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Superficies abstractas
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Bolas
La n-bola:
Dn = Bn = {x ∈ Rn : |x| ≤ 1}
La n-bola abierta:
◦Dn =
◦Bn = {x ∈ Rn : |x| < 1}
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homeomorfismos
Definicion. X, Y espacios; h : X → Y funcion.
La funcion h se llama homeomorfismo si y solo si h escontinua, biyectiva y h−1 es continua.
Se escribe X ∼= Y .
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homeomorfismos
Definicion. X, Y espacios; h : X → Y funcion.
La funcion h se llama homeomorfismo si y solo si h escontinua, biyectiva y h−1 es continua.
Se escribe X ∼= Y .
Se considera (de momento) que dos espacios homeomorfosson identicos.
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homeomorfismos
(Los espacios que nos interesan estan hechos de la mismasustancia que Rn)
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homeomorfismos
(Los espacios que nos interesan estan hechos de la mismasustancia que Rn)
“Rn es un material muy elastico.”
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ejemplo
Sea ε > 0.
B(0, 1)→ B(0, ε)
w 7→ ε · wz
ε←[ z
Luego
B(0, 1) ∼= B(0, ε)
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Lema. Sean x, y ∈◦Bn, x 6= y. Entonces existe un
homeomorfismo h : Bn→ Bn tal queh(x) = y y h|∂Bn = 1Bn.
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Lema. Sean x, y ∈◦Bn, x 6= y. Entonces existe un
homeomorfismo h : Bn→ Bn tal queh(x) = y y h|∂Bn = 1Bn.
Dem. Tenemos
ϕ :◦Bn→ Rn;w 7→ w
1− |w|,
con inversa
ϕ−1 : Rn→◦Bn; z 7→ z
1 + |z|.
Luego ϕ es un homeomorfismo.
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En Rn tenemos la traslacion
T (v) = v − ϕ(x) + ϕ(y)
con inversaT−1(u) = u+ ϕ(x)− ϕ(y)
Luego T tambien es un homeomorfismo y
T (ϕ(x)) = ϕ(y).
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Luego si h = ϕ−1 ◦ T ◦ ϕ,
h :◦Bn→
◦Bn
es un homeomorfismo tal que h(x) = y.
◦Bn h−→
◦Bn
ϕ
y yϕ
Rn −→T
Rn
Pero queremos h : Bn→ Bn.
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Para z ∈ ∂Bn, definimos h(z) = z
(o sea, forzamos h|∂Bn = 1 .)
Falta demostrar que h es continua:
P. D. lim|w|→1
h(w) = w. O sea:
P. D. lim|w|→1
w1−|w| − ϕ(x) + ϕ(y)
1 +∣∣∣ w1−|w| − ϕ(x) + ϕ(y)
∣∣∣ = w.
�
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Ejemplo
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~
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Superficies
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Superficies
Una superficie es un espacio X tal que X es de Hausdorffy cada punto de X tiene una vecindad homeomorfa a B2.
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Ejemplos
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![Page 44: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/44.jpg)
![Page 45: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/45.jpg)
![Page 46: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/46.jpg)
![Page 47: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/47.jpg)
![Page 48: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/48.jpg)
![Page 49: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/49.jpg)
Superficies
Una superficie es un espacio X tal que X es de Hausdorffy cada punto de X tiene una vecindad homeomorfa a B2.
(Solo nos interesan las superficies conexas)
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Si X es una superficie, entonces
int(X) =◦X = {a ∈ X|∃U ∈ Na, U ∼=
◦B2}
es el interior de X.
∂X = X − int(X)
es la frontera de X.
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![Page 52: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/52.jpg)
Una superficie X se dice que es no orientable, si Xcontiene una cinta de Mobius.
Se dice que X es orientable, si X no es no orientable.
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Una superficie X se dice que es no orientable, si Xcontiene una cinta de Mobius.
Se dice que X es orientable, si X no es no orientable.
