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SERIES DE TAYLOR Y FOURIER.
Departamento de Electricidad.
Área de Matemática General.
Docente: Lcdo. Wuilmer Colmenares.
Realizado por:
Anchundia, Yelitza C.I 18.948.435
Albornoz, José C.I 14.409.267
García, Cristian C.I 18.476.297
Guichaner, Pedro C.I 15.469.956
Ciudad Bolívar Abril del 2010.
RESEÑA HISTORICA SERIE FOURIER.
La historia del análisis de Fourier tiene más de 200 años. Sus orígenes principian
unos 60 años antes del momento en que Jean Baptiste Joseph Fourier presentó la
primera versión de su trabajo sobre la teoría de la conducción del calor a la
Academia de París (1807). El año 1750 es un buen punto de partida: Fernando VI
era rey de España, y Jorge II de Inglaterra; las colonias de América del norte
estaban en medio de las guerras con los nativos y los franceses; unos años después
Carlos III creaba el virreynato del Río de la Plata (1776). Voltaire, Rousseau y Kant
estaban escribiendo sus libros en Europa; Bach acababa de morir, y Mozart estaba
pronto a nacer; y el cálculo de Leibnitz y Newton, publicado 75 años antes, estaba
permitiendo la creación de poderosas nuevas teorías sobre la mecánica celeste y la
mecánica del continuo.
En ese momento los esfuerzos de los físicos y matemáticos se concentraban en dos
problemas principales, que sentarían las bases de lo que posteriormente se
conocería como análisis de Fourier:
El problema de la cuerda vibrante o la propagación del sonido en un medio elástico.
La determinación de las órbitas de los planetas a partir de mediciones.
Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la
superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud
variable cuyas frecuencias ya están determinadas, Análisis en el comportamiento
armónico de una señal, Reforzamiento de señales.
Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal
de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de
Laplace y/o Solución en régimen permanente senoidal en el dominio de la
frecuencia.
La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten
soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que
obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de
placas, etc.
Concepto.
En Matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace
corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra
función g definida de la manera siguiente:
Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral
de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado
de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta
forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no
es universal. En la práctica las variables x y Xi suelen estar asociadas a dimensiones
(como el espacio -metros-, frecuencia -segundos^-1-,...) y entonces es correcto
utilizar la fórmula alternativa:
De forma que la constante beta cancela la dimensiones asociadas a las variables
obteniendo un exponente a dimensional.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de
continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores
e incluso a espacios de funciones generalizadas.
Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e
ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de
señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la
propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada
de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en
componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de
frecuencias de la señal f.
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus
generalizaciones es denominada análisis armónico.
Propiedades:
Linearidad
Dualidad
Cambio de escala
Transformada de la conjugada
Translación en el tiempo
Translación en frecuencia
Derivación en el tiempo
Derivación en la frecuencia
Transformada de la integral
Transformada de la Convolucion
Teorema de Parseval.
Demostraciones De Propiedades:
Dualidad.
Cambio de Escala.
Transformada de la conjugada.
Translación en el tiempo.
Translación en frecuencia.
Derivación en el tiempo.
Derivación en la frecuencia.
Convolucion.
Debido a que va a ser necesario utilizarlo, definamos primeramente la Convolucion
de dos señales:
Demostración de conmutativilidad.
Integración en el Tiempo.
Transformada de la Convolucion.
Teorema de Parseval.
El teorema de Parseval es una solución particular de la propiedad:
Ejercicios de Series de Fourier.
Calcular la serie compleja de Fourier para:
f (t+2) = f (t) Û T=2 Û w 0= p rad/s
Ejercicio de Fourier aplicado a la Ingeniera Eléctrica.
Datos del Circuito:
Entonces tenemos el siguiente procedimiento:
Analíticamente tenemos:
RESEÑA HISTORICA SERIE TAYLOR.
El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita
para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el
resultado fueron las paradojas de Zenón Posteriormente, Aristóteles propuso una
resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó
resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del
método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones
geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.
Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.
En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos
similares fueron dados por Madhava of Sangamagrama. A pesar de que hoy en día
ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos
hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la
serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno,
coseno, tangente y arcotangente.
En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series
de Maclaurin. Pero recién en 1715 se presentó una forma general para construir
estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook
Taylor, de quién recibe su nombre.
Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de
Edimburgo, quién publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.
Concepto.
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es
infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la
serie de potencias:
que puede ser escrito de una manera más compacta como:
Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la
derivada cero de f es definida como la propia f y y son ambos definidos como uno.
PROPIEDADES.
Función exponencial y logaritmo natural.
Serie Geométrica.
Teorema del Binomio.
para
y cualquier complejo.
Funciones Trigonométricas.
Donde Bs son los Números de Bernoulli.
Funciones Hiperbólicas.
Función W de Lambert.
Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de
Bernoulli Los valores C( α, n) del desarrollo del binomio son los coeficientes
binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.
Ejercicios de Series de Taylor.
Ejercicio de Taylor aplicado a la Ingeniera Eléctrica.