Tema 1: Potencias y raíces de números naturales.
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ÍNDICE
1. POTENCIAS 3
1.1. Definición .................................................................................................................................................... 3
1.2. Potencias de base 10 ............................................................................................................................... 3
1.3. Descomposición polinómica de un número natural .......................................................................... 3
1.4. Cuadrados perfectos .............................................................................................................................. 4
1.4.1. Definición ...................................................................................................................................................... 4
1.4.2. Aplicaciones ................................................................................................................................................. 4
1.5. Cubos perfectos ....................................................................................................................................... 4
1.5.1. Definición ...................................................................................................................................................... 4
1.5.2. Aplicaciones ................................................................................................................................................. 4
1.6. Signo de las potencias ............................................................................................................................ 4
1.6.1. Tabla-Resumen ............................................................................................................................................ 5
1.7. Propiedades ............................................................................................................................................... 5
1.8. Operaciones con potencias.................................................................................................................... 7
1.8.1. Suma y Resta ............................................................................................................................................... 7
1.8.2. Multiplicación .............................................................................................................................................. 7
1.8.3. División ......................................................................................................................................................... 8
1.8.4. Potencia ........................................................................................................................................................ 8
2. RAÍCES 8
2.1. Definición ................................................................................................................................................... 8
2.2. Tipos de raíces exactas ........................................................................................................................ 8
2.3. Tipos de raíces enteras ......................................................................................................................... 9
2.4. Soluciones según el índice de la raíz y el radicando ................................................................... 10
2.4.1. Tabla-Resumen .......................................................................................................................................... 11
2.5. Cálculo de la raíz cuadrada entera.................................................................................................... 11
2.5.1. Cálculo de forma aproximada ................................................................................................................. 11
2.5.2. Cálculo con el algoritmo .......................................................................................................................... 12
2.6. Operaciones con raíces cuadradas exactas .................................................................................. 16
2.6.1. Suma y Resta ............................................................................................................................................. 16
2.6.2. Multiplicación ............................................................................................................................................ 17
2.6.3. División ....................................................................................................................................................... 17
2.6.4. Potencia de una raíz ................................................................................................................................ 17
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2.7. La raíz como potencia .......................................................................................................................... 17
3. POTENCIAS Y RAÍCES 18
3.1. Recordar ................................................................................................................................................... 18
4. OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS Y RAÍCES 18
4.1. Introducción ............................................................................................................................................ 18
4.2. Reglas ........................................................................................................................................................ 18
4.3. Tipos de operaciones combinadas .................................................................................................... 18
5. EJERCICIOS 19
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1. POTENCIAS
1.1. Definición
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores
iguales, es decir, una multiplicación de factores iguales. Esto es, es una multiplicación en la que el mismo
número se multiplica varias veces.
La expresión de una potencia es la base elevada a un exponente.
an = a · a · a · a ... = n-veces “a”
Base → an ← exponente
Donde:
a es la base de una potencia que es el número que multiplicamos por sí mismo. Por tanto, la base
es el número que se repite.
n el exponente de una potencia que indica el número de veces que multiplicamos la base. Por
tanto, el exponente indica el número de veces que se repite la base.
Así pues, una potencia está formada por una base y un exponente.
Para resolver una potencia se multiplica la base tantas veces como indica el exponente.
En la calculadora científica, se usa la tecla xy .
Ejemplo:
5 · 5 · 5 · 5 = 54
La base de esta potencia es 5 y el exponente es 4.
Se lee “5 elevado a 4” o “5 elevado a la cuarta”.
1.2. Potencias de base 10
El cálculo de las potencias de base 10 resulta sencillo, pues el número de ceros coincide con el exponente de la potencia.
Una potencia de base 10 y exponente un número natural es igual a la unidad seguida de
tantos ceros como indica el exponente.
Ejemplo:
107 = 10.000.000
Son 7 ceros como indica el exponente de la potencia.
1.3. Descomposición polinómica de un número natural
Un número natural se puede descomponer utilizando potencias de base 10.
