Tema: Introducción al Control Digital- 1
Asignatura de Sistemas de Control-Facultad de Ingeniería-UNCPBA
SC ÁREA DE ELECTRÓNICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
U.N.C.P.B.A.
Sistemas de Controlapuntes capítulo V
(control digital)
Facultad de Ingeniería -UNCPBA
Dto. de Ingeniería Electromecánica
Prof: Dr. Gerardo Acosta
Tema: Introducción al Control Digital- 2
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Muestreo y Reconstrucción de Señales
Ø coexistencia dev señales analógicasv señales digitales
q exigencia de la TL de continuidad
Ø y(t) se puede expresar en forma de escalones desplazados en el tiempo:
r(t) y(t)-G(s)Act.D/A
A/D
D
p(t)microcómp.
e(nT) u(nT) u(t)
D/AA/Df(nT) y(t)f(t)
Y(s)F(s)
ttT 2T 3T 4T ... nT
f(t)
y(t)
T 2T 3T 4T ... nT
f(t)
f(nT)
T = período de muestreo
Tema: Introducción al Control Digital- 3
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[9.1]
v si aplicamos TL:
[9.2]
v vale decir:
[9.3]
[9.4] si
[9.5]
v f*(t) es un tren de impulsos modulados por f(t)
Muestreo y Reconstrucción de Señales
Y s f nTe e
s
f nT e
F s
es
H s
nTs n Ts
n
n
nTs
n
n sT
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
*
=−
=
−
− − +
= −∞
= ∞
−
= −∞
= ∞ −
∑
∑
1
0
1 =
1 24 4 34 4 1 24 34
H0(s)?f*(t) y(t)f(t)
Y(s)F(s) F*(s)
∑∞=
−∞=
−=n
n
nTtnTftf )()()(* δ
δ δ( ) ( )t nT tn
n
T− ==−∞
=∞
∑
f t f t tT* ( ) ( ) ( )= δ t
T 2T 3T 4T0-T
δ T t( )
<≥
=−
+−−−= ∑∞=
−∞=
nTtnTt
nTtu
TntunTtunTftyn
n
si 0 si 1
)( donde
)])1(()()[()(
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Muestreo y Reconstrucción de Señales
Ø Según este modelo, lo que sucede es:v el conversor A/D entrega a su salida un tren de
impulsos modulados por la señal analógica en el instante t=nT correspondiente.
v el filtro D procesa los pesos de los impulsos suministrados y entrega, cada T unidades de tiempo, otro impulso ponderado por una ecuación interna (recursiva).
v la acción integradora del conversor D/A transforma estos impulsosen una señal escalonada y continua.
Ø Contenido Armónico de la señal muestreada:v desarrollando en serie de Fourier
Y(s)F(s) F*(s) 1− −es
sT
muestreador
ideal
üno existen señales físicas; es una definición.
δ
δ ωπ
ω
ω
T njn t
n
n
n TT
T jn tT
t C e
CT
t e dtT
T
T
( )
( )/
/
=
= =
=−∞
=∞
−−
∑
∫1 2
2
2;
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Contenido armónico
[9.6]
v en la [9.5]:
[9.7]
v recordando que , la [9.7] se convierte en:
[9.8]
v que es la TL de la señal muestreada f*(t).q infinitos polos y ceros.q contiene a los polos de la señal continua F(s).q los polos de F*(s) se repiten cada .
v una expresión cerrada para F*(s):
[9.9]
δ ωT
jn t
n
nt
Te T( ) =
=−∞
=∞
∑1; que es equivalente a la [9 .4]
f tT
f t e jn t
n
nT* ( ) ( )=
=−∞
=∞
∑1 ω
{ }f t e F st( ) ( )λ λ= −L
F sT
F s jn Tn
n* ( ) ( )= −
=−∞
=∞
∑1ω
{ ]1
1)()(*
)(
)(∑ −−−=
λ
λλ
F
sTeFsF
depolos en
impulsos de serie
TL(f(t)) de [residuos
43421
Tω
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Contenido armónico
]1
1)1(
1[)(*
)1(1
)(
1)(
10
)(∑−=
=−−
−
−+=∴
+=
−=
λλ
λλλ sT
t
esF
sssF
etf
de residuos
Ø Ejemplo: determinar la TL de la señal que se obtiene al muestrear la sig. señal continua
v cálculo de residuos:
v si graficamos ambas:
v se define una “banda base” (mitad de frecuencia de muestreo) repetitiva, y los polos de F(s)coinciden con los de F*(s).
