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SIMULACION DE SISTEMAS
Tema 5
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Indice
Concepto de SimulacionEcuaciones ODE y DAEMétodos Numéricos de Resolución Métodos Numéricos en MATLAB-SIMULINKMétodos Numéricos en MODELICAEl entorno de simulación SIMULINKEL entorno de simulación MODELICA
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Concepto de Simulación
La técnica de simulación comprende una extensa colección de métodos y aplicaciones cuyo objetivo es la reproducción del comportamiento real de un sistema, usualmente sobre un computador digitalcon software apropiado.
La simulación por computador estudia una amplia variedad de modelos de sistemas reales aplicando técnicas numéricas, creando un modelo computerizado del sistema bajo estudio, con el fin de ejecutar experimentos que permitan mejorar el conocimiento del comportamiento del sistema bajo un conjunto de condiciones de trabajo.
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Concepto de Simulación
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Concepto de Simulación
Pasos en estudio de simulación
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Concepto de Simulación
Los sistemas en tiempo continuo habrán de ser sometidos a un proceso de discretización que transforme las ecuaciones diferenciales que los gobiernan en ecuaciones discretas,
Para ello utilizan los métodos numéricos de integración, cuyo objeto es la sustitución de las derivadas de las variables del sistema por expresiones aproximadas.
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Ecuaciones ODE y DAE
Modelado de Sistemas dinámicos conduce a ecuaciones dinámicas de dos tipos:
1. Ecuaciones ODE
en forma explicita, f no lineal en general.
0)0( ),( xxtxfdtxd
==
Motor de CC
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Ecuaciones ODE y DAE
2. Ecuaciones DAE
en forma implicita, F no lineal en general.
Ecuaciones ODE caso particular de ecuaciones DAE,
En general si existe
Ground1
R=R
1
Resistor1
C=C
1
Capacitor1
C=C
2
Capacitor2
SignalVoltag... R=R2
Resistor2
0)0( 0),,( xxtdtxdxF ==
Circuito Eléctrico
),( entonces , txgdtxd
xF
=∂∂
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Ecuaciones ODE y DAE
Es habitual encontrar sistemas físicos definidos por DAE’s.Diferentes tipos de ecuaciones DAE: I. DAE Implicita Lineal (Cuasi-Lineal)
II. DAE en forma de Perturbación Singular
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Ecuaciones ODE y DAE
III. DAE Semiexplícita
caso particular de II con ε = 0.
IV. DAE Lineal
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Ecuaciones ODE y DAE
Para el caso general
el indice diferencial es el numero de derivaciones requeridas para obtener la solución en forma de ODE explicita
Para obtener es necesario derivar m veces la DAE.z&
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Ecuaciones ODE y DAE
El indice diferencial indica la dificultad en la resolución de la DAE.
Para el caso semiexplícito se puede también obtener la solución en forma de ODE explicita en función del indice diferencial
1. Indice m = 0
Resolución directa de la DAE que es en realidad una ODE
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Ecuaciones ODE y DAE
2. Indice m = 1
Derivando una vez
y en caso de que sea regular
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Ecuaciones ODE y DAE
2. Indice m = 2
Derivando dos veces, y en caso de
y en caso de que sea regular
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Ecuaciones ODE y DAE
Asociado a la transformación de DAE a ODE aparece el establecimiento de condiciones iniciales
1. Indice m = 1
para x =x(0), y =y(0)
2. Indice m = 2
para x =x(0), y =y(0)
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Métodos Numéricos de Resolución
Utilización de métodos numéricos para integración de sistemas definidos por ODEs o DAEs.
Son métodos aproximativos debido a errores de discretización y redondeo.
A. Métodos Numéricos para ODEs
Sistema descrito por
Se basan en una aproximación de f
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Métodos Numéricos de Resolución
Métodos de Paso Múltiple y métodos de Paso Simple (Runge-Kutta).
B. Metodos Numéricos para DAEs
Sistema descrito por
Se basan en una aproximación de F
Método DASSL de Paso MúltipleTransformación a ODE
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Métodos Numéricos de Resolución
Métodos Numéricos para ODE’s
El objetivo de los métodos numéricos de integración es obtener, a partir de un sistema continuo expresado mediante el sistema de ecuaciones diferenciales ODE de primer orden en espacio de estado
una secuencia de valores del vector de estado que aproximan la solución del sistema de ecuaciones anterior, siendo el intervalo de integración y f no lineal en general.
),( txfdtxd=
)(,),(),( 21 itxtxtx K
1−−= ii tth
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Métodos Numéricos de Resolución
Es común a todos estos métodos la resolución del sistema de ecuaciones diferenciales por integración entre los puntos y según
En función de la aproximación de f en el intervalo de integración surgen los diferentes métodos de integración.
rit −
1+it
∫∫+
−
+
−
=11
)()(
)(
i
ri
i
ri
t
t
tx
tx
dttfxd
∫+
−
+= −+
1
)()()( 1
i
ri
t
trii dttftxtx
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Métodos Numéricos de Resolución
Los métodos de integración se clasifican en explícitos (forward) e
implícitos (backward), en función de la dependencia de
Ejemplo:
)( 1+itx
xdtdx λ−=
iii x
hxx λ−=−+1
1)1(1
<−=+
hestablexhx ii
λλ
Euler Explicito
11
++ −=−
iii x
hxx λ
hestable
xh
x ii
λλ∀
+=+
1
11
Euler Implicito
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Métodos Numéricos de Resolución
I) Métodos de Paso Simple o Runge-Kutta:
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Métodos Numéricos de Resolución
II) Métodos de Paso Multiple:
EL valor de xi+1 se realiza en función de los valores de xi, xi-1, ….xi-p
El paso de integración h puede ser fijo o variable. En caso de variabilidad se utilizará el error de integración estimado, como diferencia en la evaluación de xi+1 con dos métodos diferentes.
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Métodos Numéricos de Resolución
Métodos Numéricos para Sistemas Rígidos
Un sistema es rígido si la solución buscada varia lentamente en presencia de otras soluciones cercanas que varían rápidamente
El método numérico a utilizar debe ajustar adecuadamente el paso de integración.
Responden a la ecuación
siendo M singular.
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Métodos Numéricos de Resolución
Ejemplo: Modelo de propagación de llama
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Métodos Numéricos de Resolución
Métodos Numéricos para DAEs
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Métodos Numéricos de Resolución
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Métodos Numéricos en MATLAB-SIMULINK
Metodos Numericos MATLAB y SIMULINK para ODES
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Métodos Numéricos en MATLAB-SIMULINK
• Metodos Numericos MATLAB y SIMULINK para DAEs
•Solo aplicable para sistemas DAEs de indice 1 del tipo
con M singular
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Métodos Numéricos en MODELICA
Permite la resolución de ODEs y DAEs