Ejemplo 1: El número 3.658 podemos descomponerlo del siguiente modo:
3.658 = 3.000 + 600 + 50 + 8 = 3 · 103 + 6 · 102 + 5 · 101 + 8
Ejemplo 2: El número 108.047 podemos descomponerlo del siguiente modo:
108.047 = 100.000 + 8.000 + 40 + 7 = 1 · 105 + 0 · 104 + 8 · 103 + 0 · 102 + 4 · 101 + 7
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1.4. Cuadrados perfectos
1.4.1. Definición
Los cuadrados perfectos son los valores de las potencias de exponente dos.
Ejemplo: 64 es un cuadrado perfecto, porque es el valor de la potencia 82 = 8 · 8
Ejemplo: Los cuadrados perfectos menores de 100 son:
Cuadrados
perfectos:
1
4
9
16
25
36
49
64
81
Potencias: 12 22 32 42 52 62 72 82 92
1.4.2. Aplicaciones
La aplicación de los cuadrados perfectos es la resolución de raíces cuadradas exactas.
1.5. Cubos perfectos
1.5.1. Definición
Los cubos perfectos son los valores de las potencias de exponente tres.
Ejemplo: 8 es un cubo perfecto, porque es el valor de la potencia 23 = 2 · 2 · 2
Ejemplo: Los cubos perfectos menores de 200 son:
Cubos
perfectos:
1
8
27
64
125
Potencias: 13 23 33 43 53
1.5.2. Aplicaciones
La aplicación de los cubos perfectos es la resolución de raíces cúbicas exactas.
1.6. Signo de las potencias
a) Base positiva:
1) Exponente par: el valor de la potencia es siempre positivo.
Signo positivo:
Ejemplos:
42222
16222224
2) Exponente impar: el valor de la potencia es siempre positivo.
Signo positivo:
Ejemplos:
822223
322222225
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1.6.1. Tabla-Resumen
Base Exponente Resultado de la potencia
+ Par
+ Impar
1.7. Propiedades
1) Potencias de base uno: siempre valen la unidad.
11 n
Ejemplos:
1150
11473
2) Potencias de base cero: siempre valen cero.
00 n con 0n
Ejemplos:
00100
00435
3) Potencias de exponente cero: siempre valen la unidad.
10 a con 0a
Ejemplos:
1340
170
4) Potencias de exponente uno: siempre valen la base.
aa 1
Ejemplos:
34341
771
5) Producto de potencias con la misma base: se deja la misma base y se suman los exponentes.
nmnm aaa
Comprobación:
33 · 35 = 38
27 · 243 = 6.561
(3 · 3 · 3) · (3 · 3 · 3 · 3 · 3) = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3
27 · 243 = 6.561
Ejemplos:
16511511 7777
13104350435 2222222
14110031003 444444
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6) Cociente de potencias con la misma base: se deja la misma base y se restan los exponentes.
nmnm
n
m
aaaa
a :
Comprobación:
35 : 33 = 32
243 : 27 = 9
(3 · 3 · 3 · 3 · 3) : (3 · 3 · 3) = 3 · 3
243 : 27 = 9
Ejemplos:
5555:55
5 12323
2
3
8614614
6
14
888:88
8
7) Producto de potencias con el mismo exponente: es otra potencia con el mismo exponente y
cuya base es el producto de las bases.
nnn baba
Comprobación:
103 · 53 = 503
1.000 · 125 = 125.000
(10 · 10 · 10) · ( 5 · 5 · 5) = 50 · 50 · 50
1.000 · 125 = 125.000
Ejemplos:
3333 84242
555555 881142111421
8) Cociente de potencias con el mismo exponente: es otra potencia con el mismo exponente y
cuya base es el cociente de las bases.
n
n
nnnn
b
a
b
ababa
::
Comprobación:
103 : 53 = 23
1.000 : 125 = 8
(10 · 10 · 10) : ( 5 · 5 · 5) = 2 · 2 · 2
1.000 : 125 = 8
Ejemplos:
33333
3
3
3
35:155:1535
15
5
15
55555
5
5
5
42:82:842
8
2
8
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9) Potencia de una potencia: se deja la misma base y se multiplican los exponentes.
