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7/23/2019 Solucionario u1 s1 Antiderivada
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CURSO: CÁLCULO II
Tema :
Docentes:
SOLUCIONARIO
En los siguientes ejercicios, halle las integrales dadas
1) ∫ dx
x
3
3
Solución:
C x
C x
dx xdx x
+=+⋅== ∫ ∫ 1243
1
3
1
3
443
3
2) ( )33 2 5 x x dx+ +∫
Solución:
( )3 3 33 2 5 3 2 5 3 2 5 x x dx x dx xdx dx x dx xdx dx+ + = + + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
4 24 23
3 2 5 54 2 4
x x x C x x x C
= + + + = + + + ÷ ÷ ÷ ÷
3) ( )2 4 2 y y dy+ +∫
Solución:
( )3 4
2 4 2 42 2 23 4
y y y y dy y dy y dx dy y C + + = + + = + + +∫ ∫ ∫ ∫
4) ∫ dy y 31
Solución:
C y
C y
dy ydy y
+−=+−
==−
−∫ ∫ 2
23
3 2
1
2
1
5)
2 3 2
2
x xdx
x
+ + ÷ ÷+
∫
Solución:
( ) ( ) ( )2
2 13 2 12 2
x x x x dx dx x dx x x
+ ++ + = = + ÷ ÷+ + ∫ ∫ ∫
Antiderivada - Integral Indefinida
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2
2
x xdx dx x C = + = + +∫ ∫
6)
( )23 5 2 x x dx+ +∫ Solución:
( )2 23 5 2 3 5 2 x x dx x dx xdx dx+ + = + +∫ ∫ ∫ ∫ 3 3/2
2 1/23 5 2 3 5 23 3 / 2
x x x dx x dx dx x C
= + + = + + + ÷ ÷ ÷ ÷
∫ ∫ ∫
3 3/22 52
3 x x x C = + + +
)
45 t e dt
t
+ ÷ ∫ Solución:
4 4 15 5 4 5 4ln 5t t t t e dt dt e dt dt e dt t e C
t t t
+ = + = + = + + ÷ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
!)
/ 21 5
3
xe dx x x
− − + ÷
∫ Solución:
/2 /2
1/2
1 5 1 1 15
3 3
x xe dx dx dx e dx
x x x x
− − − + = − + ÷
∫ ∫ ∫ ∫ 1/2
1/2 /2 /21 1 1ln 5 ln 5 23 1 / 2 3 1 / 2
x x x x x dx e x e− − − = − + = − − ÷ ÷− ∫ +"
1/2 /21ln 1# 2
3
x x x e−= − −$"
%) ( )∫ + dye y 2
1
Solución:
( ) C yee
dydyedyedyee y y
y y y y +++=++=++ ∫ ∫ ∫ ∫ 22
2122
22
1#)
3
2sin3
xe x dx
+ ÷ ÷
∫
Solución:3 3
312sin 2sin 2 sin
3 3 3
x x xe e
x dx dx xdx e dx xdx
+ = + = + ÷ ÷
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
331 1
2cos 2 cos3 3 %
x xe
x C e x C
= − + = − + ÷ ÷
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11) ( )# #&13 4t t e e dt − − +∫
Solución:
( ) ( )
# #&13 #&15 # #&15 # 4 4t t t t t t e e dt e e dt e dt e dt − − − − − −+ = + = +
∫ ∫ ∫ ∫
#&15 ## #&152#
4 4#&15 3 #
t t t t e e
e dt e C − −
− −= + = − + +− −∫
#&15 ##
2##3
t t e e C − −= − − +
12) ( )2tan 3cos x x dx−∫ Solución:
( ) ( )2 2 2tan 3cos tan 3cos sec 1 3cos x x dx xdx xdx x dx xdx− = − = − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2sec 3 cos tan 3sin xdx dx xdx x x x C = − − = − − +
∫ ∫ ∫ 13)
( )2
2sin 2 x dx x
+ ÷ ∫ Solución:
( ) ( ) ( )2 2 1
2sin 2 2sin 2 2 2 sin 2 x dx dx x dx dx x dx x x x
+ = − = − ÷ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
