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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 1 J. M. HERNANDEZ
UNIDAD 7. DEFLEXIONES
7.1 Introducción
Cuando una viga se somete a cargas transversales, es decir es sometida a flexión, las
deformaciones que acompañan a la flexión son tales que se producen desviaciones con respecto a
la posición original de la viga descargada. A estas desviaciones se les llama deflexiones o flechas
(figura 7.1)
y y
Sin carga Sin carga
x x
y Con carga y Con carga
v(x) F F v(x)
x x
a) Viga en voladizo b) Viga simplemente apoyada
Figura 7.1 Ejemplos de vigas y sus deflexiones
Para el cálculo de las deflexiones se toma la desviación de la línea neutra. A la forma que toma la
línea neutra deformada se le conoce como curva elástica y se expresa analíticamente mediante la
función v(x).
Normalmente las deflexiones (o flechas) y las pendientes (o giros) de la curva elástica son
pequeños. En la figura 7.1 se indican las deformaciones producidas en forma exagerada para
mayor claridad.
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 2 J. M. HERNANDEZ
7.2 Relación entre el momento flexionante y la curvatura.
En la Unidad 5 se dedujo la relación que se produce el momento flexionante (causa) y la
curvatura de la viga (el efecto). Dicha relación también se conoce en forma abreviada como
relación momento curvatura.
1
M
EI
z
z
(5.13)
o bien, prescindiendo de los subíndices cuando no hay confusiones posibles
(7.1)
Es de hacer notar que la ecuación (7.1) es válida en el rango elástico-lineal del material. El
producto EI se conoce como rigidez a la flexión. M debe conocerse como función de x, es decir
M = M(x). Si la viga es de sección variable también la rigidez a la flexión varía con x ya que en
este caso I = I(x)
La curvatura de una curva plana puede expresarse como
1
1
2
2
23
2
d v
dx
dv
dx
(7.2)
Combinando la ecuación (7.2) con la ecuación (7.1) se obtiene
1
1
2
2
23
2
d v
dx
dv
dx
M x
EI
( ) (7.3)
Así como está planteada la (7.3) no es muy adecuada para trabajarla matemáticamente. En la
práctica es necesario trabajar con una ecuación aproximada que se deduce a continuación.
1
M
EI
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 3 J. M. HERNANDEZ
En la figura (7.2), por definición, la
curvatura es
1
0
lim
s s
d
ds
En la práctica, en deformaciones de
vigas en el rango elástico, las
deflexiones v(x) y las pendientes
(x) son pequeñas, por lo tanto
tan 'dv
dxv y x s
De modo que
1
0
2
2
lim
( ) ( )
x
x x x
x
d
dx
d
dx
dv
dx
d v
dx
1 2
2
d v
dxv (7.4)
.
A este mismo resultado se llega si en la (7.2) se pone dv
dx 1
Combinando (7.4) con (7.1)
d v
dx
M
EI
2
2 (7.5)
Resolviendo la ecuación diferencial de segundo orden (7.5) se puede encontrar v(x) y con ello la
forma de la curva elástica. Como es necesario resolver ecuaciones diferenciales, se requiere
conocer las condiciones de frontera, que generalmente se tendrán en los puntos de apoyo o
puntos de conexión de una viga con otra. En la figura (7.3) se indican las condiciones de frontera
en algunos casos típicos.
y
(x+x)
s
(x)
v(x) v(x+x)
x
x x
Figura 7.2 Curvatura
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 4 J. M. HERNANDEZ
a) Viga en voladizo b) Viga simplemente apoyada
c) Dos vigas, articulación d) Viga continua, apoyo fijo
Figuira 7.3 Condiciones de frontera para ecuación de segundo orden
v = 0
v´= 0v = 0 v = 0
(v)izq = (v)der
v = 0
(v )́izq = (v )́der
7.3 Relación entre la carga distribuida y la curvatura
Se vio en la Unidad 5 que
dV
dxw x ( ) 0 (5.1)
y dM
dxV 0 (5.3)
de (5.3): VdM
dx y derivando:
dV
dx
d M
dx
2
2 y combinando con (5.1), resulta
d M
dxw
2
20 (7.6)
o bien
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 5 J. M. HERNANDEZ
d M
dxw x
2
2 ( ) (7.7)
de la ecuación (7.5), se tiene que M EId v
dx
2
2
derivando con respecto a x
VdM
dx
d
dxEI
d v
dx
2
2 (7.8)
derivando nuevamente con respecto a x
dV
dx
d M
dx
d
dxEI
d v
dx
2
2
2
2
2
2
y sustituyendo en (7.7)
(7.9)
Si la viga es prismática y homogénea, es decir EI = constante, entonces
(7.10)
observe que si EI es constante entonces la (7.8) se puede expresar:
V EId v
dx
3
3 (7.11)
La ecuación (7.10) constituye la relación buscada. Se puede hallar la curva elástica a partir de la
carga distribuida por integraciones sucesivas. Por supuesto que se necesita conocer las
condiciones de frontera en puntos específicos y que ahora son en mayor número puesto que la
ecuación diferencial es dmayor orden
* Condiciones de frontera de tipo geométrico: v, v’ conocidos
* Condiciones de frontera de tipo de fuerza: M y V conocidos.
