Download - SOL MAT CASA SABER 3º ESO
-
El Solucionario de Matemticas para 3. de ESOes una obra colectiva, concebida, diseaday creada en el departamento de EdicionesEducativas de Santillana, dirigidopor Enric Juan Redal.
En su realizacin han intervenido:
Ana Mara GazteluAugusto Gonzlez
EDICINRafael NevadoCarlos Prez
DIRECCIN DEL PROYECTODomingo Snchez Figueroa
Santillana
Matemticas 3 ESOBiblioteca del profesoradoSOLUCIONARIO
826512 _ 0001-0003.qxd 22/6/07 14:15 Pgina 1
-
PPrreesseennttaacciinn
2
134
Sistemas de ecuaciones5
ECUACIN LINEAL CON DOS INCGNITAS
CLASES DE SISTEMAS RESOLUCIN GRFICA
SISTEMAS DE DOS ECUACIONESCON DOS INCGNITAS
SUSTITUCIN IGUALACIN REDUCCIN
MTODOS DE RESOLUCIN
RESOLUCIN DE PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE
DOS ECUACIONES Y DOS INGGNITAS
Una clase improvisada
Estar invitado a la fiesta de la Primavera, que cada ao se celebraba en el palacio del maharaj, era un honor reservado tan solo a los personajesms influyentes.
Al subirse al elefante, el sabio Brahmagupta y su joven ayudante, Serhane,coincidieron en reconocer que el maharaj era muy generoso al enviar a su squito para llevarlos a palacio.
El joven ayudante pas la mitad del camino quejndose de las disciplinas que tena que estudiar:
Maestro, por qu tengo que estudiar lgebra? No tiene ninguna utilidad, pues si tengo cinco monedas son cinco monedas y no cinco incgnitas Y que la incgnita pueda ser cualquier cosa es antinatural.
Brahmagupta tom la palabra, y durante la mitad del camino que les quedaba, le explic a su discpulo la utilidad del lgebra:
Todo en este mundo tiene su significado: la estrella en la frente del elefante no solo es una estrella, significa que pertenece al maharaj, y la cruz coronada de cuatro crculos no es solo un dibujo, es el smbolo de la ciudad. En Matemticas lo ms sencillo es quitarle el significado a las cosas, operar con nmeros y, despus, interpretar el resultado.
Tras estas palabras, maestro y discpulo permanecieron en silencio durante el kilmetro que faltaba para llegar al palacio.
Con ayuda de una ecuacin, calcula la distancia que ambos recorrieron a lomos del elefante.
x = distancia
2x + x + 4 = 4x x = 4
Recorrieron una distancia de 4 km.
12
14
1x x x++ ++ ==
El nombre de la serie, LLaa CCaassaa ddeell SSaabbeerr, responde al planteamiento depresentar un proyecto de Matemticas centrado en la adquisicin de loscontenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en lavida real. El saber matemtico, dentro de la etapa obligatoria de la ense-anza, debe garantizar no solo la interpretacin y la descripcin de la rea-lidad, sino tambin la actuacin sobre ella.
En este sentido, y considerando las matemticas a estos niveles como unamateria esencialmente procedimental, recogemos en este material la rreessoo--lluucciinn ddee ttooddooss llooss eejjeerrcciicciiooss yy pprroobblleemmaass formulados en el libro del alum-no. Pretendemos que esta resolucin no sea solo un instrumento sino quepueda entenderse como una propuesta didctica para enfocar la adquisi-cin de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en ellibro del alumno.
73
2
c) La distancia de la Tierra a Neptuno:
4,5 109 1,496 108 = 4,5 109 0,1496 109 = 4,3504 109 kmLa velocidad es de 360.000 km/h = 3,6 105 km/h.De la Tierra a Neptuno se tarda:
(4,3504 109) : (3,6 105) = 1,2084 104 = 12.084 horas = 503,5 dasEn ir y volver se tardar el doble, es decir, 1.006 das, lo que equivaleaproximadamente a 2 aos y 9 meses, luego s podramos ir y volver de Neptuno.
Ten en cuenta que estamos suponiendo que desde el primer momentoalcanzamos la velocidad mxima de 360.000 km/h.
Sergio acaba de llegar a Londres. Antes de su viaje cambi en el banco200 libras y este es el recibo que le dieron.
Un euro vale 0,649900 libras, por lo que las 200 libras que cambile costaron 307,74 .Sergio quiere comprarse unospantalones que cuestan 48,5 librasy necesita calcular su coste en euros para hacerse una idea de su valor.a) Crees que es correcta su
estimacin? Qu error comete?b) Si las cinco noches de hotel
le cuestan 467 libras, cul serel valor en euros que har Sergiosegn sus estimaciones? Y cul ser el valor real?
a) 48,5 : 0,649900 = 74,63 , por lo que la estimacin es errnea, y Sergiocomete un error absoluto de 14,63 y un error relativo de 0,196 .
b) El valor real es de 718,57 , y el error que cometer es de: 718,57 0,196 == 140,84 . Por tanto, l estimar: 718,57 140,84 = 577,73 .
COMPRA DE BILLETES EXTRANJEROS Y/OCHEQUES DE VIAJE EN DIVISA Y/OPAGO DE CHEQUE DE CUENTA EN DIVISA
D. SERGIO AVELLANEDA GILDomicilio AVENIDA DE LA LUZ, S/NPoblacin MADRIDC.P. 28082 D.N.I./C.I. 978687623
Concepto: OPERACION INVISIBLE
REF. 6036786
BBAANNCCOOENTIDAD - OFICINA - CUENTA
2038 - 5538948273647783 EUR
DOCUMENTO DIVISA IMPORTE CAMBIO CONTRAVALOR
BILLETES GBP 200,0 0,649900 307,74 EUR
307,74 EUR
FECHA OPERACIN: 31/07/2007 FECHA VALOR: 31/07/2007 TOTAL 307,74 EUR
Comisiones y gastos
(firma del interesado)
BAN
CO BAN
CO
(firma y sello)BBAANNCCOO
106
Cuesta unos 60
SOLUCIONARIO
72
EN LA VIDA COTIDIANA
Navegando en Internet hemos llegado a la siguiente pgina.
a) Qu distancia hay entre Mercurio y Saturno?b) Qu distancia es mayor, la de la Tierra a Urano o la de Marte a Neptuno?c) Con una nave como la que describe en la segunda pgina, cunto se tardara
en llegar a Neptuno? Podramos visitar Neptuno y volver a la Tierra?
a) La distancia de Mercurio a Saturno:
1,429 109 5,791 107 = 1,429 109 0,05791 109 == 1,37109 109 km
b) La distancia de la Tierra a Urano:
2,87 109 1,496 108 = 2,87 109 0,1496 109 = 2,7204 109 kmLa distancia de Marte a Neptuno:
4,5 109 2,2794 108 = 4,5 109 0,22794 109 = 4,27206 109 kmHay ms distancia de Marte a Neptuno que de la Tierra a Urano.
105
Nmeros reales
Formacin de los planetas
Los planetas se formaron hace unos 4.500 millones de aos, al mismo tiempo que el Sol.
En general, los materiales ligeros que no se quedaron en el Sol se alejaron ms que los pesados.
En la nube de gas y polvo original, que giraba en espirales, haba zonas ms densas, proyectos de planetas.
La gravedad y las colisiones llevaron ms materia a estas zonas y el movimiento rotatorio las redonde
Planetas Radio
ecuatorial Distancia
al Sol (km) Lunas
Periodo de Rotacin
rbita
Mercurio 2.440 km 5,791 107 0 58,6 dias 87,97 das
Venus 6.052 km 1,082 108 0 243 dias 224,7 das
La Tierra 6.378 km 1,496 108 1 23,93 horas 365,256 das
Marte 3.397 km 2,2794 108 2 24,62 horas 686,98 das
Jpiter 71.492 km 7,7833 108 16 9,84 horas 11,86 aos
Saturno 60.268 km 1,429 109 18* 10,23 horas 29,46 aos
Urano 25.559 km 2,87 109 15 17,9 horas 84,01 aos
Neptuno 24.746 km 4,5 109 8 16,11 horas 164,8 aos
*Algunos astrnomos atribuyen 23 satlites al planeta Saturno.
Astronautas
Vivir en el espacioExploracinEstamos solos?
ExploracinExoMarsFuturasexploraciones enMarteNueva formas detransporte
Navegacin espacial
Hasta ahora, casi todas las misiones espacialeshan utilizado motores cohete alimentados concombustibles y comburentes qumicos. Pordesgracia, esos motores no son muy eficaces;por ejemplo, ms de la mitad del peso de lasonda espacial Rosetta de la ESA en elmomento de su lanzamiento era de combustible.
La ESA est estudiando actualmente las formasde reducir la cantidad de combustible que transportan las naves. Una de lasideas consiste en un motor de iones que utilice una pistola elctrica paradisparar gas hacia el espacio.
Aunque la fuerza de empuje del motor cohete elctrico de iones es muypequea, la nave va aumentando gradualmente su velocidad hasta que, llegadoel momento, permite que la nave espacial se despace con mucha rapidez.
La sonda SMART 1 ha probado con xito un motor de iones en su viaje de la Tierra a la Luna. Por cada kilogramo de combustible consumido, ese motorproduce un aumento de la velocidad de la nave diez veces mayor que si fuera unmotor cohete ordinario.
La ESA tambin est estudiando de usar naves espaciales que utilicen velassolares en lugar de motores cohete. La luz solar sopla sobre una vela de grantamao y puede propulsar una nave espacial haci otros planetas. Despus demuchos meses de viaje con el viento del Sol, una nave de ese tipo podraalcanzar una velocidad de 360.000 km/h.
Estacionesespaciales
ExploracinLab
Diversin
Noticias
826512 _ 0001-0003.qxd 22/6/07 14:15 Pgina 2
-
3nnddiicceeUUnniiddaadd 00 Repaso 9-13
UUnniiddaadd 11 Nmeros racionales 14-43
UUnniiddaadd 22 Nmeros reales 44-73
UUnniiddaadd 33 Polinomios 74-79
UUnniiddaadd 44 Ecuaciones de primery segundo grado 100-137
UUnniiddaadd 55 Sistemas de ecuaciones 138-177
UUnniiddaadd 66 Proporcionalidad numrica 178-207
UUnniiddaadd 77 Progresiones 208-241
UUnniiddaadd 88 Lugares geomtricos.Figuras planas 242-273
UUnniiddaadd 99 Cuerpos geomtricos 274-309
UUnniiddaadd 1100 Movimientos y semejanzas 310-337
UUnniiddaadd 1111 Funciones 338-365
UUnniiddaadd 1122 Funciones lineales y afines 366-393
UUnniiddaadd 1133 Estadstica 394-421
UUnniiddaadd 1144 Probabilidad 422-447
826512 _ 0001-0003.qxd 22/6/07 14:15 Pgina 3
-
4NMEROS
Halla seis mltiplos de cada nmero.a) 5 b) 10 c) 50 d) 72 e) 100 f) 450 g) 600 h) 723
a) 10, 15, 20, 25, 30, 35b) 20, 30, 40, 50, 60, 70c) 100, 150, 200, 250, 300, 350d) 144, 216, 288, 360, 432, 504e) 200, 300, 400, 500, 600, 700f) 900, 1.350, 1.800, 2.250, 2.700, 3.150g) 1.200, 1.800, 2.400, 3.000, 3.600, 4.200h) 1.446, 2.169, 2.892, 3.615, 4.338, 5.061
Obtn dos divisores de los siguientes nmeros.a) 25 b) 15 c) 150 d) 190 e) 320 f) 450 g) 600 h) 725
a) 1 y 5 c) 3 y 50 e) 20 y 80 g) 6 y 100b) 3 y 5 d) 10 y 19 f) 5 y 9 h) 5 y 25
Completa los huecos con la palabra adecuada (mltiplo o divisor).a) 24 es de 6 c) 125 es de 25b) 12 es de 24 d) 51 es de 17
a) 24 es mltiplo de 6 c) 125 es mltiplo de 25b) 12 es divisor de 24 d) 51 es mltiplo de 17
Averigua cules de los siguientes nmeros son primos o compuestos: 79, 93, 117, 239, 313, 585, 1.001 y 6.723.
