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AULA1 - Funcoes trigonometricas inversas.
A funcao arcsen(x).
Para ”construir” a funcao inversa do seno, comecemos por analisar a funcao seno.
Se olharmos para o grafico de f (x) = sen(x), facilmente verificamos que, odomınio de f (x) e Df = <, D ′f = [−1, 1], e uma funcao sempre contınua,periodica e e ımpar(f (−x) = −f (x)).
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 1 / 31
Funcoes trigonometricas inversas.
-Para que uma funcao tenha inversa, e necessario que seja injectiva. Como se veno grafico de sen(x), esta funcao nao e injectiva em todo o seu domınio. Para quese possa definir a sua inversa, temos que restringir o seu domınio, numsubdomınio para o qual a funcao seja injectiva.
-Consideremos a funcao g(x) = Sen(x) restrita ao intervalo [−π2 ,
π2 ], e que
representaremos por, g(x) = Sen(x) = sen(x), com − π2 ≤ x ≤ π
2 .
-Podemos dizer que, Dg = [−π2 ,
π2 ], D ′g = [−1, 1], dSen(x)
dx > 0,∀x ∈ Dg pelo quepodemos dizer que a funcao g(x) e crescente em ]− π
2 ,π2 [, e e injectiva no seu
domınio. Uma vez que Sen(x) e injectiva, podemos definir a sua funcao inversa,que representaremos por g−1(x) = arcsen(x).
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Funcoes trigonometricas inversas.
Esta funcao tem como domınio, Dg−1(x) = [−1, 1] e o seu contradomınio eD ′g−1(x) = [−π
2 ,π2 ].
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Funcoes trigonometricas inversas.
Seja y = arcsen(x), entao, x = sen(y) e −π2 ≤ y ≤ π
2 . Se derivarmos esta
expressao em ordem a x vem, dxdx = cos(y) dy
dx , i.e., 1 = cos(y) dydx .
Como cos(y) ≥ 0, quando −π2 ≤ y ≤ π
2 , temos,
cos(y) =√
1− sen2(x) =√
1− x2. Logo, darcsen(x)dx = 1√
1−x2.
A funcao arccos(x)Para ”construir” a funcao inversa do coseno, comecemos por analisar a funcaocoseno.
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Funcoes trigonometricas inversas.
Se olharmos para o grafico de f (x) = cos(x), facilmente verificamos que, odomınio de f (x) e Df = <, D ′f = [−1, 1], e uma funcao sempre contınua,periodica e e par(f (−x) = f (x)).
Para que uma funcao tenha inversa, e necessario que seja injectiva. Como se veno grafico de cos(x), esta funcao nao e injectiva em todo o seu domınio. Para quese possa definir a sua inversa, temos que restringir o seu domınio, numsubdomınio para o qual a funcao seja injectiva.
Consideremos a funcao g(x) = Cos(x) restrita ao intervalo [0, π], e querepresentaremos por, g(x) = Cos(x) = cos(x), com 0 ≤ x ≤ π. Podemos
dizer que, Dg = [0, π], D ′g = [−1, 1], dCos(x)dx < 0,∀x ∈ Dg pelo que podemos dizer
que a funcao g(x) e decrescente em ]0, π[, e e injectiva no seu domınio.
Uma vez que Cos(x) e injectiva, podemos definir a sua funcao inversa, querepresentaremos por g−1(x) = arccos(x). O grafico desta funcao e dado por,
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Funcoes trigonometricas inversas.
Esta funcao tem como domınio, Dg−1(x) = [−1, 1] e o seu contradomınio eD ′g−1(x) = [0, π].
Seja y = arccos(x), entao, x = cos(y) e 0 ≤ y ≤ π. Se derivarmos esta expressaoem ordem a x vem, dx
dx = −sen(y)(y) dydx , i.e.,
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Funcoes trigonometricas inversas.
1 = −sen(y) dydx . Como sen(y) ≥ 0, quando 0 ≤ y ≤ π, temos,
sen(y) =√
1− cos2(x) =√
1− x2. Logo, darccos(x)dx = − 1√
1−x2.
A funcao arctg(x).
Para ”construir” a funcao inversa da tangente, comecemos por analisar a funcaotangente.
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Funcoes trigonometricas inversas.
Se olharmos para o grafico de f (x) = tg(x), facilmente verificamos que, odomınio de f (x) e Df = {x ∈ < : x 6= (2k − 1) π
2 , k ∈ Z}, D ′f = <, e umafuncao periodica de perıodo π, e e ımpar.