d
dxEI
d v
dxw x
2
2
2
2
( )
EId v
dxw x
4
4 ( )
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 6 J. M. HERNANDEZ
Para el segindo caso, de (7.5) se tiene EIv´´= M, y si EI es constante, de (7.11) se tiene EIv’’’ =
V. De modo que
M conocido v’’ es conocido
V conocido v’’’ es conocido
Condiciones de frontera típicas necesarias para resolver (7.10)
a) Viga en voladizo b) Viga simplemente apoyada
c) Dos vigas, articulación d) Viga continua, apoyo fijo
Figura 7.4 Condiciones de frontera para
ecuación de cuarto orden
v = 0
v´= 0
v´́ = 0
v´́ ´= 0
v = 0
v´́ = 0v = 0
v´́ = 0
(v) izq = (v )der
(v´́ )izq = 0
(v´́ )der = 0
(v´́ ́)izq = (v´́ ́)der
(v) izq = 0
(v )der = 0
(v ́)izq = (v ́)der
(v´́ )izq = (v´́ )der
7.4 Deformaciones de vigas
Existen en la actualidad gran diversidad de métodos para calcular las deformaciones que se
producen en una viga cargada: método de “integración”, “superposición”, “Métodos de energía”,
“área momento”, “viga conjugada”, “tres momentos”, etc. Todos estos métodos se basan en la
ecuación (7.5).
En todos los métodos puede resolverse problemas con indeterminación estática, es decir, cuando
las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para resolver todas las reacciones en los apoyos.
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 7 J. M. HERNANDEZ
El grado de indeterminación D es igual a la diferencia entre el número de reacciones
desconocidas NR y el número de ecuaciones de equilibrio NEQ, así:
D = NR – NEQ (7.12)
Al resolver problemas estáticamente indeterminados se escogen D reacciones que se introducen
como incógnitas y se llaman reacciones redundantes, las cuales se pueden resolver cuando se
aplican las condiciones de frontera.
7.4.1 Método de integración
Como su nombre lo indica, este método consiste en efectuar integraciones sucesivas. Esto puede
hacerse con la ecuación de segundo orden (7.5) o la de cuarto orden (7.10). En ambos casos se
necesita conocer la función M(x) o w(x), así como las condiciones de frontera correspondientes.
En los casos en que haya discontinuidad en w(x), cargas y/o momentos concentrados o debido a
los apoyos o conexiones intermedias de vigas, no es posible la solución mediante la integración
de una sola ecuación, sino que hay necesidad de resolver para los diferentes tramos la
correspondiente ecuación diferencial, y luego aplicar condiciones de frontera en los puntos de
unión o de discontinuidad de la viga. De mas está decir que este método se vuelve largo y
tedioso, ya que hay necesidad de evaluar un gran número de constantes de integración (como se
verá en el ejemplo 7.1). Esta dificultad se puede minimizar si se hace uso de las funciones
singulares (que se vieron en la Unidad 5). Estas funciones pueden emplearse para escribir M(x) o
w(x).
Este método de integración es especialmente útil cuando se desea conocer la flecha en función de
la posición: v(x).
Ejemplo 7.1
Para la viga que se indica en la
figura, hallar la expresión
analítica de la curva elástica, la
flecha y la pendiente en B, así
como la flecha máxima.
135 kN
20 kN/m
A C
B W12x65, acero
1.5 m 3.0 m
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 8 J. M. HERNANDEZ
Solución:
Para plantear la ecuación diferencial (7.5) es necesario conocer M como función de x. Debido a
que existe discontinuidad en la carga (punto B) será necesario expresar M en dos tramos
diferentes: AB y BC.
Equilibrio de la viga completa:
90(4.5/2) + 135(3.0) – 4.5RA = 0
RA = 135 kN
4.5RC - 90(4.5/2) - 135(1.5) = 0
RC = 90 kN
Corte a-a entre A y B:
0 < x < 1.5 m.
Equilibrio de la porción:
M + 20x(x/2) – 135x = 0
M = 135x – 10x2
Corte b-b, entre B y C:
1.5 < x < 4.5 m
Equilibrio de la porción:
–M – 20(4.5–x)(4.5–x)/2+
90(4.5–x) = 0
M = 202.5 – 10x2
Mx x x
x x
135 10 0 15
202 5 10 15 4 5
2
2
, .
