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ECUACIONES DIFERENCIALES 100412_11
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD –
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS
ECUACIONES DIFERENCIALES
TRABAJO COLABORATIVO 3
“UNIDAD III CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES”
JAZMIN DUARTE LANDINEZ 63.396.305 RAMIRO ALEXIS OCAMPO 80.161.192
JHON MARIO OBANDO 79738083 CAMILO ARTURO RAMIREZ PEREZ COD 6.321.865
JULIAN ANTONIO LINARES DIAZ 3217280
FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS
TUTOR
ING. REMBERTO MORENO
AGOSTO DE 2010
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INTRODUCCION Se presenta el proceso de construcción del polinomio de Taylor que aproxima una función cualquiera alrededor de un punto cualquiera del dominio (si el polinomio se desarrolla para describir el comportamiento de la función alrededor de cero recibe el nombre de polinomio o serie de Mac-Laurin). En este capítulo seguimos considerando funciones de n variables reales con valores en un espacio vectorial normado. Como esto involucra, en los resultados centrales relativos al desarrollo de Taylor, la consideración de polinomios con coeficientes vectoriales, el lector que no se encuentre cómodo considerando estos polinomios generalizados puede suponer que las funciones toman valores reales.
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OBJETIVO GENERAL
Aplicar el tema de series y funciones matemáticas para la solución de las ecuaciones diferenciales.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Define las series de potencias
Reconoce funciones y series especiales
Relaciona las funciones y series especiales con las ecuaciones diferenciales.
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EJERCICIOS
1) Encuentre la solución general mediante serie de potencias
a)
Como
y= + + + + + + + + + +
+ + + …
Reemplazando
y = + 0 +
Agrupar los términos que contienen y los que contienen
y=
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Segunda solución
0
1
1
2
2
2
2 0
2 1
2 0
2 1
0 1
2 2 1
1 1
'' 0
'
'' ( 1)
( 1) 0
( 1) 0
( 2)( 1) 0
2 ( 2)( 1)
( 2)( 1)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n
y xy
y c x
y nc x
y n n c x
n n c x x c x
n n c x c x
n n c x c x
c n n c x c x
n n c 2 1
12
03
14
25
3 06
4 17
5 28
6 09
( 1)( 2)
1,(2)(3)
2,(3)(4)
3,(4)(5)
4,(5)(6) (2)(3)(5)(6)
5,(6)(7) (3)(4)(6)(7)
6,(7)(8) (4)(5)(7)(8)
7,(8)(9) (2)(3)(5)(6)(8)(9)
8
n
nn
c
cc
n n
cn c
cn c
cn c
c cn c
c cn c
c cn c
c cn c
n 7 110
03
13 1
3 6 3
0
,(9)(10) (3)(4)(6)(7)(9)(10)
, 1,2,3,...(2)(3)(5)(6)...(3 4)(3 3)(3 1)(3 )
,1,2,3...(3)(4)(6)(7)...(3 3)(3 2)(3 )(3 1)
1 ...(2)(3) (2)(3)(5)(6) (2)(3)...(3 1)(3
n
n
n
c cc
cc n
n n n n
cc
n n n n
x x xy c
n n
4 7 3 1
1
3 3 1
0 1
1 1
...) (3)(4) (3)(4)(6)(7) (3)(4)...(3 )(3 1)
1(2)(3)...(3 1)(3 ) (3)(4)...(3 )(3 1)
n
n n
n n
x x xc x
n n
x xy c c x
n n n n
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b) X=±і tiene puntos singulares en X=±і
Solución 2 punto b)
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Se deduce que
2) Una de las aplicaciones de física es la ecuación de Hermite y legendre,
averigüe para que sirven y además resuelva lo siguiente:
Aplicaciones de los Polinomios de Legendre en Física
Los polinomios de Legendre, igual que los de Hermite y Laguerre, son útiles en ramas de la Física como el Cálculo Numérico ya que permiten el cálculo de integrales definidas sin necesidad de resolver el integrando, tan sólo haciendo que los intervalos de integración vayan desde -1 a +1 (con el correspondiente cambio de variable). Esto es especialmente interesante en programas de cómputo que tratan de resolver una integral definida.
