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8/19/2019 Sistemas Amortiguados de Dos Grados de Libertad
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16 de Febrero del 2016
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA ENERGIA Y MECANICA
CARRERA DE INGENIERIA MECATRÓNICA
VIBRACIONES
NRC DE LA ASIGNATURA 162!
CONSULTA
VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA PARA SISTEMAS VIBRATORIOS DE 2 GRADOS DELIBERTAD
DOCENTE ING" #AIME EC$EVERRIA YANE%
AUTOR
o &AVIER FREIRE
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VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA PARA SISTEMAS VIBRATORIOS DE 2GRADOS DE LIBERTAD
U' ()(*e+, -.e *e'/, do( .ero( o ,r*.l,(3 -.e re(e'*e' .' +o4)+)e'*o de do( /r,do(
de l)ber*,d3 5 -.e ,de+( e7)(*,' ele+e'*o( de ,+or*)/.,)8'3 lo( .,le( ro4o-.e' -.e,d, .ero o ,r*.l, de(r)b, .' +o4)+)e'*o de ,+or*)/.,+)e'*o3 5, (e, (obre,+or*)/.,do3 r*),+e'*e ,+or*)/.,do o (.b ,+or*)/.,do9 (e le o'oer o+o ()(*e+,(4)br,*or)o( de 2 /r,do( de l)ber*,d o' ,+or*)/.,+)e'*o"
U'o de lo( ()(*e+,( +( o+.'e( de e(*e *)o 5 o' el -.e (e e7l),r, (. d)'+), de:.')o',+)e'*o o o+or*,+)e'*o3 e( el ()(*e+, M,(,;Re(or*e o' ,+or*)/.,+)e'*o"
D)
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P,r, l, +,(, m2
Ao+od,'do l,( e.,)o'e( 1 5 2 ob*e'e+o(
m1´ x
1+ (c1+c2 ) ´ x1−c2 ´ x2+( k 1+k 2 ) x1−k 2 x2=0m
2´ x
2−c
2´ x
1+c
2´ x
2+k
2 x
2−k
2 x
1=0
L,( do( e.,)o'e( ,'*e( ob*e')d,( (e l,( e7re(, +ed),'*e .', e.,)8' +,*r)),l3 de(r)*,de l, ()/.)e'*e :or+,"
[m1 00 m2] [´ x1´ x
2]+[c1+c2 −c2−c
2 c
2 ][ ´ x1´ x
2]+[k 1+ k 2 −k 2−k
2 k
2 ][ x1 x
2]=[00](3)
L, e.,)8' ?3 .ede e7re(,r e' .' ,r*er +,*r)),l +( /e'er,l o+o
M ´ X +C ´ X + KX =0
Do'de
M =[m1 00 m2] C =[c1+c2 −c2−c
2 c
2 ] K =[
k 1+k
2 −k
2
−k 2
k 2 ]
´ X = ´ x
1
´ x2
´ X = ´ x
1
´ x2
X = x
1
x2
M=M,*r)= de +,(, 5@o I'er),C=M,*r)= de ,+or*)/.,+)e'*oK=M,*r)= de r)/)de=
C,be re,l,r -.e l,( +,*r)e( M, C 5 K .ede' e(*,r *,'*o ,ol,d,( o+o de(,ol,d,("
F externas=∑ F inerciales
k 2 ( x2− x1 )−c2 ( ´ x2−´ x1 )=m2 ´ x2(2)
