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1Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Tema 2: Álgebra vectorial
FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Civil
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
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2Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
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3Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Magnitudes escalares y vectorialesMagnitudes escalares y vectoriales
Magnitud escalar : queda definida con un número y una unidadTemperatura, longitud, carga eléctrica, tiempo, etc
Magnitud vectorial: require magnitud, dirección y sentidoVelocidad, aceleración, fuerza, etc
Magnitud tensorial
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4Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
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5Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Definición de vectorDefinición de vector
En Matemáticas es un elemento de un espacio vectorial
En Física es un segmento orientado: una flechaMódulo
Recta soporte
Dirección
Sentido
Punto de aplicación
Representación: a o
Recta soporte
(dirección)
módulo
Punto de aplicación
Sentido
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6Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Tipos de vectoresTipos de vectores
Libres: módulo, dirección y sentidoPueden moverse libremente en el espacio
Deslizantes: módulo, dirección, sentido y recta soportePueden desplazarse libremente sobre su recta soporte
Ligados: módulo, dirección, sentido y punto de aplicaciónNo pueden desplazarse en el espacio
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7Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
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8Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Vectores libresVectores libres
Relación de equivalencia: a y b son vectores equivalentes si tienen el
mismo módulo, dirección y sentidoDos vectores libres equivalentes pueden hacerse coincidir si se desplazan
en el espacio
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9Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
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10Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Vectores libresVectores libres
Suma de vectores libresDos vectores
Varios vectores
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11Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Vectores libres: sumaVectores libres: suma
Propiedades de la sumaConmutativa
Asociativa
Existencia de elemento neutro
Existencia de elemento opuesto
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12Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Vectores libres: producto por un escalarVectores libres: producto por un escalar
El producto por un escalar es otro vector
Propiedades Asociativa respecto al producto por un escalar
Distributiva respecto a la suma de vectores
Distributiva respecto a la suma de escalares
Existencia de escalar unidad
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13Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
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14Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Bases vectorialesBases vectoriales
Los infinitos vectores que pueden definirse sobre una recta
pueden caracterizarse con uno de los vectores y un número
La base del espacio vectorial formado por todos los
vectores contenidos en una recta tiene dimensión 1
Los infinitos vectores que pueden definirse sobre un plano
pueden caracterizarse con dos de los vectores no
colineales y dos números
La base del espacio vectorial formado por todos los
vectores contenidos en un plano tiene dimensión 2
![Page 15: Tema 2: Álgebra vectoriallaplace.us.es/wiki/images/1/16/Tema_02.pdf · 16 Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16 Bases vectoriales Una](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022020316/5b7eb1787f8b9ad97d8c02f7/html5/thumbnails/15.jpg)
15Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Bases vectorialesBases vectoriales
Los infinitos vectores que pueden definirse en un espacio tridimensional pueden
caracterizarse con tres de los vectores no colineales y no coplanarios y tres números
La base del espacio vectorial formado por todos los vectores en el espacio tiene
dimensión 3
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16Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Bases vectorialesBases vectoriales
Una base en E3 es una terna de vectores, B = {v1, v2, v3} , tal que cualquier vector
a puede escribirse como combinación lineal de ellos
a1, a2, a3 son las componentes de a en la base B
Para que tres vectores formen una base no deben ser ni colineales ni coplanarios
(linealmente independientes)La dimensión del espacio vectorial es el número mínimo de vectores linealmente
independientes que pueden describir todos los vectores del espacio
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17Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Base cartesianaBase cartesiana
Triedro OX1X2X3 ≡ OXYZ
X1≡X
X2≡Y
X3≡Z
O
Base ortonormal
Álgebra vectorial
Componentes
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18Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
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19Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto escalarProducto escalar
Definición
El resultado de la operación es un escalar
El punto es importante
Permite expresar de modo sencillo la condición de ortogonalidad, distancias y
ángulos
![Page 20: Tema 2: Álgebra vectoriallaplace.us.es/wiki/images/1/16/Tema_02.pdf · 16 Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16 Bases vectoriales Una](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022020316/5b7eb1787f8b9ad97d8c02f7/html5/thumbnails/20.jpg)
20Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto escalar: aplicacionesProducto escalar: aplicaciones
Condición de ortogonalidad para dos vectores
Si uno de los vectores es unitario da la proyección ortogonal sobre él del otro
vector
Extrae la componente del vector paralela a la dirección del vector
Está relacionado con la proyección ortogonal de un vector sobre otro
Si ninguno de los vectores es unitario
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21Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto escalar: métrica del espacioProducto escalar: métrica del espacio
Distancia entre dos puntos
X1
X2
X3
P(p1,p2,p3)
O
Q(q1,q2,q3)
Ángulo entre dos vectores
Permite definir una métrica en el espacio
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22Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto escalar: propiedadesProducto escalar: propiedades