nmnm aa
Ejemplos:
62323 555
50510510 444
10) Potencia de un producto: es igual al producto de cada uno de los factores elevado a dicha
potencia.
nnnbaba
Ejemplos:
7773232
444117117
11) Potencia de un cociente: es igual al cociente de cada uno de los factores elevado a dicha
potencia.
n
nn
nnn
b
a
b
ababa
::
Ejemplos:
555
5
55
3:23:23
2
3
2
444
4
44
11:711:711
7
11
7
1.8. Operaciones con potencias
1.8.1. Suma y Resta
Para poder sumar y restar con números expresados como potencias, deben estar
multiplicados por la misma potencia.
Para potencias de base 10, si no es así, debemos hacer que tengan la potencia de 10 el mismo
exponente. Se usan en la notación científica.
Ejemplos:
3 · 105 + 8 · 105 = (3 + 5) · 105 = 11 · 105
2 · 106 – 7 · 105 = 20 · 105 – 7 · 105 = (20 – 7) · 105 = 13 · 105
1.8.2. Multiplicación
Para poder multiplicar con números expresados como potencias, se aplican las propiedades:
a) Producto de potencias con la misma base.
b) Producto de potencias con el mismo exponente.
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1.8.3. División
Para poder dividir con números expresados como potencias, se aplican las propiedades:
a) Cociente de potencias con la misma base.
b) Cociente de potencias con el mismo exponente.
1.8.4. Potencia
Para calcular potencias, se aplican las propiedades:
a) Potencia de una potencia.
b) Potencia de un producto.
c) Potencia de un cociente.
2. RAÍCES
2.1. Definición
La raíz n-ésima de un número a es la operación inversa de la potencia, es decir, es un número
b tal que abn y se representa ban .
abba nn
Donde:
n a se llama expresión de una raíz o radical.
a es el radicando.
n el índice de la raíz.
Así pues, una raíz está formada por un radicando y un índice.
Se lee “la raíz n-ésima de un número a es igual a b”.
En la calculadora científica, se usa la tecla y
x .
2.2. Tipos de raíces exactas
a) Raíz cuadrada exacta: es la operación inversa de elevar al cuadrado.
2baba Esto es, Radicando = (Raíz exacta)2
La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b que elevado al cuadrado da el primero,
y tiene de resto 0.
Se lee “la raíz cuadrada exacta de un número a es igual a b”.
NOTA:
No se pone 2 en el índice de la raíz cuando la raíz es cuadrada. aa 2
Solamente los cuadrados perfectos tienen raíz cuadrada exacta.
En la calculadora científica, se usa la tecla x .
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Todo cuadrado perfecto tiene una raíz cuadrada, + .
Ejemplos:
255525
164416
9339
4224
1111
2
2
2
2
2
1001010100
819981
648864
497749
366636
2
2
2
2
2
Se lee “la raíz cuadrada exacta de 4 es 2”.
b) Raíz cúbica exacta: es la operación inversa de elevar al cubo.
33 baba Esto es, Radicando = (Raíz exacta)3
La raíz cúbica exacta de un número a es otro número b que elevado al cubo da el primero, y
tiene de resto 0.
Se lee “la raíz cúbica exacta de un número a es igual a b”.
NOTA:
Solamente los cubos perfectos tienen raíz cúbica exacta.
En la calculadora científica, se usa la tecla 3 x .
Todo cubo perfecto tiene una raíz cúbica, + .
Ejemplos:
12555125
644464
273327
8228
1111
33
33
33
33
33
000.11010000.1
72999729
51288512
34377343
21666216
33
33
33
33
33
Se lee “la raíz cúbica exacta de 8 es 2”.
2.3. Tipos de raíces enteras
a) Raíz cuadrada entera de un número a: es el mayor número entero b cuyo cuadrado es menor
que el primero, y no tiene de resto 0.
restobaba 2 Esto es, Radicando = (Raíz entera)2 + Resto
NOTA:
Si un número no es cuadrado perfecto, su raíz es entera.
