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Métodos Numéricos
Sergio Alejandro López Islas
A01270422
Dr. Ciro Flores
VECTORES, MATRICES Y ARREGLOS
En los ejercicios 1 a 3, resuelva el sistema triangular superior y halle el valor del determinante de la matriz de los coeficientes.
1.
2.
3.
4. (a) Consideremos las dos matrices triangulares superiores
3 x1−2 x2+x3−x4=8
4 x2−x3+2 x4=−3
2 x3+3 x4=11
5 x4=15
5 x1−3 x2−7x3+x4=−14
11 x2+9 x3+5 x4=22
3 x3−13 x4=−11
7 x4=14
x4=23x3−26=−11x3=511x2+45+10=22 x2=−35 x1+9−35+2=−14x1=2Determinante= (5) (11) (3) (7) = 1155
x4=32x3+9=11x3=14x2−1+6=−3 x2=−23 x1+4+1−3=8x1=2Determinante= (3) (4) (2) (5) = 120
4 x1−x2+2 x3+2 x4−x5=4
−2 x2+6 x3+2 x4+7 x5=0
x3−x4−2x5=3
−2 x4−x5=10
3 x5=6
x5=2-2x4-2=10x4=−6x3+6−4=3x3=1−2 x2+6−12+14=0 x2=44 x1−4+2−12−2=4x1=5Determinante= (4) (-2) (1) (-2) (3) = 48
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A=[a11 a12 a130 a22 a230 0 a33 ] Y B=[b11 b12 b13
0 b22 b230 0 b33]
Pruebe que su producto C=AB es también triangular superior.
C=[ a11∗b11+0∗0+0∗0 a11∗b12+a12∗b22+a13∗0 a11∗b13+a12∗b23+a13∗b330∗b11+0∗a22+0∗a23 0∗b12+a22∗b22+a23∗0 0∗b13+a22∗b23+a23∗b330∗b11+0∗0+a33∗0 0∗b12+0∗b22+a33∗0 0∗b13+0∗b23+a33∗b33 ]
= [a11b11 a11b12+a12b22 a11b13+a12b23+a13 b330 a22b22 a22b23+a23 b330 0 a33b33 ]
Dando como resultado una matriz triangular superior
5. Resuelva el sistema triangular inferior AX=B siguiente y calcule det(A).
6. Resuelva el sistema triangular inferior AX=B siguiente y calcule det(A).
En los ejercicios 1 a 3, resolviendo con el programa backsub.m
1) 2)
2 x1=6
−x1+4 x2=5
3 x1−2x2−x3=4
x1−2 x2+6 x3+3 x4=2
x1=3−3+4 x2=5x2=29−4−x3=4x3=13−4+6+3 x4=2x4=−1Determinante= (2) (4) (-1) (3) =-24
5 x1=−10
x1+3x2=4
3 x1+4 x2+2 x3=2
−x1+3x2−6 x3−x4=5
x1=−2−2+3 x2=4x2=2−6+8+2x3=2x3=02+6−x4=5x4=3Determinante= (5) (3) (2) (-1) =-30
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1. Use el programa 3.1 para resolver el sistema UX=B siendo
U =[uij ]10 x10 con uij={cos (ij )i≤ j ,0i> j
Y B=[b i1 ]10 x1 siendo b i1=tan ( i)
En los Ejercicios 1 a 4 pruebe que AX=B es equivalente al sistema triangular superior UX=Y que se da y hallé la solución.
1.
3)
2 x1+4 x2−6 x3=−4
x1+5x2+3 x3=10
x1+3 x2+2 x3=5
2 x1+4 x2−6 x3=−4
3 x2+6x3=12
3 x3=3
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2.
3.
4.