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P,r, e'o'*r,r l, (ol.)8' de l, e.,)8' ?3 el roed)+)e'*o , (e/.)r e( +.5 ()+)l,r ,le+le,do ,r, ()(*e+,( de .' (olo /r,do de l)ber*,d3 do'de (e ,(.+e l, (ol.)8' ,r, el()(*e+, d)'+)o3 ,r, e(*e ,(o (e ,(.+e' (ol.)o'e( ,r, l,( do( e.,)o'e(d):ere'),le( 1 5 2 o ,r, l, e.,)8' +,*r)),l ?3 o' lo .,l ob*e'e+o( l,( )/.,ld,de( de o())8'3 4elo)d,d 5 ,eler,)8' de ,d, .', de l,( +,(,(3 d)
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{s2[m1 00 m2]+s [c
1+c
2 −c
2
−c2 c2 ]+[k
1+k
2 −k
2
−k 2 k 2 ]}es t [ X
1
X 2]=[0
0]
{ s2 M +s C + K } es t X =0
D,do -.e es t
X rere(e'*, l, (ol.)8' e' :or+, +,*r)),l 5 (,b)e'do -.e
x1 (t )= X 1 es t
5 x2 (t )= X 2 es t
'o .ede' (er ero3 5, -.e de (erlo el ()(*e+, 'o e(*,r,
e' 4)br,)8'3 -.ed, o+o '), o()b)l)d,d de .+l)r l, )/.,ld,d"
s2
[m
1 0
0 m2]+
s
[c
1+c
2 −c
2
−c2
c2 ]+[
k 1+k
2 −k
2
−k 2
k 2 ]=[
0
0]s
2 M +s C + K =0
[s2
m1+s ( c1+ c2)+ k 1+ k 2 −s c2−k 2
−s c2−k
2 s
2m
2+s c
2+ k
2]=[00]
S,,+o( el de*er+)','*e de l, +,*r)= de l, e7re()8' ,'*er)or3 ob*e')e'do
(s2 m1+s ( c1+c2 )+k 1+k 2 ) (s2m2+s c2+k 2 )−(−s c2−k 2 )(−s c2−k 2)=0
m1
m2
s4+[m1 c2+m2 (c1+c2) ] s3+[ m1 k 2 +c2 (c1+ c2 )+m2 (k 1+k 2 )−c22 ] s2 +[k 2 ( c1+c2 )+c2 (k 1 +k 2 ) ] s+[ (k 1 +k 2
L, e7re()8' ,'*e( +o(*r,d, e( o'o)d, o+o l, e.,)8' ,r,*er(*), del ()(*e+,3 e'd)
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?" Do( r,e( .ede' (er re,le( 'e/,*)4,(3 5 l,( o*r,( do( r,e( (o' o+le,(o'./,do"
Raíces Reales negativa.- C,d, .', de l,( r,e( *e'dr ,(o),d, .', (ol.)8')'dee'd)e'*e 5 l, (ol.)8' *o*,l (er l, (.+, de l,( (ol.)o'e( )'dee'd)e'*e( de ,d, r,="
x1
(t )= X 11
es1
t + X 12
es2
t + X 13
es3
t + X 14
es4
t
x2
(t )= X 21
es1
t + X 22
es2t + X
23e
s3
t + X 24
es4
t
D,do -.e l, e.,)8' ,r,*er(*), del ()(*e+, *)e'e r,e(3 e7)(*)r' :,*ore( de :or+,o +odo( :.'d,+e'*,le( de 4)br,)8'"
β i=( X
1
X 2)s=si=
X 1 i
X 2 i
L, e7re()8' re(.l*,'*e de l, (ol.)8' *o+,'do e' .e'*, l, o'()der,)8' del :,*or de:or+, e(
x1
(t )= β1 X
21e
s1
t + β2 X
22e
s2
t + β3 X
23e
s3
t + β4 X
24e