Primos: 79, 239, 313
Compuestos: 93 = 3 31 117 = 32 13 585 = 32 5 13 1.001 = 7 11 13 6.723 = 34 83
Busca los nmeros primos comprendidos entre 100 y 120.
Los nmeros primos entre 100 y 120 son: 101, 103, 107, 109 y 113.
Completa los huecos.a) Div (30) = {1, 2, 3, , , , 15, }b) Div (100) = {1, 2, , , 10, , 25, , 100}c) Div (97) = {, 97}d) Div (48) = {, 2, 3, 4, 6, , , , , }
a) Div (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}b) Div (100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}c) Div (97) = {1, 97}d) Div (48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
006
005
004
003
002
001
Repaso0
826512 _ 0004-0013.qxd 27/6/07 13:12 Pgina 4
-
50
Obtn el m.c.d. de cada pareja de nmeros.
a) 6 y 14 c) 5 y 15 e) 76 y 85 g) 160 y 180b) 9 y 10 d) 42 y 4 f) 102 y 104 h) 281 y 354
a) 2 c) 5 e) 1 g) 20
b) 1 d) 2 f) 2 h) 1
Obtn el m.c.m. de estos nmeros.
a) 7 y 14 c) 9 y 16 e) 61 y 49 g) 150 y 415b) 12 y 7 d) 8 y 25 f) 280 y 416 h) 296 y 432
a) 14 c) 144 e) 2.989 g) 12.450
b) 84 d) 200 f) 14.560 h) 15.984
Obtn el m.c.d. y el m.c.m. de cada grupo de nmeros.
a) 25, 50 y 100 c) 40, 42 y 48 e) 8, 10, 12 y 14b) 6, 7 y 8 d) 12, 18 y 20 f) 2, 4, 6, 8 y 10
a) m.c.m. (25, 50, 100) = 100 m.c.d. (25, 50, 100) = 25
b) m.c.m. (6, 7, 8) = 168 m.c.d. (6, 7, 8) = 1
c) m.c.m. (40, 42, 48) = 1.680 m.c.d. (40, 42, 48) = 2
d) m.c.m. (12, 18, 20) = 180 m.c.d. (12, 18, 20) = 2
e) m.c.m. (8, 10, 12, 14) = 840 m.c.d. (8, 10, 12, 14) = 2
f) m.c.m. (2, 4, 6, 8, 10) = 120 m.c.d. (2, 4, 6, 8, 10) = 2
Dos buques mercantes salen de un puerto el da 1 de enero. El primero tarda en regresar 26 das, y el segundo, 30 das. Ambos van y vienen constantemente. Cuntos das tardan los buques en coincidir de nuevo en el puerto?
Calculamos el m.c.m. (26, 30) = 390. Los barcos tardan 390 das en volver a coincidir en el puerto, es decir,coincidirn el 25 de enero del siguiente ao.
Se dispone de dos rollos de cuerda que tienen 144 y 120 m de longitud,respectivamente. Cul es el nmero de trozos iguales, de tamao mximo, que se puede hacer con los rollos de cuerda?
Calculamos el m.c.d. (144, 120) = 24. El tamao mximo de los trozos de cuerda es 24 m y, por tanto, el nmero de trozos que se puede hacer es:
= 6 + 5 = 11 trozos.144
24
120
24+
011
010
009
008
007
SOLUCIONARIO
826512 _ 0004-0013.qxd 27/6/07 13:12 Pgina 5
-
6Escribe todos los nmeros enteros.
a) Mayores que 4 y menores que +2.b) Menores que +3 y mayores que 5.c) Menores que +1 y mayores que 2.d) Mayores que 5 y menores que +6.
a) 4 < 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2
b) 5 < 4 < 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3
c) 2 < 1 < 0 < 1
d) 5 < 4 < 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6
Representa en la recta numrica los siguientes nmeros: 6, 0, 8, +3, 5 y +4.
Indica el nmero entero que corresponde a cada punto marcado en la recta numrica.
a)
b)
a) A = 5, B = 3, C = 2, D = 5
b) A = 6, B = 4, C = 1, D = 3
Completa con nmeros enteros.
a) 3
-
70
Calcula.
a) (11) + (+4) c) (20) + (12)b) (+13) + (+12) d) (+11) + (15)
a) (11) + (+4) = 7 c) (20) + (12) = 32
b) (+13) + (+12) = 25 d) (+11) + (15) = 4
Realiza estas restas.
a) (5) (+5) c) (15) (17)b) (+3) (7) d) (+8) (+7)
a) (5) (+5) = 10 c) (15) (17) = 2
b) (+3) (7) = 10 d) (+8) (+7) = 1
Calcula.
a) (4) + (+5) (18) c) (+20) (5) (+5)b) (+30) (+7) + (18) d) (12) (+3) (7)
a) (4) + (+5) (18) = 19 c) (+20) (5) (+5) = 20
b) (+30) (+7) + (18) = 5 d) (12) (+3) (7) = 8
Completa los huecos para que las igualdades sean ciertas.
a) (+13) + = (+12) c) (15) = (+9)b) + (20) = (12) d) (+8) = (+7)
a) 1 b) 8 c) 24 d) 15
Calcula.
a) (+4) (5) c) (40) (10)b) (40) (+8) d) (+2) (+15)
a) (+4) (5) = 20 c) (40) (10) = 400
b) (40) (+8) = 320 d) (+2) (+15) = 30
Haz estas divisiones.
a) (+35) : (7) b) (21) : (+3) c) (18) : (2) d) (+40) : (10)
a) (+35) : (7) = 5 c) (18) : (2) = 9
b) (21) : (+3) = 7 d) (+40) : (10) = 4
Completa los huecos para que las igualdades sean ciertas.
a) (+13) = (+39) c) (15) : = (+5)b) (6) = (42) d) : (+8) = (+2)
a) 3 b) 7 c) 3 d) 16
024
023
022
021
020
019
018
SOLUCIONARIO
826512 _ 0004-0013.qxd 27/6/07 13:12 Pgina 7
-
8Realiza estas operaciones.
a) 6 + (4 + 2) (3 1) e) 10 (8 7) + (9 3)b) 7 (4 3) + (1 2) f) 1 (2 3) + (4 5)c) 3 + (2 3) (1 5 7) g) 1 (1 + 2 5 + 4)d) 8 + (1 + 4) + (7 9) h) 3 + (5 9) (7 5 7)
a) 6 + (4 + 2) (3 1) = 6 + (2) (4) = 8
b) 7 (4 3) + (1 2) = 7 (+1) + (3) = 3
c) 3 + (2 3) (1 5 7) = 3 + (1) (11) = 13
d) 8 + (1 + 4) + (7 9) = 8 + (+5) + (16) = 19
e) 10 (8 7) + (9 3) = 10 (+1) + (12) = 3
f) 1 (2 3) + (4 5) = 1 (1) + (9) = 7
g) 1 (1 + 2 5 + 4) = 1 (0) = 1
h) 3 + (5 9) (7 5 7) = 3 + (4) (5) = 4
Halla el valor de estas expresiones.
a) 8 + 7 6 + 5 11 + 2 d) 100 22 5b) (12) 7 : 3 e) (26) : 2 6 : 3 + 4c) 9 12 : 4 f) 15 (9) 7 (6) : 2
a) 8 + 7 6 + 5 11 + 2 = 5
b) (12) 7 : 3 = 28
c) 9 12 : 4 = 6
d) 100 22 5 = 10
e) (26) : 2 6 : 3 + 4 = 13 2 + 4 = 11
f) 15 (9) 7 (6) : 2 = 135 + 21 = 114
Haz estas operaciones.
a) (4) (6) : (+3)b) (+5) : (5) (7) (+2)c) (11) (+3) (4) : (6) (9)d) (18) [(+4) + (6)] : (+2) + (+5)e) (5) (9) (+4) (3) : (2) : (6)f) (+3) (+6) : (+2) (3) : [(2) + (1)]
a) (4) (6) : (+3) = (4) (2) = 2
b) (+5) : (5) (7) (+2) = 1 (14) = 13
c) (11) (+3) (4) : (6) (9) = (11) (+2) (9) = 4
d) (18) [(+4) + (6)] : (+2) + (+5) = (18) (1) + (+5) = 12
e) (5) (9) (+4) (3) : (2) : (6) = (5) (9) (1) = 5
f) (+3) (+6) : (+2) (3) : [(2) + (1)] = (+3) (3) = 0
027
026
025
Repaso
826512 _ 0004-0013.qxd 27/6/07 13:12 Pgina 8
-
Calcula.
a) (3 + 2) (3 1 + 4) 2 (2 3)b) [(15 16 + 2) (1) + 9] 7c) 2 [2 2 (2 2 2)]d) [2 + 3 (6 + 5)] [(4 2) (3 6) + 1]
a) (3 + 2) (3 1 + 4) 2 (2 3) = 30 12 = 18
b) [(15 16 + 2) (1) + 9] 7 = [(1) + 9] 7 = 56
c) 2 [2 2 (2 2 2)] = 2 (2) = 4
d) [2 + 3 (6 + 5)] [(4 2) (3 6) + 1] = (6) (143) = 137
Completa los huecos para que se cumplan las igualdades.
a) (6) [(1) + ] = 18 c) 3 [ 5] = 18b) 8 [4 ] = 32 d) 1 + [3 : ] = 2
a) 4 b) 0 c) 3 d) 1
Expresa mediante una razn.
a) De las 55 preguntas del test he acertado 36.b) Tenamos 68 huevos y se han roto 12.c) En el primer turno de comida comen 94 alumnos, y en el segundo, 65.d) Una frutera tiene 7 cajas de tomates y 3 de pimientos.
a) b) c) d)
En el comedor del colegio ponen 3 barras de pan por cada 8 alumnos. Hoy hemos comido 124 alumnos y han puesto 50 barras, se ha mantenido la proporcin?
Comprobamos si las dos razones: y forman una proporcin.
3 124 8 50
Luego no se ha mantenido la proporcin.
Identifica las razones que forman una proporcin.
a) b) c)
a) Forman proporcin: .
b) Forman proporcin: .
c) Forman proporcin: .7 5
3
10
4
,=
10
2
50
10=
2
1
6
3=
7 53
46
32
104
,, , ,
102
5010
308
205
, , ,21
82
63
95
, , ,
032
50
124
3
8
031
3
7
65
94
12
68
36
55
030
029
028
9
0SOLUCIONARIO
826512 _ 0004-0013.qxd 27/6/07 13:12 Pgina 9
-
10
PUEBLA DE MONTEALBO: SOLO EL 8 % DE LOS ENCUESTADOS CRITICA LA LABOR MUNICIPAL.
Si Puebla de Montealbo tiene 7.000 habitantes, cuntos, aproximadamente,aprueban la labor del alcalde?
El 8 % de 7.000 = 560 personas critican la labor municipal.
Luego 7.000 560 = 6.440 personas aprueban la labor municipal.
A la derecha ves la composicin de un yogur:
Calcula el peso de sus componentes si pesa 125 g.
En 125 g de yogur hay:
3,5 % de 125 = 4,375 g de protenas13,4 % de 125 = 16,75 g de carbohidratos1,9 % de 125 = 2,375 g de grasas
GEOMETRA
Dibuja este polgono en tu cuaderno y seala sus lados, vrtices y ngulos. Traza sus diagonales. Cuntas diagonales tiene?
Tiene 5 diagonales.
Dibuja un octgono, un enegono y un decgono que no sean regulares y dibuja sus diagonales.
036
035
034
033
Repaso
VALOR NUTRITIVOProtenas: 3,5 %
Carbohidratos: 13,4 %Grasas: 1,9 %
G
GG
G
Vrtice
Diagonal
Lado
ngulo
826512 _ 0004-0013.qxd 27/6/07 13:12 Pgina 10
-
11
0
Contesta si es verdadero o falso.
a) Un polgono puede tener ms vrtices que lados.b) Un polgono puede tener ms vrtices que ngulos.c) Un polgono puede tener ms vrtices que diagonales.
a) Falso. c) Verdadero, por ejemplo
b) Falso. un tringulo o un cuadrado.
Dibuja una circunferencia con un comps. Despus, traza una cuerda y los dos arcos que determina.
En esta circunferencia, seala los segmentos que son cuerdas, radios y dimetros.