2 x1−2x2+5 x3=6
2 x1+3 x2+ x3=13
−x1+4 x2−4 x3=3
2 x1−2x2+5 x3=6
5 x2−4 x3=7
.9 x3=12
−5 x1+2 x2−x3=−1
x1+0x2+3 x3=5
3 x1+x2+6 x3=17
−5 x1+2 x2−x3=−1
.4 x2+2.8 x3=4.8
−10 x3=−10
x1+ x2+6 x3=7
x1+5x2+3 x3=10
x1+3 x2+2 x3=5
x1+ x2+6 x3=7
3 x2+15 x3=9
12 x3=12
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5. Halle la parábola y=A+Bx+C x2 que pasa por los puntos (1,4), (2,7) y (3,14)
6. Halle la parábola y=A+Bx+C x2 que pasa por los puntos (1,6), (2,5) y (3,2)
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7. Halle la parábola y=A+Bx+C x2+ D x3 que pasa por los puntos (0,0), (1,1), (2,2) y (3,2).
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En los Ejercicios 8 a 10 pruebe que AX=B es equivalente al sistema triangular superior UX=Y que se da y hallé la solución.
8.
9.
4 x1+8 x2+4 x3+0 x4=8
x1+5 x2+4 x3−3 x4=−4
x1+4 x2+7 x3+2 x4=10
x1+3x2+0 x3−2 x4=−4
4 x1+8 x2+4 x3+0 x4=8
3 x2+3 x3−3 x4=−6
4 x3+4 x4=12
x4=2
2 x1+4 x2−4 x3+0 x4=12
x1+5x2−5 x3−3 x4=18
2 x1+3 x2+ x3+3 x4=8
x1+4 x2−2 x3+2x4=8
2 x1+4 x2−4 x3+0 x4=12
3 x2−3 x3−3 x4=12
4 x3+2 x4=0
3 x4=−6
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10.
11. Halle la solución del siguiente sistema lineal
x1+2 x2+0 x3−x4=9
2 x1+3 x2−x3+0 x4=9
0 x1+4 x2+2x3−5 x4=26
5 x1+5 x2+2x3−4 x4=32
x1+2x2+0 x3−x4=9
−x2−x3+2x4=−9
−2 x3+3 x4=−10
1.5 x4=−3
x1+2x2=7
2 x1+3 x2−x3=9
4 x2+2 x3+3x4=10
2 x3−4 x4=12
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12. Halle la solución del siguiente sistema lineal
Ejercicios del 1 al 10 con el programa triareg.m
Problema 1
Problema 2
x1+ x2=5
2 x1−x2+5 x3=−9
3 x2−4 x3+2 x4=19
2 x3+6 x4=2
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Problema 3
Problema 4
Problema 5
Problema 6
Problema 7
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Problema 8
Problema 9
Problema 10
2. Use el Programa 3.2 para hallar el polinomio de grado seis y=a1+a2 x+a3 x2+a4 x3+a5 x4+a6 x5+a7 x6 que pasa por los puntos (0,1), (1,3), (2,2), (3,1), (4,3), (5,2) y (6,1). Use la instrucción plot para dibujar el polinomio obtenido y los puntos dados sobre la misma gráfica. Explique las discrepancias que puedan aparecer en su dibujo.
[1 0 01 1 11 2 4
0 0 0 01 1 1 18 16 32 64
1 3 91 4 1611562536
27 81 243 72964 256 1024 4096125216
6251296
3125 156257776 46656
] [1321321]
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La gráfica construida con el resultado del programa triareg.m solo muestra que se intersecta con 2 puntos de los 6 dados originalmente. Tal vez solo muestre 2 intersecciones debido a la forma de la matriz resultante de la ecuación y los 6 puntos dados originalmente.
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Sergio Alejandro López Islas
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SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
2. Determine (analíticamente) los ceros de cada uno de los sistemas que se relacionan a continuación y evalúe la matriz jacobiana de cada sistema en el cero correspondiente.