(cosas de matematicos)
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Una superficie X se dice que es cerrada si es compactay tiene frontera vacıa.
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Las Superficies cerradas y orientables (y conexas)
, , , ...
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Las Superficies cerradas y no orientables (y conexas)
P 2, P 2#P 2, P 2#P 2#P 2, . . .
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Las Superficies compactas con frontera:
, ..., ,
,
![Page 58: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/58.jpg)
Las Superficies compactas con frontera:
, ..., ,
,
, ...
,, ,
![Page 59: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/59.jpg)
Las Superficies compactas con frontera:
, ..., ,
![Page 60: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/60.jpg)
Las Superficies compactas con frontera:
, ..., ,
, ..., ,
![Page 61: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/61.jpg)
, ..., ,
, ..., ,
,,
, ...
![Page 62: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/62.jpg)
![Page 63: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/63.jpg)
![Page 64: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/64.jpg)
![Page 65: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/65.jpg)
2 2 2 2
n n
1 2 3 g
= n > 0
times
< 0n=
timesn n
b b b b
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P2
![Page 67: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/67.jpg)
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(P#P)2 2
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Detengamonos un momento.
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![Page 71: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/71.jpg)
¿Donde quedo
?
![Page 72: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/72.jpg)
¡Aaah!
![Page 73: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/73.jpg)
![Page 74: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/74.jpg)
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![Page 82: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/82.jpg)
![Page 83: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/83.jpg)
![Page 84: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/84.jpg)
![Page 85: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/85.jpg)
“Explicacion”
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![Page 89: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/89.jpg)
![Page 90: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/90.jpg)
![Page 91: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/91.jpg)
![Page 92: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/92.jpg)
![Page 93: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/93.jpg)
Algo esta bien
![Page 94: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/94.jpg)
Algo esta bien
¿Por que?
![Page 95: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/95.jpg)
Conjuntos
![Page 96: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/96.jpg)
Sea ∼ una relacion de equivalencia en X.
Escribimos[a] = {y ∈ X|a ∼ y}
X
∼= {[a]|a ∈ X}
p : X → X
∼a 7→ [a]
![Page 97: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/97.jpg)
Si X es un espacio, le damos al cociente X/ ∼ la topologıamas grande que hace continua a la proyeccion canonicap : X → X/ ∼.
(o sea, U ⊂ X
∼es abierto⇔ p−1(U) ⊂ X es abierto)
![Page 98: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/98.jpg)
Propiedad Universal de los Cocientes.
~
E
f_
!
X Zf
p
X
Para todo espacio Z y toda funcion continua f : X → Z, si
(∀a, b ∈ X, p(a) = p(b)⇒ f(a) = f(b)) ,
entonces existe una unica funcion continua f :X
∼→ Z tal que f ◦p = f.
![Page 99: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/99.jpg)
En particular,
si R1 y R2 son relaciones de equivalencia en X conproyecciones canonicas p : X → X/R1 y q : X → X/R2
y se puede probar que
(∀a, b ∈ X, p(a) = p(b)⇔ q(a) = q(b)) ,
entonces la unica funcion continua que existe
q : X/R1→ X/R2
tal que q ◦ p = q, es un homeomorfismo.
![Page 100: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/100.jpg)
![Page 101: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/101.jpg)
Las superficies con frontera son discos con bandas
![Page 102: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/102.jpg)
2 2 2 21 2 3 g
, ..., , ,
, ..., ,b b b b
![Page 103: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/103.jpg)
Las superficies con frontera son discos con bandas
![Page 104: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/104.jpg)
Las superficies con frontera son discos con bandas
Para reconocer una superficie, podemos cortarla y...
![Page 105: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/105.jpg)
Las superficies con frontera son discos con bandas
Para reconocer una superficie, podemos cortarla y...
¡No!
Alguien ya sistematizo este proceso y
todo puede ser mas Facil
(Sı)
![Page 106: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/106.jpg)
Def. A, B espacios, A ⊂ B.
