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Diseño de Máquinas
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 2
Tema 2 - Fundamentos► Esfuerzos y deformaciones simples
Tracción – Compresión Cortadura Flexión Torsión
► Combinación de esfuerzos► Teorías de Rotura estática► Esfuerzos de Contacto
Esferas Cilindros Caso General
► Concentración de esfuerzos
2
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 3
Esfuerzos y deformaciones simplesTracción – Compresión 1/2
► F – Fuerza en el eje longitudinal. (Compresión –F)
► A – Área de la sección► - Esfuerzo tensión Normal► E – Módulo de Young o de
Elasticidad► µ – Módulo de Poison► - Deformación unitaria► l – Longitud► - Deformación
11
22
F
AF
FA
A
FFE
A lA EAE
F kl l
Material en zona elástica lineal
Dirección longitudinal
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 4
Esfuerzos y deformaciones simplesTracción – Compresión 2/2
► F – Fuerza en el eje longitudinal. (Compresión –F)
► A – Área de la sección► - Esfuerzo tensión Normal► E – Módulo de Young o de
Elasticidad► µ – Módulo de Poisson ► - Deformación unitaria► l – Longitud► - Deformación
Dirección transversal
= -
Material en zona elástica lineal
3
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga
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Esfuerzos y deformaciones simplesTracción – Compresión
(Relación de problemas del Tema 2)
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga6
Esfuerzos y deformaciones simples Cortadura 1/1
F
A
► F – Fuerza normal al eje longitudinal
►A – Área de la sección► - Esfuerzo o tensión
de cortadura
τmed (no real)
4
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga
7
Esfuerzos y deformaciones simples Flexión 1/15
V
► Al cortar por una sección cualquiera, para equilibrar hay que aplicar: M – Momento Flector V – Fuerza cortante
► V=0Flexión PuraEsfuerzos:► Viga recta, material homogéneo y
cumple la Ley de Hooke► Se estudian secciones alejadas de
las cargas► Eje de simetría en el plano de la
flexión► Eje de los momentos normal al
plano de simetría► Las secciones permanecen planas
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 8
Esfuerzos y deformaciones simples Flexión 2/15
Efecto del Momento Flector M : Esfuerzos de tracción y compresión, ley de NavierI - Momento de Inercia, W – Módulo resistente = 0 Línea neutra, = Max superficie
max
max
MI
RM M
I WC
3
2
32
6
CIRCULAR
RECTANGULAR
DW
b hW
Plano de flexión
5
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 9
Esfuerzos y deformaciones simples Flexión 3/15
Efecto de la fuerza cortante V : Esfuerzo de cortadura = Max. Línea neutra = 0 Superficie
max 0
c
R
c
Vy dA
I bV
y dAI b
FORMA DE LA SECCIÓN max
Rectangular max
3
2
V
A
Circular max
4
3
V
A
Corona Circular max
2 V
A
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 10
Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 4/15
En flexión general acción conjunta de V y M ► Combinación de esfuerzos
► El inducido por V es pequeño y se suele despreciar
6
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga
11
Esfuerzos y deformaciones simplesTracción – Compresión
(Relación de problemas del Tema 2)
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 12
Cálculo de deformaciones elásticas en Flexión►Métodos: Teorema de Mohr - Punto Energía de deformación - Punto Ecuación diferencial de la elástica – Viga completa Funciones de singularidad – Viga completa
Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 5/15
7
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga13
Ecuación Diferencial de la Elástica Integrar dos veces el
diagrama de momentos flectores
Aplicar condiciones de contorno
( )( )
( )
( ) ( )
M xx dx
E I x
y x x dx
q x ‐
M
Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 6/15
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 14
► Método1. Calcular V(x) por tramos2. Obtener el momento flector M(x)
por tramos.3. Integrar el momento flector M(x)
dividido por EI para obtener el giro(x) [en radianes]
4. Integrar el giro (x) para obtener laflecha y(x)
5. Aplicar las condiciones de contornopara obtener las 2 constantes deintegración
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )
V x q x dx
M x V x dx
M xx dx
E I x
y x x dx
Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 7/15
8
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 15
a1 = 100 mma2 = 200 mml= 400 mma3 = 450 mmEI = 5 108 Nmm2
F1 = 1000 NF2 = 1500 N
F1 F2
RA RB
a1
a2
l
a3
A 1 2 B 3
¿Cálculo de “deformaciones” en Flexión?
Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 8/15
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 16
F1 F2
RA RB
a1
a2
l
a3
A 1 2 B 3
y
x
Criterio de signos:x
V y M positivos
(producen que V+ y M+ aumenten)Tomamos + Fi
Mi
q(x)
Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 9/15
9
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 21
2 68
3 68
PU N TO 1
1(100) 1.500(100) 47,5 10 0.0325 1º51́
2 5 101
(100) 1.500(100) 142,5 10 100 4,256 5 10
y m m
68
PUNTO A
1(0) 47,5 10 0.0475 2º43́
2 5 10(0) 0y
2 2 6 38
3 3 68
PU NTO 2
1(200) 1.500 200 1.000(200 100) 47,5 10 2.32 10 0º8́
2 5 101
(200) 1.500 200 1.000(200 100) 142,5 10 200 5,8336 5 10
y m m
2 2 2 68
PUNTO B
1(400) 1.500 400 1.000(400 100) 1.500(400 200) 47,5 10 0.0424 2º26́
2 5 10(400) 0y
2 2 2 2 68
3 3 3 3 68
PU NTO 3
1(450) 1.500 450 1.000(450 100) 1.500(450 200) 1.000(450 400) 47,5 10 0.0424 2º26́
2 5 101
( ) 1.500 4́50 1.000(450 100) 1.500(450 200) 1.000(450 400) 142,5 10 450 2,1256 5 10
y x m m
Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 10/15
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 22
y
xq
RA RB
a1
a2
a3
Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 11/15
10
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 23
En ejes se suele utilizar la hipótesis de carga concentrada: es más fácil de calcular y es más conservadora
l/3
l
(0,25 - 0,3) l
l
l
F
F/2F/2
(0,2 - 0,3) l
(a)
(b)
(c)
(d)
(0,2 - 0,3) l
Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 12/15
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 24
RA
RB
30 50 40
2.500 N
130.000 mmN
1 42 3
(a)
250
2.750A
B
R
R
0 1 0 0
1 0 1 1
( ) 250 0 130.000 30 2.500 80 2.750 120
( ) 250 0 130.000 30 2.500 80 2.750 120
V x x x x x
M x x x x x
VIGAS DE SECCIÓN VARIABLE
Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 13/15
11
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 26
RA
RB
30 50 40
2.500 N
130.000 mmN
1 42 3
V ( N )
M ( mm N )
250
2 .75
0
7.50
0
110.
000
122.
500
(a)
(b)
(c)
Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 14/15
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 27
Punto Giro (º) Flecha (mm)1 -0.0032 02 -0004 -0.00183 0.0012 -0.0034 0.0059 0
RA
RB
30 50 40
2.500 N
130.000 mmN
1 42 3
(a)
Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 15/15
12
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 28
Esfuerzos y deformaciones simples Torsión de secciones circulares 1/3
► T – Momento Torsor, coincidente con el eje longitudinal
► Barra cilíndrica recta, material homogéneo y cumple la Ley de Hooke
► Se estudian secciones alejadas de las cargas
MxMx
x
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga
29
Esfuerzos y deformaciones simplesTorsión de secciones circulares 2/3
► – Esfuerzo de cortadura ► Las secciones permanecen planas► I0 – Momento polar de inercia► r – Distancia radial► l – Distancia entre dos secciones► Máximo esfuerzo en la superficie
max =(xz)max – Esfuerzo de cortadura en la superficie
I0 – Momento polar de inercia W0 – Módulo resistente de torsión
→
10
12 1 2 1
20
2
TI
RR R
TI
R
R
∙32
ó
∙32
ó
Esfuerzos:
13
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 30
Esfuerzos y deformaciones simples Torsión de secciones circulares 3/3
z
-z
τxz
l=ϴr
Material en zona elástica
ϴ(rad)=Tl
GI
Sección, Material y T
ctes
Deformaciones (ϴ ):
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga31
Esfuerzos y deformaciones simplesTracción – Compresión
(Relación de problemas del Tema 2)
Material:Sys=90MPa, G=0.8 e 5 MPa
14
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 32
Combinación de Esfuerzos 1/10► Estado de esfuerzo de P:
Recoge las σ al cortar por cualquierplano.