Contesta a estas preguntas.
a) Un tringulo rectngulo, puede ser equiltero?b) Cul es el valor de los ngulos de un tringulo rectngulo issceles?c) Cunto miden los ngulos de un tringulo rectngulo con un ngulo
agudo que mide el triple que el otro ngulo agudo?
a) No, porque los tres ngulos de un tringulo equiltero miden 60.
b) Un ngulo mide 90 y los otros dos miden 45 cada uno.
c) Un ngulo mide 90, el otro mide 22,5 y el tercero 67,5.
Un tringulo issceles tiene el ngulo desigual de 50. Cunto miden los ngulos iguales?
Los ngulos iguales miden:
.180 50
265
=
C
A B
041
040
Cuerdas
Dimetro
Radios
F
FG
G
G
G
039
G
FArco BACuerda
G Arco AB
B
A
038
037
SOLUCIONARIO
826512 _ 0004-0013.qxd 27/6/07 13:12 Pgina 11
-
12
Si dibujamos un tringulo rectngulo, uno issceles y otro escaleno, y los cortamos por una recta paralela a la base, qu polgonos obtenemos en cada caso?
En el caso del tringulo rectngulo, si la base es uno de los catetosobtenemos otro tringulo rectngulo y un trapecio rectngulo. Y si la base es la hipotenusa obtenemos un tringulo rectngulo y un trapecio.
En el caso del tringulo issceles, si la base es el lado desigual obtenemos un tringulo issceles y un trapecio issceles. Y si la base es el lado desigualse obtiene un tringulo issceles y un trapecio.
Calcula la medida de C$ en este trapecio rectngulo sabiendo que B$ = 45.
A$ = 90, D$ = 90 y B$ = 45 C$ = 360 90 90 45 = 135
FUNCIONES
Indica las coordenadas de cada punto.
A(3, 2) C(0, 4) E(5, 3) A(3, 6) C(4, 5) E(5, 0)B(4, 2) D(1, 3) F(2, 2) B(6, 1) D(0, 1) F(4, 3)
AB
C
D E
Y
X
A
B
C
D
E
F
1
1
1
1
G
Y
X
044
D C
A B
043
042
Repaso
Si el tringulo es escaleno se obtiene un tringulo escaleno semejante al original y un trapecio.
826512 _ 0004-0013.qxd 27/6/07 13:12 Pgina 12
-
13
0
Dados los siguientes puntos: A(4, 1), B(3, 4), C(3, 2) y D(2, 3):a) Represntalos en el plano.b) nelos en orden alfabtico y une tambin D con A. Qu figura obtienes?
Se obtiene un romboide.
Haz lo mismo con estos puntos: A(5, 0), B(3, 4), C(3, 4), D(5, 0) y E(0, 4).
La figura que se obtiene es un pentgono.
Representa los siguientes puntos: A(5, 2), B(4, 0), C(5, 1), D(8, 2) y E(1, 2).a) Indica los puntos que tienen la misma ordenada.b) Cuntos puntos tienen la misma abscisa? Cules son?
a) Tienen la misma ordenada: A, D y E.
b) Tienen la misma abscisa: A y C.
Dibuja los ejes de coordenadas para que el punto sea A(2, 1).
A
Y
X
2
1
048
AE
B
C
D
Y
X0
5
3
1
1
3
5
047
A
E
BC
D
Y
X1
1
046
A
B
C
D
Y
X1
1
045
33 5 7
SOLUCIONARIO
826512 _ 0004-0013.qxd 27/6/07 13:12 Pgina 13
-
14
Nmeros racionales1
EXACTOS PERIDICOSNO EXACTOS
Y NO PERIDICOS
PUROS
FRACCIONES
MIXTOS
NMEROSDECIMALES
FRACCINEQUIVALENTE
OPERACIONES
FRACCINIRREDUCIBLE
NMEROSRACIONALES
DIVISINSUMA RESTA MULTIPLICACIN
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 14
-
Al da se le asigna:
A la noche se le asigna: 69
23
=
39
13
=
La senda de los recuerdos
La sala del trono papal apareca enorme y vaca a los ojos de Silvestre II. El otrora poderoso pontfice romano haba perdido todo su poder poltico aunque a los ojos de cualquiera su presencia an impona un respeto casi mstico.
Ya anciano gustaba de pasear por su pasado, el nico sitio adonde solo poda llegar l y se senta libre. Recordaba feliz su estancia en el monasterio cataln de Ripoll, las frecuentes visitas a su imponente biblioteca y la ciencia que vena del sur.
A su memoria volvan algunos de sus recuerdos iluminando su rostro, como aquel baco que l mismo construy con los nmeros arbigos escritos en sus fichas y cuyo uso describi con detalle, o el proyecto de aquella mquina que fraccionara el tiempo, sustituta de la campana de los monjes: maitines, laudes, prima, tercia
Abri el libro y, por azar, se encontr con el proyecto de la mquina que meda el tiempo cuyas primeras lneas decan:
Da y noche son las dos partes en que se divide el da, mas no son iguales, el primero de diciembre durante el da se han consumido 3 velas y 6 durante la noche
De repente, como el humo de las velas tras un golpe de aire, el imaginario camino trazado en el tiempo se desvaneci al or la voz de su secretario que, a cierta distancia, le informaba de su prxima audiencia.
Qu fraccin del da le asignaras al da y a la noche?
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 15
-
16
EJERCICIOS
Calcula.
a) de 450 b) de 350
a) b)
Comprueba si son equivalentes estas fracciones.
a) y b) y
a) Son equivalentes, ya que: 7 6 = 42 = 2 21.
b) No son equivalentes, pues 12 25 = 300 600 = 60 10.
Representa, mediante un grfico, estas fracciones como partes de la unidad.
a) b) c) d)
a) b) c) d)
Escribe fracciones cuyo valor numrico sea:
a) 2 b) 2 c) 0,5 d) 1,5
a) c)
b) d)
Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de las siguientes por amplificacin y otras dos por simplificacin.
a) b) c)
AMPLIFICACIN SIMPLIFICACIN
a)
b)
c)12
28
6
14
3
7= =
12
28
24
56
36
84= =
690
360
230
120
69
36= =
690
360
1 380
720
2 070
1 080= =
. .
.
120
60
60
30
40
20= =
120
60
240
120
360
180= =
1228
690360
12060
005
3
21 5= ,
=
6
32
1
20 5= ,
14
72=
004
63
55
74
410
003
1025
1260
216
72
002
3
7350 150 =
4
5450 360 =
37
45
001
Nmeros racionales
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 16
-
17
1
Calcula la fraccin irreducible de estas fracciones.
a) b) c)
a) m.c.d. (18, 40) = 2
b) m.c.d. (60, 75) = 15
c) m.c.d. (42, 56) = 14
Halla fracciones de denominador 100 que sean equivalentes
a las fracciones , y .
La fraccin es irreducible. Seguir siendo irreducible si multiplicamos
el numerador y el denominador por 7?
No seguir siendo irreducible, ya que el numerador y el denominador tienen 7 como comn denominador.
Ordena, de menor a mayor.
a)
b)
a) m.c.m. (9, 3, 5, 30) = 90;
b) m.c.m. (5, 4, 7, 9) = 1.260;
3
7
4
9
3
5
3
4< < 011
, , ,
55
8
35>
10
40
15
60
8
10
48
60
10
40
43
60
8
10=
=
>
>
,
=
=
>
>
46
8
12
21
6
42
12
5
12
4
6
21
6,
3
8
18
48
10
24
20
48
10
24
20
48
3
8= = = >,
>
78
11
8
4
9
7
8>
HAZLO AS
CMO SE OBTIENE UNA FRACCIN COMPRENDIDA ENTRE OTRAS DOS FRACCIONES?
Encuentra y escribe una fraccin comprendida entre las fracciones y .
PRIMERO. Se suman ambas fracciones.
SEGUNDO. Se divide entre 2 la fraccin obtenida.
La fraccin est comprendida entre y .7
6
4
9
29
36
29
182
29
36: =
4
9
7
6
8
18
21
18
29
18+ = + =
76
49
Nmeros racionales
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 28
-
29
1
Calcula.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Haz las siguientes restas.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Calcula.
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)
Opera.
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)
=18
21
63
21
49
21
130
21
+ =
820
15
20
20
20
13
20
18
24
15
24
192
24
159
24+ =
1012
20
12
15
12
45
12
15
4+ + = =
14
30
20
30
5
30
11
30 =
2416
5
16
6
16
23
16+ =
67
373
715
23
16
56
53
54
+ +
912
58
8+ + 25
34
132
516
38
+
059
189
63
3
63
9
63
14
63
191
63 + =
70
77
110
77
84
77
96
77+ =
156
156
13
156
60
156
109
156+ =
150
210
21
210
70
210
199
210 + =
24
6
1
6
7
6
30
65 + = =
34
7
3121
17
29
+4 16
76
+57
110
13
+
11
125
13+ 10
11107
1211
+ 257
117
27
+
058
154
66
33
66
6
66
115
66 =
15
30
2
30
13
30 =
126
84
12
84
14
84
100
84 =
23
11
73
12
111
32
17
212
510
115
3311
1011
057
63
7
5
7
6
7
62
7+ =
21
6
12
6
8
6
41
6+ + =
72
8
4
957
67
+ 52
32
92
72
286
+ +34
54
14
+ +
056
SOLUCIONARIO
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 29
-
30
Efecta estas operaciones.
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)
Completa los huecos.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Realiza estos productos.
a) b) c) d)
a) b) c) d)
Opera.
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)9 3 11
4 11 3
9
4
=27
42
9
14=
162
35 =
14
36
7
18
3
24
1
8=
36
30
6
5=
94
311
113
14
36
29
74
97
65
3 96
37
125
36
063
84
9
28
3=
70
6
35
3=
40
14
20
7=
12
15
4
5=
2149
72
103
514
823
65
062
= =1
4
1
6
1
5
7
60= =
4
5
4
6
2
15
= =3
9
3
7
3
8
79
504= =
1
2
1
3
1
6
= 16
14
15
= 46
45
= 39
37
38
+= 12
13
+
061
1 521
1 287
99
1 287
1 573
1 287
3 193
1 287
.
. .
.
.
.
.+ + =
9
18
2
18
2
18
9
18
1
2+
+ = =
588
924
77
924
330
924
995
924+ + =
50
70
7
70
43
70+
=
385
77
70
77
110
77
565
77+ + =
716
1311
113
119
+ +5 1011
107
+ +57
110
+
711
112
514
+ +12
19
218
+ + + 516
216
060
Nmeros racionales
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 30
-
31
1
Calcula.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Efecta las divisiones.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Completa los huecos.
a) d)
b) e) (5)
c) f) = 2
a)
b)
c)
d)
e)
f) = =4
52
2
5: ( )
=
=10
35
2
3: ( )
= = =1
4
1
5
1
6
30
4
15
2: :
= =3
9
3
7
3
8
56
27: :
=
=4
5
4
6
6
5:
= =1
4
1
3
3
4:
45
:= 39
37
38
= 103
= 46
45
:
= 16
14
15
: := 14
13
066
=15
60
1
4
64
3
11
21
14
105
2
15=
56
103
:
8
38
:
113
7:75
212
:
065
=
4090
4
9
20
84
5
21=
63
30
21
10=
10
24
5
12=
815
65
:
512
74
:
95
67
:58
32
:
064
SOLUCIONARIO
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 31
-
32
Calcula.
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
Realiza las operaciones.
