplazamientos
DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR MOMENTO FLECTOR
z
x
M M
HIPÓTESIS DE NAVIER
X
tracción
compresión
Z
ZC
Z
ZA
ICGM
IAGM
−=
=
σ
σ
dsICGMds
EdsCD
dsI
AGMdsE
dsAB
Z
ZCCC
Z
ZAAA
===
===
σε
σε
´
´
2
2
dsEIM
CGCB
AGABd
Z
Zz
22===
θ
dsEIMd
Z
Zz =θ
dsEIMdMdU
Z
zzzi
2
21
21
== θ
ENERGÍA INTERNA: esfuerzos y desplazamientos
DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR ESFUERZO CORTANTE
z
x TY c
ym
my A
Tds
Gdsdu === ττγ donde
dsGAT
duTdUC
yyyi
2
21
21
==
ENERGÍA INTERNA: esfuerzos y desplazamientos
DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR MOMENTO TORSOR
z
x
MX
dsGIMd
GIM
dsd θ TT
00
=→== φφ torsión
dsGIMdMdU T
Ti0
2
21
21
== φdsdφθ =
dsdrrdds φγφγ =→=
ENERGÍA INTERNA: esfuerzos y desplazamientos
¿Qué energía interna se almacena en una pieza cargada en la que aparecen todos los tipos de esfuerzos en todas las secciones de la pieza?
dsGIM
EIM
GAT
EAN
UB
A
T
z
f
Ci ∫
+++=
0
2222
21
21
21
21
ds
A
B
La variable “s” del integrando indica que los esfuerzos pueden variar a lo largo de la pieza en función del valor de dicha variables s
ENERGÍA INTERNA: esfuerzos y desplazamientos
Ejemplo: ¿Podríamos calcular los ya desplazamientos en elementos estructurales cargados?
ENERGÍA INTERNA: esfuerzos y desplazamientos
Ejemplo: ¿Podríamos calcular los ya desplazamientos en elementos estructurales cargados?
ENERGÍA INTERNA: esfuerzos y desplazamientos
Ejemplo: ¿Podríamos calcular los ya desplazamientos en elementos estructurales cargados?
Teoremas energéticos: Principio de los Trabajos Virtuales
•Trabajo de una fuerza
∫ ∫∫ =⋅==⇒⋅=2
1
2
1
2
1
cosA
A
A
A
A
A
drFrdFdWWrdFdW θ
Teoremas energéticos: Principio de los Trabajos Virtuales
• Trabajo de un par (momento)
∫ ∫∫ =⋅==2
1
2
1
2
1
A
A
A
A
MdrdFdWWθ
θ
θ
rMF
=
rMF
=
( )
θθθθ
θ
θθ
Mdrdr
MFrddrFdWdWdW
drFrdFdW
drFdsenrFFdrrdFdW
====+=
=⋅=
≈==⋅=
22
2
22
21
2
1
rd
rd
Teoremas energéticos: Principio de los Trabajos Virtuales
• Trabajo de un sistema de fuerzas: dado un sistema de fuerzas como el que se muestra en la figura, el trabajo desarrollado por un sistema de fuerzas aplicado sobre una partícula o cuerpo que sufre un desplazamiento es igual al trabajo de su resultante.
rdRrdF
rdFrdFrdF
dWdWdWdW
n
ii
n
n
⋅=⋅
=
=⋅++⋅+⋅=
=+++=
∑=1
21
21
...
...
Teoremas energéticos: Principio de los Trabajos Virtuales
• PTV para sólidos rígidos:
Una partícula, sistema de fuerzas, desplazamiento virtual rδ
00
...1
21
=→=
⋅=⋅
=⋅++⋅+⋅= ∑
=
WR
rRrFrFrFrFWn
iin
δ
δδδδδδ
“Si una partícula está en equilibrio, el trabajo virtual total de las fuerzas que actúan sobre ella es cero para cualquier desplazamiento virtual de la partícula”
Teoremas energéticos: Principio de los Trabajos Virtuales
• PTV para sólidos rígidos:
UN SÓLIDO RÍGIDO, sistema de fuerzas, movimiento virtual rδSi un sólido rígido está en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas, el trabajo virtual total de las fuerzas externas que actúan sobre él es cero para cualquier desplazamiento virtual del sólido” El principio de los trabajos virtuales es también aplicable a un sistema de sólidos rígidos unidos, si el sistema permanece unido durante el desplazamiento virtual, pues el trabajo de las fuerzas internas es cero.