. , . .
4.5 m
y
135 kN 20x4.5 = 90 kN
a b
x
a b
RA RB
M M
V V
135 kN 90 kN
x
x 4.5 – x
M (kNm)
M = 202.5–10x2
M = 135x–10x2
DMF
x (m)
1.5 4.5
y, v
v(x) x (m)
Curva elástica
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 9 J. M. HERNANDEZ
Para encontrar la solución se necesita resolver dos ecuaciones diferenciales
Tramo AB: 0 < x < 1.5 Tramo BC: 1.5 < x < 4.5
EIv’’=135x –10x2 EIv’’=202.5–10x
2
EIv’ = (135/2)x2-(10/3)x
3 + c1 EIv’=202.5x–(10/3)x
3 + c3
EIv = (135/6)x3–(10/12)x
4 + c1x + c2 EIv = (202.5/2)x
2–(10/12)x
4+c3x + c4
Se tiene que evaluar cuatro constantes, por lo tanto se necesitan cuatro condiciones de frontera,
que son:
1) La flecha en A es cero, v(0) = 0
2) La flecha en C es cero, v(4.5) = 0
Como la curva elástica debe ser continua, sin vértices o quiebres,
3) La flecha en B es la misma para ambos tramos: v(1.5–) = v(1.5
+)
donde v(1.5–) = (vB)izq, límite por la izquierda y v(1.5
+) = (vB)der, límite por la derecha.
4) La pendiente en B es la misma para ambos tramos: v’(1.5–) = v’(1.5
+)
donde v’(1.5–) = (v’B)izq, límite por la izquierda y v’(1.5
+) = (v’B)der, límite por la derecha.
Aplicando las condiciones
v(0) = 0:
0 = (135/6)(0)3-(10/12)(0)
4 + c1(0) + c2 c2 = 0
v(4.5) = 0:
0 = (202.5/2)(4.5)2
– (10/12)(4.5)4
+ c3(4.5) + c4 4.5c3+c4 = –1708.6 (1)
v´(1.5–) = v´(1.5
+):
(135/2)(1.5)2–(10/3)(1.5)
3 + c1 = 202.5(1.5)–(10/3)(1.5)
3 + c3 c1 – c3 = 151.875 (2)
v(1.5–) = v(1.5
+):
(135/6)(1.5)3
– (10/12)(1.5)4
+ c1(1.5) + c2 = (202.5/2)(1.5)2
– (10/12)(1.5)4
+ c3(1.5) + c4
1.5c1 –1.5c3 – c4 = 151.875 (3)
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 10 J. M. HERNANDEZ
Resolviendo (1), (2) y (3) y recordando el valor de c2:
c1 = –244.7 c2 = 0 c3 = –396.6 c4 = 75.98
Expresión analítica
EIv
x x x x
x x x x
135
6
10
12244 7 0 15
202 5
2
10
12396 6 76 0 15 4 5
3 4
2 4
. , .
.. . , . .
m
m
Para calcular la flecha en B se evalúa en cualquiera de las expresiones anteriores
v(1.5) = (1/EI)[(135/6)(1.5)3–(10/12)(1.5)
4–244.7(1.5)] = –295.3/EI B = 295.3/EI
Perfil W12x65: I = 533 pul4 = 221.85x10
–6 m
4, E = 200 GPa
EI = 44.4x103 kNm
2
La pendiente en B se calcula evaluando v´(1.5)
v’(1.5) = B = (1/EI)[ (135/2)(1.5)2–(10/3)(1.5)
3–244.7] = –104/EI
B = 2.34x10–3
rad = 0.13°
Como en B la pendiente es negativa, la curva elástica continúa descendiendo, el valor de la flecha
máxima está en algún punto a la derecha de B. En el punto de flecha máxima: = 0, por lo tanto,
igualando a cero v’(x) para el tramo BC, se obtendrá el valor de xm en donde se produce la flecha
máxima.