El resto de la raíz cuadrada entera debe ser menor que el doble de la raíz más 1.
Resto < 2 · Raíz + 1
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Comprobación: Una raíz cuadrada está bien calculada si cumple estas dos condiciones:
1) (Raíz)2 + Resto = Radicando
2) Resto < 2 · Raíz + 1
Ejemplos:
a) 1526526 2 36626525 22
Se lee “la raíz cuadrada entera de 26 es 5”.
b) 424182161818 2 bb 25518416 22
Se lee “la raíz cuadrada entera de 18 es 4”.
c) 227556495555 2 bb 64855749 22
Se lee “la raíz cuadrada entera de 55 es 7”.
b) Raíz cúbica entera de un número a: es el mayor número entero b cuyo cubo es menor que el
primero, y no tiene de resto 0.
restobaba 3 Esto es, Radicando = (Raíz entera)3 + Resto
NOTA: Si un número no es cubo perfecto, su raíz es entera.
Comprobación: Una raíz cúbica está bien calculada si cumple la siguiente condición:
(Raíz)3 + Resto = Radicando
Ejemplos:
a) 2329329 33 64429327 33
Se lee “la raíz cúbica entera de 29 es 3”.
b) 2329329 33 64429327 33
Se lee “la raíz cúbica entera de 29 es 3”.
c) 12220220 33 2732028 33
Se lee “la raíz cúbica entera de 20 es 2”.
2.4. Soluciones según el índice de la raíz y el radicando
a) Radicando positivo: existe siempre el valor de la raíz.
1) Índice de la raíz par: tiene siempre una solución positiva.
Ejemplos:
000.000.11010000.000.1
62555625
4224
66
44
2
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2) Índice de la raíz impar: sólo tiene una solución positiva.
Ejemplos:
322232
12555125
273327
55
33
33
2.4.1. Tabla-Resumen
Radicando Índice de la raíz Resultado de la raíz
+ Par 1 solución +
Impar 1 solución +
2.5. Cálculo de la raíz cuadrada entera
Dos formas de calcular la raíz cuadrada entera:
a) Cálculo de forma aproximada.
b) Cálculo con el algoritmo.
2.5.1. Cálculo de forma aproximada
La raíz cuadrada entera de un número es el mayor entero cuyo cuadrado es menor que dicho número.
El resto de la raíz cuadrada de un número es igual a la diferencia entre el número y el cuadrado de su raíz.
Ejemplo 1: 43
El número 43 no es un cuadrado perfecto, por lo tanto no tiene raíz cuadrada exacta.
Si observamos 6 2 = 36 < 43 < 49 = 7 2
Luego, 6 es el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 43, se dice que 6 es raíz cuadrada
entera de 43, y se escribe:
643
Como 43 - 6 2 = 43 – 36 = 7, el resto de la raíz cuadrada entera es 7.
Solución: La raíz entera de 43 es 6 y su resto 7.
7643643 2
Ejemplo 2: 26
1º Buscamos dos cuadrados perfectos cercanos a 26, que son:
52 = 25 < 26
62 = 36 > 26
2º Elegimos el cuadrado perfecto que más se aproxima por debajo de 26, que es 25.
3º Después, calculamos el resto, que es la diferencia entre el número dado a y el cuadrado de
la raíz entera b.
26 – 25 = 1
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4º Probamos que el resultado de la raíz cuadrada sea correcto, para ello, se tiene que
cumplir que Radicando = (Raíz entera)2 + Resto.
26 = 252 + 1
Solución: La raíz entera de 26 es 5 y su resto 1.
1526526 2
2.5.2. Cálculo con el algoritmo
Ejemplo 1: 149
1º Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos de dos empezando por la derecha.
2º Calculamos la raíz cuadrada (entera o exacta) del primer grupo de cifras por la izquierda.
¿Qué número elevado al cuadrado da 1?
1 es un cuadrado perfecto porque (12 = 1).
La primera cifra de la raíz cuadrada es 1 y la colocamos en la casilla correspondiente.