Teoremas energéticos: Principio de los Trabajos Virtuales
• PTV para sólidos deformables:
Sistemas de barras y elementos unidimensionales
[ ][ ]εσ
uδ
desplazamientos virtuales deformaciones virtuales
δε
( )δ
δδδδδδ
δ
γτγτγτεσεσεσ
δδ
i
yzxzxyzy
U
dVol
dSupufdVolufW
V yzxzxyzyxx
V V
=
=+++++=
=⋅+⋅=
∫∫∫
∫∫∫∫∫ ΩΩ
( )
δδδδδ
δ δφδθδδδ
iUds
GIMM
EIM
MGAT
TEANN
dsMMuTuNuRuFW
LT
Tz
ff
C
L Tfyxi
n
iii
n
ii
=
+++=
=+++=∆⋅+⋅=
∫
∫∑∑==
0
11
Teoremas energéticos: Teorema de Castigliano
• Coeficientes de influencia: relación entre las fuerzas exteriores y las deformaciones • Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti: dij=dji
•Teoremas de Castigliano
ii
dFU
=∂∂
nn
FdU
=∂∂
Teoremas energéticos: Teorema de Castigliano
• Coeficientes de influencia: relación entre las fuerzas exteriores y las deformaciones • Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti: dij=dji
•Teoremas de Castigliano
ii
dFU
=∂∂
nn
FdU
=∂∂
estructuras
i
B
A i
TT
i
F
z
f
iCi
i
B
A
T
z
f
C
i
ddsF
MGIM
FM
EIM
FT
GAT
FN
EAN
F
dsGIM
EIM
GAT
EAN
FU
=
∂∂
+∂∂
+∂
∂+
∂
∂=
=∂
+++∂
=∂∂
∫
∫
0
0
2222
21
21
21
21
Teoremas energéticos: Fórmulas de Navier-Bresse
Teoremas energéticos: Fórmulas de Navier-Bresse
( ) ( )
( ) ( )dsyyEIMdy
GATdx
EANyyuu
dsxxEIMdx
GATdy
EANxxvv
B
AB
B
A cABAAB
B
AB
B
A cABAAB
∫∫
∫∫
−−
++−−=
−+
−+−+=
θ
θ
X
X X
θA(XB-XA) UA
UA
Teoremas energéticos: Fórmulas de Navier-Bresse
X
( ) ( )
( ) ( )dsyyEIMdy
GATdx
EANyyuu
dsxxEIMdx
GATdy
EANxxvv
B
AB
B
A cABAAB
B
AB
B
A cABAAB
∫∫
∫∫
−−
++−−=
−+
−+−+=
θ
θ
X
dsEAN dy
EANsends
EAN
=⋅ α
dxEANds
EAN
=⋅ αcos
Teoremas energéticos: Fórmulas de Navier-Bresse
( ) ( )
( ) ( )dsyyEIMdy
GATdx
EANyyuu
dsxxEIMdx
GATdy
EANxxvv
B
AB
B
A cABAAB
B
AB
B
A cABAAB
∫∫
∫∫
−−
++−−=
−+
−+−+=
θ
θ
dyGATsends
GAT
cc
+=⋅−
− α)(
dxGATds
GAT
cc
−=⋅− αcos)( ds
GAT
c
X T
T
0<T
Teoremas energéticos: Fórmulas de Navier-Bresse
X
X XB
( )dsxxEIM
B−
( )dsyyEIM
B−
( ) ( )
( ) ( )dsyyEIMdy
GATdx
EANyyuu
dsxxEIMdx
GATdy
EANxxvv
B
AB
B
A cABAAB
B
AB
B
A cABAAB
∫∫
∫∫
−−
++−−=
−+
−+−+=
θ
θ
Teoremas energéticos: Fórmulas de Navier-Bresse
Teoremas energéticos: pieza recta con cargas en su plano
En Cálculo de Estructuras se suele despreciar la contribución a los desplazamientos y giros debidos a los esfuerzos axil y cortante. Esto, de ninguna manera, quiere decir que dichos esfuerzos sean nulos en la pieza.