s4
t
x2
(t )= X 21
es
1t + X
22e
s2t + X
23e
s3
t + X 24
es
4t
Co'(*,'*e( X 21 3 X 22 3 X 23 5 X 24
E(*e ,(o (e ,(e+e, , .' ()(*e+, de .' /r,do de l)ber*,d (obre ,+or*)/.,do3 5, -.e l,(ol.)8' ob*e')d, e( .', :.')8' e7o'e'),l 5 'o re(e'*,r, o()l,)o'e("
Raíces son complejos conjugados.- Co+o e' el ,(o ,'*er)or l, (ol.)8' *o*,l3 (er l,(.+, de l,( (ol.)o'e( ,r),le( o )'dee'd)e'*e("
x1
(t )= X 11
es
1t + X
12e
s2
t + X 13
es
3t + X
14e
s4
t
x2
(t )= X 21
es
1t + X
22e
s2t + X
23e
s3
t + X 24
es
4t
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P,r, e'o'*r,r l, e7re()8' :)',l de l, re(.e(*,3 ,r, e(*e *)o de r,e(3 (e *o+,r,' e'.e'*, l,( ()/.)e'*e( o'()der,)o'e("
R,e( For+.l, de E.ler F,*or de :or+,
s1=− p
1+ i q
1
s2=− p
1−i q
1
s3=− p
2+iq
2
s4=− p
2−i q
2
ei q
1t =cos q
1t +i sin q
1t
e−i q
1t =cosq
1t −isinq
1t
ei q
2t =cosq
2t +i sinq
2t
e−i q
2t =cosq
2t −isinq
2t
β i=( X 1 X 2)
s=si
= X
1 i
X 2 i
B,('do(e e' l,( o'()der,)8' de l, *,bl, ,'*er)or (e ob*)e'e' l,( e7re()o'e( d l,Sol.)8'
x1
(t )=e− p1 t [ ( β1 X 21+ β2 X 22) cos q1 t +i ( β1 X 21− β2 X 22 )sin q1t ]+e− p2 t [ ( β3 X 23+ β 4 X 24 ) cosq2 t +i ( β3 X 23−
x2
(t )=e− p1 t [ ( X 21+ X 22 )cosq1t +i ( X 21− X 22 ) sinq1 t ]+e− p2 t [ ( X 23+ X 24 )cosq2 t +i ( X 23− X 24 ) sinq2 t ]
Co'(*,'*e( X 21 3 X 22 3 X 23 5 X 24
qq
(¿¿2t +∅12)
(¿¿1 t +∅11)+C 12 e− p
2t sin¿
x1 (t )=C
11e− p
1t sin¿
q
q
(¿¿2 t +∅22)
(¿¿2 t +∅21)+C 22e− p
2t sin¿
x2
(t )=C 21
e− p
1t sin¿
Co'(*,'*e( C 11 3 C 21 3 C 12 3 C 22 3 ∅11 3 ∅12, ∅21 5 ∅22
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Dos raíces reales negativas y dos raíces complejas conjugadas.- E(*e ,(o )'4ol.r, lo(do( ,'*e( 4)(*o(
L, (ol.)8' e( l, (.+, de l,( (ol.)o'e( ,r),le( o )'dee'd)e'*e("
x1
(t )= X 11
es1 t + X 12
es2 t + X 13
es3 t + X 14
es 4 t
x2
(t )= X 21
es
1t + X
22e
s2t + X
23e
s3
t + X 24
es
4t
P,r, e'o'*r,r l, e7re()8' :)',l de l, re(.e(*,3 ,r, e(*e *)o de r,e(3 (e *o+,r,' e'.e'*, l,( ()/.)e'*e( o'()der,)o'e("
R,e( For+.l, de E.ler F,*or de :or+,s1= Realnegativo
s2= Real negativo