3º El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el
radicando.
El cuadrado de la raíz 1 es 1, se lo restamos a 1 y obtenemos 0.
4º Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando y separamos del
número formado su última cifra.
Bajamos 49, siendo la cantidad operable del radicando 049.
5º Debajo de la raíz hallada escribimos su doble y dividimos lo que resta por el doble de
la raíz anterior. El cociente obtenido se pone a la derecha del doble de la raíz y el número
formado se multiplica por este cociente.
04 : 2 = 2 < 9
Tomamos como resultado 2, ya que es una única cifra que va del 0 al 9.
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6º Comprobamos que el número formado es inferior a la cantidad operable del radicando.
Pues si hubiésemos obtenido un valor superior a la cantidad operable del radicando,
habríamos probado por la anterior cantidad operable y así sucesivamente hasta encontrar
un valor inferior.
22 · 2 = 44 < 49
7º El cociente obtenido se añade a la derecha de la raíz.
Subimos el 2 a la raíz.
8º Después, restamos a la cantidad operable del radicando el número hallado debajo de la
raíz.
49 – 44 = 5
9º Probamos que el resultado de la raíz cuadrada sea correcto, para ello, se tiene que
cumplir que Radicando = (Raíz entera)2 + Resto.
149 = 122 + 5
Solución: La raíz entera de 149 es 12 y su resto 5.
512 14912 149 2
Ejemplo 2: 89225
1º Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos de dos empezando por la derecha.
2º Calculamos la raíz cuadrada (entera o exacta) del primer grupo de cifras por la izquierda.
¿Qué número elevado al cuadrado da 8?
8 no es un cuadrado perfecto, pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos:
4 y 9.
Tomamos la raíz cuadrada del cuadrado perfecto que se acerque más a 8, que es: 2
(22 = 4).
La primera cifra de la raíz cuadrada es 2 y la colocamos en la casilla correspondiente.
3º El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el
radicando.
El cuadrado de la raíz 2 es 4, se lo restamos a 8 y obtenemos 4.
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4º Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando y separamos del
número formado su última cifra.
Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando 492.
5º Debajo de la raíz hallada escribimos su doble y dividimos lo que resta por el doble de
la raíz anterior. El cociente obtenido se pone a la derecha del doble de la raíz y el número
formado se multiplica por este cociente.
49 : 4 = 12,25 > 9
Tomamos como resultado 9, ya que sólo puede ser una única cifra que vaya del 0 al 9.
6º Comprobamos que el número formado es inferior a la cantidad operable del radicando.
Pues si hubiésemos obtenido un valor superior a la cantidad operable del radicando,
habríamos probado por la anterior cantidad operable (8, 7, …) y así sucesivamente hasta
encontrar un valor inferior.
49 · 9 = 411 < 491
7º El cociente obtenido se añade a la derecha de la raíz.
Subimos el 9 a la raíz.
8º Después, restamos a la cantidad operable del radicando el número hallado debajo de la
raíz.
492 – 441 = 51
9º Bajamos el siguiente par de cifras.
Bajamos 25, siendo la cantidad operable del radicando 05125.
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10º Repetimos los pasos anteriores.
512 : 58 = 8,8 > 8, probamos por 9.
Como 589 · 9 = 5.301 > 5.125, probamos por 8.
Como 588 · 8 = 4.704 < 5.125, subimos el 8 a la raíz.
Restamos a la cantidad operable del radicando 5.125 el número hallado debajo de la raíz
4.704.
11º Probamos que el resultado de la raíz cuadrada sea correcto, para ello, se tiene que
cumplir que Radicando = (Raíz entera)2 + Resto.
89.225 = 2982 + 421
Solución: La raíz entera de 89.225 es 298 y su resto 421.
421298 89.225298 89.225 2
Ejemplo 3: 643
Para el cálculo de la raíz cuadrada de 643, seguimos estos pasos:
1º Dividir el radicando en grupos de dos cifras, empezando por la derecha. El número de
grupos es igual al número de cifras de la raíz cuadrada.