(a) 0=f 1 ( x , y )=2x+ y−6
0=f 2 ( x , y )=x+2 y
x=−2 y
−4 y+ y=6
y=−2
x=4
F=[2 x+ y−6x+2 y ]
J=[2 11 2]
J ( x , y )=[2 11 2]
(b) 0=f 1 ( x , y )=3x2+2 y−4
0=f 2 ( x , y )=2x+2 y−3
y= 4−3x2
2
2 x+4−3 x2−3=0
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−3 x2+2x+1=0
x , y=−13
; 116
x , y=1; 12
F=[3 x2+2 y−42 x+2 y−3 ]
J=[6 x 22 2]
J (−13
, 116
)=[−2 22 2]
J (1 , 12)=[6 22 2]
(c) 0=f 1 ( x , y )=2x−4cos ( y )
0=f 2 ( x , y )=4 xsen ( y )
x=2cos ( y )
8 sen ( y )cos ( y )=0 ; sen ( y )cos ( y )=0
x , y=0 ;πn−π2
x , y=2;2 πn
x , y=−2;2 πn+π
F=[2 x−4cos ( y)4 xsen ( y ) ]
J=[ 2 4 sen( y )4 sen( y) 4 xcos ( y )]
J (0 ; πn− π2)=[ 2 4 sen(πn−π
2)
4 sen(πn−π2) 0 ]
J (2 ;2πn)=[ 2 4 sen (2πn)4 sen(2πn) 8cos (2πn) ]
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J (−2 ;2πn+π )=[ 2 4 sen (2πn+π )4 sen(2πn+π) −8cos (2πn+π )]
(d)0=f 1 ( x , y , z )=x2+ y2−z
0=f 2 ( x , y , z )=x2+ y2+z2−1
0=f 3 ( x , y , z )=x+ y
x=− y
z=2 x2;2 y2
4 x4+2x2−1=0 ;4 y4+2 y2−1=0
x , y , z=−12 √√5−1 ; 1
2 √√5−1 ; 12(√5−1)
x , y , z=12 √√5−1;−1
2 √√5−1 ; 12(√5−1)
F=[ x2+ y2−zx2+ y2+ z2−1
x+ y ]J=[2x 2 y −1
2x 2 y 2 z1 1 0 ]
J (x , y , z)=[−√√5−1 √√5−1 −1−√√5−1 √√5−1 (√5−1)
1 1 0 ]J (x , y , z)=[−√√5−1 √√5−1 −1
√√5−1 −√√5−1 (√5−1)1 1 0 ]
7. Consideremos el sistema de ecuaciones no lineal
0=f 1 ( x , y )= x2− y−0.2
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0=f 2 ( x , y )= y2−x−0.3
Estas parábolas se cortan en dos puntos como se muestra en la Figura 3.9
(a) Empiece con ( p0 , q0 )=(1.2,1.2) las iteraciones del método de Newton Raphson y
calcule ( p1 , q1 ) y ( p2 , q2)
F⃗=[x2− y−0.2y2−x−0.3]
j⃗=[2x −1−1 2 y ]
k P⃗k JP⃗k ∆ P⃗=−F⃗ ¿ ∆ P⃗ P⃗k +1=P⃗k+∆ P⃗0 [1.21.2] [2.4 −1
−1 2.4] [∆ p∆ q ]=−[ .04−.06] [−.0075630.0218487 ] [1.1924371.221848]
1 [1.1924371.221848 ] [2.384873 −1−1 2.443674 ][∆ p
∆ q ]=−[ .00005719.000477367 ] [−.0001278−.0002476] [1.192309141.22160108 ]( p1 , q1 )= (1.192437,1.221848 )
( p2 , q2 )=(1.19230914,1.22160108 )
(b) Empiece con ( p0 , q0 )=(−0.2 ,−0.2) las iteraciones del método de Newton Raphson y
calcule ( p1 , q1 ) y ( p2 , q2)
k P⃗k JP⃗k ∆ P⃗=−F⃗ ¿ ∆ P⃗ P⃗k +1=P⃗k+∆ P⃗0 [−.2−.2] [−.4 −1
−1 −.4] [∆ p∆ q ]=−[ .04.06] [−.0904760.0761904] [−.29047619−.12380952]
1 [−.29047619−.12380952 ] [−.580952 −1−1 −.247619] [∆ p
∆ q ]=−[ .0081859.0058049] [ .004412.005622] [−.28606339−.11818720 ]( p1 , q1 )= (−2.29047619 ,−.12380952 )
( p2 , q2 )=(−.28606339 ,−.11818720 )
8. Consideremos el sistema no lineal cuya gráfica se muestra en la Figura 3.10
0=f 1 ( x , y )= x2+ y2−2
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0=f 2 ( x , y )=xy−1
(a) Compruebe que las soluciones son (1,1) y (-1,-1)
F⃗=[x2+ y2−2xy−1 ]
j⃗=[2 x 2 yy x ]
(1,1)
x2+ y2−2=1++1−2=0
1∗1−1=0
(-1,-1)
x2+ y2−2=1++1−2=0
−1∗−1−1=0
(b) ¿Qué dificultades podrían aparecer si tratamos de aplicar el método de Newton-Raphson para hallar las soluciones?
