Download - Tema 1 Herramientas Matematicas
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Tema 1:
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Vectores
• Definición de vector 3-d• Módulo de un vector• Vectores unitarios• Suma vectorial• Producto por un escalar• Producto escalar• Base Ortonormal• Producto vectorial
Derivadas• Concepto de derivada• Tabla de derivadas• Derivada de un vector
Integrales
• Concepto de integral• Integral definida• Tabla de integrales• Integral de un vector
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A (ax , ay , a z)
B (bx , by , b z)
Vector equipolente: vectores con igual dirección sentido y módulo.
Vector libre: Conjunto de infinitos vectores equipolentes a uno dado.
Vector: Par ordenado AB
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Características de un Vector:
•Dirección: Recta en la que está inscrito(y paralelas).• Sentido: Cada direcc. dos sentidos. Punta de flecha. •Módulo : Distancia del vector en las mismas unidades.
Cálculo del módulo de un Vector:
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-1
x
y
zEjemplo: Calcula el módulo
del vector v= (-3, 2, -1)
2
74,314)1(2)3( 222 v
Ejemplos Físicos: • CELERIDAD (v)
• INTENSIDAD DE LA GRAVEDAD (g)
-3
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PROPIEDADES DEL MÓDULO
Es definido positivo
0v
2
Escalar con unidades iguales a las del vector
IRv
1
El vector elemento neutro tiene módulo neutro
)0,0,0(0 vvSi
3
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r
Definición: Es un vector de módulo 1
Utilidad: En Física se utilizan para marcar
direcciones sin afectar al módulo
x
y
z
Cálculo de unitario:
vv
uv
ˆ
v
vu v
1ˆ vu
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x
y
z
r
v
Ejemplo: Halla el vector unitario que define la dirección del vector
v= (-3,0, 4)
En primer lugar se calcula el módulo de v
Cálculo de unitario:
)8.0,0,6.0(5
)4,0,3(ˆ
vv
uv
vu
525)4(0)3( 222 v
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Ejemplo Físico: • Ley de Gravitación
Universal• Campo eléctrico
rg ur
GMmF
2
Los vectores en Física se suelen expresar:
xuxx
x
y
zx
xu
r
Es decir: • Sentido
• Módulo o intensidad• Dirección
rur
KQE
2
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Definición: Sean los vectores a=(ax, ay, az ) y
b=(bx, by, bz )
Regla del paralelogramo
El vector suma (o resultante)a+b=(ax+bx, ay+by, az+bz)
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PROPIEDADES DE LA SUMA VECTORIAL
Propiedad conmutativa
vwwv 1
El módulo de la suma no es igual a la suma de los
módulos
vuwu 3
Elemento neutro2 vv 0
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Ejemplos Físicos: • FUERZA RESULTANTE
(R)• CAMPO GRAVITATORIO
RESULTANTE (g)
Ejemplo: Calcula la resultante de los vectores v= (-3, 2, -1) y w= (2, 2, -2)Comprueba que el módulo de la suma es menor que la
suma de los módulos
n
iiFR
1
n
iiT gg
1
10,526)3(4)1(
46,312)2(22
74,314)1(2)3(
222
222
222
wv
w
v
)3,4,1(
)21,22,23(
wv
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v
vk
Definición: Sean el vector v=(vx, vy, vz ) y el
escalar k
El producto de k por vkv =k(vx, vy, vz)= (kvx, kvy, kvz)
x
y
z Para k>1
Para k<0
Ejemplo Físico: • Momento Lineal
• Fuerza (2ª ley Newton)
amF
vmp
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PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR UN
ESCALAR cambia el sentido
0kSi2
La dirección del vector resultante no cambia
vkv
1
El módulo también se multiplica k veces
vkvk 3
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Definición: Conjunto de 3 vectores unitarios i, j, k, ortogonales entre sí, a
partir de los cuales, puede escribirse cualquier vector
como una combinación lineal de ellos.