► Caracterización: dV que recogelas componentes de esfuerzo alcortar por los 3 planos de unsistema de referencia arbitrario
► Triaxial: son necesarias 6 componentes x , y , z , xy , yz , zx
►xy = yx►yz = zy►zx = xz
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 33
Combinación de Esfuerzos 2/10
Existe un sistema de referencia 123 tal que las componentes de esfuerzo cortante son nulas1 , 2 , 3 : Esfuerzos principales (1 > 2 > 3 )
15
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga
34
Combinación de Esfuerzos 3/10Círculo de Mohr
(Representación del estado de tensiones en un punto)
Otto Mohr (1835-1918)
O
n(σn , τ)τ
σn
Circunferencias de Mohr:• los puntos sobre cada circunferencia representan planos
perpendiculares al formado por las direcciones principales quela definen
• El ángulo central barrido sobre la circunferencia es el doble delque se recorre en el espacio
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Combinación de Esfuerzos 4/10
► una de las componentes principales es cero
Estado de esfuerzo biaxial o plano
16
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 36
Combinación de Esfuerzos 5/10
► una de las componentes principales es cero
► Son necesarias tres componentes: x , y , xy (xy = yx )
Estado de esfuerzo biaxial o plano
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 37
Combinación de esfuerzos 6/10Existe un sistema de referencia AB tal que las componentes de esfuerzo cortante son nulasA , B : Esfuerzos principales (A > B )
Círculo de Mohr
A , B , x , y , xy
17
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 38
Combinación de Esfuerzos 7/10Circunferencia de MohrRepresenta el estado de esfuerzo plano
2
2max
max
max
2
2
22
x ym
x yxy xy
A m xy
B m xy
xy
x y
tg
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 39
Combinación de Esfuerzos 8/10
+
A
(300,150)
B
(50,-150)
(370.26,0)(-20.26,0)
X
Y
R
R=max XY=195.26
B A
XSIM (300,-150)
A
2
m= 175
x = 300 MPa
y = 50 MPa
xy = 150 MPa
A = 370.26 MPa
B= -20.26 MPa
= 25.09 º
=25.09º
18
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 40
Combinación de Esfuerzos 9/10
Flexión + Torsión
Solo el de T(se desprecia el de V)
σ=0
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 41
Combinación de Esfuerzos 10/10
De esfuerzo plano a triaxial: Añadir a los esfuerzos principales A y B un tercer esfuerzo de valor ceroOrdenar de forma que 1 > 2 > 3
19
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 42
►Materiales Dúctiles: Fallo por fluencia Criterio del esfuerzo cortante máximo Cirterio de Von Misses
►Materiales Frágiles: Fallo por fractura Criterio de Mohr Criterio de Mohr Modificado
Teorías de Rotura o Falla estática 1/16
Un elemento de máquinas se considera que ha fallado cuando no cumple su función
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 43
Teorías de Rotura estática 2/16
Ensayos de:
Tracción
Compresión
Cortadura (torsión)
¿Otras cargas?
Fallo por fluenciaMATERIALES DÚCTILES
20
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 44
Teorías de Rotura estática 3/16
Ensayos de:
Tracción
Compresión
Sy-Sy
Fallo por fluenciaMATERIALES DÚCTILES
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga45
Teorias de Rotura estática 4/16MATERIALES DÚCTILESTEORÍA DEL ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO O DE TRESCA (1814-1885)Se produce la falla por fluencia cuando el esfuerzo cortante máximo supera al que se da en el ensayo de tracción
1 3max
1 31 3
max
:
2
2
Para que no falle
SySy N
Sy
21
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 46
Teorías de Rotura estática (3/16)
Ensayos de:
Tracción
Compresión
CortaduraSy-Sy
Sys
Fallo por fluenciaMATERIALES DÚCTILES
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 47
Teorias de Rotura estática 5/16
MATERIALES DÚCTILESTEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN MÁXIMA O DE VON MISES (1883-1953)
Esfuerzo equivalente de Von Mises ’: Aquel esfuerzo normal que genera la misma energía de distorsión que la combinación de los esfuerzos aplicados
2 22
1 2 2 3 3 1
2 2 2
´2
´ 3
x y x y xy
22
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 48
Teorias de Rotura estática 6/16MATERIALES DÚCTILESTEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN MÁXIMA O DE VON MISES (1883-1953)Se produce la falla por fluencia cuando al esfuerzo equivalente de Von Mises supera al que se da en el ensayo de tracción.