cos'2 )2ln 2 2ln cos'2 )
2
x x C x x C = + + = + +
14)
23 2 3 z z dz
z
+ + ÷ ÷
∫
Solución:2 23 2 3 3 2 3 3
3 2 z z z z
dz dz z dz z z z z z
+ + = + + = + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ∫ ∫ ∫
3 13 2 3 2 3 zdz dz dz zdz dz dz
z z = + + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
23
2 3ln2
z z z C = + + +
15) ( )
1/2 2 2t t t dt − − +
∫ Solución:
( ) ( )1/2 2 3/ 2 1/2 1/2 3/ 2 1/ 2 1/22 2 2t t t dt t t t dt t dt t dt t dt − − −− + = − + = − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
5/2 3/2 1/21/2 5/2 3/22 2
2 25 / 2 3 / 2 5 3 1 / 2
t t t t dt t t C −= − + = − + +∫
5/2 3/2 1/22 2
45 3
t t t C = − + +
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16)( )3 2 1
2 5 x x dx x
− − ÷ ∫
Solución:
( ) ( ) ( )3 2 2 3 2 3 212 5 5 2 1# 5 11 2 x x dx x x x x dx x x x dx
x
− − = − − + = − + − ÷ ∫ ∫ ∫
3 2 3 25 11 2 5 11 2 x dx x dx xdx x dx x dx xdx= − + − = − + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 3 25 11
4 3 x x x C
−= + − +
1)
3 12
2 x
x
− + ÷
∫
Solución:3 3/2
1/2
1 12 2
2 2 x dx x dx
x x
− + = − + ÷ ÷
∫ ∫ 5/2
3/2 1/2 1/21 12 2
2 5 / 2 2
x x dx x dx dx x dx dx− −= − + = − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1/25/2 5/2 1/22 2 2 4
2 25 3 1 / 2 5 3
x x x C x x x C
= − + + = − + + ÷ ÷
(esuelve los siguientes ro*le+as
1) I(E./ 0A(IA& El ingreso +arginal derivado de la roduccin de q unidades de
cierto artculo es2 ' ) 4 1&2 R q q q= − dlares or unidad& .i el ingreso derivado de la
roduccin de 2# unidades es de 3####, cu7l ser7 el ingreso eserado or la roduccinde 4# unidades8Solución:
(ecuerde 9ue el ingreso +arginal es la derivada de la funcin del ingreso ' ) R q & Entonces,24 1&2
dRq q
dq= −
: or tanto, ' ) R q de*e ser la antiderivada de
dR
dq
, as2 3 2 3 21&2 4
' ) ' 1&2 4 ) #&4 23 2
dR R q q q dq q q C q q C
dq= = − + = − + + = − + +∫ ∫
ara alguna constante C &
El valor de C se deter+ina or el hecho de 9ue '2#) 3#### R = & En articular,3#### '2#) R=
( ) ( )3 2
3#### #&4 2# 2 2# C = − + +324##C ⇒ =
;e a9u, el ingreso total es3 2
' ) #&4 2 324## R q q q= − + +: el ingreso or la roduccin de 4# unidades es
( ) ( )3 2
'4#) #&4 4# 2 4# 324## 1#### R = − + + =
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2) "/.</ 0A(IA& =n fa*ricante esti+a 9ue el costo +arginal or roducir q unidades
de cierto *ien es 2' ) 3 24 4!C q q q= − + dlares or unidad& .i el costo de roduccin de 1#unidades es de 5###, cu7l es el costo de roduccin de 3# unidades8Solución:
(ecuerde 9ue el costo +arginal es la derivada de la funcin del costo total ' )C q & Entonces,23 24 4!
