UNIVERSIDAD AUTONOMA
DE QUERETARO
FACULTAD DE INFORMATICA
ING. EN
TELECOMUNICACIONES
Ecuaciones diferenciales
Proyecto Final
βSistemas de ecuaciones diferencialesβ
PROFESOR: Dr. SaΓΊl Tovar Arriaga
ALUMNOS:
LUIS ANGEL REYES CRUZ Exp. 163986
ALEJANDRO URIBE GARCΓA Exp. 215484
FECHA: 10/12/12
Problema 1
Sustituimos los valores que nos da el problema
(1.5 + 3)(18)2π1β²β² + 1.5(18)2π2
β²β² + (1.5 + 3)(18)(9.8)π1 = 0
1.5(18)2π1β²β² + 1.5(18)2π2
β²β² + (1.5)(18)(9.8)π2 = 0
Aplicamos transformada de Laplace a las dos ecuaciones y sustituimos valores iniciales
π1(π ) =972π :486π 2π2(π )
1458π 2:793.8 EcuaciΓ³n 3
π2(π ) =;486π 2π1(π )
486π 2:264.6 EcuaciΓ³n 4
Sustituyendo 4 en 3 y despejando π1(π )
π1(π ) =472392π 3 + 257191.2π
(687.308π 2 + 237.234)(687.308π 2 + 885.369)
Aplicando fracciones parciales π1(π ) quedarΓa de la siguiente manera:
π1(π ) =145.245162π
(687.308π 2:237.234) +
542.0624207π
(687.308π 2:885.369) ecuaciΓ³n 5
Ahora podemos aplicar transformada de Laplace para encontrar π1(π‘)
π1(π‘) =145.245162
687.308cos(0.587503π‘) +
542.0624207
687.308cos(1.134975π‘)
Sustituimos 5 en 4
π2(π ) =β486π 2
486π 2 + 264.6,
145.245162π
(687.308π 2 + 237.234)+
542.0624207π
(687.308π 2 + 885.369)-
Aplicando fracciones parciales π2(π ) nos queda de la siguiente manera
π2(π ) =280.894994π
486π 2 + 264.6β
145.5792617π
(687.308π 2 + 237.234)β
939.076845π
(687.308π 2 + 885.369)
Aplicando transformada inversa de Laplace nuestro resultado queda:
π2(π‘) =280.894994
486cos(0.737864π‘) β
145.5792617
687.308,cos(1.722482π‘)-
Grafica de los resultados
Problema 2
EcuaciΓ³n 1
π1π₯´´1 = βπ1π₯1 + π2(π₯2 β π₯1)
EcuaciΓ³n 2
π2π₯´´2 = βπ2(π₯2 β π₯1) β π3(π₯2)
Igualando nuestras ecuaciones 1 y 2 a 0, sustituyendo nuestros valores iniciales en
π1, π2π¦π1, π2, π3 .
π₯´´1 + 2π₯1 β π₯2 = 0
π₯´´2 + 2π₯2 β π₯1 = 0
Aplicando transformada de Laplace a nuestra ecuaciΓ³n 1, sustituyendo valores en
π₯1(0), π₯Β΄1(0) y despejando π₯1(π ).
β{π₯1(2)π‘} = π2π₯1(π ) β ππ₯1(0) β π₯Β΄1
β*2π₯1π‘+ = 2π₯1(π )
β*π₯2π‘+ = βπ₯2(π )
π2π₯1(π ) + 1 + 2π₯1(π ) β π₯2(π ) = 0
π₯1(π )(π2 + 2) = π₯2(π ) β 1
π₯1(π ) =π₯2(π ) β 1
π2 + 2
Aplicando transformada de Laplace a nuestra ecuaciΓ³n 2, sustituyendo valores en π₯2(0), π₯Β΄2(0) y despejando π₯2(π ).
β{π₯2(2)π‘} = π2π₯2(π ) β ππ₯2(0) β π₯Β΄2
β*2π₯2π‘+ = 2π₯2(π )
β*π₯1π‘+ = βπ₯1(π )
π2π₯2(π ) β 1 + 2π₯2(π ) β π₯1(π ) = 0
π₯2(π )(π2 + 2) = π₯1(π ) + 1
π₯2(π ) =π₯1(π ) + 1
π2 + 2
Sustituyendo π₯2(π ) en π₯1(π ) y obteniendo nuestra π₯1(π ) final.