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
Seala la parte entera y decimal de los siguientes nmeros.
a) 0,75 c) 1,8989 e) 2,161820b) 274,369 d) 127,4555 f) 7,0222
a) Parte entera: 0. Parte decimal: 75.
b) Parte entera: 274. Parte decimal: 369.
c) Parte entera: 1. Parte decimal: 8989
d) Parte entera: 127. Parte decimal: 4555
e) Parte entera: 2. Parte decimal: 161820
f) Parte entera: 7. Parte decimal: 0222
069
3
5
21
20
33
20+ =
72
15
13
15
72
13: =
2
75
37
7+ =
8
5
7
30
48
7: =
4
3
7
18
17
18 =
4
5
17
72
17
90
=
3
10
5
4
19
20 =
76
21
60
49
60 =
25
310
718
: 85
35
1130
: +
12
65
75
43
+ :25
34
54
45
524
49
27
32135
+ :83
59
65
13
: :
76
320
815
+
068
8
3
7
15
33
15 =
7
51
2
5 =
35
36
7
3
2
5
245
108
2
5
1 441
540 + = + =
.6
5
16
21
46
105 =
91
4
41
159
41
60
499
60 = =
11
20
7
3
77
60 =
97
12
2
5
529
60 + =
4
5
7
12
48 35
60
13
60 =
=
914
73
25
+
2
35
47
34
:
23
34
15
37
: 9 14
73
25
+45
14
73
914
73
25
+
35
47
34
1: : 45
14
73
067
Nmeros racionales
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 32
-
33
1
Expresa, mediante una fraccin y mediante un nmero decimal, la parte coloreada de cada una de las figuras.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Indica cules de los nmeros son peridicos y cules no. Seala el perodo para los que sean peridicos.
a) 1,333 d) 6,987654b) 2,6565 e) 0,010101c) 3,02333 f) 1,001002003
a) Peridico, de perodo 3.
b) Peridico, de perodo 65.
c) Peridico, de perodo 3.
d) No peridico.
e) Peridico, de perodo 01.
f) No peridico.
Clasifica estos nmeros decimales en exactos, peridicos puros, peridicos mixtos o no exactos y no peridicos.
a) 1,052929 f) 13,12345666b) 0,89555 g) 1.001,034034c) 7,606162 h) 0,0000111d) 120,8 i) 1,732e) 98,99100101 j) 0,123456777
a) Peridico mixto. f) Peridico mixto.
b) Peridico mixto. g) Peridico puro.
c) No exacto y no peridico. h) Peridico mixto.
d) Exacto. i) Exacto.
e) No exacto y no peridico. j) Peridico mixto.
072
071
1
60 1666= , ...
3
40 75= ,
1
20 5= ,
1
20 5= ,
070
SOLUCIONARIO
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 33
-
34
Razona qu tipo de nmero: entero, decimal exacto o peridico, expresan las siguientes fracciones.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) Exacto, porque el denominador de su fraccin irreducible solo tiene 2como factor.
b) Entero, porque el numerador es mltiplo del denominador.
c) Peridico mixto, porque el denominador de su fraccin irreducible tienecomo factores 2 y 3.
d) Exacto, porque el denominador solo tiene como factores 2 y 5.
e) Peridico mixto, porque el denominador de su fraccin irreducible tienecomo factores 5 y 3.
f) Peridico puro, porque los factores del denominador son distintos de 2 y 5.
g) Entero, porque el numerador es mltiplo del denominador.
h) Exacto, porque el denominador de su fraccin irreducible solo tiene comofactores 2 y 5.
i) Peridico mixto, porque el denominador tiene como factores 2, 3 y 5.
Obtn la fraccin generatriz.
a) 5,24 c) 3,7)
e) 5,12)
b) 1,735 d) 5,43)
f) 0,235)
a) c) e)
b) d) f)
Expresa en forma de fraccin estos nmeros.
a) 7 d) 9,6)
g) 9,54)
b) 6,05 e) 4,07)
h) 0,315)
c) 0,00182 f) 14,413)
i) 0,0123)
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)122
9 900
61
4 950. .=
14 399
999
. =
182
100 000
91
50 000. .
312
990
52
165=
403
99
605
100
121
20=
859
90
87
9
29
3=
71
075
233
990
538
99
1 735
1 000
347
200
.
.=
461
90
34
9
524
100
131
25=
074
1990
1521
424
21420
3430
4411
221
5120
2736
073
Nmeros racionales
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 34
-
35
1
Expresa en forma decimal las fracciones, y en forma fraccionaria, los decimales.
a) f) k)
b) 7,35 g) 0,278 l) 1,0435c) 13,7
)h) 6,16
)m) 1,274)
d) 8,91)
i) 18,57)
n) 0,315)
e) j) 2,265)
) 0,0123)
a) 1,125 f) 0,81)
k) 1,12)
b) g) l)
c) h) m)
d) i) n)
e) 4,8 j) )
Calcula, utilizando las fracciones generatrices.
a) 0,2777 + 2,333 c) 0,44 2,5151b) 3,5666 2,2727 d) 1,13888 : 0,9393
a) c)
b) d)
Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas, justificando tu respuesta.
a) Todo nmero decimal puede expresarse en forma de fraccin.b) Un nmero entero se puede expresar como una fraccin.c) En un nmero decimal peridico, las cifras decimales se repiten
indefinidamente despus de la coma.d) Si un nmero decimal tiene como perodo 0, es un nmero exacto.
a) Falso, los decimales no exactos y no peridicos no se pueden expresarcomo fraccin.
b) Verdadero, la fraccin ser el cociente del nmero y la unidad.
c) Verdadero en el caso de los peridicos puros, pero no en los peridicosmixtos.
d) Verdadero, ya que tiene un nmero exacto de cifras decimales.
078
1 025
900
93
99
451
372
.: =
321
90
225
99
1 281
990 =
.
44
100
249
99
913
825 =
25
90
21
9
235
90
47
18+ = =
077
12
990
2
165=
2 039
900
.
284
900
71
225=
1 839
99
613
33
.=
802
90
401
45=
1 273
999
.555
90
37
6=
124
9
10 435
10 000
2 087
2 000
.
.
.
.=
278
1 000
139
500.=
735
100
147
20=
4810
10190
911
98
076
SOLUCIONARIO
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 35
-
36
Se dispone de 30 metros de tela. Calcula cuntos metros son:
a) de la tela b) de la tela c) de la tela
a)
b)
c)
Una empresa ha ingresado esta semana dos quintos de 12.300 . Calcula el dinero que ha ingresado la empresa.
Ha ingresado: .
Un padre le da a su hija mayor 30 , y a su hijo menor, la tercera parte de lo que ha recibido la mayor. Cunto ha recibido el hijo menor?
El hijo menor ha recibido: .
Para el cumpleaos de mi madre, le hemos regalado una caja de bombones.
Hemos comido ya las partes de la caja. Si la caja contena 40 bombones,
cuntos bombones quedan?
Queda de la caja, es decir: bombones.1
440 10 =
1
4
34
083
082
1
330 10 =
081
2
512 300 4 920 =. .
080
5
630 25 = m
7
3030 7 = m
3
530 18 = m
56
730
35
079
HAZLO AS
CMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS EN LOS QUE SE CONOCE UNA PARTE DEL TOTAL?
En la clase, las partes son chicos. Cuntas chicas hay si son 25 alumnos en total?
PRIMERO. Se resta la parte conocida, , al total, 1, para calcular la parte desconocida.
son chicas
SEGUNDO. Se calcula lo que representa esa parte en el total de alumnos, 25.
15 chicas3
525
3
525
3 25
5
75
5de = =
= =
12
5
5
5
2
5
3
5 = =
2
5
25
Nmeros racionales
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 36
-
37
1
Los tres octavos del total de alumnos de un IES llevan gafas. Si llevan gafas129 alumnos, cuntos alumnos son en total?
alumnos son en total.
Un granjero quiere vallar un terreno de 2.275 m de largo. El primer da hace
los del trabajo, y el segundo da, los . Cuntos metros faltan por vallar?
faltan.
Unos amigos recorren 105 km en bicicleta. El primer da hacen del camino
y el segundo da , dejando el resto para el tercer da.
Cuntos kilmetros recorren cada da?
1.er da 3.er da 105 (28 + 35) = 42 km
2.o da
Una familia gasta de sus ingresos mensuales en el alquiler del piso,
en el telfono y en transporte y ropa.
Cmo se distribuyen los gastos si sus ingresos mensuales son de 3.000 ?
Alquiler Transporte y ropa
Telfono
En un campamento, de los jvenes son europeos, asiticos y el restoafricanos. Si hay en total 800 jvenes:
a) Cuntos jvenes europeos hay?b) Si la mitad de los asiticos son chicas, cuntas chicas asiticas habr?c) Cuntos de estos jvenes son africanos?
a) Europeos
b) Asiticas
c) Africanos 800 300 160 = 340
1
5800 2 160 2 80
= =: :
3
8800 300 =
15
38
088
1
603 000 50 =.
1
83 000 375 =.
1
153 000 200 =.
18
160
115
087
4
15105 28 = km
1
3105 35 = km
415
13
086
16
352 275 1 040 =. . m1
3
7
2
51
29
35
16
35 +
= =
25
37
085
3
8
129 129 8
3344= =
=
xx
084
SOLUCIONARIO
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 37
-
38
Tenemos una pieza de alambre de 90 m. Vendemos las partes a 3 /m,
del resto a 4 /m y los metros que quedan a 2 /m. Cunto hemos ganado
si habamos comprado el metro de alambre a 2 ?
, a 3 /m, son 180 .
, a 4 /m, son 20 .
90 60 5 = 25 m, a 2 /m, son 50 .
El alambre cost: 90 2 = 180 y hemos cobrado: 180 + 20 + 50 = 250 . Por tanto, hemos ganado: 250 180 = 70 .
Tres amigos se reparten 90 que han ganado en la quiniela de la siguientemanera: el primero se queda con la quinta parte, el segundo con la tercera partede lo que recibe el primero, y el tercero con la mitad de lo que recibe el segundo.
a) Qu fraccin representa lo que obtiene cada uno?
b) Cunto dinero se queda cada amigo?
c) Y cunto dinero dejan de bote?
a) 1.o 2.o 3.o
b) 1.o 2.o 3.o
c) 90 (18 + 6 + 3) = 63 dejan de bote.
1
3090 3 =
1
1590 6 =
1
590 18 =
1
2
1
15
1
30 =
1
3
1
5
1
15 =
1
5
091
1
690 60 5 =( ) m
2
390 60 = m
16
23
090
089
Nmeros racionales
HAZLO AS
CMO SE CALCULA UNA PARTE DE UNA FRACCIN?
Cristina debe leer un libro para el colegio. El primer da lee la cuarta parte dellibro, y el segundo da, la mitad de lo que le quedaba. Qu fraccin representalo que lee el segundo da?
PRIMERO. Se calcula la fraccin de la que se hallar su parte.
El primer da lee , y le quedan: .
SEGUNDO. Se calcula la parte de la fraccin.
El segundo da lee: .
Por tanto, el segundo da lee del libro.3
8
3
42
3
8: =
11
4
3
4 =
1
4
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 38
-
39
1
De un calentador, primero se gasta la mitad del agua y luego la cuarta parte de lo que quedaba. Si todava quedan 12 litros, cul es la capacidad delcalentador?
Primero: .
Segundo: .
Queda entonces: .
es la capacidad del calentador.
Unos amigos organizan una excursin a la montaa: el primer da recorren un cuarto de lo programado, el segundo da un tercio, dejando el resto (que son 25 km) para el tercer da. Qu fraccin representan los kilmetrosrecorridos el tercer da? Cuntos kilmetros han recorrido en total?
El tercer da recorren: .
Han recorrido en total: .x = =255
1260: km
11
4
1
3
5
12 =
094
x = =123
832:
11
2
1
8
3
8 =
1
41
1
2
1
8
=
1
2
093
092
SOLUCIONARIO
HAZLO AS
CMO SE CALCULA EL TOTAL CONOCIENDO UNA PARTE?
Una piscina est llena hasta los de su capacidad. An se necesitan 880 litros
para que est completamente llena. Qu capacidad tiene la piscina?
PRIMERO. Se calcula la fraccin que representa la parte vaca de la piscina.
SEGUNDO. Se designa por x la capacidad total de la piscina.
Despejando x:
La piscina tiene 3.960 litros de capacidad.
x = =
= =8802
9
880 9
2
7 920
23 960:
..
2
9
2
9880de x x= =
17
9
9
9
7
9
2
9 = =
79
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 39
-
40
Calcula las siguientes diferencias.
a) Con los resultados, efecta esta suma.
b) A la vista del resultado anterior, cul crees que ser el resultado de esta suma?
a)
b)
Si vaciamos estos dos recipientes en una jarra, cul es la proporcin de agua y de vinagre en la jarra?
La mezcla resultante tendr 5 partes de agua y 2 partes de vinagre.
La proporcin de agua es y la de vinagre es .2
7
5
7
096
= =11
1 001
1 000
1 001.
.
.
1
2
1
6
1
12
1
20
1
30
1
42
1
1 001 000+ + + + + + + =
. .