)1,0,0(ˆ
)0,1,0(ˆ
)0,0,1(ˆ
k
j
i
),,(),0,0()0,,0()0,0,(
)1,0,0()0,1,0()0,0,1(ˆˆˆ
zyxzyx
zyxkzjyixv
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Definición: Sean los vectores a=(ax, ay, az ) y
b=(bx, by, bz )
Interpretación geométrica
Proyección de a sobre b
cosaa Permite calcular la componente de un
vector en una dirección
Vectores perpendiculares ,
producto escalar nulo
El producto escalar:
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PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
Propiedad conmutativavwwv 1
Propiedad distributiva2 uvwvuwv )(
Propiedad distributiva (escalar)
3 wkvwvkwvk )(
4 02 vvv
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TEOREMA DEL PRODUCTO ESCALAR
zzyyxx wvwvwvwv
DEMOSTRACIÓN(líneas maestras)
1ˆˆˆˆˆˆ
0ˆˆ;0ˆˆ
0ˆˆ;0ˆˆ
0ˆˆ;0ˆˆ
kkjjii
kiik
jkkj
ijji
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APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL
PRODUCTO ESCALARyyyyxx wvwvwvwv
Calcular el ángulo que forman dos vectores entre sí wv
wv
cos
Ejemplo: Calcula el ángulo que forman los vectores v= (-3, 2, -1) y w= (2, 2, -2)
02·12·22·3 wv
º270º90
046,3·74,3
0cos
ó
wvwv
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Ejemplo Físico: • Trabajo
¡ES UN ESCALAR!
rFW
cosrFW
rF
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Definición: Sean los vectores u=(ux, uy, uz ) y
v=(vx, vy, vz )
El vector producto vectorial tiene las siguientes
características
Módulo:
senvuvu
Dirección:Perpendicular al plano que
forman u y v
Sentido:Queda determinado por la regla
de la mano izquierda
vuvu
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PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
Propiedad anticonmutativavwwv 1
Propiedad distributiva2 uvwvuwv )(
Propiedad distributiva (escalar)
3 wkvwvkwvk )(
Vectores paralelos4 00
vkvvv
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TEOREMA DEL PRODUCTO VECTORIAL
DEMOSTRACIÓN(líneas maestras)
0ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆ;ˆˆˆ
ˆˆˆ;ˆˆˆ
ˆˆˆ;ˆˆˆ
kkjjii
jkijik
ijkikj
kijkji
¡¡Necesitamos una regla de cálculo!!
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REGLA DE CÁLCULO DEL PRODUCTO VECTORIAL
zyx
zyx
www
vvv
kji
wv
ˆˆˆ
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Paso 1: Se duplican las dos primeras filas
zyx
zyx
zyx
vvv
kji
www
vvv
kji
wv
ˆˆˆ
ˆˆˆ
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zyx
zyx
zyx
vvv
kji
www
vvv
kji
wv
ˆˆˆ
ˆˆˆ
kwvjwviwv yxxzzyˆˆˆ
Paso 2: Los factores de estas diagonales son positivos
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zyx
zyx
zyx
vvv
kji
www
vvv
kji
wv
ˆˆˆ
ˆˆˆ
kwvjwviwv yxxzzyˆˆˆ
Paso 2: Los factores de estas diagonales son negativos
kwvjwviwv xyzxyzˆˆˆ
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zyx
zyx
www
vvv
kji
wv
ˆˆˆ kwvjwviwv yxxzzy
ˆˆˆ
kwvjwviwv xyzxyzˆˆˆ
Paso 3: Se suman los factores comunes
¡¡No hace falta aprender la fórmula de memoria, solo calcular!!
