Universidad Nacional de ColombiaEjercicios clculo en varias variables

1. Muestre que los vectores !v = 3!i +6!j y !w =!i 2!j tienen direcciones opuestas.

2. Considere los puntos A(1;1; 2); B(2; 0;1)y C(0; 2; 1): Halle un vector perpendicularal plano determinado por los puntos A;B yC:Adems, determine el rea del tringulo convrtices en los puntos A;B y C:

3. Encuentre las ecuaciones paramtricas de larecta que pasa por los puntos (1; 3; 2) y(3; 1; 4):

4. Escriba las ecuaciones de la recta que pasa porel punto (2; 4; 5) y es perpendicular al plano 3x+7y 5z = 21:

5. Determine la ecuacin del plano que pasa porlos puntos (2; 4; 5); (1; 5; 7) y (1; 6; 8):

6. Halle la ecuacin del plano que pasa por el ori-gen y contiene la recta

x 12

=y + 1

3=z

4:

7. Determine el plano que pasa por el punto(2; 1;1) y es perpendicular a la recta de in-terseccin de los planos 2x + y z = 3 yx+ 2y + z = 2:

8. Calcule la distancia entre el punto (1; 1; 1) y elplano 2x 3y + 7z = 11:

9. Encuentre el ngulo entre los planos 5x+yz =10 y x 2y + 3 = 1:

10. Pruebe que las rectas

x+ 1

3= y 6 = z 3

2x 62

=y 112

=z 31

se intersectan en un punto. Halle la ecuacindel plano determinado por estas dos rectas.

11. Halle el volumen del tetraedro cuyos vrticesson los puntos son (1; 0; 3); (2; 1; 1); (1; 1; 2) y(3; 4; 1):

12. Determine una recta en el plano determinadopor los puntos (0; 0; 0); (2; 2; 0) y (0; 1;2) quesea perpendicular a la recta

x+ 1

3=y 12

= 2z:

13. Verique que los planos 2x + y z = 4 y 4x +2y 2z = 5 son paralelos y halle la distanciaentre ellos.

14. En la siguiente tabla aparecen puntos en co-ordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas.Hllese las coordenadas de cada punto en losotros sistemas y complete la tabla.

(x;y; z) (r;; z) (;;)(2; 3;1) p

2; 2;2

2p2; 3

2; 2

(1; 0; 3) p

3;2; 3

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