1
1 001 000
1
1 000
1
1 001. . . .=
= + + + + = =11
2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
4
1
5
1
5
1
61
1
6
5
6
1
2
1
6
1
12
1
20
1
30+ + + + =
1
4
1
5
1
20 =
1
2
1
3
1
6 =
1
5
1
6
1
30 =
1
3
1
4
1
12 =1
1
2
1
2 =
12
16
112
120
130
142
11 001 000
+ + + + + + +. .
12
16
112
120
130
+ + + +
12
13
13
14
14
15
15
16
1 12
- -
- -
-
095
MEZCLA
2 partes de agua
1 parte de vinagre
MEZCLA
3 partes de agua
1 parte de vinagre
Nmeros racionales
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 40
-
41
1
Esta figura contiene nueve cuadrados, todos de lado 1. Los puntos sealadosverifican:
PQ = QR = RS = ST =
Una recta une a X con uno de esos puntosy divide la figura en dos regiones de igual rea. Cul es esa recta?
Es la recta XQ, que forma un tringulo y un cuadrado. El tringulo tiene
de base 4 y de altura: , por lo que su rea ser: .
Por su parte, el rea del cuadrado es 1.
El rea es: 3,5 + 1 = 4,5, que es la mitad del rea total: .
EN LA VIDA COTIDIANA
Una comunidad de vecinos quiere instalar placas solares para abastecer parte de la energa elctrica que se consume en el edificio. Han consultado con una empresa instaladora y les ha proporcionado los siguientes datos.
098
9
24 5= ,
47
42 3 5
=: ,1
3
4
7
4+ =
14
X
T SRQP
097
X
SOLUCIONARIO
PRESUPUESTO
PARALA IN
STALACIN
DE PLACAS
SOLARES
Comunidad de
vecinos: C/ de
l Sol, 23
Placas solares
e instalacin.
Total: 22
.000
Segn nuestros informes, la instalacin de placas solares
permite un ahorro de del consumo
energtico actual del edificio.
27
Q
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 41
-
42
La empresa instaladora les ha informado de que ciertos organismos oficialesconceden subvenciones para la instalacin de placas solares.
La compaa elctrica suministradora de la comunidad cobra a 8,6726 cntimos el kilowatio. En el ltimo recibo bimensual, cada uno de los 48 vecinos ha pagado 46,34 .Cunto tiempo tardarn en amortizar las placas solares y su instalacin, si el consumo de la comunidad se mantiene?
Coste de las placas y la instalacin: 22.000 .
Subvencin: 22.000 = 11.000 .
Gasto mensual: (48 46,34) : 2 = 1.112,16 .
Ahorro en el gasto: .
Tiempo de amortizacin: (22.000 11.000) : 317,76 = 34,62 meses.
Por tanto, tardarn algo menos de tres aos en amortizar el gasto.
Las noticias sobre los accidentes ocurridos durante la Semana Santa destacanun importante aumento de siniestros.
099
2
71 11216 317 76 =. , ,
1
2
INSTITUTO PARA LA DIVERSIFICACIN Y AHORRODE LA ENERGA
En relacin con la subvencin solicitada por su comunidadpara la instalacin de placas solares en el edificio situado en la calle del Sol, nmero 23, le informamos de que dichasubvencin ha sido otorgada, y que su cuanta asciende a la mitad del coste de las placas y su instalacin.
Nmeros racionales
Siniestralidad durante la Semana Santa en la carretera
108 personas han muerto en accidentes de carretera
La mitad de los fallecidos enturismos no utilizaba el cinturn.
Uno de cada tres fallecidos enmotocicletas no llevaba casco.
La mitad de los fallecidos te-na menos de 35 aos, y de estos,uno de cada cuatro era menor de 25 aos.
La distraccin aparece comoel factor fundamental en dos decada cinco accidentes, la infrac-cin de las normas de trfico enuno de cada tres y el exceso de ve-locidad en tres de cada diez.
Vehculo FallecidosTurismos 91
Motocicletas 17
826512 _ 0014-0043.qxd 28/6/07 16:37 Pgina 42
-
43
1
El ltimo prrafo del artculo se refiere a accidentes, pero nosotros resolvemosel problema como si se tratara de fallecidos; as, el prrafo sera:
La distraccin aparece como el factor fundamental en dos de cada cinco fallecidos, la infraccin de las normas de trfico en uno de cadatres y el exceso de velocidad en tres de cada diez.
Si no se considerara de este modo, no podramos determinar el nmero de fallecidos, pues en un mismo accidente puede haber ms de un fallecidoo no haber ninguno.
SOLUCIONARIO
Fallecidos
Medidas de seguridad
No llevaba cinturn 1
291 45 5 46 = ,
No utilizaba casco 1
317 5 6 6 = ,
Cumpla las medidas de seguridad 108 46 6 = 56
Edades
Menores de 35 aos 1
2108 54 =
Mayores de 35 aos 1
2108 54 =
Menores de 25 aos 1
454 13 5 14 = ,
Causa principal accidente
Distraccin 2
5108 43 2 43 = ,
Infraccin de normas de trfico
1
3108 36 =
Exceso de velocidad 3
10108 32 4 32 = ,
Ninguna de lascircunstancias anteriores
El exceso de velocidad es una infraccin de trfico,luego 108 36 43 = 29. Hay 29 personas fallecidasen estas circunstancias.
Estamos suponiendo que la causa principal de accidente es nica, es decir, no se computan dos o ms causas principales de accidente.
826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 43
-
44
Nmeros reales2
REPRESENTACIN
NMEROSRACIONALES
NMEROSIRRACIONALES
POTENCIACIN APROXIMACIONES
ERRORES
NMEROSREALES
EXPONENTEPOSITIVO
EXPONENTENEGATIVO
NOTACINCIENTFICA
OPERACIONES
SUMA RESTA MULTIPLICACIN DIVISIN
826512 _ 0044-0073.qxd 22/6/07 13:50 Pgina 44
-
La razn irracional
El gran Pitgoras, el que estudi el mundo y su relacin con los nmeros, el descubridor de la belleza racional de todas las cosas creadas, al final de su vida, en los albores del siglo V a.C., se confesaba a uno de sus discpulos amargamente:
Escucha le deca a Hipaso de Metaponto: Toda mi vida he buscado la verdad en los nmeros; la explicacin de lo divino y lo humano estaba en ellos o en sus razones, todo era perfecto y explicable, todo razonable
Hipaso miraba a su maestro con admiracin, mientras asenta con la cabeza.
Mientras tanto, Pitgoras continuaba:
Ahora que ha llegado el final de mi vida he de confesarte una horrible verdad: hace tiempo que los descubr, hay otros.
Otros? pregunt Hipaso.
S, estn ah pero son inconmensurables: cualquiera puede construir un cuadrado cuyolado mida 1; sin embargo, ser incapaz de medir su diagonal. Incluso la razn de la Pentalfa no es tal, sino uno de estoscamuflado.
Si no lo crees intenta medir la diagonal de esta habitacin que tiene 3 pasos de anchoy 5 de largo.
Aplicamos el teorema de Pitgoras:
Observamos que aunque el ancho y el eje largo de la habitacin se pueden medir con nmeros enteros, su diagonal es un nmero irracional, es decir, no es medible.
3 5 9 2534 5 830951
2 2+ +
= == = ,
826512 _ 0044-0073.qxd 22/6/07 13:50 Pgina 45
-
46
EJERCICIOS
Calcula las siguientes potencias.
a) 32 d) (5)3 g) (4,25)4
b) 74 e) (2,02)4 h)
c) (9)2 f) i) (14,32)8
a) 9 d) 125 g) 326,25390625
b) 2.401 e) 16,64966416 h)
c) 81 f) i) 8.622.994,474905370624
Calcula (0,8)2, (0,8)3 y (0,8)4. Cul es mayor?
(0,8)2 = 0,64 (0,8)3 = 0,512 (0,8)4 = 0,4096
El mayor es (0,8)2.
Expresa en forma de potencia.
a) 3 9 9 3 b)
a) 36 b)
Calcula estas potencias.
a) 73 d) (5)2 g) j)
b) 71 e) (5)0 h) k)
c) 71 f) (5)1 i) l)
a) e) 1 i)
b) 7 f) j)
c) g) k) 1
d) h) l) 5
8
8
5
1
5
1
252( )=
5
8
625
4 096
4
4=
.1
7
= 5
8
5
5
3.125
32.768
1
5
1
51( )=
5
8
1
7
1
3433=
85
185
1
85
085
1
85
585
4
004
1
7
3
17
17
17
003
002
3.125
32.768
1
27
58
5
13
3
001
Nmeros reales
826512 _ 0044-0073.qxd 22/6/07 13:50 Pgina 46
-
47
2
Contesta si es verdadero o falso.
a) Una potencia de exponente negativo es siempre positiva.b) Una potencia de exponente 0 es siempre positiva.
a) Falso, ser siempre positiva si el exponente es par.
b) Verdadero, siempre vale 1.
Cmo calcularas (0,2)3?
Calcula.
a) (8 4)3 d) [6 5]2
b) [(1) (4)]3 e) [(3) 5]2
c) f)
a) 83 43 = 512 64 = 32.768 d)
b) (1)3 (4)3 = (1) (64) = 64 e)
c) f)
Resuelve:
a) b)
a)
b) (6)5 = 65 = 7.776
Seala qu desigualdad es cierta.
a) b)
a) Es cierta: .
b) Es falsa: .[ ( )]2 1 2 164 4 = = >1
2
1
2
1
8
3
= 2 el factor comn de los tres trminos tendra x elevado a 3, lo cual no es posible; y si a < 2 el factor comn de los tres trminos tendra x elevado a un nmero menor que 2. Por tanto, la nica solucin es a = 2.
Desarrolla los siguientes cuadrados.
a) (x + 7)2 e) (x 4)2
b) (2a + 1)2 f) (3a b)2
c) (6 + x)2 g) (5 x)2
d) (3a2 + 2b)2 h) (2b 2 5b 3)2
a) x2 + 14x + 49 e) x2 8x + 16
b) 4a2 + 4a + 1 f) 9a2 6ab + b2
c) 36 + 12x + x2 g) 25 10x + x2
d) 9a4 + 12a2b + 4b2 h) 4b4 20b5 + 25b6
Desarrolla.
a) (3x3 a2)2 b) (x2 + x3)2 c) (2x + x3)2 d) (6ab 2 2y)2
a) 9x6 6x3a2 + a4 c) 4x2 + 4x4 + x6
b) x4 + 2x5 + x6 d) 36a2b4 24ab2y 4y2
Expresa como cuadrado de una suma o una diferencia, segn convenga.
a) x2 + 6x + 9 c) x2 + 4xy + 4y 2
b) 4x2 12xy + 9y 2 d) x 4 + 2x2 + 1
a) (x + 3)2 c) (x + 2y)2
b) (2x 3y)2 d) (x2 + 1)2
Calcula los siguientes productos.
a) (x + 7) (x 7) b) (7x + 4y) (7x 4y)
a) x2 49 b) 49x2 16y2
027
026
025
024
023
xx x
2
7
1
5
xx
21 ( )
x x x x2 227 5 x x
2
2 2
022
Polinomios
826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 82
-
83
3
Estudia si estas expresiones se pueden expresar como suma por diferencia.
a) x2 1 b) x 4 9 c) 16 x2
a) (x + 1) (x 1) b) (x2 + 3) (x2 3) c) (4 x) (4 + x)
Expresa en forma de producto.
a) 4x2 4x + 1 c) 100x2 4z 6
b) 9a2 30ab + 25b2
a) (2x 1)2 b) (3a 5b)2 c) (10x + 2z3) (10x 2z3)
Observa el ejemplo y calcula mentalmente.
