Tema 1. Introducción a las Señales en Tiempo Contínuo y Discreto
1 Prof. Raquel Frías Análisis de Señales
6. Señales Discretas
7. Operaciones sobre Señales Discretas
Suma de Señales Producto de Señales Escalamiento en Tiempo Escalamiento en Magnitud Transposición ó Reflexión
8. Señales Singulares
Función Escalón Unitario Función Pulso Rectangular Función Rampa Función Signo Función Impulso
Indice:
Tema 1. Introducción a las Señales en Tiempo Contínuo y Discreto
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6. Señales Discretas
Son señales que están definidas para un intervalo de valores discretos de su variable
independiente, se usa "n“ (entero) para denotar la variable de tiempo discreto.
Representación Gráfica
Señal Discreta x[n]
Ejemplo:
f (n) = 2 n < -1 2 -n n ≥ -1
n
f (n)
1 2 3 4
0.5
1
2
1.5
-3 -2 -1 0 f (n) = 2, 2, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16
Como Secuencia Finita
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7. Operaciones sobre Señales Discretas
Suma de Señales
La suma de dos señales f1(n) y f2(n) es una señal f(n) cuyo valor en cualquier instante es
igual a la suma de los dos valores en ese instante de las dos señales.
Ejemplo: Sumar f1(n) con f2(n)
f1(n) = 3n para 0 ≤ n ≤ 5
f2(n) = n para 3 ≤ n ≤ 6
0 ≤ n ≤ 3 3n
f(n) = f1(n) + f2(n) 3 ≤ n ≤ 5 4n
5 ≤ n ≤ 6 n
1 2 3 4 5 6 7
6
3
f2 (n)
n
1 2 3 4 5 6 7
9 6
3
15
12
f1 (n)
n
1 2 3 4 5 6 7
9 6
3
18
15
12
21
n
f (n)
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Producto de Señales
El producto de dos señales f1(n) y f2(n) es una señal f(n) cuyo valor en cualquier
instante es igual a el producto de los dos valores en ese instante de las dos señales.
Ejemplo: Realizar el producto de f1(n) con f2(n)
f1(n) = 3n para 0 ≤ n ≤ 5
f2(n) = n para 3 ≤ n ≤ 6
0 ≤ n ≤ 3 0
f(n) = f1(n) . f2(n) 3 ≤ n ≤ 5 3n2
5 ≤ n ≤ 6 0
1 2 3 4 5 6 7
9 6
3
15
12
f1 (n)
n
1 2 3 4 5 6 7
6
3
f2 (n)
n
1 2 3 4 5 6 7 n
30 20
10
60
50
40
70 f (n)
7. Operaciones sobre Señales Discretas
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Desplazamiento de una Señal
Equivale físicamente a adelantar o atrasar la señal, gráficamente equivale a desplazar
la señal hacia la izquierda (adelanto) o hacia la derecha (atraso).
En la práctica se pueden presentar dos casos:
x2(n) = x1(n n0) X1(n)
n0
X2(n) Desplazamiento
n0 < 0 : Retardo.
n0 > 0 : Adelanto.
Ejemplo: Desplazar x1 (n) para n0 = 3 y n0 = 2 en retardo y adelanto
x1 (n)
X1(n)
n
x2 (n) = x1 (n - 3)
X2(n)
n
x2 (n) = x1 (n + 2)
X2(n)
n
7. Operaciones sobre Señales Discretas
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Escalamiento de la variable independiente (n)
Consiste en un escalamiento lineal de la variable independiente. Gráficamente
equivale a expandir o contraer la señal.
En la práctica se pueden presentar dos casos:
x2(n) = x1(αn) α > 1 : Contraer
0 <α < 1 : Expandir
Ejemplo: Expandir y Contraer x1 (n) por un factor de 2
n
X2(n)
x2 (n) = x1 (2n) Contraída por un factor de 2
X2 (n)
n
x2 (n) = x1 (n/2) Expandida por un factor de 2
x1 (n)
X1 (n)
n
7. Operaciones sobre Señales Discretas
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Escalamiento en Magnitud
Equivale a multiplicar la señal por una constante real.
En la práctica se pueden presentar cuatro casos:
x2(n) = A x1(n)
Ejemplo: Escalar en Magnitud x1 (n) para A = 2
A > 1 : Amplificador A < 1 : Atenuador A = 1 : Aislador A = -1 : Inversor
x1 (n)
n
X1(n)
1
2
1 2 3 4 5 -1 -2 0
x2 (n) = 2 x1 (n) Amplificada por un factor de 2
n
X2(n)
1
2
3
4
1 2 3 4 5 -1 -2 0
7. Operaciones sobre Señales Discretas
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Transposición ó Reflexión
Se consigue mediante un cambio de signo en la variable independiente.