TssT
s
s
pskk
eesF
sa
sa
sa
sa
sssFpssFa
k
)1(
12
01
21
11
11
)(*1
1
11
1
1)1(1
)())((
+−−
−=
=
−=
−−
−=→+
−==
=+
=
++=
+=∴+=
[9.9]
jω
σ0-1
jω
σ0-1
ωΤ
2ωΤ
−ωΤ
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Contenido armónico
Ø para el análisis del contenido armónico, evaluamos la [9.8] para s=jω:
v fmuestreo>2fmáx (Teorema de Shannon)
v pero 1) señales difícilmente limitadas en frec.2) filtros pasabajos no ideales.
v solución tecnológicaq prefiltrado analógico (antialiassing)
q adecuada selección de ωT
F(ω) F*(ω)
ωT−ωT
... ...
F*(ω)
ωT
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Reconstrucción de señales
Ø forma alternativa de obtener la función de transferencia del reconstructor de orden 0:
Ø Para analizar su respuesta en frecuencia:
[9.10]
[9.11]
tt T
1r(t)δ(t) { } { }
se
se
s
TtututrsHsTsT −− −
=−=
−−==
11
)()()()(0
LL
H jej
e e ej
Tsen T
Te
TH j T
sene
H j Tsen
H jsensen
j T j T j T j Tj T
T
T
T
j
T
T
T
T
T
T
0
2 2 22
0
0
0
1 22
22
2
0 00
( )( / )
/
( )( / )
/
( )( / )
/
( )( / )( / )
/ / //
/
ωω ω
ωω
ω πωω
ωωπ ω
ωπ ω
ωωπ ω
ωπ ω
ωπωω
θ θωπ ω
π ωπ ω
ω ω ω ωω
ωπ ω
=−
=−
=
= =
=
= − + =><
− − −−
−como resulta
y de este modo:
; , si , si
ωTH0(jω)
|H0(jω)|
ωT
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Reconstrucción de señales
Ø Este reconstructor es el más comúnmente utilizado. Sin embargo, existen de orden superior:v EXTRAPOLACIÓN POLINOMIAL: desarrollamos
en serie de Taylor alrededor de t = nT la salida del reconstructor y...
v 1er término es el H0
v 2 primeros términosv casos intermedios (0< k <1)
qmenos económicos
[ ]
y t y nT y nT t nTy nT t nT
y nTT
y nT y n T
( ) ( ) ( )( )( )( )
!...
( ) ( ) (( ) )
= + ′ − +′′ −
+
′ = − −
2
2
11
aproximando la derivada primera como:
2
111
)(
−+=
−
se
TsT
sHsT
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La transformada Z
Ø Vimos que la transformada de Laplace de una señal muestreada puede expresarse como:
v conviene hacer un cambio de variable compleja:
Ø Luego, se define la transformada z unilateral de una señal muestreada f(nT) como la función:
[9.12]
Ø Ejemplo: calcular la TZ de la secuencia que se obtiene al muestrear un escalón unitario.