s3=− p+i q
s4=− p−i q
ei q t =cosq t + isinq t
e−i qt =cos q t −i sin q t
β i=( X 1 X 2)
s=si
= X
1 i
X 2 i
B,('do(e e' l,( o'()der,)8' de l, *,bl, ,'*er)or (e ob*)e'e' l,( e7re()o'e( d l,Sol.)8'
x1
(t )= β1 X
21e
s1
t + β2 X
22e
s2
t +e− pt [ ( β3 X 23+ β4 X 24 ) cos qt + i ( β3 X 23− β4 X 24 ) sin qt ]
x2
( t )= X 21
es1
t + X 22
es2t +e− pt [ ( X 23+ X 24 )cosqt +i ( X 23− X 24 ) sinqt ]
Co'(*,'*e( X 21 3 X 22 3 X 23 5 X 24
q(¿¿ 2 t +∅11)
x1
(t )= β1 X
21e
s1
t + β2 X
22e
s2
t +C 11
e− p
2t
sin ¿
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q
(¿¿ 2t +∅22) x
2(t )= X
21e
s1
t + X 22
es
2t +C
22e
− p2
t sin ¿
Co'(*,'*e( X 21 3 X 22 3 C 11 3 C 22 3 ∅11 3 5 ∅22
Ejercicios
1. Hallar la ecuación diferencial matricial de movimiento del sistema amortiguado
de dos grados de libertad que se muestra en la figura e identificar cada una de las
matrices
Resolución
Se 4, , ,(.+)r -.e θ2 >θ1 5 θ́2>θ́1 3
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M,(, m1
M,(, m1
{ ka (θ2−θ1 )+ ca (θ́2−θ́1 )−m1 gl θ1=m1 l
2
θ́1
−ka (θ2−θ1 )−ca (θ́2−θ́1 )−m2 gl θ2=m2 l2
θ́2
{m1 l2
θ́1+c a2 θ́
1−c a2 θ́
2+(k a2+m1 gl )θ1−k a
2θ
2=0
m2
l2
θ́2+c a2 θ́
2−c a2 θ́
1+(k a2+m2 gl )θ2−k a
2θ
1=0
[m
1l2
0
0 m2l2
][θ́1
θ́2
]+
[ c a
2 −c a2
−c a2
c a
2
][θ́1
θ́2
]+
[k a
2+m1
gl −k a2
−k a2
k a2
+m2 gl
][θ1
θ2
]=
[0
0
] M =[m1 l
20
0 m2
l2] C =[ c a2 −c a2−c a2 c a2 ] K =[
k a2+m
1gl −k a2
−k a2 k a2+m2
gl]
M externas=∑ M inerciales
a (θ2 −θ1 )+ca (θ́2−θ́1 )−m
1 glθ 1=m1l2
θ́ 1
M externas=∑ M inerciales
ka (θ2−θ1 )−ca (θ́2−θ́1 )−m2 gl θ2=m2l2 θ́2
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Θ́=[θ́1θ́2] Θ́=[θ́
1
θ́2] Θ= θ
1
θ2
2. Para el ejercicio anterior si k=1000Nm!c=10 Ns/m a=0!"m! b=0.#m!
m1=0.$kg % m#=0."kg! determine en que caso se encuentra el sistema.
[m1 l2
0
0 m2
l2][ θ́1θ́
2]+[ c a
2 −c a2
−c a2 c a2 ][θ́1θ́2]+[k a
2+m1
gl −k a2
−k a2 k a2+m2
gl ][θ1θ2]=[00]Sol.)8'
θ1 (t )=Θ1 es t
θ2 (t )=Θ
2e
s t Θ (t )=[θ1 (t )θ2
(t )]=
[Θ1e
s t
Θ2
es t ]
=es t [Θ1Θ
2]=es t Θ
[m1 l2
0
0 m2
l2][θ1 s
2e
s t
θ2
s2
es t ]+[ c a