2 22
1 2 2 3 3 1
2 22
1 2 2 3 3 1
2 2 2
2 2 2
: ´´
2
2
33
x y x y xy
x y x y xy
SyPara que no falle Sy N
SySy N
SySy N
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 49
Teorías de Rotura estática 7/16
► La rotura por fluencia se produce fuera de las áreas marcadas
► Se cuantifica hallando el coeficiente de seguridad N>1 No rotura N<=1 Rotura
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
23
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 50
Teorías de Rotura estática 8/16► Ejemplo: Sy=400 MPa x=300 MPa y=-200 MPa xy=150 MPa
-600
-400
-200
0
200
400
600
-600 -400 -200 0 200 400 600
B(M P a)
A (M P a)
Línea de Carga
Rotura Tresca
Rotura Von Mises
Trabajo
1 3
2 2 2 2 2 2
4000.69
314.55 ( 241.55)
4000.79
3 300 ( 200) 300( 200) 3 150
Tresca
VM
x y x y
SyN N N
SyN N N
►Circulo de Mohr 1=314.55 Mpa = A
3=-241.55 MPa= B
2=0 MPa
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 51
-600
-400
-200
0
200
400
600
-600 -400 -200 0 200 400 600
B(M P a)
A (M P a)
Teorías de Rotura estática 9/16► Ejemplo: Sy=400 MPa x=200 MPa y=300 MPa xy=100 MPa
Línea de Carga
Rotura Tresca
Rotura Von Mises
Trabajo
1 3
2 2 2 2 2 2
4001.10
361.80 0
4001.26
3 200 300 200 300 3 100x y x y
SyN N N
SyN N N
►Circulo de Mohr 1=361.80 Mpa = A
2=138.20 Mpa = B
3=0 MPa
24
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 52
Teorías de Rotura estática 10/16
Sy
Sys
Tresca Von MisesLimites de Fluencia en cortadura predichos:
•Tresca :•Sys=0.5 Sy
•Von Mises:•Sys=0.577 Sy
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 53
Teorías de Rotura estática 11/16
Tracción
Compresión
Sut-Suc
•No límite de fluencia
•Resistencia a la compresión mayor que a tracción
MATERIALES FRÁGILES
Coulomb-Mohr
25
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 54
Teorías de Rotura estática 13/16
Tracción
Compresión
Cortadura
Sut-Suc
Sus
Si el mayor círculo de Mohr del estado de esfuerzo sale fuera de las envolventes se produce la rotura
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 55
Teorías de Rotura estática 14/16
1A BSuc Sut
Suc Sut Suc N
1BA
Sut Suc N
26
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 57
Teorías de Rotura estática 15/16
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600
B (M Pa)
A (M Pa)
Mohr
Mohr Mod.
Trabajo
► Ejemplo: Sut=400 MPa Suc=800MPa x=100 MPa y=-300 MPa xy=150 MPa
► Circulo de Mohr 1 =150 Mpa = A
3 =-350 Mpa = B
2 =0 MPa
► NMOHR=1.23► NMOHR M=1.60
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 58
Teorías de Rotura estática 16/16
►TRESCA y MOHR Conservadora Adecuada para diseño
► VON MISES y MOHR MODIFICADA Realista Adecuada para diseño y comprobación
27
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 59
Teorías de Rotura estática
Calcular D por resistencia
estática para:
1) Sy=450 MPa, N=2
2) Sut=00MPa
Suc=900MPaN=4
Datos:F=1000NL1=200mmL2=150mm
Ejercicio
F
L1
L2
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 60
Esfuerzos de Contacto 1/17Esfuerzo local en la zona de contacto entre piezas: Rodamientos Levas Engranajes
28
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 61
Esfuerzos de Contacto 2/17
Esfuerzos de Hertz (1857 –1894)En función de la forma de la huella:1. Contacto Circular o esférico2. Contacto lineal o cilíndrico3. Contacto elíptico o general
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 62
Esfuerzos de contacto 3/17
CONTACTO CIRCULAR1. Esfera contra Esfera2. Esfera contra Plano3. Cilindro contra cilindro,
mismo diámetro y ejes cruzados 90º
29
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 63
Esfuerzos de contacto 4/17
CONTACTO CIRCULARLa huella es circularCuerpos con E del mismo ordende magnitud:
►Distribución de Presión:elipsoide de revolución
►Presión máxima PMAX enel centro de la huella
F
F
F
F
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 64
Esfuerzos de Contacto 5/17
2
2 21 2
1 23
1 2
3
2
1 1
31 18
0.31
0.48
0.3
M AX
M AX M A X
FP
a
E Ea F
d d
P
z a
Superficie cóncava d<0
Superficie plana d =
CONTACTO CIRCULAR