∑
∑∑
−−
∞=
−∞=
∞=
−∞=
−
−=
=−==
)(
)( ]1
1)([
)(1
)()(*
λ
λλ
ω
F
sT
n
nT
n
n
nsT
eF
jnsFT
enTfsF
depolos en
de residuos
)ln(1
zT
sez sT =∨=
retardo deoperador 1
0)ln(
1)(*)( −∞=
=
−=
→== ∑ zzfsFzFn
n
nnTz
Ts
fnn
F z zz
zznT
n
n
n=
≥<
∴ = =−
>
−
=
=∞
∑1 00 0 1
10
, si , si
para ( )
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Relación entre los planos S muestreado y Z
σ
jω jω
σ
ωΤ
−ωΤ
I
R
Ø Cada zona en el pl. s=σ+jω tiene su correspondencia en el pl. z
Ø Si limitamos nuestro análisis a la banda base:v eje jω es un círculo unitariov spl. izq. es el interior del círculo unitariov spl. der. es el exterior del círculo unitario
v los infinitos polos que surgían del muestreo se colapsan en uno solo en el pl. z.
TeMMez Tj ωφσφ === y con ;
I
R1
pl. z
jω
σ
ωΤ
−ωΤ
pl. s
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Propiedades de la TZ
Ø LINEALIDAD
Ø DESPLAZAMIENTO A DERECHA
Ø DESPLAZAMIENTO A IZQUIERDA
Ø TRASLACIÓN COMPLEJA
vEjemplo: e(k)=k
Ø TEOREMA DEL VALOR INICIAL
Ø TEOREMA DEL VALOR FINAL
Z ax bx aZ x bZ xnT nT nT nT[ ] [ ] [ ]1 2 1 2+ = + , con a y b constantes
0>d ;)(][ zXzxZ ddTnT
−− =
0>d ;∑−=
=
−+ −=
1
0
)([][dq
q
qqT
ddTnT zxzXzxZ
][][ aTanTnT zexexZ −− =
22
22
)()1(
)1()1()(
a
a
a
a
zezzez
ezze
zeze
zz
zz
zEa
a
−=
−
=−
=→−
=∴
−
−
←←
−
−E(z)]?¿z[ke ak
)()0( lim zFfz ∞→
=
)()1( 1
1lim)( zFz
zn
nTf −
→∞→
−=
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Ecuación en diferencias
Ø ¿qué es entonces el filtro digital D?v implementa una relación entre entradas, salidas y
estados (particularmente, un algoritmo de control)v así como un sistema de tiempo continuo de n-
ésimo orden puede representarse con una ecuación diferencial lineal:
[9.13]
v en el dominio del tiempo discreto, disponemos de su equivalente ecuación en diferencias:
[9.14]
Ø Resolución:v Procedimiento secuencial (computadora)v Ejemplo: dada m(k) = e(k) - e(k-1) - m(k-1);e(k) = 1 si k es par ó = 0 si k es impar; e(-1)=0 y m(-1)=0.k=0: m(0) = e(0) - e(-1) - m(-1) = 1-0-0 = 1k=1: m(1) = e(1) - e(0) - m(0) = 0-1-1 = -2k=2: m(2) = e(2) - e(1) - m(1) = 1-0+2 = 3....................................
dttdy
dttyd
tedt
tdedt
tedty n
n
nn
n
n)(
...)(
)()(
...)(
)( 101 ααβββ −−−+++=
)(...)1(...