2 −c a2
−c a2 c a2 ][θ1 s es t
θ2
s es t ]+[k a
2+m1 gl −k a2
−k a2 k a2+m2
gl ] [θ1es t
θ2
es t ]=[00 ]
s2
est
[m
1l2
0
0 m2l
2
][Θ
1
Θ2
]+ sest
[
c a2 −c a2
−c a2
c a
2
] [
Θ1
Θ2
]+ est
[k a
2+m1
gl −k a2
−k a2
k a
2
+m2 gl
] [Θ
1
Θ2
]=
[
0
0
]s
2e
st M Θ +s es t C Θ+es t K Θ=0
{s2[m1 l2
0
0 m2
l2]+s [ c a
2 −c a2
−c a2 c a2 ]+[k a2+m
1gl −k a2
−k a2 k a2+m2
gl]}es t [Θ1Θ2]=[00]
{ s2 M +s C + K } es t Θ=0
s2[m1l
20
0 m2
l2]+ s [ c a
2 −c a2
−c a2 c a2 ]+[k a2+m
1gl −k a2
−k a2 k a2+ m2
gl ]=[00 ]
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s2 M +s C + K =0
[s2
m1
l2+c a2 s +k a2+m
1gl −c a2 s−k a2
−c a2 s−k a2 s2m2l2+c a2 s+k a2+m2 gl
]=[
0
0
]
[0.125 s2+0.9 s+154.5523 −0.9 s−90−0.9 s−90 0.075 s2+ 0.9 s+153.5715]=[00]
Re(ol4)e'do l, e.,)8' ,r,*er)(*), (e *)e'e -.e l,( r,)e( del ()(*e+, (o'
−7.7920+55.8060 i
−7.7920−55.8060 i
−1.8080+7.0216 i
−1.8080−7.0216 i
". Hallar la ecuación diferencial matricial de movimiento del sistema amortiguado
de dos grados de libertad que se muestra en la figura e identificar cada una de lasmatrices
Re(ol.)8'
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−c1 ( ´ y−aθ́ )−k
1( y −aθ )−c
2( ´ y +b θ́ )−k
2( y +bθ )=m ´ y
c1( ´ y −a θ́ )+ k
1( y −aθ )−c
2( ´ y +b θ́ )−k
2( y +bθ )= I θ́
Re,o+od,'do l,( e7re()o'e( ,'*er)ore(
m ´ y +( c1+c2 ) ´ y−( c1a−c2 b) θ́+(k 1+k 2) y−(k 1a−k 2 b)θ=0
I θ́+(c1a2+ c
2b2 ) θ́−(c1 a−c2 b ) ´ y +(k 1 a
2+ k 2
b2 )θ−(k 1a−k 2 b) y=¿
[m 00 I ][ ´
yθ́ ]+[ (
c1+c2 ) −(c1 a−c2b )−( c1a−c2b ) (c1a
2+ c2
b2 ) ][
´ yθ́ ]+[
(k 1+k 2) −(k 1 a−k 2 b)−(k
1a−k
2b) (k 1a
2+ k 2
b2 ) ] [
yθ ]=[
0
0]
M =[m 00 I ] C =[ ( c1+c2 ) −( c1a−c2b )−(c1 a−c2 b) (c1 a2+c2b2 ) ] K =[ (k 1+ k 2) −(k 1a−k 2 b)−(k
1a−k
2b) (k 1 a
2+k 2
b2 ) ]
v́ =[ ´ yθ́ ] v́ =[ ´ yθ́ ] v=[ yθ ]
&. Para el ejercicio anterior! si m=1000kg! l=&m! a=b=#m! I =1300 kg m2
!
k 1=50000 N /m
!k
2=70000 N /m
%c
1=c
2=10 Ns/m
. 'etermine la
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res(uesta del sistema como función del tiem(o! con las condiciones iniciales
siguientes.