Decimos que A desconecta a B, si B −A es disconexo.
![Page 107: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/107.jpg)
Sea X una superficie compacta con frontera.
Decimos que X es 1-conexa si todo arco propiamenteencajado en X...
¿...?
![Page 108: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/108.jpg)
Sea X una superficie compacta con frontera.
Un arco α ⊂ X se dice que esta propiamente encajadosi ∂α ⊂ ∂X y ◦
α ⊂◦X.
![Page 109: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/109.jpg)
Sea X una superficie compacta con frontera.
Decimos que X es 1-conexa si todo arco propiamenteencajado en X desconecta a X.
![Page 110: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/110.jpg)
Ejemplo
(se puede ver que la unica superficie conexa, compactay 1-conexa es el disco D2)
![Page 111: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/111.jpg)
Sea X una superficie compacta con frontera.
Decimos que X es 2-conexa si X no es 1-conexa y todopar de arcos propiamente encajados en X desconecta a X.
![Page 112: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/112.jpg)
Ejemplo
![Page 113: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/113.jpg)
Sea X una superficie compacta con frontera.
Decimos que X es n–conexasi X no es (n − 1)–conexa y toda n–ada de arcospropiamente encajados en X desconecta a X.
![Page 114: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/114.jpg)
2 2 2 21 2 3 g
, ..., , ,
, ..., ,b b b b
![Page 115: Superficies abstractasescuelanudos2013/files/Victor1.pdfSea Xuna superficie compacta con frontera. Decimos que Xes1-conexa si todo arco propiamente encajado en Xdesconecta a X. Ejemplo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022070223/61433bdaf4b63467dd719ea5/html5/thumbnails/115.jpg)
Observacion:
Sean X y Y superficies compactas, conexas y confrontera.
Si X ∼= Y ,
entonces
• |∂X| = |∂Y |.• X y Y son ambas orientables o ambas son no
orientables.• X es n-conexa⇔ Y es n-conexa.
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Teorema de Clasificacion de las Superficies
Sean X y Y superficies compactas, conexas y confrontera.
X ∼= Y
⇔
• |∂X| = |∂Y |.
• X y Y son ambas orientables o ambas son noorientables.
• X es n-conexa⇔ Y es n-conexa.
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Nota
Se tiene el “invariante”:
χ(A) = numero de vertices − numero de aristas + numerode caras − · · ·
La caracterıstica de Euler del espacio A.
Teorema.
A ∼= B ⇒ χ(A) = χ(B). �
(por eso se llama un invariante)
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Nota
Ejemplos:χ(∅) = 0
χ(S1) = 0
χ(Bn) = 1
Lema Fundamental.
χ(A ∪B) = χ(A) + χ(B)− χ(A ∩B). �
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Nota
Sea X una superficie (n+ 1)–conexa.
Entonces X es un disco con n bandas,
X = D2 ∪B1 ∪ · · · ∪Bn.
χ(D2 ∪B1) = χ(D2) + χ(B1)− χ(D2 ∩B1) = 1 + 1− 2 = 0
χ(D2∪B1∪B2) = χ(D2∪B1)+χ(B2)−χ((D2∪B1)∩B2) =
0 + 1− 2 = −1
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χ(D2 ∪B1 ∪B2 ∪B3) =
χ(D2∪B1∪B2)+χ(B3)−χ((D2∪B1∪B2)∩B3) = −1+1−2 =
−2
...
χ(X) = 1− n.
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Teorema de Clasificacion de las Superficies
Sean X y Y superficies compactas, conexas y confrontera.
X ∼= Y
⇔
• |∂X| = |∂Y |.• X y Y son ambas orientables o ambas son no
orientables.• χ(X) = χ(Y ).
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Sea X una superficie (n + 1)-conexa (X compacta confrontera).
Entonces existe un sistema de arcos, α1, . . . , αn ⊂ X,propiamente encajados en X tales que X −α1∪ · · · ∪αn esun disco.