)(...)1()()(
01
01
nkxakxa
nkebkebkebkx
n
nn
−−−−−−−++−+=
−
−
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Ecuación en diferencias
Ø la realización por computadora sería (MATLAB):mkmenos1=0;ekmenos1=0;ek=1for k = 0:20,
mk = ek - ekmenos1 - mkmenos1;[k,mk]mkmenos1 = mk;ekmenos1 = ek;ek = 1 - ek;
end
Ø ANTITRANSFORMADA Zv OBJETIVO: encontrar la secuencia que dio origen
a una función transformada en z. Veremos 3 métodos:
qfórmula de inversiónqseries de potenciasqexpansión en fracciones parciales
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Antitransformada Z
Ø Fórmula de inversión:
v tiene la forma de una serie de Laurentcuyos coeficientes son las muestras fnT
vque puede resolverse aplicando el teorema de los residuos:
vEjemplo:
∑∞=
=
−=n
n
nnT zfzF
0
)(
Cauchy) de (integral ∫ −=C
nnT dzzzF
jf 1)(
21π
∑ −=1-nF(z)z
de polos en
] residuos 1)([ nnT zzFf
nnT
n
z
n
f
zzzFz
zF
βα
βαα
ααβ
α
=∴
=−−
=
=
−
−
)()(1
)(
1
1
=Res
1< con ;
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Antitransformada Z
Ø Series de potencias:
v si los polos no son fácilmente distinguibles, realizamos una división larga de polinomios
v por definición de TZ [ec. 9.12], los Ci son los valores de la secuencia en el tiempo discreto
vEjemplo: función seno muestreada
∑
∑=
=
=
== nj
j
jj
mi
i
ii
z
zzF
0
0)(β
α
1414,1)( 2 +−
=zz
zzF
414,1...)14()6(1...)13()7()5(
414,1...)10()2(1...)9()3()1(0...)8()4()0(
...414,1414,1)( 65321
−===−====
===========
−−−++=∴ −−−−−
fffff
ffffffff
zzzzzzF
nmnm zCzCzCCzF −
−−− ++++=∴ ...)( 2
21
10
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Antitransformada Z
Ø Expansión en fracciones parciales:vEjemplo:
qquitamos z para expandir
qagregamos z y consultamos tablas
[ ]
kke
zz
Zz
zZ
zzz
ZzEZ
21)(
21
)2)(1()(
11
11
+−= →
=
−+
−−
=
=
−−
=
−−
−−
tablas de
LL
L
)2)(1()(
−−=
zzz
zE
21
11)(
−+
−−
=∴zzz
zE
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Función de Transferencia
Ø Para investigar el comportamiento de un sistema, le inyectamos una señal de prueba:
vDelta impulso de Kronecker δD[n] = 1, 0, 0, 0, ...
qmatemáticamente simpleqcomponente básico de otras señales
qAsí, si la secuencia es:
qpodremos reescribirla como:
n0 1 2 3
1
,...)1,0,0,0(,...)0,2,0,0(,...)0,0,1,0(...,...)...0,0,0,3(001213][−+++
=, ... , , , -, , = nx
]3[]2[2]1[][3][ −−−+−+= nnnnnx DDDD δδδδ
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Función de Transferencia
v Gráficamente:
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Función de Transferenciavy cualquier secuencia puede expresarse como
v la respuesta a la δD permite calcular la respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo, a cualquier entrada arbitraria
vEjemplo:
x n x k n kk D[ ] [ ] [ ]= −
=−∞
∞∑ δ
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Función de Transferencia
vEl ejemplo anterior puede generalizarse en la
Ø Sumatoria de Convoluciónvcualquier secuencia puede expresarse como
vy cada componente producirá una respuesta
vpor lo que la respuesta global será:
[9.15]
¿qué sucede si a una secuencia cualquiera x[n] se la multiplica por δD[n-k] ?q Identificamos al sistema digital
Ø La versión analógica de estas ideas:
q Integral de convolución con la “función” Delta de Dirac
x n x k n kk D[ ] [ ] [ ]= −
=−∞
∞∑ δ
x k n k x k h n kD[ ] [ ] [ ] [ ]δ − → −
y n x k h n kk
[ ] [ ] [ ]= −=−∞
∞∑
y t x h t d( ) ( ) ( )= −−∞
∞
∫ τ τ τ
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Función de Transferencia
v calculando la transformada en z de la [9.15]:
[9.16]
v estamos en condiciones de definirdefinir la transferencia muestreada D(z) como sigue:
[9.17]
v donde se indica la relación que existe entre la TZ de la secuencia de salida y la TZ de la secuencia de entrada.
v D(z) es un cociente de polinomios del tipo:
v que reemplazado en la [9.17] y anti-transformando dan lugar a una expresión ya conocida:
)()()( zXzDzY =
1)( 0
0
0 ==
∑
∑=
=
−
=
=
−
AzA
zBzD ni
i
ii
mi
i
ii
con ;
∑∞=
=
−=k
k
kzkTyzY0
)()(
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Filtros Digitales
[9.18]
v sistemas autorregresivos (AR)
v sistemas de media móvil (MA) o FIR
v con ambos coeficientes: filtros ARMAv es posible simular un filtro analógico con uno
digital, aunque es posible obtener características que no pueden obtenerse con los analógicos (p.e. el FIR).