Para que uma funcao tenha inversa, e necessario que seja injectiva. Como se veno grafico de tg(x), esta funcao nao e injectiva em todo o seu domınio. Para quese possa definir a sua inversa, temos que restringir o seu domınio, numsubdomınio para o qual a funcao seja injectiva.
Consideremos a funcao g(x) = Tg(x) restrita ao intervalo ]− π2 ,
π2 [, e que
representaremos por, g(x) = Tg(x) = tg(x), com − π2 < x < π
2 .
Podemos dizer que, Dg =]− π2 ,
π2 [, D ′g = <, dTg(x)
dx > 0,∀x ∈ Dg pelo quepodemos dizer que a funcao g(x) e crescente em ]− π
2 ,π2 [, e e injectiva no seu
domınio. Uma vez que Tg(x) e injectiva, podemos definir a sua funcao inversa,que representaremos por g−1(x) = arctg(x).
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 8 / 31
Funcoes trigonometricas inversas.
O grafico desta funcao e dado por,
Esta funcao tem como domınio, Dg−1(x) = < e o seu contradomınio eD ′g−1(x) =]− π
2 ,π2 [. Seja y = arctg(x), entao, x = tg(y) e −π
2 < y < π2 .
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 9 / 31
Funcoes trigonometricas inversas.
Se derivarmos esta expressao em ordem a x vem, dxdx = 1
cos2(y)dydx , i.e.,
cos2(y) = dydx . Como 1 + tg2(y) = 1
cos2(y) , entao, darctg(x)dx = 1
1+x2 .
A funcao arccotg(x).
Para ”construir” a funcao inversa da cotangente, comecemos por analisar afuncao cotangente.
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 10 / 31
Funcoes trigonometricas inversas.
Se olharmos para o grafico de f (x) = cotg(x), facilmente verificamos que, odomınio de f (x) e Df = {x ∈ < : x 6= kπ, k ∈ Z}, D ′f = <, e uma funcaoperiodica de perıodo π, e e ımpar.
Para que uma funcao tenha inversa, e necessario que seja injectiva. Como se veno grafico de cotg(x), esta funcao nao e injectiva em todo o seu domınio. Paraque se possa definir a sua inversa, temos que restringir o seu domınio, numsubdomınio para o qual a funcao seja injectiva.
Consideremos a funcao g(x) = Cotg(x) restrita ao intervalo ]0, π[, e querepresentaremos por, g(x) = Cotg(x) = cotg(x), com 0 < x < π. Uma vezque Cotg(x) e injectiva, podemos definir a sua funcao inversa, querepresentaremos por g−1(x) = arccotg(x).
Seja y = arccotg(x), entao, x = cotg(y) e 0 < y < π.
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 11 / 31
Funcoes trigonometricas inversas.
Se derivarmos esta expressao em ordem a x vem, dxdx = − 1
sen2(y)dydx , i.e.,
sen2(y) = dydx . Como 1 + cotg2(y) = 1
sen2(y) , entao, darccotg(x)dx = − 1
1+x2 .
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 12 / 31
EXTRA - Funcoes hiperbolicas.
As funcoes sen(x) e cos(x) sao designadas por funcoes circulares porque paraqualquer t ∈ <, o ponto (cos(t), sen(t)) localiza-se sobre um cırculo de equacaox2 + y2 = 1. As funcoes ch(x) e sh(x) sao designadas funcoes hiperbolicas , umavez que qualquer t ∈ <, ponto (ch(t), sh(t)) localiza-se sobre uma hiperbole deequacao x2 − y2 = 1, daı que se possa dizer ch2(t)− sh2(t) = 1.
Funcao seno hiperbolico
E uma funcao que se define do seguinte modo,f : < → <
x ↪→ ex−e−x
2 = sh(x)
Tem-se que sh(0) = 0, e uma funcao ımpar, i.e. sh(−x) = −sh(x), Df = <. Paraalem disso vemos que,
limx→+∞
sh(x) = limx→+∞
ex − e−x
2= +∞.
limx→−∞
sh(x) = limx→−∞
ex − e−x
2= −∞.
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Funcoes hiperbolicas.
As assımptotas do grafico de sh(x) sao dadas pelas curvas y = ex
2 e y = − e−x
2 . Oesboco do grafico apresenta-se a seguir.
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Funcoes hiperbolicas.