Los polinomios de Legendre son útiles en la expansión de funciones como
Donde r y r' son las longitudes de los vectores y respectivamente y γ es el ángulo entre los dos vectores. La expansión mantiene r > r'. Esta expresión esta usada, por ejemplo, para obtener el potencial de una carga puntual, que
se siente en un punto mientras la carga está localizada en el punto . La expansión usando polinomios de Legendre puede ser útil para integrar esta expresión sobre una carga continua distribuida.
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Los polinomios de Legendre aparecen en la solución de una Ecuación de
Laplace de un potencial, , en una región del espacio de carga libre, usando el método de separación de variables, donde las condiciones limite
tienen simetría axial (no depende del ángulo azimuthal). Donde es el eje de
simetría y θ es el ángulo entre la posición del observador y el eje , la solución del potencial podría ser
y Están determinados de acuerdo con las condiciones limite de cada problema.
3. Halle los primeros cinco términos del desarrollo en series de Taylor alrededor de x=0 de la solución y(X) del siguiente problema de valor inicial
; Suponemos que la solución y(x) del problema es analítica en 0 entonces y(x) tiene un desarrollo en serie de Taylor centrado en 0
Los dos primeros valores de los términos de la serie son conocidos pues establecen las condiciones iníciales dadas.
y’’=1 y’=1 Entonces
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4. Investigue una aplicación de las series de Taylor y realice un ensayo o resumen del mismo.
Serie de Taylor
En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos
similares fueron dados por Madhava of sangamagrama. A pesar de que hoy en
día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de
matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos
especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones
trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente.
En el siglo XVII, James Gregory también trabajo en esta área y publico varias
series de Maclaurin. Pero recién en 1715 se presento una forma general para
construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue
presentado por Brook Taylor, de quien recibe su nombre.
Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Collin Maclaurin, un profesor
de Edimburgo, quien publico el caso especial de las series de Taylor en siglo
XVIII.
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La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es
infinitamente diferenciales en un entorno de números reales o complejos a, es
la serie de potencias:
Que pude ser escrito de una manera más compacta como:
Donde n! es el factorial de n y denota la n-èsima derivada de la f en el
punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y y son ambos
definidos como uno.
Ejercicio de Taylor aplicado a la Ingeniería Eléctrica
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Buen número de las funciones que se conocen son desarrollables por medio de una serie de potencias, aquellas funciones que son desarrollables se llaman analíticas. Existen dos formas para desarrollar una función f(x):
La serie de Maclaurin donde
La serie de Taylor
donde Una aplicación práctica Las calculadoras tienen programadas las funciones trascendentes mediante series de potencias truncadas. Así, por ejemplo para determinar sen(0:1) la calculadora ejecuta:
Cuando se desea resolver una ED lo que se busca es determinar la función o más bien la fórmula de la función que satisface la ED. La estrategia que seguiremos ahora es la de determinar la serie que al ser sustituida en la ED la satisface.
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CONCLUSION
Una serie de potencias alrededor de x=0 en una serie de la forma:
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:
En el cual es a, y los coeficientes son constantes.
No todas las ecuaciones diferenciales se pueden desarrollar por
medio de los métodos tradicionales que se han mencionado en
las lecciones anteriores, por lo tanto es necesario recurrir a las
series y en especial a las series de potencias.
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BIBLIOGRAFIA
Para la realización del presente trabajo, se tuvo en cuenta las siguientes
fuentes documentales:
Módulo Ecuaciones Diferenciales, autor CARLOS IVAN BUCHELI
Universidad nacional abierta y a distancia – UNAD escuela de
ciencias básicas, tecnología e ingeniería unidad de ciencias
básicas 2009
Enlaces web:
WIKIPEDIA Calculo (23 jun. 2010). Extraído el 5 de Julio de 2010 desde
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
WORDLINGO Series de Taylor, www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Taylor_series
http://ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-ii/material-de-clase-1/cap7.pdf