EIv’ = 202.5xm – (10/3)xm3
– 396.6 = 0
Resolviendo: xm = 2.114 m
EIvmax = EIv(2.114) = (202.5/2)(2.114)2–(10/12)(2.114)
4–396.6(2.114)+76.0 = –326.6
max = vmax = 326.6/EI = 7.36x10–3
m
Sugerencia: Resolver este problema haciendo uso de funciones singulares
B = 6.6 mm
max = 7.36 mm
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 11 J. M. HERNANDEZ
Ejemplo 7.2
Hallar la deflexión y la pendiente en
B.
w(x) = w0
EIviv
= –w0
EIv’’’ = –w0x + c1
EIv’’ = –w0x2/2 + c1x + c2
Condiciones de frontera:
En x = L, M = 0 EIv’’ = 0: 0 = –w0L2/2 + c1L + c2 (1)
En x = L, V = 0 EIv’’’ = 0: 0 = –w0L + c1 (2)
Resolviendo (1) y (2)
c1 = w0L c2 = –w0L2/2
Continuando la integración
EIv’’ = –w0x2/2 + w0Lx – w0L
2/2
EIv’ = –w0x3/6 + w0Lx
2/2 – (w0L
2/2)x + c3
EIv = –w0x4/24 + w0Lx
3/6 – (w0L
2/2)x
2/2 + c3x + c4
Condiciones de frontera:
En x = 0, v = 0 EIv = 0: 0 = 0 + 0 + 0 + c4 (3)
En x = 0, v’ = 0 EIv’ = 0: 0 = 0 + 0 + c3 (4)
c3 = 0 y c4 = 0
v(x) = (w0/EI)[–x4/24 + (L/6)x
3 – (L
2/4)x
2]
en x = L: v(x = L) = –w0L4/8EI v’(x = L) = –w0L
3/6EI
B = w0L4/8EI B = w0L
3/6EI
w0
A B
L
y
A B
v(x) x
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 12 J. M. HERNANDEZ
Ejemplo 7.3
Hallar la flecha en C
Solución: La viga es estáticamente
indeterminada. Tomando RB como
reacción redundante (D = 1)
Tramo AB (corte a-a): 0 < x < 10
M = –20(15–x)(15–x)/2+RB(10–x)
M = –20(15–x)2/2 + RB(10–x)
M = –10(15–x)2 + RB(10–x)
M = (10RB–2250)+(300–RB)x –10x2
Tramo BC (corte b-b): 10 < x < 15
M = –20(15–x)(15–x)/2
M = –10(15–x)(15–x)
M = –2250 + 300x – 10x2
Integrando
Tramo AB Tramo BC
EIv’’ = (10RB–2250) + (300–RB)x –10x2 EIv’’ = –2250 + 300x – 10x
2
EIv’ = (10RB–2250)x+(300–RB)x2/2 –10x
3/3+c1 EIv’ = –2250x + 150x
2 – 10x
3/3 + c3
EIv = (10RB–2250)x2/2+(300–RB)x
3/6 –10x
4/12 EIv = –1125x
2 + 50x
3 – 10x
4/12 + c3x + c4
+ c1x + c2
20 kN/m
A W12x87, acero B C
10 m 5 m
y
a b
MA x
a b
RA RB 20(15–x)
x
M
V
x 15 – x
20(15–x)
M
V
RB
x 15 –x
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 13 J. M. HERNANDEZ
x = 0, v = 0 c2 = 0 x = 10, v = 0 c3(10)+c4 = 70833.33
x = 0, v’ = 0 c1 = 0 x = 10, v’ = ?
x = 10, v = 0 Condición de frontera en tramo BC
0 = (10RB–2250)102/2 + (300–RB)10
3/6 x = 10, EI(v’)der = EI(v’)izq = –208.33,
–(10)104/12+ 0 + 0 EIv´(10
+) = –208.33
–208.33 = –2250(10)+150(10)2
RB = 212.5 kN –(10/3)(10)3+c3
c3 = 10625
EIv = –62.50x2+(43.75/3)x
3–(5/6)x
4
10625(10)+c4 = 70833.33
EIv’ = (–125)x + (43.75)x2 –(10/3)x
3
c4 = –35416.67
en x = 10–
EIv’ = (–125)(10) + (43.75)(10)2 –(10/3)(10)
3
EIv’izq = –208.33
v = (1/EI)[–62.50x2+(43.75/3)x
3–(5/6)x
4] v = (1/EI)[–1125x
2+50x
3–(5/6)x
4
+10625x – 35416.67]
0 < x < 10 10 < x < 15
En x = 15: vC = (1/EI)[–1125(15)2+50(15)
3 – (5/6)(15)
4 + 10625(15) – 35416.67]
vC = –2604.17/EI C = 2604.2/EI
I = 740 pul4x(0.0254 m/pul)
4 = 308 x 10
–6 m
4, E = 200 x 10
6 kN/m
2,
EI = 61.60 x 103 kNm
2
C = 2604.2/(61.60x103) = 0.0423 m, v´(10) = B = –208.33/(61.60x10
3) = –0.0034 rad
En la figura se esquematiza la solución mediante la elástica deformada.
C = 42.3 mm B = 0.0034 rad = 0.19°
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 14 J. M. HERNANDEZ
7.4.2 Método de superposición
El método consiste en desglosar el sistema cargado en casos mas simples, los cuales aparecen
tabulados en la mayoría de libros que tratan el tema. El método es aplicable siempre que exista
una relación lineal entre la causa (M) y el efecto (v, v’) en el sistema. La ecuación (7.5) es una
ecuación diferencial lineal de segundo orden.