Funcao coseno hiperbolico
E uma funcao que se define do seguinte modo,f : < → <
x ↪→ ex +e−x
2 = ch(x)
Tem-se que ch(0) = 1, e uma funcao par, i.e. ch(−x) = ch(x), Df = <. Paraalem disso vemos que,
limx→+∞
ch(x) = limx→+∞
ex + e−x
2= +∞.
limx→−∞
ch(x) = limx→−∞
ex + e−x
2= +∞.
As assımptotas do grafico de ch(x) sao dadas pelas curvas y = ex
2 e y = e−x
2 . Oesboco do grafico apresenta-se a seguir.
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Funcoes hiperbolicas.
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 16 / 31
Funcoes hiperbolicas.
Funcao tangente hiperbolica
E uma funcao que se define do seguinte modo,f : < → <
x ↪→ ex−e−x
ex +e−x = sh(x)ch(x)
Tem-se que th(0) = 0, e uma funcao ımpar, i.e. th(−x) = −th(x), Df = <. Paraalem disso vemos que,
limx→+∞
th(x) = limx→+∞
ex − e−x
ex + e−x= 1.
limx→−∞
th(x) = limx→−∞
ex − e−x
ex + e−x= −1.
As assımptotas do grafico de th(x) sao dadas pelas curvas y = 1 e y = −1.
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 17 / 31
Funcoes hiperbolicas.
O esboco do grafico apresenta-se a seguir.
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 18 / 31
Funcoes hiperbolicas.
Funcao cotangente hiperbolica
E uma funcao que se define do seguinte modo,f : < \ {0} → <
x ↪→ ex +e−x
ex−e−x = ch(x)th(x)
O domınio e Df = {x ∈ < : ex − e−x 6= 0} = < \ {0}. E uma funcao par, i.e.coth(−x) = coth(x). Para alem disso vemos que,
limx→+∞
coth(x) = limx→+∞
ex + e−x
ex − e−x= 1
limx→−∞
coth(x) = limx→−∞
ex + e−x
ex − e−x= −1.
limx→0+
coth(x) = limx→0+
ex + e−x
ex − e−x= +∞
limx→0−
coth(x) = limx→0−
ex + e−x
ex − e−x= −∞.
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 19 / 31
Funcoes hiperbolicas.
O esboco do grafico apresenta-se a seguir.
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 20 / 31
Funcoes hiperbolicas.
Algumas relacoes importantes envolvendo funcoes hiperbolicas.
A formula fundamental e ch2(x)− sh2(x) = 1. Outras relacoes se podem provar
facilmente a partir da substituicao das expressoes que definem sh(x) = ex−e−x
2 e
ch(x) = ex +e−x
2 . Fica como trabalho para casa, provar que,
ch(x ± y) = ch(x)ch(y)± ch(x)ch(y)
sh(x ± y) = sh(x)ch(y)± ch(x)sh(y)
sh(2x) = 2sh(x)ch(x)
ch(2x) = ch2(x) + sh2(x)
ch2(x) = ch(2x)+12
sh2(x) = ch(2x)−12
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 21 / 31
Funcoes hiperbolicas.
Funcoes hiperbolicas inversas.
As funcoes sh(x), th(x) e coth(x) sao funcoes injectivas, logo sao invertıveis. Afuncao ch(x) nao e injectiva em todo o seu domınio, pelo que, para definirmos asua inversa, temos que restringir o seu domınio.
Inversa do seno hiperbolico.
E uma funcao que se define do seguinte modo,
f : < → <x ↪→ argsh(x)
Como as funcoes hiperbolicas sao definidas a partir de funcoes exponenciais, logo,as funcoes hiperbolicas inversas vao ser definidas em termos de funcao logaritmo.Tentemos entao calcular a inversa da funcao sh(x). Para tal vamos resolver emordem a x a seguinte equacao,
y = ex−e−x
2 ⇔ 2y = ex − 1ex ⇔ (ex)2 − 2yex − 1 = 0
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 22 / 31
Funcoes hiperbolicas.
Se considerarmos α = ex , entao temos uma equacao em α, α2 − 2αy − 1 = 0 quepodemos resolver usando a formula resolvente, entao chegamos a,
α =2y±√
4y2+4
2 = y ±√
y2 + 1
Mas, como α = ex , entao, temos que escolher o sinal positivo, uma vez que umafuncao exponencial e sempre positiva. Daqui, e aplicando logaritmo a ambos oslados da igualdade acima, vem, x = ln(y +
√y2 + 1). Da expressao anterior,
tambem facilmente se ve que o seu domınio e <. Isto porque o argumento dafuncao logaritmo e sempre positivo. Podemos entao caracterizar a inversa dafuncao sh(x) da seguinte forma,
f −1 : < → <
x ↪→ ln(x +√
x2 + 1)
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 23 / 31
Funcoes hiperbolicas.