6
2º Calcular la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda.
Luego 2 es el número de decenas de la raíz
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3º Restar del primer grupo el cuadrado de su raíz entera. Añadir a la diferencia las dos
cifras siguientes del radicando.
6 2 ?
-4
2 43
4º Multiplicar por dos la primera cifra de la raíz (2 · 2 = 4). Calcular el menor entero d tal
que 4 d · d se puede restar del radicando; d será la segunda cifra de la raíz.
42 · 2 = 84 ; 43 · 3 = 129 , 44 · 4 = 176, 45 · 5 = 225
46 · 6 = 276 > 243
6 2 ?
-4 45 · 5 = 225
2 43
5º Restar de la diferencia anterior 45 · 5. El resto de la raíz es la nueva diferencia.
6 2 5
-4 45 · 5 = 225
2 43
-2 25
18
Solución: 25643 y resto = 18
Comprobación:
a) (25) 2 + 18 = 625 + 18 = 643
b) 18 < 2 · 25 + 1 =51
2.6. Operaciones con raíces cuadradas exactas
2.6.1. Suma y Resta
Para sumar y restar raíces, deben tener el mismo índice de la raíz y contener el mismo radical.
Si es así, se suman los números que están fuera de ellos (coeficientes) y el radical se deja igual.
Ejemplos:
a) 27215322523
b) 33333 73712477274
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2.6.2. Multiplicación
El producto de dos o más raíces cuadradas exactas:
a) Es una raíz cuadrada exacta.
b) Su radicando es igual al producto de los radicando de los factores.
Ejemplos:
a) 5496968136813654968136 22
b) 4975754925492535754925 22
2.6.3. División
El cociente de dos o más raíces cuadradas exactas:
a) Es una raíz cuadrada exacta.
b) Su radicando es igual al cociente de los radicando de los factores.
Ejemplos:
a) 23:63:69:369:3623:69:36 22
b) 24:84:816:6416:6424:816:64 22
2.6.4. Potencia de una raíz
La potencia de base una raíz cuadrada exacta:
a) Es una raíz cuadrada exacta.
b) Su radicando es igual al radicando de partida elevado al exponente de la potencia.
Ejemplos:
a) 4
44
4
2525252525252525
b) 6
66
6
81818181818181818181
2.7. La raíz como potencia
La raíz de una potencia es igual al radicando elevado al resultado de dividir su exponente por el
índice de la raíz.
n
m
n m xx
Ejemplos:
2
8
2 88 555
3
10
3 10 22
Tema 1: Potencias y raíces de números naturales.
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3. POTENCIAS Y RAÍCES
3.1. Recordar
a) Descomponer los números en factores primos.
b) Simplificar los números aplicando las propiedades correspondientes.
c) Una vez obtenidos los números simplificados, usad la calculadora para calcular el número
resultante.
4. OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS Y RAÍCES
4.1. Introducción
Al resolver expresiones con operaciones combinadas, debemos tener en cuenta las normas del
lenguaje matemático. Estas normas aseguran que cada expresión tenga un significado y una solución
únicos.
4.2. Reglas
Las reglas para realizar las operaciones de números naturales o prioridad de las operaciones
son las siguientes:
1) Efectuamos las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2) Calculamos las potencias y raíces.
3) Efectuamos los productos (multiplicaciones) y cocientes (divisiones).
4) Realizamos las sumas y restas.
4.3. Tipos de operaciones combinadas
1) Operaciones combinadas con potencias y raíces cuadradas.
Para resolverlas, primero efectuaremos las potencias y las raíces cuadradas, con lo cual nos
quedaremos con operaciones combinadas de números enteros y seguimos el orden de las mismas.
NOTA: En las raíces cuadradas, hay una solución + .
Ejemplos:
a) 35 : 33 + 144 · 52 = 9 + 12 · 25 = 9 + 300 = 309
35 : 33 = 32 = 9 144 = 12 52 = 25
b) 625 · ( 33 – 5) + 40 + 121 = 25 · 22 + 1 + 11 = 550 + 1 + 11 = 562
625 = 25 33 – 5= 27 – 5 = 22 40 = 1 121 = 11
2) Operaciones combinadas con potencias y raíces cúbicas exactas.