Propiedades
Asociativa resp. prod. por un escalar
Conmutativa
Distributiva resp. a suma
Cancelativa
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23Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto escalar: base ortonormalProducto escalar: base ortonormal
Los vectores de una base ortonormal son mutuamente perpendiculares y de
módulo unidad
Producto escalar de dos vectores expresados en una base ortonormal
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24Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto escalar: aplicacionesProducto escalar: aplicaciones
Construcción de un vector unitario paralelo a un vector a
Ángulo entre dos vectores
Distancia entre dos puntos
Módulo de un vector
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25Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto escalar: aplicacionesProducto escalar: aplicaciones
X1
X2
X3
O
Cosenos directores
Componentes cartesianas de un vector
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26Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto escalar: ecuación vectorial de un planoProducto escalar: ecuación vectorial de un plano
X Y
Z
P1
O
P
Punto por el que pasa el plano
Punto genérico del plano
Vector normal al plano
Condición para que el punto P esté en el plano
Ecuación general del plano
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27Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto vectorialProducto vectorial
Definición
El resultado de la operación es un vector
Escritura alternativa
Permite expresar de modo sencillo la condición de paralelismo
Permite construir rápidamente vectores perpendiculares
Extrae la componente perpendicular en una proyección ortogonal
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28Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto vectorialProducto vectorial
Condición de paralelismo
=0 =
Se relaciona con la componente perpendicular de la proyección ortogonal
Si uno de los vectores es unitario (u) da la componente perpendicular a u de la
proyección ortogonal sobre él del otro vector
La otra componente la da el producto escalar
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29Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto vectorialProducto vectorial
Si ninguno de los dos vectores es unitario, el módulo es la componente perpendicular
de la proyección ortogonal multiplicada por el otro vector
Área del paralelogramo que forman dos vectores
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30Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto vectorialProducto vectorial
PropiedadesNo es asociativo
Anticonmutativa
Asociativa resp. al prod. por un escalar
Distributiva respecto a la suma
Cancelativa
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31Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto vectorial: base cartesianaProducto vectorial: base cartesiana
Es una base ortonormal dextrógira
Expresión en una base ortonormal
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32Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto vectorial: ecuación vectorial de una rectaProducto vectorial: ecuación vectorial de una recta
Punto por el que pasa la recta
Punto genérico de la recta
Vector director de la recta
Condición para que el vector sea paralelo al vector director
Ecuaciones de la recta
X Y
Z
O
P
P1
r
Vectorial Paramétricas Continua
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33Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto mixtoProducto mixto
Definición: involucra tres vectoresEl resultado de la operación es un escalar
El valor absoluto es el volumen del paralelepípedo
h
Tres vectores forman una base si y solo si su producto mixto es no nulo
Condición de coplanariedad
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34Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto mixtoProducto mixto
Propiedades
Permutabilidad cíclica
Permutabilidad acíclica
Expresión en una base cartesiana
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35Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Producto mixto: ecuación de un plano que pasa por tres puntos no alineadosProducto mixto: ecuación de un plano que pasa por tres puntos no alineados
X Y
Z
P1
O
P3
P2
Puntos por los que pasa el plano
Condición de coplanariedad
Punto genérico del plano
Ecuación del plano
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36Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
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37Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Doble producto vectorialDoble producto vectorial
Aplicación al desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales
El resultado de la operación es un vector
Resolución de un sistema de ecuaciones vectoriales
Definición: involucra tres vectores
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38Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
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39Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Derivada de un vectorDerivada de un vector
Un vector puede ser función de una variable
Variación del módulo
Variación de la dirección
En general varían las dos cosas
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40Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Derivada de un vectorDerivada de un vector
Derivada de un vector expresado en una base cartesiana
Derivada del producto escalar y vectorial de dos vectores
Los vectores de la base cartesiana no dependen del tiempo
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41Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
ResumenResumen
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectorialesConjunto mínimo de vectores linealmente independientes que permiten expresar todos los vectores del
espacio
Base cartesiana: tres vectores unitarios y mutuamente perpendiculares constantes en todo el espacio
Producto escalarCondición de ortogonalidad
Permite calcular distancias y ángulos: define una métrica en el espacio
Extrae la componente paralela de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección (aplicación
al cálculo de componentes en bases cartesianas)
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42Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
ResumenResumen
Producto vectorialCondición de paralelismo
Extrae la componente perpendicular de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección
Área del paralelogramo
Producto mixtoCondición de coplanariedad
Volumen del paralelepípedo
Doble producto vectorial
Derivada de un vectorPuede cambiar el módulo y/o la dirección
Derivada de un producto escalar y vectorial