O esboco do grafico apresenta-se a seguir.
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 24 / 31
Funcoes hiperbolicas.
Inversa do coseno hiperbolico.
’E uma funcao que se define do seguinte modo,
f : [1,+∞[ → [0,+∞[x ↪→ argch(x)
A funcao ch(x) nao e injectiva. De modo que temos que restringir o seu domınio,por forma a que seja injectiva. Assim, vamos considerar,
Ch(x) : [0,+∞[ → [1,+∞[x ↪→ Ch(x)
Tentemos entao calcular a inversa da funcao Ch(x). Para tal vamos resolver emordem a x a seguinte equacao,
y = ex +e−x
2 ⇔ 2y = ex + 1ex ⇔ (ex)2 − 2yex + 1 = 0
Se considerarmos α = ex , entao temos uma equacao em α, α2 − 2αy + 1 = 0 quepodemos resolver usando a formula resolvente, entao chegamos a,
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Funcoes hiperbolicas.
α =2y±√
4y2−4
2 = y ±√
y2 − 1
Aplicando logaritmo a ambos os lados da igualdade acima, vemx = ln(y ±
√y2 − 1). Temos agora que escolher o sinal. Tambem sabemos que
x ≥ 0 a partir do domınio da funcao ch(x). Isto significa que, y ±√
y2 − 1 ≥ 1.
Por outro lado, tambem vimos que y ≥ 1. Seja por exemplo y = 2. Entao temos2±√
3 ≥ 1. Daqui ve-se que nao se pode escolher o sinal negativo. Podemosentao dizer que,
f : [1,+∞[ → [0,+∞[x ↪→ ln(x +
√x2 − 1)
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Funcoes hiperbolicas.
O esboco do grafico apresenta-se a seguir.
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 27 / 31
Funcoes hiperbolicas.
Inversa da tangente hiperbolica.
E uma funcao que se define do seguinte modo,
f :]− 1, 1[ → <x ↪→ argth(x)
Tentemos entao calcular a inversa da funcao th(x). Para tal vamos resolver emordem a x a seguinte equacao,
y = ex−e−x
ex +e−x ⇔ y(ex + 1ex ) = ex − 1
ex ⇔ (ex)2(y − 1) = −y − 1
Daqui tiramos que ex = ±√
y+11−y , e, uma vez que uma funcao exponencial e
sempre positiva, temos que escolher o sinal positivo, ou seja, x = 12 ln( 1+y
1−y ).
O domınio desta expressao e D = {y ∈ < : 1+y1−y > 0} =]− 1, 1[.
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 28 / 31
Funcoes hiperbolicas.
Podemos entao caracterizar a inversa da funcao th(x) da seguinte forma,f −1 :]− 1, 1[ → <
x ↪→ 12 ln( 1+x
1−x )O grafico desta funcao pode ser visto a seguir.
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 29 / 31
Funcoes hiperbolicas.
Inversa da cotangente hiperbolica.
E uma funcao que se define do seguinte modo,
f :]−∞,−1[∪]1,∞[ → < \ {0}x ↪→ argcoth(x)
Tentemos entao calcular a inversa da funcao coth(x). Para tal vamos resolver emordem a x a seguinte equacao,
y = ex +e−x
ex−e−x ⇔ y(ex − 1ex ) = ex + 1
ex ⇔ (ex)2(y − 1) = y + 1
Daqui tiramos que ex = ±√
y+1y−1 , e, uma vez que uma funcao exponencial e
sempre positiva, temos que escolher o sinal positivo, ou seja, x = 12 ln( y+1
y−1 ).
O domınio desta expressao e D = {y ∈ < : 1+yy−1 > 0} =]−∞,−1[∪]1,∞[.
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 30 / 31
Funcoes hiperbolicas.
Podemos entao caracterizar a inversa da funcao coth(x) da seguinte forma,
f −1 :]−∞,−1[∪]1,∞[ → < \ {0}x ↪→ 1
2 ln( 1+xx−1 )
O grafico desta funcao pode ser visto a seguir.
R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 31 / 31