La carga 1: M1 produce v1(x)
La carga 2: M2 produce v2(x)
.
.
.
La carga n: Mn Produce vn(x)
Cargas: Mi Produce vi(x)
Demostración del principio
Sea M = M1(x) + M2(x) + . . . +Mn(x)
y sea v = v1(x) + v2(x) + . . . + vn(x)
de modo que EId y
dxM
2
2
Si solo se aplica la carga 1: EId v
dxM
2
1
2 1
y
x
B
C
![Page 15: sol3uni7](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022020207/54e219e44a7959d4418b4d6a/html5/thumbnails/15.jpg)
MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 15 J. M. HERNANDEZ
Si solo se aplica la carga 2: EId v
dxM
2
2
2 2
.
.
.
Si solo se aplica la carga n: EId v
dxM
n
n
2
2
Sumando:
EId v
dx
d v
dx
d v
dxM M M
n
n
2
1
2
2
2
2
2
2 1 2
pero:
d v
dx
d
dxv v v
d v
dx
d v
dx
d v
dxn
n
2
2
2
2 1 2
2
1
2
2
2
2
2
2
de modo que:
EId v
dxM
2
2
Es decir, si se aplican las n cargas simultáneamente, la deflexión v(x) será la suma de deflexiones
que produciría cada carga actuando sola.
![Page 16: sol3uni7](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022020207/54e219e44a7959d4418b4d6a/html5/thumbnails/16.jpg)
MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 16 J. M. HERNANDEZ
Ejemplo 7.4
Resolver el problema del ejemplo 7.3 utilizando superposición
De tabla Apéndice C de Hibbeler:
B1 = (20/24EI)(10)2[(10)
2 – 4(15)(10) + 6(15)
2] = 70833.33/EI
B2 = (1/3EI)RB(10)3 B2 = RB(10)
2/2EI
Se sabe que B = 0
pero B = B1 + B2 = 70833.33/EI – (1/3EI)RB(10)3 = 0
RB = 212.5 kN
C1 = 20(15)4/8EI = 126562.5/EI
Cálculo de C2: como el tramo B2C2 es recto
20 kN/m
= RB
20 kN/m
B1 C1
A B C
B1 C1
+C2
B2
A B C
RB B2 C2
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 17 J. M. HERNANDEZ
C2 = CC2 = B2 + BC(B2) B2 = 212.5(10)2/2EI
C 2 = 212.5(10)3/3EI+5[212.5(10)
2/2EI] = 123958.3/EI
C = C1 + C2 = 126562.5/EI + 123958.3/EI = 2604.2/EI
C = 2604.2/EI (igual que antes)
7.4.3 Método de Area-Momento
Este método utiliza las propiedades del área del diagrama de momentos flexionantes. El método
es adecuado cuando se requiere la deflexión o el ángulo de rotación en un punto de la viga,
porque es posible encontrar tales cantidades sin necesidad de encontrar primero la ecuación
completa de la curva de deflexión.
C2
(BC)B2
B2 B2 C2
B2 B2
B C
5 m
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 18 J. M. HERNANDEZ
Para explicar el método, considérese una porción AB de viga deformada, esto es, de la elástica en
una región en donde la curvatura sea positiva. En el punto A la tangente a la curva de deflexión
tiene un ángulo de rotación A a partir del eje x, y en el punto B, la tangente a la curva elástica
tiene un ángulo B.
El ángulo entre las tangentes, denotado por B/A, es igual a la diferencia B – A:
B/A = B – A
Luego, B/A representa el ángulo relativo de rotación de la tangente en B con respecto a la
tangente en A. El ángulo relativo B/A es positivo si B es mayor que A, como se muestra en la
figura.
Considérense dos puntos C y D sobre la curva elástica separados una distancia ds. Las tangentes
a la curva en tales puntos forman un ángulo d como se muestra en la figura. Las normales a esas
tangentes se intersectan en el centro de curvatura con un ángulo d (ver detalle en la figura), que
es igual a ds/, donde es el radio de curvatura. Por lo que el ángulo entre las dos tangentes es
también igual a d. El ángulo d puede obtenerse a partir de la ecuación
Carga
y
(a)
A B
y
d
B
(b) A A B
d dt tB/A
ds d
x
(c) xB
M/EI Centroide dx
Figura 7.5 Teoremas del área del diagrama de momentos
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 19 J. M. HERNANDEZ
1
d
ds
M
EI (7.13)
pero ds dx, por lo que
dMdx
EI (7.14)
donde M es el momento flexionante en la viga y EI es la rigidez a la flexión.