dC q q
dq= − +
: or tanto, ' )C q de*e ser la antiderivada de
dC
dq , as2 3 224
' ) '3 24 4!) 4!2
dC C q q q dq q q q k
dq= = − + = − + +
∫ ∫
3 212 4!q q q k = − + +
ara alguna constante k & 'a letra k se e+le ara denotar la constante a fin de evitar confusin con la funcin del costo C )
El valor de k se deter+ina or el hecho de 9ue '1#) 5###C = & En articular,5### '1#)C =
( ) ( ) ( )3 2
5### 1# 12 1# 4! 1# k = − + +42#k ⇒ =
;e a9u, la funcin del costo total es3 2' ) 12 4! 42#C q q q q= − + +
: el costo de roduccin de 3# unidades es
( ) ( ) ( )3 2
'3#) 3# 12 3# 4! 3# 42# 2236#C = − + + =
3) =<II;A; 0A(IA& =n fa*ricante esti+a 9ue el ingreso +arginal ser71/2 ' ) 2## R q q−= dlares or unidad cuando el nivel de roduccin sea de q unidades& .e ha
deter+inado 9ue el costo +arginal corresondiente es de #&4q dlares or unidad& .uonga9ue la utilidad del fa*ricante es 2### cuando en nivel de roduccin es de 25 unidades&
"u7l es la utilidad del fa*ricante cuando el nivel de roduccin sea de 36 unidades8Solución:
(ecuerde 9ueutilidad +arginal ingreso +arginal costo +arginal= −
As, si' ) utilidad +arginal P q ≡' ) ingreso +arginal R q ≡' ) costo +arginalC q ≡
Entonces1/2' ) ' ) ' ) 2## #&4 P q R q C q q q−= − = −
>or otro lado, recuerde 9ue la utilidad +arginal es la derivada de la funcin utilidad' ) P x
&Entonces,
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1/22## #&4dP
q qdq
−= −
: or tanto, ' ) P q de*e ser la antiderivada dedP dq , as
( )1/2 2
1/2' ) 2## #&4 2## #&41 / 2 2
dP q q P q q q dq k
dq
− = = − = − + ÷ ÷ ÷ ÷
∫ ∫
1/2 24## #&2q q k = − +
ara alguna constante k &
El valor de k se deter+ina or el hecho de 9ue '25) 2### P = & As,2### '25) P =
( ) ( )1/2 2
2### 4## 25 #&2 25 k = − +125k ⇒ =
;e a9u, la funcin utilidad es1/2 2' ) 4## #&2 125 P x q q= − +
: la utilidad cuando el nivel de roduccin sea de 36 unidades es
( ) ( )1/2 2
'36) 4## 36 #&2 36 125
2265&!
P = − +
=
4) "(E"I0IE</ ;E = A(?/& =n ecologista encuentra 9ue cierto tio de 7r*ol crece de
tal for+a 9ue su altura ' )h t desu@s de t aos ca+*ia a una raBn de2/3 ' ) #&2 ies/aAoh t t t = +
.i cuando se lant el 7r*ol @ste tena una altura de 2 ies, cu7l ser7 su altura dentro de 2aos8Solución:
a altura ' )h t de un 7r*ol en cual9uier tie+o t , se encuentra antiderivando
dh
dt co+o se+uestra a continuacinC
5/3 3/ 22/ 3' ) '#&2 ) #&2
5 / 3 3 / 2
dh t t h t dt t t dt C
dt
= = + = + + ÷ ÷ ÷ ÷
∫ ∫
5/3 3/22#&12
3t t C = + +
"o+o la altura del 7r*ol es 2h = cuando #t = , se tiene 9ue2 '#)h=
( ) ( )5/3 3/22
2 #&12 # #3
C = + +
2C ⇒ =;e a9u,
5/3 3/22' ) #&12 2
3h t t t = + +
: la altura del 7r*ol dentro de 2 aos es( ) ( )
5/3 3/22'2) #&12 2 2 2 124&6%+
3h = + + =
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5) "(E"I0IE</ ;E A >/?A"ID& .e ha deter+inado 9ue la o*lacin ' ) P t de una
cierta colonia de *acterias, t horas desu@s de iniciar la o*servacin, tiene un raBn deca+*io
#&1 # ## 15#t t dP e e
dt
−= +
.i la o*lacin era de 2##### *acterias cuando inici la o*servacin, cu7l ser7 la o*lacin12 horas desu@s8Solución:
a o*lacin ' ) P t se encuentra antiderivando
dP