Gráficamente equivale a una reflexión sobre el eje vertical (n = 0)
En la práctica se pueden presentar como:
x2(n) = x1(-n)
Ejemplo: Hallar la transpuesta de x1 (n).
x1 (n)
0 2 4 n -4 -2
X1(n)
4
-6 6
x2 (n) = x1(-n)
0 2 4 n -4 -2
X2(n)
4
-6 6
7. Operaciones sobre Señales Discretas
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Señales con formas matemáticas simples, no son finitas, son útiles en el análisis de
sistemas físicos.
8. Señales Singulares
Función Escalón Unitario (u(t)/u(n)).
Continua t ≥ 0 1 u(t) = t < 0 0
0 1 2 t -2 -1
u(t)
1
-3 3
Discreta
-4 -3 -2 -1 0 n
u(n)
1
1 2 3 4
n ≥ 0 1 u(n) = n < 0 0
Esta función será igual a uno cuando el argumento de la función sea mayor o igual
que cero, y valdrá cero cuando el argumento sea menor que cero. Por esta razón se
le conoce como escalón unitario, dado que su amplitud cambia abruptamente de
cero a la unidad.
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Función Escalón Unitario
Operaciones sobre la función Escalón Unitario
Sobre las funciones singulares se pueden realizar ciertas operaciones matemáticas,
en el caso de la función escalón podemos efectuar desplazamiento, transposición y
escalamiento en amplitud.
x (t) = k u(t)
x (t) = k u(t) k t ≥ 0
0 t < 0
Escalamiento en Amplitud
Desplazamiento en Tiempo
x t a u t asi t a
si t a( ) ( )
1
0
x(t a) = u(t a)
x (t)
t
k
x (t)
t
1
-a
a > 0
a
x (t)
1
t
a > 0
8. Señales Singulares
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Función Pulso Rectangular
0 b t a
rect (t)
1
Continua
Discreta
n ≤ N/2 1 rect(n/N) =
n > N/2 0 -N/2 0 n
rect (n/N)
1
N/2
La función pulso rectangular puede ser descompuesta como la diferencia de dos
funciones escalón f1(t) y f2(t) de amplitud “A” desplazados en t = a y t = b.
donde a ≥ 0 , b ≥ 0 y a < b . f t A u t a u t b( ) . [ ( ) ( )]
1 rect(t) =
0
a ≤ t ≤ b
a > t ^ t > b
8. Señales Singulares
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Función Rampa
Continua
Discreta
t ≥ 0 kt rk(t) = t < 0 0
n ≥ 0 n r(n) = n < 0 0
0 1 2 t -2 -1
rk(t)
k
-3 3
-4 -3 -2 -1 0 n
r(n)
1
1 2 3
2 3
Esta función es una recta que comienza en el origen que tiene una pendiente k y es
cero para todos los valores de tiempo negativos. Por esta razón la función rampa
puede ser expresada en función de la función escalón unitario de la siguiente
manera: R t k t u tk ( ) . . ( )
8. Señales Singulares
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Función Rampa
Operaciones sobre la función Rampa
Sobre las funciones singulares rampa podemos efectuar desplazamiento, transposición entre otras.
Desplazamiento en Tiempo R t a k t a u t ak ( ) .( ). ( )
a > 0
Transposición R t a k t a u t ak ( ) .( ). ( )
a > 0
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Función Signo
Continua
Discreta
0 1 2 t -2 -1
Sgn(t)
1
-3 3
-1
( )
-4 -3 -2 -1
0 n
u(n)
1
1 2 3 4
-1
( )
sgn(t) = 2 u(t) - 1
8. Señales Singulares
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Función Impulso
Esta función Impulso está definida matemáticamente mediante la integral:
Representación Gráfica
Puede ser definida como una función pulso, la cual tiene una amplitud infinitamente
grande y un ancho infinitamente pequeño y cuya área es finita e igual a la unidad. La
función impulso también es conocida como función delta.
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Función Impulso
La función impulso es factible de ser desplazada en el eje horizontal, así como
también escalada en magnitud, el procedimiento es similar al procedimiento ya
descrito para las funciones anteriores.
Propiedades
kδ (t) kδ (t+a) kδ (t-a)
Propiedad de Muestreo:
para cualquier x(t) continua en t = t0 , con t0 finito
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Función Impulso
f(t) continua en t = t0 , con t0 finito
Propiedad de Desplazamiento:
Propiedad de Escalamiento:
( ).t t dta
b
0 1 a < t0 < b
d
dtt d
d
dtu t t
t
( ). ( )0 0
Derivada:
Cambiando los limites de la integral tenemos:
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