La cantidad Mdx/EI tiene una interpretación geométrica, como sigue: En la figura 7.14(c) se
muestra el diagrama M/EI (Esto es, un diagrama en el que la ordenada es igual al momento
flexionante M dividido por la rigidez a la flexión EI en tal punto). El diagrama M/EI tiene la
misma forma que el diagrama de M únicamente cuando EI es constante. El término Mdx/EI
representa el área de la franja sombreada incluida en el diagrama M/EI.
Integrando (7.14) entre los puntos A y B, se tiene
dMdx
EIA
B
A
B
(7.15)
La integral de la izquierda es igual a B/A = B – A que es el ángulo relativo entre las tangentes
en B y en A. La integral de la derecha es igual al área del diagrama M/EI entre los puntos A y B.
Observe que esta área puede ser positiva o negativa dependiendo del signo del momento
flexionante. La cantidad B/A usualmente medida en radianes se conoce como desviación
angular.
Obsérvese también que la distancia entre el punto B de la curva elástica medida
perpendicularmente a la posición inicial de la viga, hasta la tangente trazada a la curva por el
punto A, es la suma de los elementos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la
elástica en puntos sucesivos C y D. Cada uno de estos elementos dt puede considerarse como un
arco de radio x y ángulo d:
dt = xd
de donde
t dt xdB A/
sustituyendo d por su equivalente en la ecuación (7.14), se obtiene
t xMdx
EIB A x
x
A
B
/
(7.16)
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 20 J. M. HERNANDEZ
La cantidad tB/A se mide en unidades de longitud se conoce como desviación tangencial de B con
respecto a A. El subíndice indica que va desde B hasta la tangente trazada en A. La figura 7.6
aclara la diferencia que existe entre la desviación tangencial tB/A de B con repecto de A y la
desviación tA/B de A con respecto a B. En general dichas desviaciones son distintas.
B B
A
A tB/A
tA/B B/A A/B
Tangente en B Tangente en A
Figura 7.6 Tangentes en A y B. Las desviaciones
tangenciales no serán iguales, en general
El significado geométrico de las ecuaciones (7.15) y (7.16) conduce a los dos teoremas
fundamentales del método de área-momento. En el diagrama de la figura 7.5 se puede ver que
(M/EI)dx es el área de la franja diferencial situada a una distancia x de la ordenada que pasa por
B. Ahora bien, como al sumar todos estos elementos de área, es decir integrando, (M/EI)dx, se
obtiene (7.15) por lo que esta ecuación puede escribirse
B/A = B – A = [Area del diagrama M/EI entre A y B] (7.17)
(7.17) es la expresión algebraica del Teorema I, que se puede enunciar como sigue:
Teorema I: La desviación angular, o ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos
puntos cualesquiera A y B es igual al área del diagrama de M/EI entre esos dos puntos.
La Fig. 7.5 muestra como la expresión x(M/EI)dx en la ecuación (7.16) es el momento de primer
orden de la franja infinitesimal (M/EI)dx con respecto a la ordenada en B. Por lo tanto el
significado geométrico de la suma (o integral) de los elementos x(M/EI)dx es el momento con
respecto a la ordenada en B del área de la porción del diagrama M/EI comprendida entre A y B.
Con ello la expresión matemática del Teorema II es:
tB/A = [Area del diagrama M/EI entre A y B]*xB (7.18)
Este teorema se enuncia así:
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 21 J. M. HERNANDEZ
Teorema II: La desviación tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada a la
elástica en otro punto cualquiera A, en dirección perpendicular a la inicial de la viga, es igual
al momento con respecto a B del área de la porción del diagrama M/EI entre los puntos A y B.
El momento del área se toma siempre con respecto a la ordenada del punto cuya desviación se
quiere obtener, por lo que conviene ponerle a x del centroide del área el subíndice
correspondiente, lo que indica que el brazo de momento se toma desde ese punto. Así, para
calcular tB/A x se mide desde B, luego x = xB. Para calcular tA/B x se mide desde A, luego
x = xA. Lo anterior se ilustra en la figura 7.7
tB/A = [Area del diagrama M/EI entre A y B]xB
tA/B = [Area del diagrama M/EI entre A y B]xA
El área bajo M/EI puede ser positiva o negativa, lo que definirá el signo de las desviaciones
angulares y tangenciales.
Criterio de signos:
La desviación tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviación, y negativa si queda por debajo de dicha
tangente.
Un valor positivo de la desviación angular indica que la tangente en el punto situado a la derecha
se obtiene girando en sentido antihorario la tangente trazada en el punto a la izquierda.