∑ ∑=
=
=
=−− −=
mi
i
ni
iTiniTininT yArBy
0 1)()(
iAxBy i
mi
iTinin ∀== ∑
=
=− 0;
0)(
00;1
)()(0 >∀=+= ∑=
=− iByAxBy i
ni
iTininn
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Filtros Digitales
vEstructura y ejemplos de los 3 tipos de filtros:
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Interconexión A/D
1. De procesos digitales entre sí:
2. De procesos digitales y analógicos a lazo abierto:
v considerando una llave ficticia a la salida, puede plantearse:
D zU zE z
M zE z
U zM z
D z D z( )( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )= = = 1 2
D1(z) D2(z)enT mnT unT
D1(z) G(s)enT
unT y(t)
e(t)
ynT
H0
u’(t)
[ ]
)()(
)(
)()()()(
)(
)()(
)(
0
1
zEzY
zT
sGsHZzUzY
zG
zEzU
zD
=
==
=
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Interconexión
3. De procesos digitales y analógicos a lazo cerrado
v la llave la reemplazamos por otras dos, una que muestrea la variable de salida y otra que muestrea la referencia:
−=∴
−=
−=
−=
−
−
−−
ssG
ZzzDzT
ssG
ZzzG
sesG
ssG
ZsGse
ZzGsTsT
)()1)(()(
)()1()(
)()()(
1)(
11
1
D1(z) G(s)
unT y(t)
H0
u’(t)
B(s)
enTe(t)r(t)
-
−=
−=
+==
−
−
ssBsG
ZzzGB
ssG
ZzzG
zGBzDzGzD
zEzY
zT
)()()1()(
)()1()(
))()((1)()(
)()(
)(
1
1
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Características temporales
Ø Respuesta al impulso de un sistema de segundo orden:
v nuevamente, conocida la ubicación de los polos en el pl. z es posible conocer el coeficiente de amortiguamiento, frecuencia natural no amortiguada, …
TsTsTsTs
TsTsn
nn
n
eezeez
eezss
sssG
2121
21
)(
)(
2)( 2
21
2
22
2
−+−−
−−
=++
=
ω
ωξωω
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Error de estado estacionario
T zG z
G zG z
k z z
z z zz z
Kk z z
z z
ii
i m
Nj
j
j p i j
c
ii
i m
jj
j p
z
( )( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )
=+
=−
− −∧ ≠
=−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∏
∏
∏
∏
11
11
1
1
1 1
; y ; con
por conveniencia para el sig. desarrollo definimos:
C(s)E(s)R(s)
-G(s)
E z R z C z R zG z
G zR z
R zG z
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( )
= − = −+
=+1 1
Ø analicemos para las distintas entradas:v Escalón:
R zz
z
e kT z E zz R z
G zzG z
eG z
eez z z
ss
z
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
lim lim lim
lim
=−
= − =−+
=+
=+
→ → →
→
1
11
1 11
1
1 1 1
1
Tema: Introducción al Control Digital- 29
Asignatura de Sistemas de Control-Facultad de Ingeniería-UNCPBA
SC ÁREA DE ELECTRÓNICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
U.N.C.P.B.A.
Error de estado estacionario
Ø definimos la constante de error de posición como:
q entonces si N=0, Kp=Kc y
q para N>=1, Kp es infinito y el error de estado estacionario a una excitación en escalón es 0
v Rampa:
q entonces si N=0, Kv=0 y el error de estado estacionario resulta infinito.
q para N=1:
q para N>=2, Kv es infinito y el error es 0v como se aprecia, el tratamiento es totalmente
análogo a los sistemas de tiempo continuo.