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EJERCICIO DE CÁLCULO PRODUCTO VECTORIAL
231
523
ˆˆˆ
ˆ2ˆ3ˆ
ˆ5ˆ2ˆ3
kji
wv
kjiw
kjiv
kji ˆ9ˆ5ˆ4 kji ˆ2ˆ6)ˆ15(
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Ejemplos Físicos: • Momento de la Fuerza
(M)•Momento angular o
cinético (L)
FrM
prL
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Ejemplos Físicos: • Momento de la Fuerza
(M)•Momento angular o
cinético (L)
prL
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Tasa de Variación Media (TVM)
Nos indica cambios de funciones
xxf
TVM
)(
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Derivada:Nos indica cambios
instantáneos de funciones
dxxdf
f)(
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Derivada:Nos indica cambios
instantáneos de funciones
dxxdf
f)(
![Page 35: Tema 1 Herramientas Matematicas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052304/559e428e1a28abdd0f8b45d9/html5/thumbnails/35.jpg)
Derivada:Nos indica cambios
instantáneos de funciones
dxxdf
f)(
![Page 36: Tema 1 Herramientas Matematicas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052304/559e428e1a28abdd0f8b45d9/html5/thumbnails/36.jpg)
Derivada:Nos indica cambios
instantáneos de funciones
dxxdf
f)(
![Page 37: Tema 1 Herramientas Matematicas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052304/559e428e1a28abdd0f8b45d9/html5/thumbnails/37.jpg)
xsendx
xde
dxde
xdxsenxd
nxdxdx
xdxxd
dxdk
xx
nn
cos
cos
1ln0
1
Tabla de derivadas necesaria para Física de
2ºBT
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PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS
Derivada de la suma
hgfxhxgxf )()()(1
Derivada del producto de una k por una función
gkfxgkxf ·)(·)(2
Derivada de la función producto
hghgfxhxgxf ··)(·)()(3
Derivada de la función cociente2
··)()(
)(h
hghgf
xhxg
xf
4
Regla de la cadena
hhgfxhgxf ·)())(()( 5
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La derivada de un vector es la derivada de una suma, por lo que se deriva componente a
componente
),,(ˆ)(ˆ)(ˆ)(
ˆ)(ˆ)(ˆ)()(
zyxkdttdz
jdttdy
idttdx
ktzjtyitxdtd
dttrd
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Ejemplos Físicos: • Velocidad instantánea
(v=dr/dt)•Aceleración instantánea
(a=dv/dt)
2
2 )()(
)(
dt
trddttvd
a
dttrd
v
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F(x) es una primitiva de f(x) si se cumple que: )(
)(xf
dxxdF
Un ejemplo: Encuentra la primitiva de la función
f(x)=2x-5x2
kxxxFxxxf 322
35
)(52)(
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Al conjunto de todas las primitivas de una función
f(x) se le llama integral indefinida
kxFdxxf )()(
Derivación
Integración
)(xf
)(xf
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kxdxx
kedxenknx
dxx
kxdxxsenkCxdxC
kxsendxxkdx
xxn
n
ln1
1;1
cos
cos0
1
Tabla de integrales necesaria para Física de
2ºBT
![Page 44: Tema 1 Herramientas Matematicas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052304/559e428e1a28abdd0f8b45d9/html5/thumbnails/44.jpg)
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES
La integral de la suma es la suma de integrales2 dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
La integral de C veces la función es C veces la integral1 dxxfCdxxfC )(·)(·
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TEOREMA DE BARROW b
aaFbFdxxf )()()(
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TEOREMA DE BARROW b
aaFbFdxxf )()()(
![Page 47: Tema 1 Herramientas Matematicas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052304/559e428e1a28abdd0f8b45d9/html5/thumbnails/47.jpg)
TEOREMA DE BARROW b
aaFbFdxxf )()()(
![Page 48: Tema 1 Herramientas Matematicas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052304/559e428e1a28abdd0f8b45d9/html5/thumbnails/48.jpg)
TEOREMA DE BARROW b
aaFbFdxxf )()()(
![Page 49: Tema 1 Herramientas Matematicas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052304/559e428e1a28abdd0f8b45d9/html5/thumbnails/49.jpg)
TEOREMA DE BARROW b
aaFbFdxxf )()()(
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TEOREMA DE BARROW b
aaFbFdxxf )()()(
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TEOREMA DE BARROW b
aaFbFdxxf )()()(
![Page 53: Tema 1 Herramientas Matematicas](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052304/559e428e1a28abdd0f8b45d9/html5/thumbnails/53.jpg)
Un ejemplo: Encuentra la integral de la función
f(x)=2x-5x2 entre los límites x=3 y x=5
5
3
2 )52( dxxx5
3
32
3
5xx
3232 3
35
3535
5 3,1473442
363550
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La integral de un vector es la integral de una suma, por lo
que se integra componente a componente
dtktvdtjtvdtitv
dtktvjtvitvdtv
zyx
zyx
ˆ)(ˆ)(ˆ)(
ˆ)(ˆ)(ˆ)(
ktrdtv )(
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W=b·h/2
Ejemplo Físico: • Trabajo de una fuerza
no constante
b
ardFW
ikxF ˆ
kdzjdyidxrd ˆˆˆ
Jk
kxdxkxrdikxW225
21
)ˆ(5
0
25
0
5
0
F (N)
x (m) 5
5k
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http://iescastelar.juntaextremadura.net/vectores_3d/vectores_3d.html www.lowy-robles.com/37_16.htm http://www.cucei.udg.mx/portal/etc/multimedia/swf/Derivadas.swf