30
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga
65
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
/P M A X ,/P M A Xz/a
Esfuerzos de contacto 6/17
20.31
0.48
0.3
X ZM A X
M AX M AXP
z a
M AX
Y
Z
Z
X Y
CONTACTO CIRCULAR Estado de esfuerzo compresión triaxial Rotura desde el interior por τMAX
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 66
Esfuerzos de Contacto 7/17CONTACTO LINEAL•Cilindro contra cilindro paralelos de igual longitud La huella es rectangularCuerpos con E del mismo orden de magnitud:► Distribución de presión:
cilindro elíptico► Presión PMAX máxima en
el centro de la huella
F
F
b1d
2d
31
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 67
Esfuerzos de Contacto 8/17CONTACTO LINEAL
2 21 2
1 2
1 2
2
1 1
21 1
0.3
0.786
0.3
M AX
M AX M AX
FP
wb
E EFw
bd d
P
z w
Superficie cóncava d<0
Superficie plana d =
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 68
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
/P M A X ,/P M A X
Z/w
Esfuerzos de Contacto 9/17CONTACTO LINEAL
0.3
0.786
0.3
M AX M AXP
z w
Y
Z
M A X
Z
Y
X
32
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 69
Esfuerzos de Contacto 10/17CONTACTO ELÍPTICOLa huella es elípticaCuerpos con E del mismo orden de magnitud:► Distribución de presión
elíptica► Presión PMAX máxima en
el centro de la huella
F
F
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 70
Esfuerzos de Contacto 11/17CONTACTO ELÍPTICO a, b (huella)PMAX
dependen de: - Ángulo que forman los
planos de curvatura principales (max o min)
curvaturas principales:► r1,r2 - Radios de curvatura
máximos► r´1 ,r´2 - Radios de
curvatura mínimos
F
F
33
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 71
Esfuerzos de Contacto 12/17CONTACTO ELÍPTICO
2
32
0.3
1 2.66 0.53
0.7929 0.3207
M AX
M AX M AX
FP
ab
baP
b ba a
bz b
a
b/a 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
z/b 0.785 0.745 0.665 0.590 0.530 0.480
MAX/PMAX 0.3 0.322 0.325 0.323 0.317 0.31
F
F
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 72
Esfuerzos de Contacto 13/17CONTACTO ELÍPTICOCuerpos con diferente material
1 1 32 4 3 4
112 4
1 1 2 2
2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
(1 ) 3; 1
4(1 )
1 1; ;
1 1 1 1 12 ' '
1 1 1 1 1 1 1 1 12 cos
2 ' ' ' '
C B
C A
C A B A B
a c e FR Rc ab F e
E Rb c e
R R R R RA B B A A B B A
A Br r r r
B Ar r r r r r r r
1.4560.06022 21 2
11 2
2
1 1 1; 1 1A
C B
RF
E E E R
34
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 73
Esfuerzos de contacto 14/17CONTACTO ELÍPTICOCuerpos del mismo material
3 3
2
1 1 2 2
2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
;
4 4;
1 1 1 1 3 1' '
2cos ;
1 1 1 1 1 1 1 1 12 cos 2
2 ' ' ' '
F m F ma b
n nE
m n
r r r r
BA
A m
Br r r r r r r r
0.70159015
34.9119220.48699868
15.2612248 0.94573717 ln
(º) 20 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
3.778 2.731 2.397 2.136 1.926 1.754 1.611 1.486 1.378 1.284 1.202 1.128 1.061 1.0
0.408 0.493 0.530 0.567 0.604 0.641 0.678 0.717 0.759 0.802 0.846 0.893 0.944 1.0
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 74
Esfuerzos de Contacto 15/17CONCLUSIONES GENERALES► En el centro de la huella de contacto el estado de
tensiones es de compresión triaxial (Zunchado)► radios curvatura PMAX► La PMAX que puede soportar el material en la
superficie es muy superior al límite de fluencia► La rotura se produce en el interior debida al
esfuerzo cortante► La profundidad a la que se produce indica hasta
donde debería llegar un tratamiento superficial
35
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 75
Esfuerzos de Contacto 16/17
Ejemplo►Hallar los esfuerzos de
contacto en una rueda de tren para una carga de 10 T E=2.1 105 MPa = 0.29
R=1000
D=800
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 76
Esfuerzos de Contacto 17/17
1
1
2
2
´ 1000
800´ 400
290º
874.71
283.48
3.37
887.24
287.60
3.34
MAX
MAX
MAX
MAX
r
r
r
r
P MPa
Mismo Material MPa
z mm
P MPa
Diferente Material MPa
z mm
R=1000
D=800
Cuerpo 1 : RailCuerpo 2 : Rueda