1.0002 9992 = (1.000 + 999) (1.000 999) = 1.999 1 = 1.999
a) 462 452 b) 1202 1192 c) 5002 4992
a) 91 b) 239 c) 999
Simplifica las fracciones algebraicas.
a) b) c) d)
a) b) c) d) x
Simplifica: a) b)
a) b)
Calcula a para que
4x2 + 4ax + a2 = (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9 a = 3
ACTIVIDADES
Indica si las siguientes expresiones son o no monomios.
a) 2x2 + yz c) 5x5y 2 e)
b) d) f) 3ab + 2a2
a) No monomio. c) Monomio. e) No monomio.
b) Monomio. d) Monomio. f) No monomio.
xyz2
11
2 4x y
32
13
x y+
034
4 42 3
2 32 2x ax a
xx
+ ++
= + .033
( ) ( )
( )
x x
x
x+
=+3 3
2 3
3
2
( )x
xx
= 2
22
2
xx
2 92 6
x xx
2 4 42
+
032
2
y
5
3
2x yx
y
2
44
2x yxy
63
2
2 2
x yx y
53
3 2x yxy
xxy
3
031
030
029
028
SOLUCIONARIO
826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 83
-
84
Di si los monomios son semejantes.
a) xz, 3xy, 6xy c) 4c 9d, c 7d, cd 4
b) ab, a 2b, 7b d) 8xy 2, 7xy
En a) son semejantes: 3xy, 6xy; xz no es semejante a los anteriores.
No hay ningn monomio semejante en los apartados b), c) y d).
Realiza estas sumas de monomios.
a) xz + 3xz + 6xz c) 9c 9 + c 9 + c 9
b) a 2b + 9a 2b + 27a 2b d) 8xy + 7xy + 43xy + 23xy
a) 10xz b) 37a2b c) 11c9 d) 81xy
Efecta las siguientes restas de monomios.
a) 3xz 6xz c) 18xy 7xy 3xy 3xyb) 9a 2b 2a 2b d) 5x 9 x 9 x 9 x 9
a) 3xz c) 5xy
b) 7a2b d) 2x9
Realiza las operaciones e indica el grado del monomio resultante.
a) 2x2 + 3x2 7x2 + 8x2 x2
b) 5xy 3 2xy 3 + 7xy 3 3xy 3 + 12xy 3
c) 3abc 2abc + 6abc + 9abc 4abcd) 5xz 3xz + 15xz 11xz + 8xz 3xze) (2xyz) (2x2yz 3)f) (2abc) (3a 2b 2c 2) (bc)g) 7x (2xy) (3xy5) (xy)h) (6ac3) (2a 2c3) (3ac) (4a 3c2)i) (21x2y 3) : (7xy 2)j) (9abc) : (3bc)k) (16x4y 5a 3b 6) : (8x2y 3a 2b 5)l) (5m3n2g 4) : (2mng)
a) 5x2 Grado 2. g) 42x4y7 Grado 11.
b) 25xy3 Grado 4. h) 144a7c9 Grado 16.
c) 12abc Grado 3. i) 3xy Grado 2.
d) 11xz Grado 2. j) 3a Grado 1.
e) 4x3y2z4 Grado 9. k) 2x2y2ab Grado 6.
f) 6a3b4c4 Grado 11. l) Grado 6.5
22 3m ng
038
037
036
035
Polinomios
826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 84
-
85
3
Haz las siguientes operaciones.
a) xz + 6xz + xyz 8xz c) 9c 9 c 9 c 9 + 10c 9
b) 9a 2b 2a 2b + 8a 2b a 2b d) 8xy + 7xy xy + 3xy xy
a) 3xz + xyz b) 14a2b c) 17c9 d) 16xy
Realiza estas multiplicaciones.
a) xy 3xy (6xy) c) 8xy 2 7xyb) ab a 2b 7b ab d) 15x9 (3x9)
a) 18x3y3 b) 7a4b3 c) 4y d) 45x18
Efecta las siguientes divisiones de monomios.
a) 9xy : 3xy c) 15x8 : 5x8 e) 15x9 : 3x9
b) 9ab : ab d) 8xy 2 : 2xy 2 f) 32x7 : 8x 4
a) 3 b) 9 c) 3 d) 4 e) 5 f) 4x3
Calcula y simplifica el resultado todo lo que puedas.
a) 2x2 5(x2) + 8x2 (2x) (3x)b) 2x (y) + 7xy yx + (4x) (5y)c) 3x2 (x)2 + 3(x2) + (3) (x)2
d) (2xy 3xy + 7xy) (2ab)e) (x2 3x2 + 6x2 2x2) (5zx)
a) 2x2 + 5x2 + 8x2 6x2 = 9x2 d) (6xy) (2ab) = 12xyabb) 2xy + 7xy xy + 20xy = 24xy e) (2x2) (5zx) = 10x3zc) 3x2 x2 3x2 3x2 = 4x2
Razona si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas.
a) Verdadera: x x x = x1+1+1 = x3.
b) Falsa, pues no podemos restar potencias con la misma base y distintoexponente.
c) Verdadera: x3 x4 = x3+4 = x7.
d) Falsa, ya que una potencia consiste en multiplicar un determinado nmerode veces la base, y no sumarla.
e) Verdadera: (x2)2 = x2 2 = x4.
f) Falsa: .xx
=22
1
a) x x x = x3
b) x2 - x = xc) x3 x 4 = x7
d) x5 = 5xe) (x2)2 = x 4
f) x-2 = -x2
043
042
041
040
039
SOLUCIONARIO
826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 85
-
86
Indica el grado, el trmino independiente y el polinomio opuesto de los polinomios.a) P(x) = x3 + x2 7x 2 d) S(x) = 8b) Q(x) = x2 + 2x + 6 e) T(x) = 12x x2 + x4
c) R(x) = x + 1 f)
a) Grado 3 Trmino independiente: 2 Opuesto: x3 x2 + 7x + 2
b) Grado 2 Trmino independiente: 6 Opuesto: x2 2x 6
c) Grado 1 Trmino independiente: 1 Opuesto: x 1
d) Grado 0 Trmino independiente: 8 Opuesto: 8
e) Grado 4 Trmino independiente: 0 Opuesto: x4 + x2 12x
f) Grado 2 Trmino independiente: Opuesto:
Razona si es cierto o falso.a) Un polinomio es la suma de dos monomios.b) El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios
que lo forman.c) Los coeficientes de un polinomio son siempre nmeros naturales.d) Todo polinomio tiene un trmino donde aparece x2.
a) Falso. Un polinomio es la suma o resta de dos o ms monomios.
b) Verdadero.
c) Falso. Los coeficientes son cualquier tipo de nmero.
d) Falso. La variable no tiene por qu ser x, y no es necesario que tenga un trmino de grado 2.
Reduce los siguientes polinomios.a) P(x) = x2 x 2 x3 + x2 x 2b) Q(x) = x2 + x2 + 6 x + x2 7x 2c) R(x) = x + 1 x + x2
d) S(x) = 8 x + 34 x + 324e) T(x) = x4 + x4 x3 + x2 7x 2
f)
a) P(x) = x3 2x 4
b) Q(x) = x2 8x + 4
c) R(x) = x2 + 1
d) S(x) = 2x + 364
e) T(x) = 2x4 x3 + x2 7x 2
f) U(x) = 3
7
1
62x x
U x x x x( ) = 12
16
27
2 2
046
045
+ +1
2
1
62x x
1
6
U x x x( ) = 12
16
2
044
Polinomios
826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 86
-
87
3
Calcula el valor numrico de cada polinomio para los valores de la variable.
a) A(x) = x + 1, para x = 1
b) B(x) = x 4 + 3, para x = 2
c) C(x) = 4x5 x2 + 3, para x = 1 d) D(x) = 9x 4 + 7x2 + 5, para x = 1e) E(x) = x3 + x2 + x + 2, para x = 2f) F (x) = x 4 + x 4 x3 + x2 7x 2, para x = 0g) G(x) = 14, para x = 2
a) A(1) = 1 + 1 = 2b) B(2) = 8 + 3 = 11c) C(1) = 4 1 + 3 = 2d) D(1) = 9 + 7 + 5 = 3e) E(2) = 8 + 4 2 + 2 = 4f) F(0) = 2g) G(2) = 14
Halla los valores numricos para el polinomio:P(x, y) = 2x2y + xy 2 3xy + 5x 6y + 9
a) P(0, 0) c) P(1, 1) e) P(1, 2)b) P(1, 1) d) P(1, 1) f) P(2, 1)
a) P(0, 0) = 2 02 0 + 0 02 3 0 0 + 5 0 6 0 + 9 = 9
b) P(1, 1) = 2 12 1 + 1 12 3 1 1 + 5 1 6 1 + 9 = 8
c) P(1, 1) = 2 (1)2 1 + (1) 12 3 (1) 1 + 5 (1) 6 1 + 9 = 2
d) P(1, 1) = 2 12 (1) + 1 (1)2 3 1 (1) + 5 1 6 (1) + 9 = 11
e) P(1, 2) = 2 12 2 + 1 22 3 1 2 + 5 1 6 2 + 9 = 4
f) P(2, 1) = 2 22 1 + 2 12 3 2 1 + 5 2 6 1 + 9 = 17
049
048
12
047
HAZLO AS
CMO SE CALCULA EL COEFICIENTE DE UN POLINOMIO CONOCIENDO UNO DE SUS VALORES NUMRICOS?
Calcula el valor de k en el polinomio P(x) = x2 x + k, si P (2) = 5.
PRIMERO. Se sustituye, en el polinomio, la variable por su valor.
P(x)
SEGUNDO. Se despeja k en la ecuacin resultante.2 + k = 5 k = 5 2 = 3
P k kP
k( )( )2 2 2 22 5
2 52= + = +
=
+ =x = 2F
SOLUCIONARIO
826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 87
-
88
Calcula el valor de k en cada polinomio, sabiendo que P(1) = 6.a) P(x) = kx7 + x3 + 3x + 1 d) P(x)= kx6 kx3 + kx + kb) P(x) = kx 4 + kx3 + 4 e) P(x) = kc) P(x) = 9x5 + kx2 + kx k
a) k + 1 + 3 + 1 = 6 k = 1 d) k k + k + k = 6 k = 3b) k + k + 4 = 6 k = 1 e) k = 6c) 9 + k + k k = 6 k = 3
Dados los polinomios:P(x) = 2x5 3x 4 + 7x3 2x2 + 3x 6 R(x) = 3x2 x + 1Q(x) = 3x4 2x3 + 5x2 7x 1 S(x) = 2x + 3
calcula.
a) P(x) + Q(x) c) P(x) S(x) e) P(x) + R(x) g) Q(x) R(x)b) Q(x) + P(x) d) Q(x) P(x) f) R(x) + S(x) h) R(x) P(x)
a) (2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) + (3x4 2x3 + 5x2 7x 1) == 2x5 + 5x3 + 3x2 4x 7
b) (3x4 2x3 + 5x2 7x 1) + (2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) == 2x5 + 5x3 + 3x2 4x 7
c) (2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) (2x + 3) == 2x5 3x4 + 7x3 2x2 + x 9
d) (3x4 2x3 + 5x2 7x 1) (2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) == 2x5 + 6x4 9x3 + 7x2 10x + 5
e) (2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) + (3x2 x + 1) == 2x5 3x4 + 7x3 + x2 + 2x 5
f) (3x2 x + 1) + (2x + 3) = 3x2 + x + 4
g) (3x4 2x3 + 5x2 7x 1) (3x2 x + 1) = 3x4 2x3 + 2x2 6x 2
h) (3x2 x + 1) (2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) == 2x5 + 3x4 7x3 + 5x2 4x + 7
Suma y resta los siguientes polinomios.a) P(x) = 7x + 4; Q(x) = 2x + 5b) P(x) = 3x2 + 1; Q(x) = x2 + 2xc) P(x) = 3x2 + 1; Q(x) = x2 + 2x + 6d) P(x) = 5x3 + x2 7x 2; Q(x) = 5x3 + x2 + 4x 2
e) P(x) = x2 2xy y 2; Q(x) = x2 xy y 2
f) P(x) = x2 2xy y 2; Q(x) = x2 2xy y 2
g) P(x) = x2 3; Q(x) = x2 + x 1
h) P(x) = x2 5x 3; Q(x) = x2 + 13
12
13
12
x2
23
13
32
12
32
12
052
051
050
Polinomios
826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 88
-
89
3
a) Suma: 5x + 9 Resta: 9x 1
b) Suma: 4x2 + 2x + 1 Resta: 2x2 2x + 1
c) Suma: 4x2 + 2x + 7 Resta: 2x2 2x 5
d) Suma: 2x2 3x 4 Resta: 10x3 11x
e) Suma: x2 3xy y2 Resta: x2 xy y2
f) Suma: x2 4xy y2 Resta: x2 y2
g) Suma: x2 x 4 Resta: x2 x 2
h) Suma: x2 5x Resta: x2 5x
Dados los polinomios:
P(x) = 2x5 3x 4 + 7x3 2x2 + 3x 6 R(x) = 3x2 x + 1Q(x) = 3x 4 2x3 + 5x2 7x 1 S(x) = 2x + 3
calcula.