X
( ) ( )
∫
∫∫
∫
+=
−+−−+=
+=
B
AAB
B
AB
B
A cABAAB
B
AAB
dxEANuu
dxxxEIMdx
GATxxvv
dxEIM
θ
θθ
Teoremas energéticos: pieza recta en su plano
En Cálculo de Estructuras se suele despreciar la contribución a los desplazamientos y giros debidos a los esfuerzos axil y cortante. Esto, de ninguna manera, quiere decir que dichos esfuerzos sean nulos en la pieza.
X
( ) ( )
∫
∫∫
∫
+=
−+−−+=
+=
B
AAB
B
AB
B
A cABAAB
B
AAB
dxEANuu
dxxxEIMdx
GATxxvv
dxEIM
θ
θθ
( ) ( )
AB
B
ABABAAB
B
AAB
uu
dxxxEIMxxvv
dxEIM
=
−+−+=
+=
∫
∫
θ
θθ
Teoremas energéticos: Teoremas de Mohr
EIMdx
EIMdx
EIM AB
B
AAB
B
AAB ==−→+= ∫∫ θθθθ
1er Teorema de Mohr
Teoremas energéticos: Teoremas de Mohr
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )BcdgdEI
MxxvvdxxxEIMxxvv
BcdgdEI
MtdxxxEIMt
ABABAABB
B
AABAAB
ABABB
B
AAB
,
,//
+−+=→−+−+=
=→−=
∫
∫
θθ
2o Teorema de Mohr
x
( )ABA xx −θ
xxdx B −
Teoremas energéticos: Teoremas de Mohr
Piezas con puntos angulosos
DECDBCABEA θθθθθθ +++=−
??? Aθ
Teoremas energéticos: Teoremas de Mohr
Piezas con puntos angulosos
( ) ( ) ( ) ( )DE
DE
CD
CD
BC
BC
AB
ABEA
DECDBCABEA
EIM
EIM
EIM
EIM
+−−−=−
+++=−
θθ
θθθθθθ
??? Aθ
0
Teoremas energéticos: Teoremas de Mohr
Piezas con puntos angulosos ??? Aδ
δ
Teoremas energéticos: Teoremas de Mohr
Piezas con puntos angulosos
δ
δ
δ
Teoremas energéticos: Teoremas de Mohr
Piezas con puntos angulosos ??? Aδ
Teoremas energéticos: Teoremas de Mohr
Piezas con puntos angulosos ??? Aδ
( ) ( ) ( ) ( ) )´,()´,()´,()´,( δδδδδ DEDE
DECD
CD
CDBC
BC
BCAB
AB
ABA gd
EIMgd
EIMgd
EIMgd
EIM
+−−−=
Teoremas energéticos: Teoremas de Mohr
Piezas con puntos angulosos ??? Aδ
( ) ( ) ( ) ( ) )´,()´,()´,()´,( δδδδδ DEDE
DECD
CD
CDBC
BC
BCAB
AB
ABA gd
EIMgd
EIMgd
EIMgd
EIM
+−−−=
+=⋅−−
Piezas de directriz curva: ARCOS
N=- P cos θ T= P sen θ M=- PR cos θ
Piezas de directriz curva: ARCOS
LEYES DE ESFUERZOS
T
Teoremas energéticos: Cargas térmicas
Piezas con puntos angulosos
( ) ( ) LTdsTTdsuA
B
A
BA ∆=∆=∆= ∫∫ αθαθα coscos
“El movimiento en una dirección definida por un vector, del extremo de una barra curvilínea en ménsula se obtiene multiplicando el coeficiente de dilatación por el incremento de temperatura y por la proyección de la directriz de la viga en la dirección u”.