Que no exista matriz inversa de la jacobiana, dando posibles errores
2. Use el Programa 3.7 para aproximar los puntos fijos de los Ejercicios 7 y 8 con una precisión de diez cifras decimales
x2− y−0.2=0
y2−x−0.3=0
y=x2−0.2→ { x=ty=t2−0.2
x= y2−0.3→ { y=tx=t2−0.3
EJERCICIO 7 EVALUADOCON EL PROGRAMA 3.7
F⃗=[x2− y−0.2y2−x−0.3]
j⃗=[2x −1−1 2 y ]
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EJERCICIO 8 EVALUADOCON EL PROGRAMA 3.7
F⃗=[x2+ y2−2xy−1 ]
j⃗=[2 x 2 yy x ]
4. Use el Programa 3.7 para dar aproximaciones de los ceros de los siguientes sistemas con una precisión de diez cifras decimales.
(a)
0=x2−x+ y2+z2−5
0=x2+ y2− y+ z2−4
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0=x2+ y2+z2+z−6
F⃗=[ x2−x+ y2+z2−5x2+ y2− y+z2−4x2+ y2+z2+z−6 ]
j⃗=[2 x−1 2 y 2 z2 x 2 y−1 2 z2 x 2 y 2 z+1]
(b)
0=x2−x+2 y2+ yz−10
0=5 x−6 y+z
0=z−x2− y2
F⃗=[x2−x+2 y2+ yz−105 x−6 y+ zz−x2− y2 ]
j⃗=[2 x−1 4 y+z y5 −6 1
−2x −2 y 1 ]
(c)
0=( x+1 )2+( y+1 )2−z
0=( x−1 )2+ y2−z
0=4 x2+2 y2+z2−16
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F⃗=[( x+1 )2+( y+1 )2−z(x−1 )2+ y2−z4 x2+2 y2+z2−16 ]
j⃗=[2 x+2 2 y+2 −12 x−2 2 y −18 x 4 y 2 z ]
(d)
0=9 x2+36 y2+4 z2−36
0=x2−2 y2−20 z
0=16 x−x3−2 y2−16 z2
F⃗=[ 9 x2+36 y2+4 z2−36x2−2 y2−20 z
16 x−x3−2 y2−16 z2]j⃗=[ 18 x 72 y 8 z
2 x −4 y −2016−3 x2 −4 y −32 z ]
5. Queremos resolver el sistema no lineal
0=7 x3−10 x− y−1
0=8 y3−11 y+x−1
Use las instrucciones adecuadas del paquete de programas MATLAB para dibujar las gráficas de ambas curvas sobre un mismo sistema de coordenadas y compruebe que hay nueve puntos donde se cruzan ambas gráficas. Estime, a la vista del dibujo, cuáles son estos puntos. Utilice
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luego estas estimaciones como puntos iniciales en el Programa 3.7 para aproximar los puntos de intersección de las curvas con una precisión de nueve cifras decimales.
y=7 x3−10 x−1→ { x=ty=7 t3−10 t−1
x=−8 y3+11 y+1→{ y= tx=−8 t 3+11 t+1
Intersección Inicio p0 Solución Programa Newdim.mp1 (-1.089,1.258) (-1.06043696,1.25694294)p2 (-.2061,1.224) (-.23114478,1.22500079)p3 (1.294,1.159) (1.29129333,1.15913205)p4 (-1.156,-.202) (-1.15311416,-0.20170599)p5 (-.07047,-0.098) (-0.09053305,-0.99863670)p6 (1.275,0.025) (1.24338575,0.02213386)p7 (-1.211,-1.055) (-1.19801038,-1.05582998)p8 (0.01563,-1.125) (0.01248515,-1.12483790)p9 (1.142,-1.179) (1.18607512,-1.18097210)
j⃗=[21 x2−10 −11 24 y2−11]
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