a) P(x) + Q(x) + R(x) + S(x) c) [P(x) + Q(x)] [R(x) + Q(x)]b) P(x) R(x) + S(x) Q(x) d) [P(x) Q(x)] [R(x) Q(x)]
a) (2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) + (3x4 2x3 + 5x2 7x 1) ++ (3x2 x + 1) + (2x + 3) = 2x5 + 5x3 + 6x2 3x 3
b) (2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) (3x2 x + 1) + (2x + 3) (3x4 2x3 + 5x2 7x 1) = 2x5 6x4 + 9x3 10x2 + 13x 3
c) [(2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) + (3x4 2x3 + 5x2 7x 1)] ++ [(3x2 x + 1) + (3x4 2x3 + 5x2 7x 1)] =
= (2x5 + 5x3 + 3x2 4x 7) (3x4 2x3 + 8x2 8x) == 2x5 3x4 + 7x3 5x2 + 4x 7
d) [(2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) (3x4 2x3 + 5x2 7x 1)] ++ [(3x2 x + 1) (3x4 2x3 + 5x2 7x 1)] =
= [2x5 6x4 + 9x3 7x2 + 10x 5] [3x4 + 2x3 2x2 + 6x + 2] == 2x5 3x4 + 7x3 5x2 + 4x 7
Halla cul es el polinomio Q(x) que hay que sumar a P(x) = x2 + 2x 1 para obtener como resultado R(x).
a) R(x) = x 1 d) R(x) = 7x2 3xb) R(x) = 2x2 x 6 e) R(x) = x3 xc) R(x) = 5x2 x + 1 f) R(x) = x3 x2
Q(x) = R(x) P(x)
a) Q(x) = x2 x d) Q(x) = 8x2 5x + 1
b) Q(x) = x2 3x 5 e) Q(x) = x3 x2 3x + 1
c) Q(x) = 4x2 3x + 2 f) Q(x) = x3 2x2 2x + 1
054
053
10
3
3
2
8
3
1
2
5
6
3
2
1
6
1
2
5
6
1
6
13
6
5
6
1
2
1
2
5
2
3
2
SOLUCIONARIO
826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 89
-
90
Dados los polinomios:P(x) = 2x6 7x 4 + 2x3 2x2 + x 1Q(x) = 3x5 2x3 + x2 x 1R(x) = x2 x + 1
calcula.
a) P(x) Q(x) b) Q(x) R(x) c) P(x) R(x) d) R(x) R(x)
a) (2x6 7x4 + 2x3 2x2 + x 1) (3x5 2x3 + x2 x 1) == 6x11 25x9 + 8x8 + 6x7 10x6 + 10x5 + x4 + 3x3 + 1
b) (3x5 2x3 + x2 x 1) (x2 x + 1) == 3x7 3x6 + x5 + 3x4 4x3 + x2 1
c) (2x6 7x4 + 2x3 2x2 + x 1) (x2 x + 1) == 2x8 2x7 5x6 + 9x5 11x4 + 5x3 4x2 + 2x 1
d) (x2 x + 1) (x2 x + 1) = x4 2x3 + 3x2 2x + 1
Dados los polinomios:P(x) = 2x5 3x 4 + 7x3 2x2 + 3x 6 R(x) = 3x2 x + 1Q(x) = 3x 4 2x3 + 5x2 7x 1 S(x) = 2x + 3
calcula.
a) [P(x) Q(x)] S(x) c) [P(x) + Q(x) + R(x)] S(x)b) [R(x) Q(x)] S(x) d) [P(x) + Q(x) R(x)] S(x)
a) [(2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) (3x4 2x3 + 5x2 7x 1)] (2x + 3) == (2x5 6x4 + 9x3 7x2 + 10x 5) (2x + 3) == 4x6 6x5 + 13x3 x2 + 20x 15
b) [(3x2 x + 1) (3x4 2x3 + 5x2 7x 1)] (2x + 3) == (3x4 + 2x3 2x2 + 6x + 2) (2x + 3) == 6x5 5x4 + 2x3 + 6x2 + 22x + 6
c) [(2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) + (3x4 2x3 + 5x2 7x 1) ++ (3x2 x + 1)] (2x + 3) = (2x5 + 5x3 + 6x2 5x 6) (2x + 3) =
= 4x6 + 6x5 + 10x4 + 27x3 + 8x2 27x 18
d) [(2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) + (3x4 2x3 + 5x2 7x 1) (3x2 x + 1)] (2x + 3) = (2x5 + 5x3 3x 8) (2x + 3) =
= 4x6 + 6x5 + 10x4 + 15x3 6x2 25x 24
Realiza las siguientes operaciones.
a)
b)
c)
d)56
3 113
52
43
5 2 5 2x x x x x x x + +
( )
25
3 112
23
2 3 2 3 2x x x x x x x + +
( )
53
25
752
33 2 2x x x x x +
12
34
54
772
92 2x x x x+
+
+ 44
3x +
057
056
055
Polinomios
826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 90
-
91
3
a)
b)
c)
d)
Divide.
a) (4x 4 + 3x3 5x2 + x + 7) : (x 1)b) (4x 4 2x3 + 3x2 2x + 5) : (x + 1)c) (7x5 + 4x 4 + 3x3 5x2 + 2x 1) : (x2 + x)d) (x 4 2x3 + x2 x + 3) : (x2 + x + 1)e) (4x 4 2x3 + 7x2 2x + 3) : (x2 x 2)
a)
b) 4x4 2x3 + 3x2 2x + 15 x + 1 4x4 4x3 4x3 6x2 + 9x 11
6x3 + 3x2 2x + 15 6x3 + 6x2
+ 9x2 2x + 15 9x2 9x
11x + 15 11x + 11
16
4x4 + 3x3 5x2 + 2x + 7 x 1 4x4 + 4x3 4x3 + 7x2 + 2x + 3
7x3 5x2 + 2x + 7 7x3 + 7x2
+ 2x2 + 2x + 7 2x2 + 2x
3x + 17 3x + 13
10
058
5
6
5
6
5
2
5
6
5
2
4
36 3 2 6 5x x x x x x +
+
=
= + + 1
3
10
3
4
3
5
6
5
2
5
67 6 5 3 2x x x x x x
2
5
6
5
2
5
2
5
1
2
2
35 4 3 2 5 4 3x x x x x x x +
+
=
= + 1
10
1
5
4
15
2
55 4 3 2x x x x
25
66
37
10
41
2215 4 3 2x x x x x + +
1
2
7
2
3
4
5
4
9
472+
+ +x x 33 4
11
442( ) = x x
SOLUCIONARIO
826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 91
-
92
c)
d)
e)
Desarrolla.
a) (3x + 2)2 d) (7x3 + 4x2)2 g) (x4 + 3x5) (x 4 3x5)b) (3x 2)2 e) (2x + 7) (2x 7)
h)c) (3x2 2x)2 f) (2x2 + 3x) (2x2 3x)
a) 9x2 + 12x + 4 e) 4x2 49
b) 9x2 12x + 4 f) 4x4 9x2
c) 9x4 12x3 + 4x2 g) x8 9x10
d) 49x6 + 56x5 + 16x4 h) 4x2 2x +
Desarrolla estos cuadrados.
a) (x + 5)2 c) (y 8)2 e) (x y)2
b) (2y 7)2 d) (xy 6x)2 f) (x + 2xy)2
a) x2 + 10x + 25 d) x2y2 12x2y + 36x2
b) 4y2 28y + 49 e) x2 + 2xy + y2
c) y2 + 16y + 64 f) x2 + 2x2y + 4x2y2
060
1
4
212
2
x
059
4x4 2x3 + 17x2 12x + 13 x2 x 2 4x4 + 4x3 + 38x2 4x2 + 2x + 17
2x3 + 15x2 12x + 13 2x3 + 12x2 + 14x
+ 17x2 + 12x + 13 17x2 + 17x + 34
19x + 37
x4 2x3 + 3x2 1x + 3 x2 + x + 1 x4 2x3 3x2 x2 3x + 3
3x3 + 3x2 1x + 3 3x3 + 3x2 + 3x
+ 3x2 + 2x + 3 3x2 3x 3
3x
7x5 + 4x4 + 3x3 15x2 + 12x 1 x2 + x 7x5 7x4 7x3 3x2 + 6x 11
3x4 + 3x3 15x2 + 12x 1 3x4 + 3x3
+ 6x3 15x2 + 12x 1 6x3 16x2
11x2 + 12x 111x2 + 11x
13x 1
Polinomios
826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 92
-
93
3
Completa las siguientes igualdades.
a) (2x + 3)2 = + 12x + c) (9 + 7x) (9 7x) = b) (5 3x)2 = 25 + x2 d) ( + )2 = x 4 + 2x3 + x2
a) (2x + 3)2 = (2x)2 + 2 2x 3 + 32 = 4x2 + 12x + 9
b) (5 3x)2 = 52 2 5 3x + (3x)2 = 25 30x + 9x2
c) (9 + 7x) (9 7x) = 92 (7x)2 = 81 49x2
d) x4 + 2x3 + x2 = (x2)2 + 2 x2 x + x2 = (x2 + x)2
Desarrolla y simplifica las siguientes expresiones.
a) 5x2 + (2x2 + 1)2 2x 4 (x 1)2
b) (x 1)2 (x2 + x + 1)c) (5x + 5)2 (5x 5)2
d) (2x3 3x2)2 (2x + 2) (2x 2)e) (x + 6)2 (x 6)2 (x 5) (x + 5)f) (2x + 1)2 (2x 1)2 + (2x + 1) (3x + 2)
a) 5x2 + (2x2 + 1)2 2x4 (x 1)2 = 5x2 + 4x4 + 4x2 + 1 2x4 x2 ++ 2x 1 = 2x4 + 8x2 + 2x
b) (x 1)2 (x2 + x + 1) = x2 2x + 1 x2 x 1 = 3x
c) (5x + 5)2 (5x 5)2 = [(5x)2 + 2 5x 5 + 52] [(5x)2 2 5x 5 + 52] = 25x2 + 50x + 25 25x2 + 50x 25 = 100x
d) (2x3 3x2)2 (2x + 2) (2x 2) = (2x3)2 2 2x3 3x2 + (3x2)2 [(2x)2 22] = 4x6 12x5 + 9x4 4x2 + 4
e) (x + 6)2 (x 6)2 (x 5) (x + 5) == x2 + 12x + 36 x2 + 12x 36 x2 + 25 = x2 + 24x + 25
f) (2x + 1)2 (2x 1)2 + (2x + 1) (3x + 2) == (2x)2 + 2 2x + 1 ((2x)2 2 2x + 1) + 6x2 + 4x + 3x + 2 == 4x2 + 4x + 1 4x2 + 4x 1 + 6x2 + 7x + 2 = 6x2 + 15x + 2
063
HAZLO AS
Realiza la siguiente operacin.(2x 3)2 (2 + x)2
PRIMERO. Se desarrolla el polinomio aplicando los resultados de las igualdadesnotables.
(2x 3)2 (2 + x)2 = (4x2 12x + 9) (4 + 4x + x2)
SEGUNDO. Se quitan los parntesis, teniendo en cuenta los signos.
(4x2 12x + 9) (4 + 4x + x2) = 4x2 12x + 9 4 4x x2
TERCERO. Se reduce el polinomio.
4x2 12x + 9 4 4x x2 = 3x2 16x + 5Por tanto: (2x 3)2 (2 + x)2 = 3x2 16x + 5.