dt co+o se +uestra a continuacinC#&1 #' ) '2## 15# )t t dP
P t dt e e dt dt
−= = +∫ ∫
#&1 # ## 15#
#&1 #
t t e ec
−
= + +−
#&1 # ### 5###t t
e e c−= − +
"o+o la o*lacin es de 2##### cuando #t = , se tiene 9ue# #'#) 2##### 2### 5### P e e c= = − +
2##### 3### c⇒ = − +2#3###c⇒ =
As,#&1 #' ) 2### 5### 2#3###t t P t e e−= − +
Entonces, desu@s de 12 horas, la o*lacin es#&1'12) #'12)'12) 2### 5### 2#3###
2#6152
P e e−= − +≈
6) A>(E;IAFE& <on: to+a una rue*a de arendiBaje en la 9ue se registra el tie+o 9ue le
to+a +e+oriBar asectos de una lista dada& .ea ' ) M t el nG+ero de asectos 9ue uede
+e+oriBar en t +inutos& .u tasa de arendiBaje se deter+ina co+o2' ) #&4 #&##5 M t t t = −
a) "u7ntos asectos uede +e+oriBar <on: durante los ri+eros 1# +inutos8 *) "u7ntos asectos adicionales uede +e+oriBar durante los siguientes 1# +inutos 'del
tie+o 1#t = al 2#t = )8Solución:
El nG+ero de asectos ' ) M t 9ue uede +e+oriBar <on:, se encuentra antiderivando
dM
dt
co+o se +uestra a continuacinC3 2
2' ) ' #&##5 #&4 ) #&##5 #&4
3 2
dM t t M t dt t t dt C
dt
= = − + = − + + ÷ ÷
÷ ÷ ∫ ∫ 3 2#&##5
#&23
t t C = − + +
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"o+o ' ) M t es # cuando #t = 'ues al inicio de la rue*a aGn no ha +e+oriBada ningGn
asecto de la lista dada), se tiene 9ue# '#) M =
( ) ( )3 2#&##5
# # #&2 #3
C = − + +
#C ⇒ =As,
3 2#&##5' ) #&2
3 M t t t = − +
a) ;esu@s de los ri+eros 1# +inutos, el nG+ero de asectos 9ue ha +e+oriBado es
( ) ( )3 2#&##5
'1#) 1# #&2 1# 1!&333
M = − + ≈
*) El nG+ero de asectos adicionales 9ue uede +e+oriBar en los siguientes 1# +inutos esH '2#) '1#) M M M = −
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2#&##5 #&##52# #&2 2# 1# #&2 1#
3 3
= − + − − + ÷ ÷
66&66 1!&33 4!&33≈ − ≈
) ;E."/EA0IE</& =n troBo de carne se saca del refrigerador : se deja en el+ostrador ara 9ue se descongele& "uando se sac del congelador, la te+eratura de la
carne era de -4", : t horas +7s tarde se incre+enta*a a una tasa de#&35 o
' ) "/ht
T t e−
=a) ;eter+ine una fr+ula ara la te+eratura de la carne desu@s de t horas& *) "u7l es la te+eratura desu@s de 2 horas8c) .uonga 9ue la carne est7 descongelada cuando su te+eratura llega a 1#"& "u7nto
tie+o transcurre hasta 9ue se descongela la carne8
Solución:
a te+eratura ' )T t de la carne en cual9uier tie+o t , se encuentra antiderivando
dT
dt
co+o se +uestra a continuacinC
#&35 #&35
' ) ' ) #&35t t
dT T t dt e dt e C
dt − −= = = +−∫ ∫
#&352# t e C −= − +
"o+o la te+eratura de la carne eso4 "T = − cuando #t = , se tiene 9ue
4 '#)T − =( )#&35 #
4 2#e C −− = − +
16C ⇒ =As,a) a fr+ula ara la te+eratura de la carne es
#&35' ) 2# 16t T t e−= − +
*) a te+eratura de la carne desu@s de 2 horas es( )#&35 2
'2) 2# 16 6!T e C −= − + = °
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c) >ara encontrar el tie+o 9ue tiene 9ue transcurrir ara 9ue la carne se descongele,resolva+os la siguiente ecuacin
#&35' ) 2# 16 1#t T t e−= − + =#&352# 6t e−⇒ − = −
#&35 3
1#
t e−⇒ =
( )#&35 3ln ln
1#
t e− ⇒ = ÷
3
#&35 ln ln1#
t e ⇒ − = ÷
3#&35 ln1#
t ⇒ − = ÷
3ln
1#
#&35t
÷ ⇒ =
−3&43%%hrst ⇒ =