A B B
A
tB/A
tA/B B/A
xA xB
Centroide
A B
Figura 7.7
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 22 J. M. HERNANDEZ
En la figura 7.8: (a) positiva, B queda por encima de la tangente de referencia. (b) negativa, el
punto B queda por debajo de la tangente de referencia. (c) desviación positiva, B/A está en
sentido antihorario. (d) negativa, B/A está en sentido horario.
Diagrama de momentos por partes
En la práctica, para aplicar este método no es estrictamente necesario elaborar el diagrama de M
completo, ya que se puede hacer uso del principio de superposición y dividir el diagrama de
momentos en partes cuyas áreas y centroides sean conocidos.
Ejemplo 7.5 Encontrar la reacción y el giro
en el apoyo B así como la deflexión
máxima, usando el método de área momento
construyendo el diagrama de M por partes
tB/A
B
A A B
tB/A
(a) (b)
B/A
B
A A B
B/A
(c) (d)
Figura 7.8 Criterio de signos
1.5 klb/ft
A B
W8x15, acero
4 ft
![Page 23: sol3uni7](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022020207/54e219e44a7959d4418b4d6a/html5/thumbnails/23.jpg)
MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 23 J. M. HERNANDEZ
Solución
Se toma RB como
reacción redundante y
se construyen los DMF
por separado de la
carga distribuida y de
la reacción RB. Se
determinan los
centroides de cada
porción, así como sus
áreas.
La tangente en A es
horizontal, de modo
que las desviación
tangencial de B con
respecto a A, tB/A es
cero. Note que
tA/B 0.
Aplicando el Teorema
II y tomando en cuenta
que EI es constante
EI = (30000 klb/in2)(48 in
4) = 1.44x10
6 klbin
2 = 10000 klbft
2
A1 = (RBL)(L)/2 = RBL2/2
A2 = (–wL2/2)(L)/3 = –wL
3/6
EItB/A = [Area de M entre A y B]xB =xB1A1 +xB2A2
EItB/A = (2L/3)(RBL2/2)+(3L/4)(–wL
3/6) = 0
RB = 3wL/8 = 3(1.5)(4)/8 = 2.25 klb
El giro en B de determina usando el Teorema I:
EI(B – A) = [Area de M entre A y B] Por condición de frontera se sabe que A = 0
EI(B – A) = A1+A2 = RBL2/2+( –wL
3/6) =(3wL/8)L
2/2+( –wL
3/6) = wL
3/48
w
A B
L
RB
Recta (debido a RB)
RBL 2L/3
–wL2/2
3L/4
Parábola (debido a w)
Tangente en A
B B
A
tA/B
Tangente en B
![Page 24: sol3uni7](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022020207/54e219e44a7959d4418b4d6a/html5/thumbnails/24.jpg)
MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 24 J. M. HERNANDEZ
B = wBL3/48EI = (1.5 klb/ft)(4 ft)
3/(48x10000 klbft
2) = 200x10
–6 rad = 0.011°
Para hallar el máximo se localiza el punto en que la pendiente es cero con ayuda del Teorema I
Sea C el punto de la viga en
que se el valor máximo de
deflexión:
C = vC= tB/C
EI(B – C) = [Area de M
entre C y B]
C = 0.
EI(B) = (2.25u)(u)/2 + (–0.75u2)(u)/3 = (200x10
–6)(10000) = 2
1.125u2 – 0.25u
3 – 2 = 0
0.25u3 – 1.125u
2 + 2 = 0
Resolviendo: u = 1.6861
EItB/C = xBA = (2.25u)(u)/2(2u/3)+(–0.75u2)u/3(3u/4) = 0.75u
3 – 0.1875u
4
EItB/C = 0.75(1.6861)3 – 0.1875(1.6861)
4 = 2.07979 klbft
3
C = tB/C = 2.07979 klbft3/10000 klbft
2 = 2.07979 x10
–4 ft = 0.0025 in
max = 0.0025 in a 1.69 ft del apoyo B.
Sugerencia: encuentre el punto de inflexión de la elástica y la flecha correspondiente.
2u/3
9 klbft
2.25u
–0.75u2
–12 klbft 3u/4
u
A C B
C tB/C
Tangente en C
u
Tangente en B
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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 25 J. M. HERNANDEZ
7.4.4 Método de energía. Teorema de Castigliano
Energía de deformación por flexión.