062
061
SOLUCIONARIO
826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 93
-
94
Expresa estos polinomios como el cuadrado de una suma o diferencia.
a) 9x2 + 18x + 9 c) x2 + 16x + 64b) 16x2 16x + 4 d) 4x2 + 4x + 1
a) 32x2 + 2 3 3x + 32 = (3x + 3)2
b) 42x2 2 4 2x + 22 = (4x 2)2
c) 12x2 + 2 1 8x + 82 = (x + 8)2
d) 22x2 + 2 2 1x + 12 = (2x + 1)2
Expresa el rea de cada figura mediante un polinomio. Simplifica su expresin.
a) c)
b) d)
a) (x + 4)2 + x2 = 2x2 + 8x + 16
b)
c) (x + 5) (x + 3) 2(x 1) = x2 + 8x + 15 2x + 2 = x2 + 6x + 17
d) = x2 + 2x
Escribe los polinomios como producto de dos factores.
a) x2 16 d) x2 4x + 4b) x 4 36 e) 16x2 24xy + 9y 2
c) 4x2 25 f) 16x 4 + 24x2 + 9
a) (x + 4) (x 4) d) (x 2)2
b) (x2 + 6) (x2 6) e) (4x 3y)2
c) (2x + 5) (2x 5) f) (4x2 + 3)2
Fjate en el ejemplo resuelto y completa.
[(x + 2) + 3] [(x + 2) 3] = (x + 2)2 9a) [(3x y) + 4] [(3x y) 4] b) [(a + b) + c] [(a + b) c]
a) (3x y)2 16
b) (a + b)2 c2
067
066
x xx
+ +
( )4
2
( ) ( )x xx x
+=
3 2 5
2
1
2
15
22
x + 4
x
x
2x + 5
x 3
x 1
x + 32
x + 5
x + 4
x + 4
x
x
065
064
Polinomios
826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 94
-
95
3
Extrae factor comn en estas expresiones.
a) 3x2 4x c) xy 6xyz 5xyztb) (x + 1) + 3(x + 1) d) 3x 4x2 6x3
a) x(3x 4) c) xy(1 6z 5zt )
b) (x + 1) (1 + 3) = 4(x + 1) d) x(3 4x 6x2)
Simplifica estas expresiones aplicando las igualdades notables y extrayendofactor comn.
a) 7x2 14x + 7 e) (2x + 4) (x 2)b) 16x2 + 64x + 64 f) (x 5) (x2 + 5x)c) x3 2x2 + x g) (x 7) (x 7)d) 18x 4 12x2 + 2 h) (x2 + 5) (x2 5)
a) 7(x2 2x + 1) = 7(x 1)2
b) 16(x2 + 4x + 4) = 16(x + 2)2
c) x(x2 2x + 1) = x(x 1)2
d) 2(9x4 6x2 + 1) = 2(3x2 1)2
e) 2(x + 2) (x 2) = 2(x2 4)
f) x (x 5) (x + 5) = x(x2 25)
g) (x + 7) (x 7) = (x2 49) = 49 x2
h) (x2 5) (x2 + 5) = x4 25
070
069
068
HAZLO AS
CMO SE SIMPLIFICAN FRACCIONES ALGEBRAICAS?
Simplifica.
PRIMERO. Se descomponen el numerador y el denominador en tantos factorescomo sea posible.
SEGUNDO. Se dividen el numerador y el denominador entre los factores comunes aambos.
y y x
x y x
y y x
x
3 2
2
1 1
1
1 1
=
( ) ( )
( )
( )( )
y y x
xy x
3 2
2
1 1
1
( ) ( )
( )=
( ) ( )
( )
( ) ( )y y x x
xy x
y y x x4 3 2
2
3 22 1
1
1 2 1 +
= +xxy x2 1( )
=
Se saca factor comn a y3:
y 4 y3 = y3 (y 1)
Cuadrado de una diferencia:
x2 2x + 1 = (x 1)2
F F
( ) ( )( )
y y x xxy x
4 3 2
2
2 11
+
SOLUCIONARIO
826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 95
-
96
Simplifica las fracciones algebraicas.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.
a) d)
b) e)
c) f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Si P(x) tiene grado 5 y Q(x) tiene grado 2, determina, cuando sea posible, los grados de los polinomios:
a) P(x) + Q(x) c) P(x) Q(x)b) P(x) Q(x) d) El cociente y el resto de P(x) : Q(x).
Haz lo mismo si P(x) y Q(x) tienen grado 5.
073
3 4 4
2 4 4
3
2
( ) ( )
( ) ( )
x x
x x
+ +
=
4 3 4
3 3 4 3 4
4 3 4
3 3 4
2( )
( ) ( )
( )
( )
x
x x
x
x
++
=+
( )
( ) ( )
( )
( )
3 2
3 2 3 2
3 2
3 2
2x
x x
x
x
++
=+
18 1
9 1
18 1 1
9 1
2 2
2 2
2 2
2 2
( )
( )
( ) ( )
( )
x
x x
x x
x x
= +
==
+2 1 22
( )x
x
2 4
4 4
2 4
4
2x x
x x
x x
x
( )
( ) ( )
( )
( )
+
=
+
x x x
x xx x
2 4 4
44
( ) ( )
( )( )
++
=
( )( )3 12 42 322
x xx
+
18 36 189 1
4 2
2 2
x xx x +
( )
( )6 827 48
2
2
xx
+
x x xx
( )( )
2 16 3216
2
2
+
( )3 29 4
2
2
xx
x xx x
3 2 164
( )( )
+
072
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
(x x y y
xy x y
x+ + +
=+3 3 4 4
2 3 4
32
)) ( )
( )
+y
xy y
4
2 4
y x
x x
y x
x
2 2 22
2
2( )
( )
( )
=
x x x
x xx x
2 2 2
22
( ) ( )
( )( )
+
= +
( )
( )
( )x
x x
x
x
++
=+1
1
12
( )( )( )( )x y
xy x y
2 2
2
9 162 6 4
+
x xx x
2 2 42
( )( )
y x xx x
2 2 4 42
( )( ) +
x xx x
2 2 11
+ ++( )
071
Polinomios
826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 96
-
97
3
a) Grado 5.
b) Grado 5.
c) Grado 7 = 5 + 2.d) Cociente Grado 3 = 5 2.
Resto Grado menor que 2.
Si P(x) y Q(x) tienen grado 5:a) No se puede saber, porque puede ocurrir que algunos de los trminos
se anulen en la suma, si los coeficientes son opuestos.
b) No se puede saber, porque quiz alguno de los trminos se anulen en la resta, si los coeficientes son opuestos.
c) Grado 10 = 5 + 5.d) Cociente Grado 0 = 5 5.
Resto Grado menor que 5.
Las sumas siguientes son cuadrados perfectos.
A la vista de estos resultados, sabras determinar a qu cuadrado es igual la siguiente expresin?
x2 + (x + 1)2 + x2(x + 1)2
Comprueba que tu igualdad es correcta.
x2 + (x + 1)2 + x2(x + 1)2 = [x (x +1) + 1]2
Para demostrar esta frmula, partimos del segundo miembro:
[x(x + 1) + 1]2 = [x(x + 1)]2 + 2x(x + 1) + 1 = x2(x +1)2 + 2x(x + 1) + 1 == x2(x + 1)2 + 2x2 + 2x + 1 == x2(x + 1)2 + x2 + x2 + 2x + 1 == x2 + (x + 1)2 + x2(x + 1)2
Comprueba con algunos ejemplos que el producto de tres nmeros enteros consecutivos sumado con el nmero del medio, es siempre un cubo perfecto.
Demustralo para cualesquiera tres nmeros enteros consecutivos: x 1, x y x + 1.
Ejemplos: 2 3 4 + 3 = 27 = 33
4 5 6 + 5 = 125 = 53
9 10 11 + 10 = 1.000 = 103
(x 1) x (x + 1) + x = (x3 x) + x = x3
075
12 + 22 + 12 22 = 32
22 + 32 + 22 32 = 72
92 + 102 + 92 102 = 912
074
SOLUCIONARIO
826512 _ 0074-0099.qxd 28/6/07 16:54 Pgina 97
-
98
Siguiendo el mtodo aplicado para hallar el desarrollo de las igualdadesnotables, averigua los desarrollos de:
a) (a + b)3 c) (a + b)2 (a b)2
b) (a b)3 d) (a b)4
a) (a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2) (a + b) == a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3a2b + b3
b) (a b)3 = (a b)2 (a b) = (a2 2ab + b2) (a b) == a3 2a2b + ab2 a2b + 2ab2 b3 = a3 3a2b + 3ab2 b3
c) (a + b)2 (a b)2 = ((a + b) (a b)) ((a + b) (a b)) = (a2 b2)2 == ((a2)2 2(a2) (b2) + (b2)2) = a4 2a2b2 + b4
d) (a b)4 = (a b)3 (a b) = (a3 3a2b + 3ab2 b3) (a b) == a4 3a3b + 3a2b2 ab3 a3b + 3a2b2 3ab3 + b4 == a4 4a3b + 6a2b2 4ab3 + b4
EN LA VIDA COTIDIANA
Una fbrica produce mesas elaboradas a mano. El dueo de la fbrica ha observado que los costes de fabricacin por unidad varan excesivamente dependiendo del nmero de mesas producidas.
Adems, ha llegado a la conclusin de que el coste total (en euros) de la produccin de x mesas viene dado por la frmula:
C(x) = x3 + 5x + 16.000
Segn todo lo anterior:a) Cul es el coste de produccin de 40 mesas?
Cunto cuesta producir cada unidad? Y de 20 mesas? Cunto cuesta producir cada unidad en este caso?
b) Cul es la diferencia en los beneficios del fabricante en cada caso? Qu opcin le reportar mayor beneficio?
a) El coste de fabricacin de 40 mesas es: C(40) = 403 + 5 40 + 16.000 == 80.200
La unidad cuesta producirla: 80.200 : 40 = 2.005 .Fabricar 20 mesas cuesta: C(20) = 203 + 5 20 + 16.000 = 24.100 y la unidad cuesta producirla: 24.100 : 20 = 1.205 .
077
076
Polinomios
Me han hecho un pedido de 18 mesas y tengo dos opciones:
Fabricar 18 mesas y venderlas al precio de catlogo: 1.700 por mesa.
Ofrecer a mi cliente una oferta de 20 mesas a 1.640 cada una.
826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 98
-
99
3
b) Fabricar 18 mesas cuesta: C(18) = 183 + 5 18 + 16.000 = 21.922 .Los ingresos son: 1.700 18 = 30.600 .Las ganancias son: 30.600 21.922 = 8.678 .
Fabricar de 20 mesas cuesta: C(20) = 203 + 5 20 + 16.000 = 24.100 Los ingresos son: 1.640 20 = 32.800 .Las ganancias son: 32.800 24.100 = 7.300 .
La diferencia entre los beneficios es: 8.678 7.300 = 1.378 al vender18 mesas, que es la opcin ms beneficiosa para el fabricante.
EMBALAJES CARTILLA fabrica cajas de cartn para embalar.
Tienen tres tipos diferentes de cajas y cada cliente puede elegir el formato y las dimensiones segn sus necesidades.
Todas las medidas estn expresadas en centmetros y, por exigencias de produccin y de resistencia del cartn, los valores de la variable tienen algunas restricciones segn el modelo. Adems, deben ser mayores que 10 cm y menores que 50 cm.
a) Expresa en forma de polinomio la cantidad de cartn necesaria para fabricar cada embalaje.
b) Si el precio del cartn es 0,02 /m2, cul ser el precio del cartn necesario para fabricar 200 cajas de embalaje tradicional de 30 60 80 cm?
c) Qu tipo de cajas necesitaremos para embalar estasesferas?
a) La medida del dimetro de la esfera no debe exceder de 50 cm.
Si queremos que el embalaje sea individual, lo haremos en tres cajas cbicas.
Si queremos embalar las tres esferas juntas, sin que sobre espacio,usaremos el embalaje alargado.
Si queremos embalar las tres esferas juntas, y que sobre espacio,utilizaremos el embalaje tradicional.
b) Embalaje cbico: 6 caras de superficie x2 S(x) = 6x2
Embalaje alargado: 2 caras de superficie x2 y 4 caras de superficie: 3x2 S(x) = 14x2
Embalaje tradicional: 2 caras de superficie 2x2, 2 caras de superficie 2x2 + 20y 2 caras de superficie 4x2 + 40x S(x) = 2(8x2 + 60x) = 16x2 + 120x
c) x = 30 La superficie de cada caja es: S(30) = 16 302 + 120 30 = 18.000 cm2 18.000 cm2 = 1,8 m2
200 cajas tienen una superficie de 200 1,8 = 360 m2 y un coste de 360 2 = 720 cntimos de euro = 7,20 .
078
EMBALAJE TRADICIONAL
SOLUCIONARIO
EMBALAJE