Ø Estabilidad:v depende del período de muestreo.v Métodos como en tiempo continuo previa
transformación bilineal
)(lim1
zGKz
p→
=
cee K
e+
=1
1
)()1(1
lim1
1zGz
TK
Ke
zvv
ee −==→
con ,
cee K
Te =
112
+−
=zz
Tw
Tema: Introducción al Control Digital- 30
Asignatura de Sistemas de Control-Facultad de Ingeniería-UNCPBA
SC ÁREA DE ELECTRÓNICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
U.N.C.P.B.A.
Diseño de Controladores Digitales
Ø Los caminos para diseñar un controlador digital son:
Ø Técnicas analógicas discretizadas:v PID DIGITAL
Ø Técnicas digitalesv CONTROL DE TIEMPO MÍNIMO
Transferencia digital del
controlador
Transferencia digital del
controlador
Ecuación de diferencias
Implementación del controlador
Ecuación de diferencias
Implementación del controlador
Transferencia analógica del controlador
Ecuación integro-diferencial
Transferencia analógica del controlador
Ecuación integro-diferencial
técnicas de diseño analógico
técnicas de diseño digital
aproximación numérica
Sistema a controlar
Sistema a controlar
Tema: Introducción al Control Digital- 31
Asignatura de Sistemas de Control-Facultad de Ingeniería-UNCPBA
SC ÁREA DE ELECTRÓNICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
U.N.C.P.B.A.
PID Digital
Ø Aproximaciones numéricasv integral
q regla rectangular o de Eulerq regla trapezoidal o de Tustin
v derivadaq hacia atrás
Ø Regla de Euler:
v en Laplace:
Ø Regla de Tustin:
v en Laplace:
t
TnTnnT
Tn
ni
iiTnT
ni
iiTnT
Teuu
TeeTu
eTu
)1()1(
)1(
2
0
1
0
−−
−
−=
=
−=
=
+≅
+≅
≅
∑
∑
T 2T ... nT
e(t)
])[2/(
][)2/(
)1()1(
1
0)1(
nTTnTnnT
ni
iTiiTnT
eeTuu
eeTu
++≅
+≅
−−
−=
=+∑
T 2T ... nT
e(t)
se
T
sT
≅−1
sT
ee
sT
sT≅−+
2 11
Tema: Introducción al Control Digital- 32
Asignatura de Sistemas de Control-Facultad de Ingeniería-UNCPBA
SC ÁREA DE ELECTRÓNICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
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PID Digital
Ø Regla de derivación hacia atrás:
Ø Algoritmo PID digital
v regla de Euler + derivada hacia atrás:
de tdt
e t e t TT
de tdt
e e
Tt nT
nT n T
( ) ( ) ( )
( ) ( )
=− −
≅−
=
−1
++= ∫ dttde
TdtteT
teKtu d
t
ip
)()(
1)()(
0
=
−+−=
+=
+++= −−−
TT
Kk
TT
TT
Kk
TT
Kk
ekekekuu
dp
i
dp
dp
TnTnnTTnnT
3
2
1
)2(3)1(21)1(
21
1
donde
Tema: Introducción al Control Digital- 33
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SC ÁREA DE ELECTRÓNICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
U.N.C.P.B.A.
PID Digital
Ø Métodos de sintonía idénticos a los de tiempo continuo previa selección de T:v Prueba-error sobre respuesta temporalv Clásico: lugar de raíces, margen de fase, ...v Ziegler-Nicholsv Astrom-Hagglund
Ø Idem algoritmos antireset-windupv limitar término integralv eliminar acción integral durante saturaciónv restar al valor integrado una cantidad proporcional
al exceso de actuación.
u u k Te k u unT n T n T nT= + − −− −( ) ( ) max1 1 1
Tema: Introducción al Control Digital- 34
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SC ÁREA DE ELECTRÓNICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
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Controlador de Tiempo Mínimo
Ø Objetivos:v Todo el lazo de control sea FIRv Error de Estado Estacionario = 0v Señal de actuador U(z) acotada a un máximo
v Para ser FIR:
D(z) G(s)
unT y(t)
H0
u’(t)enTe(t)r(t)
-
]1[)()(1
)()()()(
)(zGzD
zGzDzRzY
zT+
==
]3[)(
1)(
)()(
]2[)(
)()(1
zGzpolzpolz
zD
zpolz
zGzD
n
n
⋅−
=∴
=+
Tema: Introducción al Control Digital- 35
Asignatura de Sistemas de Control-Facultad de Ingeniería-UNCPBA
SC ÁREA DE ELECTRÓNICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
U.N.C.P.B.A.