π₯1(π ) =π₯2(π ) β 1
π2 + 2
π₯1(π ) =(π₯1(π ) + 1π2 + 2
) β 1
π2 + 2
π₯1(π ) =(π₯1(π ) + 1π2 + 2
) βπ2 + 2π2 + 2
π2 + 2
π₯1(π ) =π₯1(π ) + 1 β π2 + 2
(π2 + 2)2
(π₯1(π ))(π2 + 2)2 βπ₯1(π ) = 1 β (π2 + 2)
π₯1(π )((π2 + 2)2 β 1) = 1 β (π2 + 2)
π₯1(π ) =1 β (π2 + 2)
(π2 + 2)2 β 1
π₯1(π ) =β(π2 + 1)
π4 + 4π2 + 4 β 1
π₯1(π ) =β(π2 + 1)
(π2 + 3)(π2 + 1)
π₯1(π ) =β1
(π2 + 3)
Sustituyendo nuestra π₯1(π ) final en π₯2(π ) y obteniendo nuestra π₯2(π ) final.
π₯2(π ) =π₯1(π ) + 1
π2 + 2
π₯2(π ) =.
β1π2 + 3
/ + 1
π2 + 2
π₯2(π ) =.
β1π2 + 3
/ +π2 + 3π2 + 3
π2 + 2
π₯2(π ) = β
π2 + 2π2 + 3π2 + 2
π₯2(π ) =π2 + 2
(π2 + 3)(π2 + 2)
π₯2(π ) =1
π2 + 3
Aplicando transformada inversa de Laplace a π₯1(π ) final para obtener nuestra π₯1(π‘).
β;1 {β1
π1 + 3} = β;1 {
β1(β3)
π1 + 3(β3)} = β
1
β3β;1 {
(β3)
π1 + 3}
π₯1(π‘) = β1
β3π ππβ3π‘
Aplicando transformada inversa de Laplace a π₯2(π ) final para obtener nuestra π₯2(π‘).
β;1 {1
π1 + 3} = β;1 {
1(β3)
π1 + 3(β3)} = β
1
β3β;1 {
(β3)
π1 + 3}
π₯2(π‘) =1
β3π ππβ3π‘
Graficas de π₯1(π‘)π¦π₯2(π‘)πππ ππππ‘ππ£πππππ‘π
Problema 3
π 1ππ
ππ‘+
1
ππ +π 1π3 = πΈ(π‘)
πΏππ3
ππ‘+π 2π3 β
1
ππ = 0
E(t) se puede expresar como un funciΓ³n escalΓ³n unitario de la siguiente manera:
πΈ(π‘) = 50π;π‘π(π‘ β 1)
Aplicamos transformada de la place a nuestras dos ecuaciones
β*πΈ(π‘)+ = 50π;π β{π;(π‘:1)}
π 1,π π(π ) β π(0)- +1
ππ(π ) + π 1πΌ3(π ) =
50π;(π :1)
π + 1
πΏ,π πΌ3(π ) βπ3(0)- +π 2πΌ3(π ) β1
ππ(π ) = 0
π(π ) [π 1π +1
π] βπ 1π(0) +π 1πΌ3(π ) =
50π;(π :1)
π + 1
Sustituimos valores iniciales
π(π ) =
50π;(π :1)
π + 1 β πΌ3
π + 1
π πΌ3(π ) + πΌ3(π ) β π(π ) = 0
Obtenemos nuestra ecuaciones 3 despejando π(π )π¦πΌ3(π )
π(π ) =50π;(π :1) β πΌ3(π + 1)
(π + 1)2
Obtenemos nuestra ecuaciΓ³n 4
πΌ3(π ) =π(π )
(π + 1)
Sustituimos 4 en 3
π(π ) =50π;(π :1) β
π(π )(π + 1)
(π + 1)
(π + 1)2
Despejamos Q(s)
π(π ) =50π;(π :1) β π(π )
(π + 1)2
Obtenemos nuestra ecuaciΓ³n 5 donde ya podemos aplicar transformada inversa de Laplace
π(π ) =50π;(π :1)
(π + 1)2 + 1
Aplicamos la inversa del teorema de traslaciΓ³n en el eje s y t al mismo tiempo.
π(π‘) = 50π;π‘π ππ(π‘ β 1)π(π‘ β 1)
Este resultado lo podemos expresar de la siguiente manera
π(π‘) = {0,0 β€ π‘ < 1
50π;π‘π ππ(π‘ β 1), π‘ β₯ 1
Sustituimos nuestra ecuaciΓ³n 5 en 4
πΌ3(π ) =
50π;(π :1)
(π + 1)2 + 1
(π + 1)
πΌ3(π ) =50π;(π :1)
(π + 1)2 + (π + 1)
Para poder aplicar la inversa de los dos teoremas como con π(π ) vamos a expresar nuestra
ecuaciΓ³n de otra forma.
πΌ3(π ) =50π;(π :1)
(π + 1),(π + 1)2 + 1-
Aplicamos los teoremas inversos
π3(π ) = 50π;π‘,1 β πππ (π‘ β 1)-π(π‘ β 1)
Al igual queπ(π ), π3(π ) se puede expresar de la siguiente manera:
π(π‘) = {0,0 β€ π‘ < 1
50π;π‘,1 β πππ (π‘ β 1)-, π‘ β₯ 1
Graficas deπ(π‘) e π(π‘) respectivamente.