y (0 )=0.03m , ´ y (0)=0 , θ (0)=0 , θ́ (0 )=0
[m 00 I ][ ´ yθ́ ]+[ (c1+c2 ) −(c1 a−c2b)−( c1a−c2b ) (c1a2+ c2b2 ) ][ ´ yθ́ ]+[ (k
1+k
2) −(k
1a−k
2b)
−(k 1
a−k 2
b) (k 1a2+ k
2b2 ) ] [ yθ ]=[00]
M =[m 00 I ] C =[ ( c1+c2 ) −( c1a−c2b )−(c1 a−c2 b) (c1 a2+c2b2 ) ] K =[ (k
1+k
2) −(k
1a−k
2b)
−(k 1
a−k 2
b) (k 1 a2+k
2b2 ) ]
M =
[1000 0
0 1300
C =
[20 0
0 80
] K =
[120000 40000
40000 480000
]s
2 M +s C + K =0
[ s2 m+s (c1 +c2 )+(k 1+k 2) −(c1a−c2 b ) s−(k 1 a−k 2 b)
−s (c1 a−c2 b )−(k 1 a−k 2b) s2 I +s (c1 a2+c2b2)+(k 1 a2 +k 2 b2 )]=[00]
mI s4 [ I (c1+c2 )+ m (c1a2+ c2 b2 ) ] s3+[ m (k 1 a2+k 2 b2 )+ I (k 1+k 2)+ (c1+ c2) (c1a2+ c2 b2 ) ] s2+[ (c1+ c2 )(k 1 a
13∗105 s4+ 1.06∗105 s3+63.6∗107 s2+ 192∗105 s +560∗108=0
R,e(s
1=−0.0104+10.7 i
s2=−0.0104−10.7 i
s3=−0.0304+19.3 i
s4=−0.0304−19.3 i
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Al),'do el :,*or de :or+,
β i=−m12 si
2 +c12 si+k 12m
11si
2+ c11
si+ k 11
β1=−8.279−0.01417 i
β2=−8.279+0.01417 i
β3=0.106−4.645∗10−4
i
β4=0.106+4.645∗10−4
i
Sol.)o' e' el *)e+o
y (t )=e−0.01041 t [ ( β1 X 21+ β2 X 22 ) cos10.7 t +i ( β1 X 21− β2 X 22 ) sin10.7 t ]+e−0.0104 t [ ( β3 X 23+ β4 X 24 ) cos19.3
θ (t )=e−0.01041 t [ ( X 21+ X 22) cos10.7 t +i ( X 21− X 22 ) sin 10.7 t ]+e−0.0104 t [ ( X 23 + X 24 )cos 19.3t +i ( X 23− X 24 ) s
C,+b)o de oe:))e'*e( ,r, :,)l)*,r l, re(ol.)8'"
1= X
21+ X
22
2=i ( X 21− X 22 )
3= X
23+ X
24
4=i ( X 23− X 24 )
M,'eo del :,*or de :or+, ,r, e'o'*r,r lo( oe:))e'*e( β i=! i " # i
β1 X 21 + β2 X 22=! 1 1+ # 1 2
i ( β1 X 21− β2 X 22)=! 1 1−# 1 2
β3 X
23+ β
4 X
24=!
3
3+#
3
4
β3 X
23− β
4 X
24=!
3
3−#
3
4
-
8/19/2019 Sistemas Amortiguados de Dos Grados de Libertad
16/16
Do'de!
1=!
2=−8.279 3 # 1=# 2=−0.01417 i 3 ! 3=! 4=0.106 5
# 3=# 4=−4.645∗10−4 i
y (t )=e−0.01041 t [ (! 1 1+# 1 2 )cos10.7 t + i (! 1 1−# 1 2)sin 10.7 t ]+e−0.0104t [ ( ! 3 3+ # 3 4 )cos19.3 t + i (! 3
θ (t )=e−0.01041 t [ 1cos10.7 t + 2sin 10.7 t ]+e−0.0104 t [ 3cos19.3 t +4 sin 19.3 t ]
Co' l,( do( :.')o'e( e(*,ble)d,( o' lo( '.e4o( oe:))e'*e(3 '),+e'*e *e'e+o(
)'8/')*,(3 or lo -.e () e4,l.,+o( l,( o'd))o'e( )')),le( lo/r,re+o( e'o'*r,r lo(4,lore( de lo( oe:))e'*e("
1=−0.358∗10−2
2=−0.105∗10−4
3=0.358∗10−2
4=0.915∗10−5
BibliografíaShabana, A. (1995). Theory of Vibration . Springer.