Controlador de Tiempo Mínimo
v ¿cuánto vale este polinomio en z?v Lo calcularemos para que el Eee=0
v Si por ejemplo la entrada es un escalón unitario:
v Aplicando la propiedad del VF de la TZ:
[ ]
]4[)(
)()(
)()(:]1[]2[
)(1)()()()(
n
n
n
zzpol
zRzE
zzpolz
zT
zTzRzYzRzE
=∴
−=
−=−=
en
nzzpol
zz
zE
zz
zR
)(1
)(
1)(
⋅−
=
−=
nznTnee zzpol
zz
zee)(
1)1(limlim 1
1⋅
−⋅−== −
→∞→
Tema: Introducción al Control Digital- 36
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SC ÁREA DE ELECTRÓNICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
U.N.C.P.B.A.
Controlador de Tiempo Mínimo
v Entonces conviene que el polinomio en z tenga como factor a (z-1)
v Para ello, es condición suficiente que se elijan sus coeficientes a partir de la respuesta temporal discreta, de modo tal que:
q con ai = porción que se extingue el transitorio en la muestra i-ésima
v La consideración final de la señal sobre el actuador se calcula con:
q Una vez diseñado D(z) se verifica que sea < que la cota Umax
q Si es mayor, aumentar n
=
−−−−=
∑=
−−
n
ii
nnnn
a
azazazazpol
0
22
110
0
)(]5[
L
]6[)()()(1
)()( zR
zGzDzD
zU+
=
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SC ÁREA DE ELECTRÓNICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
U.N.C.P.B.A.
Selección de la frecuencia de muestreo
Ø límite superior de Tv teorema del muestreovpérdida de información sobre señal
muestreadavefecto desestabilizador
q la planta es en general pasabajos y luego la salida filtra las componentes de alta frecuencia del reconstructor. El resultado:§ es un retardo puro de tiempo § desestabilización de todo el sistema de control
q solución:
el aporte de fase a una pulsación ω, suponiendo T pequeño (ωT<<1), es de:
si queremos que no se introduzca mayor inestabilidad, diseñamos un MF de -5 a -15 grados, con lo cual:
21
...2/)(111 2
0sT
sTsTsT
sTe
HsT
−≅+−+−
≅−
=−
2/)2/( TTarctg ωω −≅−=Φ
rad a 52,017,0=TMFω
Tema: Introducción al Control Digital- 38
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Selección de la frecuencia de muestreo
Ø límite inferior de Tvvelocidad de procesamiento del microvdificultades numéricas
q Control de acción integral
§ actúa cuando el error es distinto de cero, pero vale cero alrededor de un intervalo
§ conclusión: aumento de una zona muerta
q Control de acción derivativa, cuya mínima variación es la cuantización efectuada
§ Si T es muy pequeño, las variaciones son enormes
εTT
e inT <
)( )1( nTTnd ee
TT
−−
),( εε−
nTi
TnnT eTT
uu += − )1(
Tema: Introducción al Control Digital- 39
Asignatura de Sistemas de Control-Facultad de Ingeniería-UNCPBA
SC ÁREA DE ELECTRÓNICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
U.N.C.P.B.A.
Selección de la frecuencia de muestreo
Ø Ambos efectos anteriores se corrigen con aritmética de punto flotantev Aunque significa mayor exigencia de
almacenamiento y tiempo de cómputo
Ø Otros factores a tener en cuenta:v Espectro de perturbacionesv Respuestas en frecuencia de actuadores y
sensores del lazo
Ø Regla empírica:v seleccionar T entre la sexta y vigésima parte del
tiempo de crecimiento de la respuesta a un escalón del proceso a controlar