SERIES DE POTENCIAS

David Felipe Orjuela Hurtado - Cdigo 02244927

1 de junio de 2011

1.

x0

Ln(1 + t)dt

Rta/:

Partiendo de la serie

1

1 + x

1

1 (x) =n=0

(1)n(x)n = 1 x + x2 x3 + ...

Se puede integrar a ambos lados para obtener la serie Ln(1 + x)

1

1 + xdx =

n=0

(1)n(x)ndx =

1dx

xdx +

x2dx

x3dx + ...

Ln(1 + x) + C1 =n=0

(1)n x(n+1)

(n + 1)= x x

2

2+x3

3 x

4

4+ ...

Al reemplazar x = 0 a ambos lados de la ecuacin se tiene que

Ln(1) + C1 =n=0

(1)n 0(n+1)

(n + 1) C1 = 0

Conociendo el valor de la primera constante generada en la primera integracin se puede

integrar a ambos lados para obtener la serie de la integral buscada en el ejercicio

1

Ln(1 + x)dx =

n=0

(1)n x

(n+1)

(n + 1)dx =

xdx

x2

2dx+

x3

3dx

x4

4dx+ ...

(1 + x)Ln(1 + x) x + C2 =n=0

(1)n x(n+2)

(n + 1)(n + 2)=x2

2 x

3

6+x4

12 x

5

20+ ...

Igualmente si se reemplaza en la ecuacin x = 0

Ln(1) + C2 =n=0

(1)n 0(n+2)

(n + 1)(n + 2) C2 = 0

Para averiguar el radio de convergencia se halla el lmite mediante el criterio del cociente

absoluto

lmn

(1)n+1(x)n+3(n + 3)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(1)n(x)n+2 = lmn

x(n + 1)(n + 3) |x| < 1 x (1, 1)

Sin embargo es necesario comprobar la convergencia en cada uno de los extremos del radio

de convergencia; cuando x = 1n=0

(1)2n+2(n + 1)(n + 2)

n=0

(1)2n 1(n + 1)(n + 2)

n=0

1n

n2 + 3n + 2

Usando el criterio de comparacin de series con Sn = 1

n2

n=0

1n

n2 + 3n + 2