Para resolverlas, primero efectuaremos las potencias y las raíces cúbicas, con lo cual nos
quedaremos con operaciones combinadas de números enteros y seguimos el orden de las mismas.
NOTA: En la raíces cúbicas, hay una solución + .
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Ejemplos:
a) 3 343 · ( 103 – 82 ) + 3 8 : 40 = 7 · 36 + 8 : 1 = 252 + 2 = 254
3 343 = 25 103 – 82 = 100 – 64 = 36 40 = 1 3 8 = 2
b) 103 + 72 – 3 27 : 60 = 1.000 + 49 + 3 : 1 = 1.049 – 3 = 1.046
3 27 = 3 60 = 1
3) Operaciones combinadas con potencias y raíces exactas.
Ejemplos:
a) 000.10 – 3 729 · 23 : 3 – 3 125 : 5 = 100 – 9 · 8 : 3 – 5 : 5 = 100 – 72 : 3 – 1 =
= 100 – 24 – 1 = 75
000.10 = 100 3 729 = 9 3 125 = 5
b) 83 – 64 : 22 + 3 64 · 41 = 512 – 8 : 4 + 4 · 4 = 512 – 2 + 16 = 526
64 = 8 3 64 = 4
5. EJERCICIOS
1) Completa la tabla:
Producto Potencia Base Exponente Se lee Valor o
Resultado
2 · 2 · 2
92
4 2
3 0
2 32
4 elevado al cubo es igual a 64
9 · 9 · 9
7 4
2
56
1 elevado a la quinta
2) Expresa en forma de potencias.
a) 50.000 Solución: 5 · 104
b) 3.200 Solución: 32 · 102
c) 3.000.000 Solución: 3 · 106
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3) Escribe en forma de una sola potencia.
a) 33 · 34 · 3 Solución: 38
b) 57 : 53 Solución: 54
c) (53)4 Solución: 512
d) (5 · 2 · 3)4 Solución: 304
e) (34)4 Solución: 316
f) [(53)4]2 Solución: (512)2 = 524
g) (82)3 Solución: [( 23)2]3 = (26)3 = 218
h) (93)2 Solución: [(32)3]2 = (36)2 = 312
i) 25 · 24 · 2 Solución: 210
j) 27 : 26 Solución: 2
k) (22)4 Solución: 28
l) (4 · 2 · 3)4 Solución: 244
m) (25)4 Solución: 220
n) [(23)4]0 Solución: (212)0 = 20 = 1
o) (272)5 Solución: [(33)2]5 = (36)5 = 330
p) (43)2 Solución: [(22)3]2 = (26)2 = 212
4) Utilizando potencias, haz la descomposición polinómica de estos números:
a) 3.257 Solución: 3.257 = 3 · 103 + 2 · 102 + 5 · 10 + 7
b) 10.256 Solución: 10.256 = 1 · 104 + 0 · 103 + 2 · 102 + 5 · 10 + 6
c) 125.368 Solución: 125.368 = 1 · 105 + 2 · 104 + 5 · 103 + 3 · 102 + 6 · 10 + 8
5) Calcular las raíces:
a) 264
Solución:
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b) 256.6
Solución:
c) 675.72
Solución:
6) Realiza las siguientes operaciones combinadas teniendo en cuenta su prioridad:
a) 2 + 5 · (2 · 3)³ Solución: 2 + 5 · (6)³ = 2 + 5 · 216 = 2 + 1.080 = 1.082
b) 7 · 3 + [6 + 2 · (23 : 4 + 3 · 2) – 7 · 4 ] + 9 : 3
Solución: 21 + [6 + 2 · (23 : 22 + 6) – 14] + 3 =
= 21 + [6 + 2 · (2 + 6) – 14] + 3 = 21 + (6 + 2 · 8 – 14) + 3 =
= 21 + ( 6 + 16 – 14) + 3 = 21 + 8 + 3 = 32