Considerando solo esfuerzos flexionantes y deformaciones axiales debidas a los esfuerzos
flexionantes
U dV
2VOLUMEN
La integral se extiende en todo el volumen. Considerando comportamiento elástico lineal
My
I
My
EI
UMy
I
My
EIdV
M y
EIdV
1
2 2
2 2
2
VOLUMEN VOLUMEN
dA y y
y
dx
Figura 7.9 Consideración del volumen de integración
dV = dAdx, x2 – x1 = L longitud de la viga
UM y
EIdV
M y
EIdAdx
M
EIy dA dx
x
x
x
x
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2 2 21
2
1
2
AREAVOLUMEN AREA
UM
EIIdx
M
EIdx
x
x
x
x
2
2
2
2 21
2
1
2
UM
EIdx
x
x
2
21
2
(7.19)
![Page 26: sol3uni7](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022020207/54e219e44a7959d4418b4d6a/html5/thumbnails/26.jpg)
MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 26 J. M. HERNANDEZ
En (7.19), tanto M como I pueden ser función de la variable x, pero en el caso de M también debe
expresarse en función de las cargas para poder hacer uso del Teorema de Castigliano.
Aplicación de Segundo Teorema de Castigliano, ecuación (3.15)
En relación a la figura 7.10 y aplicando el
Teorema
k
k k
U
F F
M
EIdx
2
2
y derivando dentro del signo integral
k
k kF
M
EIdx
M
EI
M
Fdx
2
2
(7.20)
k
k k
U
M M
M
EIdx
2
2
y derivando dentro del signo integral
k
k kM
M
EIdx
M
EI
M
Mdx
2
2 (7.21)
En las ecuaciones (7.20) y (7.21) la función M es la acción interna función de x y de las cargas:
M = M(x, cargas) mientras que las variables Fk y Mk son cargas concentradas aplicadas
externamente tomadas como variables y se evalúan hasta que la derivación haya sido efectuada.
Si se necesita conocer k y/o k en algún punto en donde no exista carga concentrada, se ponen
cargas ficticias Fk y Mk las cuales se igualan a cero después de efectuar la derivación .
La utilidad de este método consiste en que es menos trabajoso desde el punto de vista
matemático y es especialmente útil cuando se quiere calcular la flecha y/o la pendiente en puntos
específicos y no como función de x. Además mediante este método se puede calcular sin ninguna
dificultad adicional las flechas y los giros en vigas no necesariamente rectas. (Ejemplo 7.7).
w(x) Fk
Mk
k
k
Figura 7.10 Aplicación del segundo
Teorema de Castigliano
![Page 27: sol3uni7](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022020207/54e219e44a7959d4418b4d6a/html5/thumbnails/27.jpg)
MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 27 J. M. HERNANDEZ
Ejemplo 7.6
Para la viga del ejemplo 7.5, determinar la reacción y la pendiente en el apoyo B.
Solución
Como se necesita conocer la
pendiente en B se coloca un
momento concentrado ficticio (MB =
0) en dicho punto
Entonces M = M(x, w, RB, MB)
M = RBx – (w)(x)(x/2) – MB
M = RBx – (w/2)x2 – MB
M
Rx
B
M
M B
1
Usando (7.20)
B
B
B B BM
EI
M
Rdx
R x M
EIx dx
EI
R
( . )( )
( ) . ( )0 75 1 4
3
0 75 4
40
2
0
4 3 4
RB = 2.25 klb
Como el resultado es positivo, la fuerza va en el sentido asumido.
Usando (7.21)
B
B M B M
B BU
M
M
EI
M
Rdx
R x M
EIdx
B B
0 0
2
0
40 75
1( . )
( )
B
x x
EIdx
EI EI
( . . )( )
. ( ) . ( ) .2 25 0 751
1 2 25 4
2
0 75 4
3
2 02 2 3
0
4
rad = –2x10–4
rad
Como el resultado es negativo, la pendiente va en el sentido contrario al asignado a MB, así:
1.5 klb/ft
A B
W8x15, acero
4 ft
w
M MB
V
RB
x
B = 2x10–4
rad = 0.011°
![Page 28: sol3uni7](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022020207/54e219e44a7959d4418b4d6a/html5/thumbnails/28.jpg)
MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 28 J. M. HERNANDEZ
Ejemplo 7.7 Calcular la flecha vertical en A
Solución:
A
U
F
M
EI
M
Fds
Tramo AB
M = FRsen
s = R, ds = Rd
M
FR sen
Tramo BC
M = FR
M
FR
A
M
EI
M
Fds
M
EI
M
Fds
M
EI
M
Fds
TRAMO AB TRAMO BC
A
RFR
EIR Rd
FR
EIRds
sen( sen )
/ .
0
2
0
1 5
A
RFR
EId
FR
EIds
FR
EI
FR
EIR
FR
EI
3
2
0
2 2
0
1 5 3 2 3
415 2 2854sen ( . ) .
/ .
A
FR
EI 2 2854
3
.
Sugerencia: Calcular el desplazamiento horizontal del punto A
F
A
R
B
EI = constante 1.5R
C
F
s
M
Rsen
F
R
s
M